橢圓數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

畢業(yè)設(shè)計(jì)專業(yè)：通信工程班級(jí)學(xué)號(hào)：學(xué)生姓名：指導(dǎo)教師：二○一一年六月天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)橢圓數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)DesignofEllipticDigitalFilter2011年6月摘要本論文的主要研究?jī)?nèi)容是數(shù)字濾波器的根本原理及設(shè)計(jì)理論，并探討了橢圓數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)理論中，重點(diǎn)介紹了數(shù)字濾波器間接法設(shè)計(jì)過(guò)程以及典型的三種濾波器設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，分別是巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器和橢圓濾波器。橢圓數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程，需要將給定的數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，并通過(guò)頻率變換轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，構(gòu)建模擬低通濾波器原型，再通過(guò)頻率變換及雙線性變換法或脈沖響應(yīng)不變法得到所希望設(shè)計(jì)的橢圓數(shù)字濾波器。論文的最后局部，運(yùn)用MATLAB仿真軟件對(duì)橢圓數(shù)字濾波器進(jìn)行了仿真。采用間接法得到了橢圓數(shù)字低通濾波器的頻率響應(yīng)特性曲線；采用直接法得到了橢圓數(shù)字帶阻濾波器和橢圓數(shù)字帶通濾波器的頻率響應(yīng)曲線，以及信號(hào)通過(guò)橢圓數(shù)字帶通濾波器后濾除無(wú)用頻率成分的濾波效果示意圖。關(guān)鍵詞：數(shù)字濾波器；橢圓濾波器；MATLABABSTRACTThemaincontentsofthispaperisthebasicprincipleandthedesigntheoryofdigitalfilter,anditalsocontainsthedesignofellipticdigitalfilterprocess.Digitalfilterdesigntheoryfocusesontheindirectmethodofdigitalfilterdesignprocessandthetypicalmathematicalmodelsoffilter,theyarebutterworthfilter,chebyshevfilterandelipticfilter.Designingaellipticdigitalfilter,firstly,changethegivendigitalfilterspecificationsintothesametypeofanalogfilter’sspecifications;secondly,converttolow-passfilterspecifications,thirdly,buildaprototypeanaloglow-passfilter,finally,throughthefrequencytransformationandbilineartransformationmethodorthesameimpulseresponsemethoddesignthedesireddigitalfilter.Inlastofthispaper,IusedMATLABsimulationsoftwaresimulatingtheellipticdigitalfilter.Indirectmethodhadbeenusedinellipticdigitallowpassfilter’sdesignandgotitsfrequencyresponsecurve.Ialsousedthedirectmethoddesignedellipticdigitalbandstopfilterandellipticdigitalbandpassfilter,gottheirfrequencyresponsecurveandtheeffectdiagramofsignalsafterellipticdigitalband-passfilter.KeyWords：Digitalfilter;Ellipticfilter;MATLAB目錄MACROBUTTONInsertCrossReference1緒論11.1濾波器的開展1早期開展階段1逐步開展階段2快速開展階段21.2數(shù)字濾波器概述3數(shù)字濾波器的研究背景與意義3數(shù)字濾波器的應(yīng)用現(xiàn)狀32數(shù)字濾波器根本理論62.1數(shù)字濾波器的根本工作原理62.2數(shù)字濾波器的分類82.3數(shù)字濾波器的特點(diǎn)103數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)113.1數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)113.2模擬濾波器根本原理13模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)13巴特沃斯濾波器13切比雪夫?yàn)V波器16橢圓濾波器18模擬濾波器頻率變換213.3模擬濾波器與數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換關(guān)系23脈沖響應(yīng)不變法23雙線性變換法254橢圓數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)及仿真274.1橢圓數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟274.2橢圓數(shù)字濾波器的MATLAB仿真27重要函數(shù)調(diào)用方式28橢圓數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)仿真實(shí)例30結(jié)論39參考文獻(xiàn)錯(cuò)誤！未定義書簽。致謝錯(cuò)誤！未定義書簽。緒論濾波器的開展隨著計(jì)算機(jī)和信息科學(xué)的極大開展，信號(hào)處理已經(jīng)逐步開展成為一門獨(dú)立的學(xué)科，是信息科學(xué)的重要組成局部，在語(yǔ)音處理、圖像處理、雷達(dá)、航空航天、地質(zhì)勘探、通信、生物醫(yī)學(xué)等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。濾波技術(shù)是信號(hào)分析、處理技術(shù)的重要分支，無(wú)論是信號(hào)的獲取、傳輸，還是信號(hào)的處理和交換都離不開濾波技術(shù)，它對(duì)信號(hào)的平安可靠和有效靈活地傳遞是至關(guān)重要的。利用該技術(shù)可以從接收到的各種信號(hào)中提取所需要的信號(hào)，抑制或消除不必要的干擾信號(hào)。濾波器正是采用濾波技術(shù)的具有一定傳輸選擇性的信號(hào)處理裝置。當(dāng)信號(hào)輸入后，濾波器將使信號(hào)中某些需要的成分得以傳輸至輸出端，而使其中的另一些不需要的成分受到抑制而不被傳輸。因此，濾波器的功能可以理解為對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行某種運(yùn)算、處理并變換為人們所需要的輸出信號(hào)。在現(xiàn)代信號(hào)處理和電子應(yīng)用技術(shù)領(lǐng)域，濾波器作為一種必不可少的組成局部處在一個(gè)十分重要的位置，并且日益顯示其巨大的應(yīng)用價(jià)值。盡管濾波技術(shù)的開展到現(xiàn)在只有九十多年的歷史，但它的發(fā)生與開展已經(jīng)經(jīng)歷了諸多變化，作為一種信號(hào)處理技術(shù)已相當(dāng)完善。早期開展階段1917年美國(guó)和德國(guó)科學(xué)家分別創(chuàng)造了LC濾波器，次年美國(guó)創(chuàng)造了第一個(gè)多路復(fù)用系統(tǒng)，由此翻開了濾波器的開展進(jìn)程。早期的濾波器都是一些具有選擇特性的電路或系統(tǒng)。如串聯(lián)或并聯(lián)諧振回路，串聯(lián)諧振時(shí)，回路中的電流到達(dá)最大值，且與電壓同相；并聯(lián)諧振時(shí)，回路兩端的電壓到達(dá)最大值，且與電壓同相。利用這一特點(diǎn)，可以選出所需要的的特定頻率的信號(hào)。當(dāng)需要選擇的是某個(gè)波長(zhǎng)的播送電臺(tái)信號(hào)時(shí)，由于播送電臺(tái)發(fā)出的信號(hào)不是單一頻率的信號(hào)，而是占據(jù)了一定的頻率范圍，為了清晰地收聽(tīng)電臺(tái)播送，人們希望在這個(gè)頻率范圍內(nèi)的信號(hào)均能等衰減的通過(guò)，而這個(gè)頻率范圍以外的信號(hào)將被完全濾除掉。而前述的串、并聯(lián)諧振回路的通頻帶較窄，衰減特性也不夠陡峭，所以需要尋找新的途徑解決這一問(wèn)題。由此出現(xiàn)了變壓器雙調(diào)諧耦合濾波器，該濾波器的通頻帶接近矩形，因而能夠很好的滿足這種特定要求。逐步開展階段隨著郵電通訊的開展，對(duì)濾波器又提出了進(jìn)一步的要求：希望濾波器的話音衰減最小，相互間的連接阻抗匹配。這一要求導(dǎo)致了多種濾波器的設(shè)計(jì)理論的提出。最先出現(xiàn)的是定K式濾波器，即形網(wǎng)絡(luò)兩個(gè)支路上的阻抗和滿足如下關(guān)系：〔1-1〕并且引出了特性阻抗的概念，同時(shí)指出兩個(gè)或兩個(gè)以上的網(wǎng)絡(luò)相連時(shí)，假設(shè)每個(gè)網(wǎng)絡(luò)連接點(diǎn)左右兩側(cè)的特性阻抗相等，這種連接就成為二端對(duì)網(wǎng)絡(luò)的匹配連接。這種連接方式有著十分簡(jiǎn)明的關(guān)系，合成網(wǎng)絡(luò)兩側(cè)的特性阻抗等于第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的特性阻抗和最后一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的特性阻抗。合成網(wǎng)絡(luò)的固有傳輸常數(shù)等于各分網(wǎng)絡(luò)的固有傳輸常數(shù)之和，這種性質(zhì)使得濾波器的設(shè)計(jì)得以簡(jiǎn)化。然而定K式濾波器也有它的缺乏之處，它在通帶之內(nèi)特性阻抗不太平穩(wěn)，在阻帶之內(nèi)的衰減相當(dāng)緩慢。為改善定K式濾波器的這一缺點(diǎn)，出現(xiàn)了M導(dǎo)出式濾波器。M導(dǎo)出式濾波器的特性阻抗和定K式濾波器的完全相同，然而它在阻帶內(nèi)衰減極快，但同時(shí)它的并聯(lián)諧振點(diǎn)衰減不太理想。設(shè)計(jì)者為了得到更為精密、準(zhǔn)確的結(jié)果，不斷地在濾波器設(shè)計(jì)根底上改良、創(chuàng)新，極大地推動(dòng)了濾波器的開展。在非線性器件產(chǎn)生后，非線性濾波器開展極快。非線性濾波器的輸入與輸出之間不是呈線性關(guān)系，從而使人們從原始選頻模式中跳了出來(lái)，拓寬了濾波器的概念，濾波器也從線性模式拓寬到了非線性模式，擴(kuò)大了其應(yīng)用范圍?？焖匍_展階段20世紀(jì)50年代無(wú)源濾波技術(shù)日趨成熟，自60年代起，由于微電子技術(shù)、信息技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)、集成工藝和材料工業(yè)的開展，濾波器朝著低功耗、高精度、小體積、多功能、高穩(wěn)定性和高性價(jià)比努力。這也成為70年代以后濾波器開展的主攻方向，使得有源RC濾波器、數(shù)字濾波器、開關(guān)電容濾波器和電荷轉(zhuǎn)移濾波器等各種濾波器開展極快。隨著集成電路技術(shù)的進(jìn)一步開展，在70年代后期，將濾波器集成于單一芯片，而目前應(yīng)用普遍的集成濾波器是開關(guān)電容濾波器。80年代，主要致力于各類新型濾波器性能的研究，進(jìn)一步提高濾波器性能的同時(shí)逐漸擴(kuò)大濾波器應(yīng)用范圍。90年代至今，濾波器的開展主要致力于各類濾波器的應(yīng)用，當(dāng)然，濾波器的性能改良是永遠(yuǎn)不會(huì)止步的。我國(guó)在50年代以后開始廣泛使用濾波器，主要用于話路濾波和報(bào)路濾波。經(jīng)過(guò)半個(gè)世紀(jì)的開展，我國(guó)濾波器在研制、生產(chǎn)、應(yīng)用方面已納入國(guó)際開展軌道。數(shù)字濾波器概述數(shù)字濾波器的研究背景與意義當(dāng)今，隨著科技的日新月異，數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)正飛速開展，它的理論與應(yīng)用得到了飛躍式的進(jìn)步，且形成了一門極重要的學(xué)科，并以不同形式影響和滲透到其它學(xué)科。它與國(guó)民經(jīng)濟(jì)息息相關(guān)，與國(guó)防建設(shè)緊密相連，它影響、改變著我們的生產(chǎn)、生活方式。同時(shí)，數(shù)字化、智能化、網(wǎng)絡(luò)化是當(dāng)代信息技術(shù)開展的大趨勢(shì)，且數(shù)字化是智能化和網(wǎng)絡(luò)化的根底，而數(shù)字信號(hào)處理又是數(shù)字化必不可少的一局部，因此數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)受到了人們的普遍關(guān)注。在實(shí)際生活中，我們會(huì)遇到多種多樣的信號(hào)，例如播送信號(hào)、電視信號(hào)、雷達(dá)信號(hào)、通信信號(hào)、導(dǎo)航信號(hào)、天文信號(hào)、生物醫(yī)學(xué)信號(hào)、控制信號(hào)、氣象信號(hào)、地震勘探信號(hào)、機(jī)械振動(dòng)信號(hào)、遙感遙測(cè)信號(hào)等等。上述初始信號(hào)大局部為模擬信號(hào)，模擬信號(hào)是自變量連續(xù)的函數(shù)，它的自變量可以是一維的，也可以是二維或多維的。大多數(shù)情況下一維模擬信號(hào)的自變量是時(shí)間，經(jīng)過(guò)時(shí)間上的離散化〔采樣〕和幅度上的離散化〔量化〕，一維模擬信號(hào)便成為一維數(shù)字信號(hào)。數(shù)字信號(hào)實(shí)際上是用數(shù)字序列表示的信號(hào)，例如，語(yǔ)音信號(hào)經(jīng)采樣和量化后，得到的數(shù)字信號(hào)是一個(gè)一維離散時(shí)間序列；圖像信號(hào)經(jīng)采樣和量化后，得到的數(shù)字信號(hào)是一個(gè)二維離散空間序列。數(shù)字信號(hào)處理，就是用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)數(shù)字序列進(jìn)行各種處理，把信號(hào)變換成符合需要的某種形式。例如，對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行濾波以限制它的頻帶或?yàn)V除噪音和干擾，或?qū)⑺c其它信號(hào)進(jìn)行別離；對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析或功率譜分析以了解信號(hào)的頻譜特性，進(jìn)而對(duì)信號(hào)進(jìn)行識(shí)別；對(duì)信號(hào)進(jìn)行某種變換，使之更適合于傳輸、存儲(chǔ)和應(yīng)用；對(duì)信號(hào)進(jìn)行編碼以到達(dá)數(shù)據(jù)壓縮的目的，等等。濾波器按所處理的信號(hào)類型不同，可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器，其中數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理的主要裝置之一。目前已研制出多種專用數(shù)字信號(hào)處理芯片，可以很方便地實(shí)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字濾波器。因?yàn)閿?shù)字濾波器的數(shù)字運(yùn)算方式，使其相較于模擬濾波器具有高精度、高穩(wěn)定性、可采用超大規(guī)模集成電路、體積小、重量輕、實(shí)現(xiàn)靈活、參數(shù)調(diào)整容易且不要求阻抗匹配等優(yōu)點(diǎn)。如果在數(shù)字濾波系統(tǒng)的前后加上A\D〔模擬-數(shù)字〕和D\A〔數(shù)字-模擬〕轉(zhuǎn)換器，它的作用就等效于模擬濾波器，也可以用來(lái)處理模擬信號(hào)。數(shù)字濾波器的應(yīng)用現(xiàn)狀在近代電信設(shè)備和各類控制系統(tǒng)中，數(shù)字濾波器的應(yīng)用極為廣泛，這里只列舉局部成功的應(yīng)用領(lǐng)域?！?〕語(yǔ)音處理語(yǔ)音處理是最早應(yīng)用數(shù)字濾波器的領(lǐng)域之一，也是最早推動(dòng)數(shù)字信號(hào)處理理論開展的領(lǐng)域之一。該領(lǐng)域主要包括五個(gè)方面的內(nèi)容：第一，語(yǔ)音信號(hào)分析，即對(duì)語(yǔ)音信號(hào)的波形特征、統(tǒng)計(jì)特性、模型參數(shù)等進(jìn)行分析計(jì)算；第二，語(yǔ)音合成，即利用專用數(shù)字硬件或在通用計(jì)算機(jī)上運(yùn)行軟件來(lái)產(chǎn)生語(yǔ)音；第三，語(yǔ)音識(shí)別，即用專用硬件或計(jì)算機(jī)識(shí)別人講的話或識(shí)別講話的人；第四，語(yǔ)音增強(qiáng)，即從噪音或干擾中提取被掩蓋的語(yǔ)音信號(hào)；第五，語(yǔ)音編碼，主要用于語(yǔ)音數(shù)據(jù)壓縮，目前已經(jīng)建立了一系列語(yǔ)音編碼的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，大量用于通信和音頻處理。近年來(lái)，這五個(gè)方面都取得了豐碩的研究成果，并且在市場(chǎng)上出現(xiàn)了一些相關(guān)的軟件和硬件產(chǎn)品。例如，盲人閱讀機(jī)、口授打印機(jī)、語(yǔ)音應(yīng)答機(jī)、各種具有語(yǔ)音功能的儀器和玩具以及通信和視聽(tīng)產(chǎn)品大量使用的音頻壓縮編碼技術(shù)?！?〕圖像處理數(shù)字濾波技術(shù)已經(jīng)成功地應(yīng)用于靜止圖像和活動(dòng)圖像的恢復(fù)和增強(qiáng)、數(shù)據(jù)壓縮、去噪音和干擾、圖像識(shí)別以及層析X射線攝影等方面以及雷達(dá)、聲納、超聲波和紅外信號(hào)的可見(jiàn)圖像成像。〔3〕通信在現(xiàn)代通信技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，幾乎沒(méi)有一個(gè)分支不受到數(shù)字濾波技術(shù)的影響。信源編碼、信道編碼、調(diào)制解調(diào)、多路復(fù)用以及自適應(yīng)信道均衡等，都廣泛采用了數(shù)字濾波器，特別是在數(shù)字通信、網(wǎng)絡(luò)通信、圖像通信、多媒體通信等應(yīng)用中，離開了數(shù)字濾波器幾乎是寸步難行。其中，被認(rèn)為是通信技術(shù)未來(lái)開展方向的無(wú)線電技術(shù)，更是以數(shù)字濾波技術(shù)為根底?！?〕電視數(shù)字電視已經(jīng)開始逐步取代模擬電視，可視和會(huì)議電視產(chǎn)品也不斷更新?lián)Q代。之所以能夠如此迅速的普及、創(chuàng)新，視頻壓縮和音頻壓縮技術(shù)功不可沒(méi)，它所取得的成就促進(jìn)了電視領(lǐng)域產(chǎn)業(yè)的蓬勃開展，而數(shù)字濾波器及其相關(guān)技術(shù)正是視頻壓縮和音頻壓縮的技術(shù)的重要根底?！?〕雷達(dá)雷達(dá)信號(hào)占有的頻帶非常寬，數(shù)據(jù)傳輸速率也很高，因而壓縮數(shù)據(jù)量、降低數(shù)據(jù)傳輸速率是雷達(dá)信號(hào)數(shù)字處理面臨的首要問(wèn)題。高速數(shù)字器件的出現(xiàn)促進(jìn)了雷達(dá)信號(hào)處理技術(shù)的進(jìn)步。在現(xiàn)代雷達(dá)系統(tǒng)中，從信號(hào)的產(chǎn)生、濾波、加工到目標(biāo)參數(shù)的估計(jì)和目標(biāo)成像顯示都離不開數(shù)字濾波技術(shù)。雷達(dá)信號(hào)的數(shù)字濾波器是當(dāng)今十分活潑的研究領(lǐng)域之一?！?〕其它領(lǐng)域除了以各領(lǐng)域應(yīng)用外，數(shù)字濾波器還在其它很多領(lǐng)域內(nèi)扮演著重要角色。例如，在聲納信號(hào)處理中，被應(yīng)用于對(duì)微弱的目標(biāo)回波進(jìn)行檢測(cè)和分析，以到達(dá)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)、定位、跟蹤、導(dǎo)航、成像顯示等目的。在生物醫(yī)學(xué)方面，可以說(shuō)在大局部的現(xiàn)代醫(yī)學(xué)儀器中，都會(huì)出現(xiàn)數(shù)字濾波器的身影，如對(duì)腦電波和心電圖的分析處理、層析X射線攝影的計(jì)算機(jī)輔助分析、胎兒心音的自適應(yīng)檢測(cè)等等。在音樂(lè)方面，對(duì)音樂(lè)信號(hào)進(jìn)行編輯、合成、在音樂(lè)中參加交混回響、特殊效果的制作處理，以及作曲、錄音、播放、恢復(fù)音質(zhì)等方面，數(shù)字濾波器都顯示了強(qiáng)大的威力。同時(shí)，數(shù)字濾波器在軍事上被大量應(yīng)用于導(dǎo)航、制導(dǎo)、電子對(duì)抗、戰(zhàn)場(chǎng)偵察；在電力系統(tǒng)中被應(yīng)用于能源分布規(guī)劃和自動(dòng)檢測(cè)；在環(huán)境保護(hù)中被應(yīng)用于對(duì)空氣污染和噪聲干擾的自動(dòng)檢測(cè)；在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域被應(yīng)用于股票市場(chǎng)預(yù)測(cè)和緊急效益分析等等。在將來(lái)，數(shù)字濾波器的應(yīng)用領(lǐng)域還會(huì)不斷擴(kuò)大，深入我們生活的方方面面。數(shù)字濾波器根本理論所謂數(shù)字濾波是指通過(guò)一種數(shù)值運(yùn)算，改變輸入信號(hào)中所含頻率分量的相比照例，或者濾除某些頻率分量。數(shù)字濾波器的輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，并采用數(shù)值運(yùn)算的方法到達(dá)濾波的目的，它是根據(jù)給定的要求對(duì)信號(hào)頻譜進(jìn)行修改或整形的系統(tǒng)，可以采用軟件方式，通過(guò)編寫算法軟件，利用通用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)濾波；也可以按算法選用硬件組成專用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)濾波。數(shù)字濾波器的根本工作原理數(shù)字濾波器的根本工作原理，就是利用其頻譜特性濾除輸入信號(hào)的無(wú)用頻率分量?！?〕設(shè)輸入信號(hào)中包含有用信號(hào)成分為、無(wú)用信號(hào)成分為，并設(shè)它們的頻譜分別為，，，并設(shè)它們分別占有不同的頻帶，即：〔2-1〕〔2-2〕其中：，；，；，〔為抽樣角頻率〕。且有，如圖2-1〔a〕所示。〔2〕輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)沖激抽樣后的信號(hào)，其頻譜應(yīng)為的頻譜的周期延拓，并與序列的頻譜存在頻率坐標(biāo)的線性映射關(guān)系，即：〔2-3〕式中為抽樣周期，其頻譜圖如圖2-1〔b〕所示?！?〕設(shè)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)在區(qū)間具有理想低通特性為：〔2-4〕其頻響特性如圖2-1〔c〕所示?！?〕經(jīng)過(guò)數(shù)字濾波器后，輸出序列的頻譜根據(jù)離散時(shí)間系統(tǒng)的理論得：〔2-5〕而輸出沖激抽樣信號(hào)的的頻譜與關(guān)系為：〔2-6〕，的頻譜如圖2-1〔d〕?？梢?jiàn)由于數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)特性的選擇作用，已經(jīng)濾除了輸入序列中無(wú)用信號(hào)的頻率成分，只保存了有用信號(hào)的成分。1〔a〕01/T〔b〕01〔c〕01/T〔d〕0T〔e〕01〔f〕0圖2-1數(shù)字濾波器的工作原理〔5〕輸出抽樣信號(hào)經(jīng)過(guò)理想低通模擬濾波器恢復(fù)為連續(xù)信號(hào)的輸出。根據(jù)抽樣定理，理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為：〔2-7〕故的頻譜為：〔2-8〕如圖2-1〔e〕〔f〕所示。因此〔2-9〕上式說(shuō)明輸出信號(hào)即為輸入信號(hào)中有用信號(hào)，已濾除無(wú)用信號(hào)。以上是頻域數(shù)字濾波的根本原理，由于濾波過(guò)程大多數(shù)是盡可能地恢復(fù)被噪聲干擾的消息源，因此，在近代隨機(jī)信號(hào)處理中，將從噪聲中提取信號(hào)的問(wèn)題也稱為濾波問(wèn)題。數(shù)字濾波器的分類〔1〕按照不同的分類方法，數(shù)字濾波器有許多種類，但總結(jié)起來(lái)可以分成兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器的特點(diǎn)是其輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，可以通過(guò)一個(gè)適宜的選頻濾波器濾除干擾，得到純潔信號(hào)，到達(dá)濾波的目的。但是，如果有用信號(hào)和干擾信號(hào)的頻譜互相重疊，那么經(jīng)典濾波器無(wú)法有效地濾除干擾。要想最大限度的恢復(fù)原始信號(hào)，就需要使用現(xiàn)代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等最正確濾波器?，F(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機(jī)信號(hào)的一些統(tǒng)計(jì)特性，在某種最正確準(zhǔn)那么下，最大限度地抑制干擾，同時(shí)最大限度地恢復(fù)信號(hào)，從而到達(dá)最正確濾波的目的?！?〕經(jīng)典數(shù)字濾波器按其頻域特性不同，可以分成低通〔LP〕、高通〔HP〕、帶通〔BP〕、帶阻等濾波器〔BS〕，它們的理想幅頻特性如圖2-2所示。這種理想濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樗鼈兊膯挝幻}沖響應(yīng)均是非因果且無(wú)限長(zhǎng)的，我們只能按照某些準(zhǔn)那么設(shè)計(jì)濾波器，使之在誤差容限內(nèi)逼近理想濾波器，也就是說(shuō)，理想濾波器可以作為濾波器設(shè)計(jì)逼近的標(biāo)準(zhǔn)，也可以作為判斷濾波器性能的標(biāo)準(zhǔn)。另外，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)都是以2為周期的，所以低通濾波器的通頻帶中心位于2的整數(shù)倍處，而高通濾波器的通頻帶中心位于的奇數(shù)倍處，一般在數(shù)字頻率的主值區(qū)描述數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)特性?！?〕數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度分類，可以分為無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)〔IIR〕濾波器和有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)〔FIR〕濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：〔2-10〕〔2-11〕〔2-10〕式中的稱為階IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)；〔2-11〕式中的稱為階FIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。0202〔a〕低通〔b〕高通0202〔c〕帶通〔d〕帶阻圖2-2理想濾波器幅度特性〔4〕按照離散系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)不同，數(shù)字濾波器又可分為遞歸與非遞歸兩種形式。當(dāng)?shù)模瑸橛欣矸质叫问綍r(shí)，從其對(duì)應(yīng)的差分方程來(lái)看，輸出不僅與輸入有關(guān)，而且與輸出的移序值有關(guān)。在這種系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖上存在著反應(yīng)環(huán)路，采用這種結(jié)構(gòu)的數(shù)字濾波器稱為遞歸濾波器。當(dāng)?shù)?，為多?xiàng)式形式，以它對(duì)應(yīng)的差分方程來(lái)看，輸出只與輸入及其移序值有關(guān)，而與輸出的移序值無(wú)關(guān)。這種系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖不存在反應(yīng)環(huán)路，采用這種結(jié)構(gòu)的數(shù)字濾波器稱為非遞歸濾波器。－＋〔a〕遞歸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)〔b〕非遞歸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2-3數(shù)字濾波器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)一般來(lái)說(shuō)，IIR系統(tǒng)由于它的系統(tǒng)函數(shù)為有理分式形式，因此易于用遞歸形式實(shí)現(xiàn)，而FIR系統(tǒng)由于它對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)是多項(xiàng)式形式，所以易于用非遞歸形式實(shí)現(xiàn)。數(shù)字濾波器的特點(diǎn)由于數(shù)字濾波器實(shí)際是采用數(shù)字系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的一種運(yùn)算過(guò)程，因此它具有一般數(shù)字系統(tǒng)的根本特點(diǎn)，與模擬濾波器相比具有一系列優(yōu)點(diǎn)。〔1〕高精度特性在模擬網(wǎng)絡(luò)中，原件精度能到達(dá)以上就很不容易了，而數(shù)字系統(tǒng)假設(shè)為16位字長(zhǎng)就可以到達(dá)精度，因此數(shù)字濾波器可用在精密系統(tǒng)及測(cè)量中。〔2〕系統(tǒng)穩(wěn)定性好模擬系統(tǒng)中各器件參數(shù)均有一定的溫度系數(shù)并隨環(huán)境條件而變，且易受感應(yīng)、雜散效應(yīng)影響。而構(gòu)成數(shù)字濾波器的數(shù)字部件，只在0、1兩種電平狀態(tài)下工作，因此電路受以上環(huán)境因素的影響要小很多?！?〕應(yīng)用靈活性數(shù)字濾波器本質(zhì)上只是一個(gè)序列的運(yùn)算加工過(guò)程，其根本構(gòu)成部件是加法器、乘法器、存放器、及控制器等。只要改變存儲(chǔ)器中的系數(shù)或計(jì)算程序，即可改變系統(tǒng)的特性，因此應(yīng)用非常靈活。而模擬濾波器通常是由R、L、C及有源器件組成，要想改變系統(tǒng)特性，必須改變硬件組成，過(guò)程復(fù)雜。由于這種靈活性，數(shù)字濾波器可以進(jìn)行時(shí)分復(fù)用，即在不同時(shí)刻，使一套設(shè)備具有不同特性，并同時(shí)處理幾路獨(dú)立信號(hào)。在處理器內(nèi)部，一節(jié)低階濾波器屢次循環(huán)復(fù)用，可以等效于一個(gè)高階濾波器，因此節(jié)省硬件，降低本錢。〔4〕處理功能強(qiáng)數(shù)字濾波可以完成某些模擬濾波器很難完成的信號(hào)處理任務(wù)。例如，在某些工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中，干擾信號(hào)頻率很低，需要進(jìn)行頻率低至幾赫茲信號(hào)的濾波，此時(shí)應(yīng)用模擬濾波器就很難實(shí)現(xiàn)，而數(shù)字濾波器卻不感到困難。數(shù)字系統(tǒng)可以具有龐大的存儲(chǔ)單元，做各種復(fù)雜運(yùn)算，因此能夠進(jìn)行許多復(fù)雜的信號(hào)處理。當(dāng)然，數(shù)字濾波器也存在缺乏之處。主要問(wèn)題是處理速度慢，一方面是A/D轉(zhuǎn)換速度還不夠快，另外是數(shù)字系統(tǒng)運(yùn)算需要時(shí)間，因此對(duì)于很高頻率的信號(hào)處理就會(huì)到困難，這也就是所謂的實(shí)時(shí)處理問(wèn)題。隨著大規(guī)模集成電路技術(shù)的不斷開展，各種高速信號(hào)處理器件的不斷出現(xiàn)，數(shù)字濾波器本身存在的問(wèn)題正逐漸被克服。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法主要有直接設(shè)計(jì)法和間接設(shè)計(jì)方法。間接設(shè)計(jì)法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行，其具體設(shè)計(jì)步驟是：將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)出模擬低通濾波器的原型，再通過(guò)頻率變換，將低通的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成所需要的濾波器的傳遞函數(shù)，最后按照一定的變換關(guān)系將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。直接設(shè)計(jì)法是直接在頻域或時(shí)域中設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，由于要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。橢圓數(shù)字濾波器一般采用間接法設(shè)計(jì)，所以本論文重點(diǎn)介紹數(shù)字濾波器的間接設(shè)計(jì)法。數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器?，F(xiàn)假設(shè)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)為，用下式表示：〔3-1〕式中，為幅頻特性函數(shù)；為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號(hào)通過(guò)該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。因此，即使兩個(gè)濾波器的幅頻特性相同，但相頻特性不同，對(duì)相同的輸入，濾波器輸出的信號(hào)波形也是不一樣的。一般選頻濾波器的技術(shù)要求由幅頻特性給出，對(duì)幾種典型濾波器，其相頻特性是確定的，所以在設(shè)計(jì)過(guò)程中，對(duì)相頻特性一般不作要求。但是如果對(duì)輸出波形有要求，那么需要考慮相頻特性的技術(shù)指標(biāo)，例如波形傳輸、圖像信號(hào)處理等，那么需要設(shè)計(jì)線性相位數(shù)字濾波器。圖2-2所示的各種理想濾波器可以作為濾波器設(shè)計(jì)的逼近標(biāo)準(zhǔn)，即在兼顧復(fù)雜性與本錢問(wèn)題的前提下，設(shè)計(jì)因果可實(shí)現(xiàn)的濾波器去近似實(shí)現(xiàn)理想濾波器。因此，在實(shí)際應(yīng)用中濾波器的通帶和阻帶都允許一定誤差容限的存在，即通帶不是完全水平的，阻帶也不是絕對(duì)衰減到零。此外，按照要求，在通帶和阻帶之間還應(yīng)設(shè)置一定寬度的過(guò)渡帶。以低通濾波器為例，如圖3-1所示為低通濾波器的幅頻特性，其中和分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率。其通帶頻率范圍為，且在通帶中要求，阻帶頻率范圍為，在阻帶中要求。從到稱為過(guò)渡帶，過(guò)渡帶上的頻率響應(yīng)一般是單調(diào)下降的。通常，通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用分貝數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用表示。對(duì)低通濾波器，和分別定義為：dB〔3-2〕dB〔3-3〕10.7070圖3-1低通濾波器的幅頻特性指標(biāo)示意圖顯然，越小，通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越?。辉酱?，阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越??；與間距越小，過(guò)渡帶就越窄。所以低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)完全由通帶邊界頻率、通帶最大衰減、阻帶截止頻率和阻帶最小衰減確定。對(duì)于選頻型濾波器一般對(duì)通帶和阻帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線形狀沒(méi)有具體要求，只需要其波紋幅度小于某個(gè)常數(shù)，通常將這種要求稱為“片段常數(shù)特性”。所謂片段，是指“通帶”和“阻帶”，常數(shù)是指“通帶波紋幅度”和“阻帶波紋幅度”，而通帶最大衰減和阻帶最小衰減是與和完全等價(jià)的兩個(gè)常數(shù)。對(duì)圖2-4所示的單調(diào)下降幅頻特性，和分別可以表示為：dB〔3-4〕dB〔3-5〕如果將歸一化為1，〔3-4〕和〔3-5〕式那么表示為dB〔3-6〕dB〔3-7〕當(dāng)幅度下降到時(shí)，標(biāo)記，此時(shí)dB，稱為3dB通帶截止頻率，它可以理解為幅頻下降3dB或者幅值下降到歸一化幅值的0.707倍時(shí)，其對(duì)應(yīng)的頻率。、和統(tǒng)稱為邊界頻率，它們是濾波器設(shè)計(jì)中涉及到的很重要的參數(shù)。模擬濾波器根本原理模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)間接法設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于過(guò)渡模擬濾波器的構(gòu)建。首先需要將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)、、和轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)、、和。模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)與數(shù)字濾波技術(shù)指標(biāo)意義相似：和分別稱為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率，和分別是通帶最大衰減和阻帶最小衰減。對(duì)于模擬濾波器，在給定技術(shù)指標(biāo)的情況下，首要任務(wù)是找出系統(tǒng)函數(shù)使之近似地符合給定的技術(shù)指標(biāo)。對(duì)于典型的可實(shí)現(xiàn)函數(shù)，往往先求對(duì)應(yīng)頻率響應(yīng)的幅度平方函數(shù)，由此尋找。待求的應(yīng)滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性要求，且系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)是的實(shí)函數(shù)，這樣應(yīng)具有共軛對(duì)稱性，即：〔3-8〕由此得：〔3-9〕如果能由、、和求出，那么就可以求出，由此可求出所需要的。必須是因果穩(wěn)定的，因此其極點(diǎn)必須落在s平面的左半平面，相應(yīng)的極點(diǎn)必須落在右半平面。這就是由求所需要的的具體原那么。實(shí)際上，幅度平方函數(shù)就是對(duì)理想幅度平方函數(shù)的近似逼近函數(shù)，解決濾波器系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是要找到這種逼近函數(shù)。選用不同的逼近函數(shù)對(duì)應(yīng)于不同的濾波器實(shí)現(xiàn)方法，目前常用的典型模擬濾波器有巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器和橢圓濾波器等。巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器又稱最平坦響應(yīng)濾波器，它是最根本的逼近函數(shù)之一。它的頻率響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)沒(méi)有波紋，且為頻率的單調(diào)減函數(shù)，在靠近零頻處最平坦?！?〕巴特沃斯濾波器的幅頻特性巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)定義為：〔3-10〕式中，稱為濾波器的階數(shù)，取正整數(shù)。其幅度特性與和的關(guān)系如圖3-2所示，其具有以下特點(diǎn)：圖3-2巴特沃斯濾波器幅頻特性最大平坦性在處，，可以證明：的前階導(dǎo)數(shù)都等于零，這說(shuō)明巴特沃斯濾波器在附近的一段范圍內(nèi)是非常平直的，它以原點(diǎn)的最大平坦性來(lái)逼近理想低通濾波器，最平坦響應(yīng)濾波器亦因此而得名。2〕3dB不變性在處，，即幅頻特性在點(diǎn)下降3dB，隨著階數(shù)N的增加，頻帶下降的邊緣越陡峭，越接近理想特性，但不管N為多少，幅頻特性都要通過(guò)點(diǎn)。通帶、阻帶下降的單調(diào)性由通帶、阻帶上幅頻特性下降的單調(diào)性，可知巴特沃斯濾波器具有較好的相頻特性?！?〕巴特沃斯濾波器系統(tǒng)函數(shù)與極點(diǎn)分布巴特沃斯濾波器幅度平方函數(shù)無(wú)零點(diǎn)分布，其極點(diǎn)個(gè)數(shù)為2N個(gè)，且呈等角度分布在以為半徑的圓周上，稱為巴特沃斯圓。具體分析如下：〔3-11〕為求出的2N個(gè)極點(diǎn)，由，得：〔3-12〕由此得：〔3-13〕所以〔3-14〕當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)〔3-15〕當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)〔3-16〕為的極點(diǎn)，此極點(diǎn)分布有以下特點(diǎn)：1〕的2N個(gè)極點(diǎn)以為間隔均勻分布在半徑的圓周上；2〕所有極點(diǎn)以軸為對(duì)稱軸分布，虛軸上無(wú)極點(diǎn)分布。3〕當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，有兩個(gè)極點(diǎn)分布在的實(shí)軸上；當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上無(wú)極點(diǎn)，所有負(fù)數(shù)極點(diǎn)均以軸呈對(duì)稱分布。圖3-3〔a〕〔b〕分別畫出了和時(shí)的極點(diǎn)分布?！瞐〕〔b〕圖3-3函數(shù)極點(diǎn)分布為了得到穩(wěn)定的，取全部左半平面的極點(diǎn)：〔3-18〕當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，得：〔3-19〕當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，得：〔3-20〕為應(yīng)用方便一般將式〔3-19〕和式〔3-20〕對(duì)進(jìn)行歸一化處理，即將分子、分母各除以，并令，稱為歸一化復(fù)頻率，得：〔N為偶數(shù)〕〔3-21〕〔N為奇數(shù)〕〔3-22〕切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器又分為切比雪夫I型濾波器和切比雪夫II型濾波器。切比雪夫I型濾波器具有在通帶內(nèi)等波紋，在阻帶內(nèi)單調(diào)下降的振幅特性；而切比雪夫II型濾波器恰恰相反，它的振幅特性在通帶內(nèi)單調(diào)下降，在阻帶內(nèi)是等波紋的。它們的過(guò)渡帶較巴特沃斯濾波器陡峭，且在相同技術(shù)指標(biāo)前提下，所需階數(shù)較巴特沃斯濾波器低。本論文以切比雪夫I型濾波器為例，介紹其頻率特性及傳輸函數(shù)?！?〕切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)定義為：〔3-23〕式中，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度，為小于1的正數(shù)；表示通帶截止頻率；為N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為：〔3-24〕圖〔3-4〕是按照式〔3-23〕畫出的切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性曲線。由圖可見(jiàn)，曲線有如下特性：當(dāng)時(shí)，在間等幅波動(dòng)，越小，波動(dòng)幅度越小。當(dāng)時(shí)，假設(shè)N為奇數(shù)，；假設(shè)N為偶數(shù)，。無(wú)論N為何值，當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，曲線呈單調(diào)下降，N越大，特性曲線衰減越快。5〕由于濾波器通帶內(nèi)存在起伏，因而使通帶內(nèi)的相頻特性也有相應(yīng)的起伏波動(dòng)，即相位是非線性的，這給信號(hào)傳輸時(shí)帶來(lái)非線性畸變，所以在有設(shè)計(jì)要求群延時(shí)為常數(shù)時(shí)，不宜采用這種濾波器。圖3-4切比雪夫?yàn)V波器幅頻特性曲線〔2〕切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)和極點(diǎn)分布與巴特沃斯濾波器類似，切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)是根據(jù)切比雪夫幅度平方函數(shù)來(lái)求解，并得到其極點(diǎn)分布。將代入式〔3-23〕，解方程可得到極點(diǎn)分布。設(shè)其系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)為，經(jīng)計(jì)算可用下式給出：，〔3-25〕〔3-26〕〔3-27〕〔3-28〕〔3-29〕由上式可得：〔3-30〕上式是一個(gè)平面上的橢圓方程，它的短軸和長(zhǎng)軸分別位于平面的實(shí)軸和虛軸?？梢?jiàn)，切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)排列在一個(gè)橢圓圓周上。取左半平面的極點(diǎn)作為的極點(diǎn)，可推出表達(dá)式為：〔3-31〕橢圓濾波器〔1〕橢圓濾波器的頻率響應(yīng)和極點(diǎn)分布橢圓濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋幅頻響應(yīng)特性，它的相頻特性在大約半個(gè)通帶范圍上非常接近線性相位。橢圓濾波器作為一種零、極點(diǎn)型濾波器，在有限頻率上既有零點(diǎn)又有極點(diǎn)，極零點(diǎn)在通帶內(nèi)產(chǎn)生等紋波特性。阻帶內(nèi)的有限頻率零點(diǎn)減小了濾波器過(guò)渡帶以獲得極為陡峭的衰減特性曲線。也就是說(shuō)，橢圓濾波器以通帶和阻帶的波紋特性換取了對(duì)理想濾波器幅頻響應(yīng)的最好逼近。同時(shí)由于其阻帶范圍內(nèi)出現(xiàn)了旁瓣，所以橢圓濾波器的阻帶旁瓣大小需要滿足濾波器技術(shù)指標(biāo)對(duì)阻帶最大衰減的要求。dBrad/s圖3-55階巴特沃斯、切比雪夫、橢圓濾波器的比擬圖3-8比擬了有5個(gè)極點(diǎn)的巴特沃斯濾波器、0.1dB切比雪夫?yàn)V波器和0.1dB有兩個(gè)傳輸零點(diǎn)的橢圓濾波器的幅頻特性。顯然，橢圓濾波器的過(guò)渡帶較其它兩種濾波器要窄的多。而在滿足幅頻響應(yīng)指標(biāo)相同的條件下，橢圓濾波器所需的階數(shù)最小，處理速度最快。所以工程實(shí)際中，希望濾波器階數(shù)最低時(shí)，就選擇橢圓濾波器，這使其成為一種性價(jià)比最高的濾波器，應(yīng)用非常廣泛。橢圓濾波器的幅度平方函數(shù)可表示為：〔3-32〕其中是階雅克比橢圓函數(shù)，是通帶內(nèi)幅度波動(dòng)程度，橢圓函數(shù)既有零點(diǎn)又有極點(diǎn)。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可以表示為：〔3-33〕其中，。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可以表示為：〔3-34〕其中，。的零點(diǎn)是；而極點(diǎn)是。的值由橢圓積分給出，其定義是：〔3-35〕的零、極點(diǎn)互為倒數(shù)的關(guān)系使得橢圓濾波器在通帶和阻帶內(nèi)均呈現(xiàn)等波紋特性。圖3-6所示為歸一化的橢圓低通濾波器幅頻響應(yīng)。圖3-6歸一化橢圓低通濾波器幅頻響應(yīng)〔2〕橢圓濾波器的設(shè)計(jì)橢圓濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和階數(shù)是由系統(tǒng)通帶邊界頻率、通帶內(nèi)最大衰減、阻帶截止頻率以及阻帶內(nèi)最小衰減決定的?，F(xiàn)設(shè)為頻率歸一化的基準(zhǔn)頻率，即：〔3-36〕定義頻率的選擇性因數(shù)為：〔3-37〕那么通帶邊界頻率和阻帶截止頻率分別歸一化，得：〔3-38〕〔3-39〕再假設(shè)：〔3-40〕〔3-41〕〔3-42〕〔3-43〕那么得到橢圓濾波器的階數(shù)為：〔3-44〕這時(shí)，根據(jù)橢圓函數(shù)數(shù)值表可以得到相應(yīng)階次濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母系數(shù)。這時(shí)，令歸一化的基準(zhǔn)頻率為，那么得到歸一化后的橢圓濾波器系統(tǒng)函數(shù)為：〔3-45〕式中，，所以，實(shí)際的橢圓低通濾波器就可以通過(guò)去歸一化來(lái)得到：〔3-46〕模擬濾波器頻率變換高通、帶通和帶阻濾波器設(shè)計(jì)的常用方法是借助于對(duì)應(yīng)的低通原型濾波器。首先，通過(guò)頻率變換公式將所需形式的濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通濾波器指標(biāo)；然后，設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)；最后，對(duì)低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行頻率變換，得到所需形式濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。定義為歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)，即是關(guān)于某個(gè)邊界頻率歸一化的低通濾波器。歸一化頻率根據(jù)設(shè)計(jì)需要而定，巴特沃斯濾波器的低通原型是關(guān)于3dB截止頻率歸一化的低通系統(tǒng)函數(shù)，切比雪夫?yàn)V波器和橢圓濾波器的低通原型是關(guān)于通帶邊界頻率歸一化的低通系統(tǒng)函數(shù)。定義為的歸一化復(fù)變量，為歸一化頻率，其通帶邊界頻率記為?！?〕低通到高通的頻率變換從低通到高通濾波器的映射關(guān)系為：〔3-47〕在頻率軸上該映射關(guān)系為：〔3-48〕式中，為希望設(shè)計(jì)的高通濾波器的通帶邊界頻率。頻率變換公式〔3-48〕意味著將低通濾波器的通帶映射為高通濾波器的通帶，而將低通濾波器的通帶映射為高通濾波器的通帶。同樣，將低通濾波器的阻帶映射為高通濾波器的阻帶，而將低通濾波器的阻帶映射為高通濾波器的阻帶。映射關(guān)系式〔3-48〕確保低通濾波器在通帶上的幅度值出現(xiàn)在高通濾波器的通帶上。同樣，低通濾波器在阻帶上的幅值出現(xiàn)在高通濾波器的阻帶上。最后，只要將通帶邊界頻率為的低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成通帶邊界頻率為的高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)即可：〔3-49〕〔2〕低通到帶通的頻率變化從低通到高通濾波器的映射關(guān)系為：〔3-50〕在頻率軸上該映射關(guān)系為：〔3-51〕式中，，用來(lái)表示帶通濾波器的通帶寬度，和分別為帶通濾波器的通帶下截止頻率和通帶上截止頻率；表示帶通濾波器的中心頻率。根據(jù)式〔3-51〕的映射關(guān)系，頻率映射為，頻率映射為頻率和，頻率映射為頻率和。也就是說(shuō)，將低通濾波器的通帶映射為帶通濾波器的通帶和。同樣，映射為頻率和，頻率映射為頻率和。最后，將轉(zhuǎn)換為帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即：〔3-52〕可以證明：〔3-53〕所以，帶通濾波器的通帶頻率是關(guān)于幾何對(duì)稱的。如果原指標(biāo)給定的邊界頻率不能滿足式〔3-53〕，就要改變其中一個(gè)邊界頻率，但要保證改變后的指標(biāo)高于原始指標(biāo)，具體計(jì)算公式為：或〔3-54〕如果，那么減小〔或增大〕；反之，如果，那么減小〔或增大〕?！?〕低通到帶阻的頻率變換低通到帶阻的頻率映射關(guān)系為：〔3-55〕在頻率軸上該映射關(guān)系為：〔3-56〕式中，，用來(lái)表示帶阻濾波器的阻帶寬度，和分別為帶阻濾波器的阻帶下截止頻率和阻帶上截止頻率；表示帶阻濾波器的中心頻率。由式〔3-56〕可知，是的二次函數(shù)，從低通濾波器頻率到帶阻濾波器頻率為雙值映射。最后，將阻帶邊界頻率為的低通原型濾波器轉(zhuǎn)換為所希望設(shè)計(jì)的帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)，即：〔3-57〕模擬濾波器與數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換關(guān)系間接法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，首先需要將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)過(guò)渡模擬濾波器后，再將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)按照一定變換關(guān)系轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。二者的轉(zhuǎn)換，實(shí)質(zhì)上是域與域之間的映射轉(zhuǎn)換，為使數(shù)字濾波器保持模擬濾波器的特性，這種映射關(guān)系應(yīng)滿足以下條件：〔1〕為使模擬濾波器的頻率特性和數(shù)字濾波器的頻率特性有相互對(duì)應(yīng)關(guān)系，要求平面的虛軸映射為平面的單位圓，使得相應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系?！?〕域左半平面映射到平面的單位圓內(nèi)部，也就是穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)映射后仍然是穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。將系統(tǒng)函數(shù)從平面轉(zhuǎn)換到平面的方法有很多種，常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙向性變換法。脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法是把模擬濾波器的沖激響應(yīng)進(jìn)行等間隔抽樣，其抽樣值作為數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)，即：〔3-58〕式中，為抽樣間隔。對(duì)取變換即可求得作為該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。下面設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)僅具有單極點(diǎn)，以此為例簡(jiǎn)要分析脈沖響應(yīng)不變法的原理。其表達(dá)式為：〔3-59〕〔3-60〕對(duì)式〔3-59〕取反變換，得：〔3-61〕按式〔3-58〕對(duì)抽樣并取變換，得：〔3-62〕〔3-63〕比照式〔3-59〕和式〔3-63〕可見(jiàn)，脈沖響應(yīng)不變法的原理就是把局部分式展開式中的代之以，即得。此結(jié)果說(shuō)明，平面極點(diǎn)映射到平面，是位于處的極點(diǎn)，假設(shè)在平面的左半平面，那么必位于平面的單位圓內(nèi)，從而保證了數(shù)字濾波器的穩(wěn)定性。與的映射關(guān)系為：〔3-64〕上式說(shuō)明，平面與平面的映射呈多值多元關(guān)系。假設(shè)，，那么，。多值映射關(guān)系也可以從下式看出：〔3-65〕當(dāng)不變，以整數(shù)倍改變時(shí)，映射值不變，也就是將平面沿著軸分割成一條條寬為的水平帶，每條水平帶都按前面分析的關(guān)系映射成整個(gè)平面。平面與平面間映射的多值性是脈沖響應(yīng)不變法的一個(gè)缺點(diǎn)，同時(shí)如果原的頻帶不是限于之間，那么會(huì)在奇數(shù)倍的附近產(chǎn)生頻譜混疊，對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率在附近產(chǎn)生頻譜混疊。脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊現(xiàn)象如圖3-7所示。圖3-7脈沖響應(yīng)不變法的混疊現(xiàn)象示意圖綜上所述，對(duì)于脈沖響應(yīng)不變法，它可以把穩(wěn)定的模擬濾波器變換成穩(wěn)定的數(shù)字濾波器，變換時(shí)頻率呈線性關(guān)系。混疊現(xiàn)象不嚴(yán)重時(shí)，轉(zhuǎn)換后的數(shù)字濾波器頻率特性形狀與模擬濾波器根本相同，在時(shí)域上兩者的沖激響應(yīng)形狀一致。但是由于混疊現(xiàn)象的存在，使得設(shè)計(jì)出的數(shù)字濾波器在附近的頻率響應(yīng)特性不同程度地偏離模擬濾波器在附近的頻率特性，嚴(yán)重會(huì)是使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術(shù)指標(biāo)。因此，脈沖響應(yīng)不變法只適用于低通濾波器和帶限的高通、帶通、帶阻濾波器，在不帶限情況下，需要在高通、帶通、帶阻濾波器前參加保護(hù)濾波器，濾除高于折疊頻率的頻帶，但是這樣會(huì)增加系統(tǒng)的本錢和復(fù)雜度。另一種常用的變換方法——雙線性變換法，能夠有效地解決脈沖響應(yīng)不變法帶來(lái)的頻譜混疊問(wèn)題。雙線性變換法雙線性變換是采用非線性頻率壓縮的方法，將整個(gè)模擬頻率軸壓縮到之間，再用轉(zhuǎn)換到平面上。設(shè)，經(jīng)過(guò)非線性頻率壓縮后用，表示，用正切變換來(lái)實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：〔3-66〕式中，為采樣間隔。當(dāng)從經(jīng)過(guò)變化到時(shí)，那么由經(jīng)過(guò)變化到，實(shí)現(xiàn)了平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到平面上虛軸的之間的轉(zhuǎn)換。由式〔3-66〕有：〔3-67〕代入，得到：〔3-68〕再通過(guò)從平面轉(zhuǎn)換到平面上，得到：〔3-69〕〔3-70〕式〔3-69〕和式〔3-70〕都成為雙線性變換。雙線性變換過(guò)程就是從平面映射到平面，再?gòu)钠矫嬗成涞狡矫?。由于從平面映射到平面的非線性頻率壓縮，使得帶限于，因此再用脈沖響應(yīng)不變法從平面轉(zhuǎn)換到平面就不會(huì)出現(xiàn)頻譜混疊現(xiàn)象，這是雙線性變換法最大的優(yōu)點(diǎn)。從平面轉(zhuǎn)換到平面時(shí)采用轉(zhuǎn)換關(guān)系，平面的之間水平帶的左半局部映射到平面的單位圓內(nèi)部，虛軸映射為單位圓，因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換成的也是因果穩(wěn)定的。令，，代入式〔3-76〕，得到模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系：〔3-71〕〔3-72〕上式中平面上的與平面的成非線性正切關(guān)系，如圖3-8所示。附近接近線性關(guān)系；當(dāng)增加時(shí)，增加得越來(lái)越快；趨近于時(shí)，趨近于。正是這種非線性關(guān)系，消除了頻譜混疊問(wèn)題。圖3-8雙線性變換的頻率關(guān)系但是，與之間的非線性關(guān)系也是雙線性變換法的缺點(diǎn)，使數(shù)字濾波器頻響曲線不能保真地模仿模擬濾波器的頻響曲線形狀。這種非線性影響的實(shí)質(zhì)問(wèn)題是：如果的刻度是均勻的，那么其映像的刻度不是均勻的，而是隨著的增加越來(lái)越密集。雙線性變換頻率軸的非線性畸變問(wèn)題，對(duì)于常用的大量具有片段常數(shù)頻響特性的濾波器來(lái)說(shuō)，問(wèn)題并不嚴(yán)重。對(duì)于一般的低通、高通等濾波器，它們?cè)谕◣?nèi)要求逼近一個(gè)衰減為零的常數(shù)，在阻帶內(nèi)要求逼近一個(gè)衰減為的常數(shù)，這種特性的濾波器，通過(guò)雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但結(jié)果仍然具有原片段常數(shù)特性，只是通帶截止頻率、阻帶起始頻率發(fā)生了非線性變化。這個(gè)問(wèn)題的解決可以通過(guò)“預(yù)畸變校正”來(lái)實(shí)現(xiàn)，即在由數(shù)字濾波器的臨界頻率求原型模擬濾波器的臨界頻率時(shí)，不是按照線性關(guān)系來(lái)求得，而是根據(jù)式〔3-72〕這個(gè)非線性關(guān)系求得。這就保證了通過(guò)雙線性變換后，所設(shè)計(jì)的模擬截止頻率正好映射在所要求的數(shù)字截止頻率上。橢圓數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)及仿真橢圓數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟采用間接法設(shè)計(jì)橢圓數(shù)字濾波器的一般步驟，總結(jié)如下：〔1〕確定所需類型橢圓數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)〔以低通為例〕：通帶邊界頻率、通帶最大衰減和阻帶截止頻率、阻帶最小衰減和采樣間隔?！?〕將所需類型橢圓數(shù)字濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換為相應(yīng)類型的模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，可采用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法。采用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)，轉(zhuǎn)換關(guān)系為：〔4-1〕采用雙線性變換法時(shí)，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：〔4-2〕當(dāng)采用雙線性變換法時(shí)，采樣間隔為任意值；采用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)，為使頻譜混疊足夠小，采樣間隔需滿足。〔3〕將相應(yīng)類型的橢圓模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成橢圓模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)?！?〕設(shè)計(jì)橢圓模擬低通濾波器?！?〕通過(guò)頻率變換將橢圓模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為相應(yīng)類型的橢圓模擬濾波器。〔6〕采用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法，將相應(yīng)類型的橢圓模擬濾波器轉(zhuǎn)換成橢圓數(shù)字濾波器。橢圓數(shù)字濾波器的MATLAB仿真MATLAB仿真軟件是一套集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算及圖形處理等強(qiáng)大功能于一體的科學(xué)計(jì)算語(yǔ)言。它的應(yīng)用范圍涵蓋了電子、半導(dǎo)體制造、醫(yī)學(xué)研究、航空航天、汽車制造、分子模型、影視、建筑等行業(yè)。MATLAB擁有友好的工作平臺(tái)和編程環(huán)境，簡(jiǎn)單易用的程序語(yǔ)言，強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算及數(shù)據(jù)處理能力，出色的圖形處理功能，應(yīng)用廣泛的模塊集和工作箱，實(shí)用的程序接口和發(fā)布平臺(tái)，模塊化的設(shè)計(jì)和系統(tǒng)級(jí)的仿真。隨著MATLAB的信號(hào)處理工具箱的推出，現(xiàn)如今它已成為數(shù)字信號(hào)處理應(yīng)用中分析和仿真設(shè)計(jì)的主要工具。MATLAB的信號(hào)處理工具箱提供了各種數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)函數(shù)，其中橢圓數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)函數(shù)有：ellipap、ellipord和ellip。通過(guò)編程可以很容易由濾波器的技術(shù)指標(biāo)得到所需濾波器的階數(shù)，實(shí)現(xiàn)各種類型的橢圓數(shù)字濾波器，大大簡(jiǎn)化了橢圓數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。下面，將按順序介紹在本論文中橢圓數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)涉及到的重要函數(shù)調(diào)用方式以及橢圓數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)仿真實(shí)例。重要函數(shù)調(diào)用方式〔1〕橢圓濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)1〕Ellipap函數(shù)：設(shè)計(jì)歸一化橢圓模擬低通濾波器。其調(diào)用方式為：[z,p,k]=ellipap(N,rp,rs)：用于計(jì)算N階歸一化模擬低通橢圓濾波器的零點(diǎn)向量z、極點(diǎn)向量p和增益因子k。輸入?yún)?shù)N為濾波器的階數(shù)；輸入?yún)?shù)rp為濾波器在通帶內(nèi)的最大衰減值；輸入?yún)?shù)rs為濾波器在組帶內(nèi)的最小衰減值。返回長(zhǎng)度為N的列向量z和p分別給出N個(gè)零點(diǎn)和N個(gè)極點(diǎn)。2〕Ellipord函數(shù)：計(jì)算橢圓濾波器的最低階數(shù)N和通帶邊界頻率。其調(diào)用方式為：[n,wpo]=ellipord(wp,ws,rp,rs)：用于計(jì)算滿足指標(biāo)的橢圓數(shù)字濾波器的最低階數(shù)N和通帶邊界頻率wpo。參數(shù)wp為通帶邊界頻率，ws為阻帶截止頻率，rp為通帶最大衰減，rs為阻帶最小衰減。[n,wpo]=ellipord(wp,ws,rp,rs,’s’)：用于計(jì)算滿足指標(biāo)的橢圓\模擬濾波器的最低階數(shù)N和通帶邊界頻率wpo。3〕Ellip函數(shù)：直接調(diào)用設(shè)計(jì)橢圓濾波器。其調(diào)用方式為：[b,a]=ellip(n,rp,rs,wn)：用來(lái)返回或設(shè)計(jì)的截止頻率為wn〔wn必須為整數(shù)〕的N階橢圓濾波器的分子系數(shù)向量b和分母系數(shù)向量a〔按照降冪排列〕。輸入?yún)?shù)rp用來(lái)指定通帶內(nèi)波紋的最大衰減；輸入?yún)?shù)rs用來(lái)指定阻帶內(nèi)波紋的最小衰減；wn的取值范圍為〔0.0，1.0〕，其中1對(duì)應(yīng)于0.5fs，fs為采樣頻率。在這里，如果wn是一個(gè)二元向量，即wn=[w1,w2]，那么此函數(shù)返回的是一個(gè)2N階的帶通橢圓濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，其通帶是。[b,a]=ellip(n,rp,rs,wn,’high’)：設(shè)計(jì)橢圓高通濾波器。[b,a]=ellip(n,rp,rs,wn,’stop’)：設(shè)計(jì)帶阻濾波器，此時(shí)wn=[w1,w2]。上面三種情況返回的向量b和a的維數(shù)都是〔N+1〕，而不是N。[z,p,k]=ellip(…)：當(dāng)函數(shù)有三個(gè)輸出變量時(shí)，得到的是橢圓濾波器的零極點(diǎn)增益模型。[a,b,c,d]=ellip(…)：當(dāng)函數(shù)有四個(gè)輸出變量時(shí)，得到的是橢圓濾波器的狀態(tài)方程。ellip(n,rp,rs,wn,’s’)、ellip(n,rp,rs,wn,’high’,’s’)、ellip(n,rp,rs,wn,’stop’,’s’)：用參數(shù)s來(lái)指定設(shè)計(jì)的是模擬橢圓濾波器，此時(shí)，wn的單位是rad/s，可以大于1。〔2〕頻率變換函數(shù)1〕Lp2hp函數(shù)：模擬低通濾波器到模擬高通濾波器。其調(diào)用方式為：[numt,dent]=lp2hp(num,den,wo)：將用傳遞函數(shù)表示的、截止頻率為1rad/s的模擬低通濾波器變換為截止頻率為wo的模擬高通濾波器。[at,bt,ct,dt]=lp2hp(a,b,c,d,wo)：將用狀態(tài)方程表示的、截止頻率為1rad/s的模擬低通濾波器變換為截止頻率為wo的模擬高通濾波器。2〕Lp2bp函數(shù)：模擬低通濾波器到模擬帶通濾波器。其調(diào)用方式為：[numt,dent]=lp2bp(num,den,wo,bw)：將用傳遞函數(shù)表示的、截止頻率為1rad/s的模擬低通濾波器變換為中心頻率為wo、帶寬為bw的模擬帶通濾波器。[at,bt,ct,dt]=lp2hp(a,b,c,d,wo,bw)：將用狀態(tài)方程表示的、截止頻率為1rad/s的模擬低通濾波器變換為中心頻率為wo、帶寬為bw的模擬帶通濾波器。3〕Lp2bs函數(shù)：模擬低通濾波器到模擬帶阻濾波器。其調(diào)用方式為：[numt,dent]=lp2bs(num,den,wo,bw)：將用傳遞函數(shù)表示的、截止頻率為1rad/s的模擬低通濾波器變換為中心頻率為wo、帶寬為bw的模擬帶阻濾波器。[at,bt,ct,dt]=lp2bs(a,b,c,d,wo,bw)：將用狀態(tài)方程表示的、截止頻率為1rad/s的模擬低通濾波器變換為中心頻率為wo、帶寬為bw的模擬帶阻濾波器。〔3〕模擬濾波器與數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換函數(shù)1〕Impinvar函數(shù)：模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)不變法。其調(diào)用方式：[bz,az]=impinvar(b,a,fs)：將模擬濾波器的〔b,a〕換成數(shù)字濾波器的〔bz,az〕，輸入?yún)?shù)fs是對(duì)模擬濾波器頻率響應(yīng)的采樣，其默認(rèn)值為1。[bz,az]=impinvar(b,a,fs,tol)：輸入?yún)?shù)tol表示區(qū)分多重極點(diǎn)的程度，其默認(rèn)值為1%。2〕Bilinear函數(shù)：模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的雙線性變換法。其調(diào)用方式為：[zd,pd,kd]=bilinear(z,p,k,fs)：將采用零極點(diǎn)模型表達(dá)的模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。列向量z為零點(diǎn)向量，列向量p為極點(diǎn)向量，k是系統(tǒng)增益，fs是指定的采樣頻率，其單位為Hz。[numd,dend]=bilinear(num,den,fs)：將采用傳遞函數(shù)模型表達(dá)的模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。[ad,bd,cd,dd]=bilinear(a,b,c,d,f)：將采用狀態(tài)空間模型表達(dá)的模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。橢圓數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)仿真實(shí)例〔1〕橢圓數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)仿真1〕設(shè)計(jì)說(shuō)明：運(yùn)用雙線性變換法設(shè)計(jì)橢圓數(shù)字低通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：通帶邊界頻率，通帶最大衰減，阻帶截止頻率，阻帶最小衰減。畫出該濾波器幅頻、相頻曲線及零極點(diǎn)分布。2〕程序代碼：clc;clearall;Rs=20;Rp=1;Wpl=0.2*pi;Wsl=0.3*pi;OmegaPl=tan(Wpl/2);OmegaSl=tan(Wsl/2);Eta_P=OmegaPl/OmegaPl;Eta_S=OmegaSl/OmegaPl;[N,Wn]=ellipord(Eta_P,Eta_S,Rp,Rs,'s');[numl,denl]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,'s');[num,den]=bilinear(numl,denl,0.5);subplot(2,2,3);zplane(num,den);w=0:pi/256:pi;h=freqz(num,den,w);g=abs(h);g1=angle(h);subplot(2,2,1);plot(w/pi,g);gridaxis([0102]);xlabel('\omega^pi');ylabel('magnitude');title('themagnitudeofthefilter');subplot(2,2,2);plot(w/pi,g);gridon;axis([01-55]);xlabel('\omega^pi');ylabel('Phase');title('Thephaseofthefilter');3〕運(yùn)行結(jié)果：橢圓數(shù)字低通濾波器階數(shù)：N=3；橢圓數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù)：num=[0.254460.43220.43220.25446]den=[1-0.189030.71974-0.15739]橢圓數(shù)字低通濾波器頻率響應(yīng)特性及零極點(diǎn)分布如圖4-1所示。圖4-1橢圓數(shù)字低通濾波器仿真結(jié)果示意圖4〕結(jié)果分析：由圖4-1可以清晰地看到，橢圓數(shù)字低通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線在通帶和阻帶上都存在等波紋，其過(guò)渡帶較窄，相頻響應(yīng)在大約半個(gè)通帶范圍內(nèi)非常接近線性相位。它是一種零、極點(diǎn)型濾波器，在有限頻率上既有零點(diǎn)又有極點(diǎn)。〔2〕橢圓數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)仿真1〕設(shè)計(jì)說(shuō)明：直接調(diào)用函數(shù)設(shè)計(jì)橢圓數(shù)字帶阻濾波器，要求濾除2200~2500Hz頻段的頻率成分，阻帶衰減大于40dB，保存0~1500Hz和2800Hz以上的頻率成分，通帶幅度失真小于1dB，畫出橢圓數(shù)字帶阻濾波器頻率響應(yīng)曲線。2〕程序代碼：fsl=2200;fsu=2500;fpl=1500;fpu=2800;Fs=8000;ws=[2*fsl/Fs,2*fsu/Fs];wp=[2*fpl/Fs,2*fpu/Fs];Rp=1;Rs=40;[N,wpo]=ellipord(wp,ws,Rp,Rs);[b,a]=ellip(N,Rp,Rs,wpo,'stop');freqz(b,a);3〕仿真結(jié)果：圖4-2橢圓數(shù)字帶阻濾波器頻率響應(yīng)特性4〕結(jié)果分析：由得到的仿真結(jié)果幅頻響應(yīng)曲線可以看到，該帶阻橢圓數(shù)字濾波器可以實(shí)現(xiàn)技術(shù)指標(biāo)所要求濾波效果。通帶范圍0~1500Hz和2800Hz以上的頻率成分，經(jīng)過(guò)對(duì)取歸一化后，得到0~0.375和0.7以上保存頻率范圍，2200~2500Hz對(duì)應(yīng)的歸一化濾除頻率范圍是0.55~0.625，幅頻響應(yīng)曲線顯示濾波器幅頻特性完全符合設(shè)計(jì)要求。但是相頻特性曲線的線性較差，有待進(jìn)一步改善。〔3〕橢圓數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)仿真1〕設(shè)計(jì)說(shuō)明：輸入信號(hào)，設(shè)計(jì)橢圓數(shù)字帶通濾波器,使輸入信號(hào)通過(guò)橢圓數(shù)字濾波器后僅保存220Hz頻率成分，畫出橢圓數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)曲線，以及輸入信號(hào)、輸出信號(hào)波形及頻譜圖。2〕程序代碼：Fs=2000;Nn=200;t=(1:Nn)/Fs;w1=2*pi*100;w2=2*pi*220;w3=2*pi*400;y=sin(w1*t)+2*sin(w2*t)+5*sin(w3*t);figure(1);subplot(2,