2024成都中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)之專題六 類型一 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 教學(xué)課件

專題六綜合與實(shí)踐

考情及趨勢(shì)分析成都8年高頻點(diǎn)考情及趨勢(shì)分析考情分析類型年份題號(hào)題型分值背景圖形考查設(shè)問(wèn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題202326解答題12等腰直角三角形(1)(2)證明線段數(shù)量關(guān)系；(3)求動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)20222612兩矩形相似(1)探究三角形相似；(2)(3)求三角函數(shù)值20192710等腰三角形(1)證三角形相似；(2)求線段長(zhǎng)；(3)探究線段相等，求線段長(zhǎng)折疊問(wèn)題20202710矩形(1)求角度；(2)求線段長(zhǎng)；(3)求線段比值考情分析類型年份題號(hào)題型分值背景圖形考查設(shè)問(wèn)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題202127解答題10直角三角形(1)(2)求線段長(zhǎng)；(3)探究線段最值20182710直角三角形(1)求角度；(2)求線段長(zhǎng)；(3)探究四邊形面積最值20162710含45°的一般三角形(1)證線段相等；(2)①求線段長(zhǎng)；(3)探究線段數(shù)量關(guān)系圖形形狀變化問(wèn)題20172710等腰三角形(1)證全等三角形，探究三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；(2)證等邊三角形，求線段長(zhǎng)【考情總結(jié)】1.題位特點(diǎn)：幾何圖形綜合題每年一道，近2年均在B卷壓軸題位，其余年份動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)、在解答壓軸倒數(shù)第二題；2.設(shè)問(wèn)特點(diǎn)：常考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，設(shè)問(wèn)以求線段長(zhǎng)為主，涉及考查求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)、三角函數(shù)值、探究線段數(shù)量關(guān)系、探究線段、面積最值等．背景圖形主要為等腰三角形和直角三角形；3.設(shè)題形式：從2022年開(kāi)始設(shè)題形式從幾何綜合題轉(zhuǎn)變成了綜合與實(shí)踐，且三問(wèn)之間有密切聯(lián)系，最后一問(wèn)均是用含字母的代數(shù)式表示所求的結(jié)果.類型一動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(8年3考：2023.26，2022.26，2019.27)1.(2023錦江區(qū)二診)如圖①，已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)G在CD上，連接AE，EG，∠AEG＝∠B.過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：△ECG∽△DFG；第1題圖(1)證明：∵DF∥AE，∴∠AEF＋∠F＝180°.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°.∵∠AEG＝∠B，∴∠F＝∠C.∵∠EGC＝∠DGF，∴△ECG∽△DFG；第1題圖(2)當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)．①若DF＝FG，求證：AE＝EG；第1題圖(2)①證明：如解圖①，以點(diǎn)E為圓心，EB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)P，連接EP，則EP＝EB，∴∠B＝∠BPE.∵∠B＋∠C＝180°，∠BPE＋∠3＝180°，∴∠3＝∠C.第1題解圖①∵DF＝FG，△ECG∽△DFG，∴CG＝CE.∵E為BC中點(diǎn)，∴BE＝EC，∴EP＝CG.∵∠AEG＝∠B，∴∠2＋∠AEB＝∠1＋∠AEB，∴∠2＝∠1.在△EPA和△GCE中，

∴△EPA≌△GCE(AAS)，∴AE＝EG；第1題解圖①②如圖②，連接AG，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AG交BC于點(diǎn)H，若CG＝FG，求

的值．第1題圖②解：如解圖②，以點(diǎn)E為圓心，EB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)P，連接EP，則EP＝EB，連接DE.∵CG＝FG，由(1)知△ECG∽△DFG，∴△ECG≌△DFG，∴EG＝DG，∴∠DEG＝∠EDG.第1題解圖②∵∠AEG＝∠B＝∠ADG，∴∠AED＝∠AEG－∠DEG＝∠ADG－∠EDG＝∠ADE，∴AE＝AD.∵＝

，BC＝AD，PE＝BE，∴＝

.由①可知∠2＝∠1，∠C＝∠3，∴△ECG∽△APE，∴＝

＝

.第1題解圖②∵AE＝AD，EG＝DG，AG＝AG，∴△AEG≌△ADG(SSS)，∴∠AGE＝∠AGD.∵AG⊥GH，∴∠AGH＝90°，∴∠AGE＋∠EGH＝90°＝∠AGD＋∠CGH，∴∠EGH＝∠CGH，∴GH是∠EGC的平分線，∴點(diǎn)H到EG邊和CG邊的距離相等，∴

＝

＝

＝

.第1題解圖②

解題關(guān)鍵點(diǎn)將求

的值轉(zhuǎn)化為求△CHG與△EHG面積的比值．2.(2022成都模擬)如圖①，在正方形ABCD中，BC＝2，點(diǎn)E是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，以ED為邊在ED上方作正方形EDFG，連接AF，EC.(1)求證：△ADF≌△CDE；第2題圖(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°.∵四邊形EDFG是正方形，∴ED＝FD，∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠ADC＋∠ADE＝∠EDF＋∠ADE＝∠ADF.在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE(SAS)；(2)如圖②，延長(zhǎng)GF，AD交于點(diǎn)M.若FA＝FM，求線段AE的長(zhǎng)；第2題圖(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AM于點(diǎn)P.∟P∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＋∠FDP＝90°.又∵∠FDP＋∠DFP＝90°，∴∠EDA＝∠DFP.∵ED＝DF，∠EAD＝∠DPF＝90°，∴△ADE≌△PFD(AAS)，∴AE＝PD，AD＝FP＝2，設(shè)AE＝x，∴AP＝PM＝x＋2.∵ED∥GM，∴∠ADE＝∠M，∴tan∠ADE＝tanM，∴

＝

，解得x＝－1＋(負(fù)值已舍去)，∴AE＝－1＋；第2題圖∟P

解題關(guān)鍵點(diǎn)過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AM于點(diǎn)P，則△ADE≌△PFD，解直角三角形即可求解；(3)在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求EG＋EC的最小值．第2題圖(3)解：∵四邊形EDFG是正方形，∴EG＝ED，∴EG＋EC＝ED＋EC，如圖，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′，則EG＋EC的最小值為CD′的長(zhǎng)，D′由勾股定理得，CD′＝＝＝2，∴EG＋EC的最小值為2.

解題關(guān)鍵點(diǎn)作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′，將求EG＋EC的最小值轉(zhuǎn)化為求CD′的長(zhǎng).3.綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“中點(diǎn)”為主題展開(kāi)討論．如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)O是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是邊DC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上(不與點(diǎn)A重合)，且滿足OP＝

AB，連接BP.【問(wèn)題提出】(1)判斷△ABP的形狀，并說(shuō)明理由；第3題圖(1)解：△ABP是直角三角形．理由如下：∵O是AB的中點(diǎn)，∴OA＝OB＝

AB.∵OP＝

AB，∴OP＝OA＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠OPA.∵∠OAP＋∠APO＋∠OPB＋∠OBP＝180°，∴∠APO＋∠OPB＝90°，∴∠APB＝90°，∴△ABP是直角三角形；第3題圖【類比探究】(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M為邊DC的中點(diǎn)時(shí)，連接CP并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)N.求證：PN＝AN；第3題圖(2)證明：如解圖①，延長(zhǎng)AM，BC交于點(diǎn)Q.∵點(diǎn)M是DC的中點(diǎn)，∴DM＝CM.∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D＝∠DCB＝90°，∴∠D＝∠MCQ＝90°.第3題解圖①∵∠AMD＝∠QMC，∴△ADM≌△QCM，∴AD＝QC＝BC.由(1)可知∠BPQ＝∠APB＝90°，∴PC＝

BQ＝BC，∴∠CPB＝∠CBP.∵∠OPB＝∠OBP，∴∠OBC＝∠OBP＋∠CBP＝∠OPB＋∠CPB＝∠OPC＝90°，∴∠OPN＝∠OPA＋∠APN＝180°－∠OPC＝180°－90°＝90°.∵∠OAN＝∠OAP＋∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA，∴∠OPN－∠OPA＝∠OAN－∠OAP∴∠APN＝∠PAN，∴PN＝AN；第3題解圖①【拓展應(yīng)用】(3)在(2)的條件下，若AB＝5，AD＝4，作點(diǎn)N關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接AN′并延長(zhǎng)交矩形的邊所在的直線于點(diǎn)E，求CE的長(zhǎng)．第3題圖(3)解：按照題干條件作圖，分兩種情況，如解圖②，連接PN′.①當(dāng)AN′的延長(zhǎng)線與BC所在的直線交于點(diǎn)E時(shí)，記為E1，由(2)知，PN＝AN.第3題解圖②∵點(diǎn)N與點(diǎn)N′關(guān)于AP對(duì)稱，∴PN＝PN′，AN＝AN′，∴AN＝AN′＝PN′＝PN，∴四邊形NPN′A為菱形，∴CE1＝PN′＝AN.設(shè)CE1＝AN＝x，則DN＝4－x，由(2)知，CP＝BC＝4，PN＝AN＝x，∴在Rt△DNC中，由勾股定理得(4－x)2＋52＝(4＋x)2，解得x＝

；第3題解圖②②當(dāng)AN′的延長(zhǎng)線與DC所在的直線交于點(diǎn)E時(shí)，記為E2，∵△ADE2∽△E1CE2，∴

＝

.設(shè)CE2＝y(tǒng)，∴＝

，解得y＝

.綜上所述，CE的長(zhǎng)為

或

.第3題解圖②

解題關(guān)鍵點(diǎn)連接AN′并延長(zhǎng)交矩形的邊所在的直線于點(diǎn)E，需分兩種情況：①AN′的延長(zhǎng)線與BC所在的直線交于點(diǎn)E；②AN′的延長(zhǎng)線與DC所在的直線交于點(diǎn)E.4.(2022葫蘆島)在?ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，點(diǎn)P為射線CD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合)，連接AP，過(guò)點(diǎn)P作EP⊥AP交直線BD于點(diǎn)E.(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出PA，PE的數(shù)量關(guān)系；第4題圖【解法提示】如解圖①，連接BP，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，∵AD＝BD，∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∵點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，∴DP＝BP，∠CPB＝∠BPD＝90°，∴∠ADP＝∠PBE＝90°＋45°＝135°，第4題解圖①∵PA⊥PE，∴∠APE＝∠DPB＝90°，∴∠APD＝∠BPE，∴△ADP≌△EBP，∴PA＝PE.(1)解：PA＝PE；第4題解圖①(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，求證：DA＋

DP＝DE；第4題圖(2)證明：如解圖②，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD交直線BD于點(diǎn)F，∵PF⊥CD，EP⊥AP，∴∠DPF＝∠APE＝90°，∴∠DPA＝∠FPE.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD，又∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，第4題解圖②∴∠ADB＝∠DBC＝90°，∠PFD＝45°，∴∠PFD＝∠PDF，∴PD＝PF，∴∠PDA＝∠PFE＝90°＋45°＝135°，∴△ADP≌△EFP，∴AD＝EF.在Rt△FDP中，∠PDF＝45°，∵cos∠PDF＝

，∴DF＝

＝

＝DP，∵DE＝DF＋EF，∴DA＋DP＝DE；第4題解圖②(3)點(diǎn)P在射線CD上運(yùn)動(dòng)，若AD＝

，AP＝5，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE的長(zhǎng)．第4題圖【解法提示】根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，如解圖③，作AG⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝3.∵AP＝5，∴GP＝4，∴PD＝1，由(2)得，DA＋DP＝DE，∴3＋＝DE＝4，∴BE＝DE－BD＝4－3＝；第4題解圖③②當(dāng)點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如解圖④，作AG⊥CD，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD交直線BD于點(diǎn)F.同理可得，△ADP≌△EFP，∴AD＝EF，DP＝FP.∵AD＝3，PD＝PG＋DG＝4＋3＝7，∴DF＝PD＝7，∴BE＝BD＋DF－EF＝DF＝7，綜上所述，BE的長(zhǎng)為或7.(3)BE的長(zhǎng)為或7.第4題解圖④

解題關(guān)鍵點(diǎn)需注意點(diǎn)P在射線CD上運(yùn)動(dòng)，則需分點(diǎn)P在線段CD上和在CD的延長(zhǎng)上兩種情況討論．5.(2023成都B卷26題12分)探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)，且

＝

(n為正整數(shù))，E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE的垂線交直線BC于點(diǎn)F.【初步感知】(1)如圖①，當(dāng)n＝1時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：AE＋BF＝

AB，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；第5題圖解：(1)證明過(guò)程如下：如解圖①，連接CD，第5題解圖①當(dāng)n＝1時(shí)，

＝1，即AD＝BD.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，CD⊥AB，∠FCD＝

∠ACB＝45°，∴CD＝AD，∠A＝∠FCD，AB＝BC，∴BC＝

AB.∵DE⊥FD，∴∠ADE＋∠EDC＝∠FDC＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF.在△ADE與△CDF中，

∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF，∴BC＝CF＋BF＝AE＋BF＝

AB；第5題解圖①【深入探究】(2)①如圖②，當(dāng)n＝2，且點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，試探究線段AE，BF，AB之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明；第5題圖(2)①AE＋

BF＝

AB.證明：如解圖②，取BD的中點(diǎn)G，作HG∥BC，交DF于點(diǎn)J，交AC于點(diǎn)H，當(dāng)n＝2時(shí)，

＝

，即2AD＝DB.∵G是DB的中點(diǎn)，∴AD＝DG，AG＝

AB.第5題解圖②∵HG∥BC，∴∠AHG＝∠C＝90°，∠HGA＝∠B＝45°，△DJG∽△DFB，∴

＝

＝

，∵∠A＝45°，∴△AHG是等腰直角三角形，根據(jù)(1)中的結(jié)論可得AE＋JG＝

AG，∴AE＋JG＝AE＋

BF＝

AG＝

×AB＝

AB.∴線段AE，BF，AB之間的數(shù)量關(guān)系為AE＋

BF＝

AB；第5題解圖②②請(qǐng)通過(guò)類比、歸納、猜想，探究出線段AE，BF，AB之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論(直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明)；【解法提示】過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AC于點(diǎn)N，DH⊥BC于點(diǎn)H，如解圖③，當(dāng)點(diǎn)F在射線BC上時(shí)，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°.∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴

＝

＝

.第5題解圖③第5題圖設(shè)AN＝DN＝x，則BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝(n＋1)x.∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH.又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴

＝

＝

，∴FH＝nNE，∴AE＋

BF＝x－NE＋

(nx＋FH)＝2x＝

AB；第5題解圖如解圖④，當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°.∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴

＝

＝

.設(shè)AN＝DN＝x，則BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝(n＋1)x.第5題解圖∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴

＝

＝

，∴FH＝nNE，∴AE－

BF＝x＋NE－

(FH－nx)＝2x＝

AB；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F在射線BC上時(shí)，AE＋

BF＝

AB，當(dāng)點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，AE－

BF＝

AB.第5題解圖②當(dāng)點(diǎn)F在射線BC上時(shí)，AE＋

BF＝

AB，當(dāng)點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，AE－

BF＝

AB；

解題關(guān)鍵點(diǎn)分點(diǎn)F在射線BC上或在CB延長(zhǎng)線上兩種情況討論.【拓展運(yùn)用】(3)如圖③，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為M.若AB＝

，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)(用含n的代數(shù)式表示).第5題圖(3)解：如解圖⑤，當(dāng)點(diǎn)E1與點(diǎn)A重合時(shí)，取E1F1的中點(diǎn)M1，當(dāng)點(diǎn)E2與點(diǎn)C重合時(shí)，取E2F2的中點(diǎn)M2，可得點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度即為M1M2的長(zhǎng)度，第5題解圖⑤如解圖⑥，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DF1所在直線為y軸，DB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)E2作AB的垂線段，交AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F2作AB的垂線段，交x軸于點(diǎn)H，∵AB＝2，

＝

，

∴AD＝

，DB＝

，∴E1(－

，0).∵∠F1BD＝45°，∴F1D＝BD，∴F1(0，

).第5題解圖⑥∵M(jìn)1是E1F1的中點(diǎn)，∴M1(－

，

).∵AC＝BC，CG⊥AB，∴GB＝GC＝

AB＝，∴DG＝DB－BG＝

，∴E2(

，).根據(jù)(2)中的結(jié)論AE2－

BF2＝

AB，∴BF2＝n(AE2－

AB)＝

，∴BH＝F2H＝

BF2＝

，∴DH＝DB＋BH＝n，∴F2(n，－

)，∴M2(

，)，∴M1M2＝，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.第5題解圖⑥動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題①6.(2022成都B卷26題12分)如圖，在矩形ABCD中，AD＝nAB(n＞1)，點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與A，D重合)，連接BE，以BE為邊在直線BE的右側(cè)作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點(diǎn)H.【嘗試初探】(1)在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABE與△DEH始終保持相似關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；解：(1)理由如下：∵四邊形EBFG，四邊形ABCD是矩形，∴∠BEG＝90°，∠A＝90°，∴∠AEB＋∠DEH＝90°，∠ABE＋∠AEB＝90°，∴∠DEH＝∠ABE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEH；【深入探究】(2)若n＝2，隨著E點(diǎn)位置的變化，H點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)H是線段CD中點(diǎn)時(shí)，求tan∠ABE的值；(2)∵H是線段CD的中點(diǎn)，∴DC＝2DH，∴AB＝2DH.設(shè)DH＝x，AE＝a，則AB＝2x，∴AD＝2AB＝4x，∴DE＝AD－AE＝4x－a，由(1)可知△ABE∽△DEH，∴

＝

，∴

＝

，整理得2x2－4ax＋a2＝0，∴x＝

.當(dāng)x＝

時(shí)，tan∠ABE＝

＝＝

；當(dāng)x＝

時(shí)，tan∠ABE＝

＝

＝

.綜上所述，tan∠ABE的值為或

；【拓展延伸】(3)連接BH，F(xiàn)H，當(dāng)△BFH是以FH為腰的等腰三角形時(shí)，求tan∠ABE的值(用含n的代數(shù)式表示)．(3)如解圖①，當(dāng)HF＝BF時(shí)，由題意知HF＝BF＝nFG.第6題解圖∵四邊形BEGF與四邊形ABCD均是矩形，∴∠ABC＝∠EBF＝∠BFG＝90°，∴∠ABE＝∠CBF＝∠HFG，在Rt△HFG中，HG＝＝FG，∴tan∠ABE＝tan∠HFG＝

＝；第6題解圖如解圖②，當(dāng)HF＝BH時(shí)，由題意知BE＝FG，∠BEH＝∠G＝90°，∵BH＝FH，∴Rt△EBH≌△Rt△GFH(HL)，∴EH＝HG＝

EG＝

nFG，∵四邊形BEGF與四邊形ABCD均是矩形，∴∠ABC＝∠EBF＝∠BFG＝90°，∴∠ABE＝∠CBF＝∠HFG，∴tan∠ABE＝tan∠HFG＝＝

＝

.綜上所述，tan∠ABE的值是或

.第6題解圖

解題關(guān)鍵點(diǎn)分HF＝BF和HF＝BH兩種情況求解．動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題②動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題②7.(2019成都B卷27題10分)如圖①，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝

，點(diǎn)D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合)，以D為頂點(diǎn)作∠ADE＝∠B，射線DE交AC邊于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AD交射線DE于點(diǎn)F，連接CF.(1)求證：△ABD∽△DCE；第7題圖(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE.∴△ABD∽△DCE；(2)當(dāng)DE∥AB時(shí)(如圖②)，求AE的長(zhǎng)；第7題圖(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M.∟M在Rt△ABM中，∵tanB＝

，∴

＝

，∴設(shè)BM＝4k，AM＝3k，由勾股定理得AB2＝AM2＋BM2，即202＝(3k)2＋(4k)2.∴k＝4或k＝－4(舍去)，∴BM＝16.∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝32.∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE.又∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB.∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴

＝

，∴DB＝

＝

＝

.∵DE∥AB，∴＝

，∴AE＝＝

＝

；第7題圖∟M(3)點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得DF＝CF？若存在，求出此時(shí)BD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．第7題圖(3)解：存在．由(2)知AM＝12，BM＝CM＝16.如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，AN⊥FH于點(diǎn)N，則∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°.∟M∟H∟N∴四邊形AMHN為矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∴∠MAD＋∠DAN＝90°.∵AF⊥AD，∴∠NAF＋∠DAN＝90°，∴∠NAF＝∠MAD.∵∠ANF＝∠AMD＝90°，∴△AFN∽△ADM.∴

＝

＝tan∠ADF＝tanB＝

.第7題圖∟M∟H∟N∴AN＝

AM＝

×12＝9.∴CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7.當(dāng)DF＝CF時(shí)，由點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合可知△DFC為等腰三角形．又∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝14.∴BD＝BC－CD＝32－14＝18.∴點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在某個(gè)位置，使得DF＝CF，此時(shí)BD的長(zhǎng)為18.第7題圖∟M∟H∟N

解題關(guān)鍵點(diǎn)過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，AN⊥FH于點(diǎn)N，證△AFN∽△ADM是關(guān)鍵．8.某數(shù)學(xué)興趣小組針對(duì)如下問(wèn)題進(jìn)行探究，在等邊△ABC中，AB＝2，點(diǎn)D在射線BC上運(yùn)動(dòng)，連接AD，以AD為一邊在AD右側(cè)作等邊△ADE.(1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn)B重合)，連接CE.則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是________；直線BA與