高中數(shù)學(xué)上學(xué)期知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章集合與函數(shù)概念

課時(shí)一:集合有關(guān)概念

1.集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識(shí)到這些東西，并且能判斷一個(gè)給定的東

西是否屬于這個(gè)整體。

2.一般的研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，簡(jiǎn)稱為集。

3.集合的中元素的三個(gè)特性：

(1)元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個(gè)集合是確定的：屬于或不屬于。例：世界上最高的山、

中國(guó)古代四大美女、教室里面所有的人...

(2)元素的互異性：一個(gè)給定集合中的元素是唯一的，不可重復(fù)的。

例：由HAPPY的字母組成的集合｛H,A,P,Y)

(3)元素的無序性：集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合

例：｛a,b,c｝和｛a,c,b｝是表示同一個(gè)集合

3.集合的表示：｛…｝如：｛我校的籃球隊(duì)員｝,｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝

(1)用大寫字母表示集合：A=｛我校的籃球隊(duì)員｝,B=｛1,2,3,4,5｝

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

1)列舉法：將集合中的元素--列舉出來｛a,b,c……｝

2)描述法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合。

｛XGR|x-3>2),｛x|x-3>2)

①語言描述法：例：｛不是直甭三甭形的三角形)

②Venn圖：畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

4、集合的分類：

(1)有限集：含有有限個(gè)元素的集合

(2)無限集：含有無限個(gè)元素的集合

(3)空集：不含任何元素的集合例：｛x|x2=-5｝

5、元素與集合的關(guān)系：

(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：aeA

(2)元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：aA

?注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N

正整數(shù)集N*或N+

整數(shù)集Z

有理數(shù)集Q

實(shí)數(shù)集R

課時(shí)二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系一子集

(1)定義：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A是集

合B的子集。記作：Ac5(或BqA)

注意：A=8有兩種可能(1)A是B的一部分，；

(2)A與B是同?一集合.

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A笠B或B衛(wèi)A

2.“相等”關(guān)系：A=B(5>5,且5V5,則5=5)

實(shí)例：設(shè)A=｛x|x2-l=O｝B=｛-1,1｝“元素相同則兩集合相等”

即：①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AGA

CZ)

②真子集:如果A=B,且AHB那就說集合A是集合B的真子集，記作A#B(或BHA)

或若集合AqB,存在xeB且xA,則稱集合A是集合B的真子集。

③如果A￡B,BCC，那么AGC

④如果A^B同時(shí)BcA那么A=B

3.不含任何元索的集合叫履空集，記為①

規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

?有n個(gè)元素的集合，含有2"個(gè)子集，2n-1個(gè)真子集，2"-1個(gè)非空子集，2"-2個(gè)非空真子集

課時(shí)三、集合的運(yùn)算

運(yùn)算類型交集并集補(bǔ)集

定義由所有屬于A且屬于B的元由所有屬于集合A或?qū)儆诩阂话?，若一個(gè)集合漢語我們所研究

問題中這幾道的所有元素，我們就稱這個(gè)

素所組成的集合，叫做A,B合B的元素所組成的集合，

集合為全集，記作：u

的交集.記作Ap|B(讀作嗔叫做A,B的并集.記作:AUB

設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集，由

交B'),AQB=(X|XGA,(讀作'A并方)，即AUBS中所有不屬于A的元素組成的集合，叫

且X￡B}.={x|xeA,或XEB}).做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)記作

CsACsA={xlxeS,史A}

韋恩圖示

BC?)

圖1圖2

性質(zhì)AnA=AAUA=AAUO=A(CuA)n(CuB)=Cu(AUB)

An中=中AUB=BUA

(C?A)U(CuB)=Cu(AnB)

AnB=BpAAUB3A

AU(CuA)=U

AABcAAABcBAUBoB

Afi(CUA)=O.

課時(shí)四:函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,

在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作：

y=f(x),x€A.(1)其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；

(2)與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合(f(x)|x￡A}叫做函數(shù)的值域.

函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則

3、區(qū)間的概念：

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

(2)無窮區(qū)間

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示

4函數(shù)的表示方法：(1)解析法：明確函數(shù)的定義域

(2)圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點(diǎn)等等。

(3)列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應(yīng)定義域的特征。

5、函數(shù)圖象知識(shí)歸納

⑴定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)片々€八)中的1為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)Py)

的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x￡A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)①力均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反

過來，以滿足6d的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)了，y為坐標(biāo)的點(diǎn)々，y)■,均在C上.

⑵畫法

A.描點(diǎn)法:B、圖象變換法:平移變換;伸縮變換;對(duì)稱變換。

(3)函數(shù)圖像變換的特點(diǎn):

1)函數(shù)y=f(x)關(guān)于X軸對(duì)稱y=-f(x)

2)函數(shù)y=r(x)關(guān)于丫軸對(duì)稱y=f(-x)

3)函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y=-f(~x)

2.映射

一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在

集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f：A—B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。

記作uf(對(duì)應(yīng)關(guān)系):A(原象)TB(象)"

對(duì)于映射f：A-B來說,則應(yīng)滿足;

(1)集合A中的每一個(gè)元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;

(2)集合A中不同的元素,在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);

(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

課時(shí)五：函數(shù)的解析表達(dá)式，及函數(shù)定義域的求法

1、函數(shù)解析式子的求法

(1)、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)

法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

(2)、求函數(shù)的解析式的主要方法有：

1)代入法：

2)待定系數(shù)法：

3)換元法：

4)拼湊法：

2.定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成

的集合.

(6)指數(shù)為零底不可以等于零，

(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.

3、相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān))；②定義域一致(兩點(diǎn)、必須同時(shí)具

備)

課時(shí)六：

1.值域：先考慮其定義域

(1)觀察法：直接觀察函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來求函數(shù)的值域；

(2)配方法：針對(duì)二次函數(shù)的類型，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)來確定函數(shù)的值域，注意定義域的范圍.

(3)代換法(換元法)：作變量代換，針對(duì)根式的題型，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的類型。

(4)分離常數(shù)法

課時(shí)七

1.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況.

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.

補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(u€M),u=g(x)(xCA),則y=f[g(x)]=F(x)(x€A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

(4)常用的分段函數(shù)

1)取整函數(shù)：

2)符號(hào)函數(shù)：

3)含絕對(duì)值的函數(shù)：

注意：映射是針對(duì)自然界中的所有事物而言的，而函數(shù)僅僅是針對(duì)數(shù)字來說的.所以函數(shù)是映射，而映射不一

定的函數(shù)

課時(shí)八函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))及最值

1、增減函數(shù)

(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量Xi,x2,當(dāng)xKxz

時(shí)，都有f(xj〈f(xj,那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間R稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

(2)如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值X”x2,當(dāng)Xi5時(shí),都看f(xi)〉f(xz),那么就說,包在這

個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間上稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.一

注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的篇部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種

2、圖象的特點(diǎn)

如果函數(shù)?4在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)片廣包在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單

調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

3、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A)定義法：

①任取Xi,X?￡D,且Xi<Xz；

②作差f(Xi)-f(x2);

③變形(通常是因式分解和配方)；

④定號(hào)(即判斷差f(X,)-f(X。的正負(fù))；

⑤下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(0復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)/Ig?］的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)〃=gW,的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

課時(shí)九：函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))

(1),偶函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有f(-x)=f(X),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

(2)、奇函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

(3)、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；若是不對(duì)稱，則是非奇非偶的函數(shù)；若對(duì)稱，則

進(jìn)行下面判斷；

②確定f(-X)與f(X)的關(guān)系；

③作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù)；

若f(-X)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(X)是奇函數(shù).

(4)利用奇偶函數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的奇偶性

1)在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；

奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；