高中數(shù)學(xué)選修第一冊：章節(jié)綜合訓(xùn)練第三課時(shí)

單元質(zhì)量評估

(120分鐘150分)

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.已知向量a=(l,i2),b=(2,-1,k),且a與b互相垂直,則k的值是()

A.-1B.-C.1D.--

44.

2.若a,b,c是空間任意三個(gè)向量，入￡R，下列關(guān)系中，不成立的是()

A.a+b=b+aB.人(a+b)=入a+入b

C.(a+b)+c=a+(b+c)D.b=入a

3如圖，空間四邊形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，則京+三麗等于

22

A.ADB.FAC.AFD.EF

4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),^JAABC的形狀是()

A.不等邊銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

5.已知平面&的一個(gè)法向量為111=(-1,-2,-1),平面8的一個(gè)法向量112=(2,4,2),

則不重合的平面a與平面B(

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.不確定

6.若a=ei+e2+e3,b=ei+e2e3,c=ei-e2+e3,d=ei+2e2+3e3,d=aa+8b+yc,貝!Ja,B,Y

分別為（）

A.T,--B.1,-

2222

C.1,--D.1,--

2222

7.(2013?吉安高二檢測)已知直線/i的方向向量a=(2,4,x),直線人的方向向量

b=(2,y,2),若a|=6,且a，b,則x+y的值是()

A.1或-3B.-1或3

C.-3D.1

8.已知2),B(2,3,-l),C(-l,0,0),則4ABC的面積是()

A.V70B.V35C.—D.—

22

9.下列命題正確的是()

A.若國，(￡\+:ok則P,A,B三點(diǎn)共線

23

B.若｛a,b,c｝是空間的一個(gè)基底,則｛a+b,b+c,a+c｝構(gòu)成空間的另一個(gè)基底

C.(a,b)?c=|a,|b?c

D.AABC為直角三角形的充要條件是京-AC=0

10.如圖所示，四邊形ABCD為矩形,AB=3,BC=1,EF〃BC且AE=2EB,G為BC的中點(diǎn),K

為4ADF的夕卜心.沿EF將矩形折成一個(gè)120°的二面角A-EF-B,則此時(shí)KG的長是

A.1B.3C.—D.V3

2

11.如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中,E,F

分別為棱AAi,BBi的中點(diǎn),G為棱AB上的一點(diǎn),且AG=入

（0＜入W1）,則點(diǎn)G到平面DEF的距離為（）

A.V3B.-C.-D.-

235

12.如圖，在長方體ABCD-ABCD中,AB=BC=2,AAH,則BG與平面BBDD所成角的

正弦值為（

A.造

3

二、填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分.請把正確答案填在題中橫線

上）

13.已知向量a=（入+1,0,2人），b=（6,2口-1,2）,若a//b,則人與□的值分別

是、.

14.若A（0,2,與，B（1,-1；）,C（-2,1,-）是平面a內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面a的法向量為

888

n=（x,y,z）,貝ljx：y：z=.

15.平面a,B,Y兩兩相互垂直，且它們相交于一點(diǎn)O,P點(diǎn)到三個(gè)面的距離分別

是1cm,2cm,3cm,貝ljPO的長為cm.

16.如圖，平面PAD,平面ABCD,四邊形ABCD為正方形，Z

PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分別是線段PA,CD的中點(diǎn),則異面

直線EF與BD所成角的余弦值為.

三、解答題（本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的

文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）已知空間三點(diǎn)A（0,2,3）,B（-2,1,6）,

C（l,-1,5）,

⑴求以向量京,辰為一組鄰邊的平行四邊形的面積S.

⑵若向量a分別與向量京,后垂直,且Ia|求向量a的坐標(biāo).

18.（12分）如圖所示,在直三棱柱ABC-ABG中，底面是等腰直角三角形，ZACB=

90°,側(cè)棱AAN,CA=2,D是CG的中點(diǎn),試問在線段A】B上是否存在一點(diǎn)E（不與端

點(diǎn)重合）使得點(diǎn)4到平面AED的距離為孚？

19.（12分）在長方體ABCD—AiBCDi中,AAFAD=1,E為CD的中點(diǎn).

⑴求證:BiE_LADi.

（2）在棱AAi上是否存在一點(diǎn)P,使得DP〃平面BAE?若存在,求AP的長;若不存在,

說明理由.

20.（12分）如圖所示，在棱長為1的正方體

ABCD-A'B'C'D'中,E,F分別是D'D,DB的中點(diǎn),G在棱

CD上,CG』CD,H為C'G的中點(diǎn).

4.

⑴求證：EFJ_B'C.

(2)求EF,C，G所成角的余弦值.

(3)求FH的長.

21.(12分)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB

BC,AB=BC—PA.點(diǎn)0,D分別是AC,PC的中點(diǎn),(^_1_底面

ABC.

(1)求證:0D〃平面PAB.

⑵求直線0D與平面PBC所成角的正弦值.

22.(12分)(能力挑戰(zhàn)題)已知四棱錐P-ABCD中,PAL

平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面為直角梯形，ZCDA=

ZBAD=90°,AB=2,CD=1,AD=、2M,N分別是PD,PB

的中點(diǎn).

⑴求證:MQ〃平面PCB.

(2)求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小.

⑶求點(diǎn)A到平面MCN的距離.

答案解析

1.【解析】選D.a?b=2--+2k=0,.-.k=--.

24.

2.【解析】選D.由向量的運(yùn)算律知,A,B,C均正確，對于D,當(dāng)a=0,bH0時(shí)，不成

3.【解析】itC.AB+-BC+-BD=AB+BE+EF=AF.

22

4.【解析】選A.晶二(3,4,2),R=(5,1,3),

BC=(2,-3,1).由AB?AOO,得A為銳角；

由CA?CB>0,得C為銳角；

由昌?品>0,得B為銳角，且|R|H

所以AABC為不等邊銳角三角形.

5.【解析】選A.*.*n2=-2ni,.*.n2/7ni,故a〃B.

6.［解析］選A.由d=aa+Bb+Yc

_

-a(ei+e2+e3)+3(ei+e2e3)+Y(ei-e2+e3)

(a+P+y=1,

+-+-+

=(a+3Y)ei+(a+3Y)e2(a3Y)e3-ei+2e2+3e3.?e?Aa+p—y=2,解得

(a-p+Y=3,

a=~,B=7,Y=---

22

7.【解析】選A.根據(jù)|a|=6,可得x=±4,當(dāng)x=4時(shí)，y=-3,當(dāng)x=-4時(shí)，y=1,所以x+y=1

或-3.

8.【解析】選C.易知矗二(1,4,-3),/=(-2,1,-2),.,.向二俄|辰|=3,

cos<AB,AC>=^—Z.sin<AB,AC>=11-(^)2=匡,

V26X32Q7'39/7117

.,.SAABC~|AB|?|AC|sin<AB,AC>=—.

9.【解析】選B.P,A,B三點(diǎn)共面不一定共線，故A錯(cuò)誤；由數(shù)量積公式知C錯(cuò)誤;

△ABC為直角三角形時(shí)可能京?辰=0,也可能AB?BC=0,或辰?BC=0,故D錯(cuò)誤.

10.【解析】選D.由題意知K為AF的中點(diǎn)，取EF的中點(diǎn)H,連接KH,GH易證明

NKHG即為二面角A-EF-B的平面角，在△KHG中，由KH=HG=1,ZKHG=120°,可解

得KG=V3.

11.［解題指南］可以根據(jù)幾何的有關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A,到直線6E的距離，利用三

角形的面積可求；或建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量來求.

【解析】選D.方法一：?「AB〃EF,G在AB上，

AG到平面6EF的距離即為A,到平面》EF的距離，也就是A至|D,E的距離.

2

由三角形面積可得h=^=—.

*5

2

方法二：以11,疝,瓦1的方向作為x軸，V軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則E(0,0」)，F(xiàn)(1,0「)，匕(0,1,1),G(入，0,1),

.??4=(1,0,0),E*(0,1,5,G3F(-入,1,0),

(n,EF=j-=O,rY_n

設(shè)平面EFDi的一個(gè)法向量是n=(x,y,z),則一,解得x

|/7-EI91=J/+yZ=0,(Z=-2y,

取y=1,則n=(0,1,-2).

.?.點(diǎn)G到平面EFD1的距離是:h二3"?"二，1一一

InIvo+i+4

12.【解析】選D.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

B(2,2,0),D(0,0,1),0,(0,2,1),

/.DD,=(0,0,1),DB=(2,2,0),Bg=(-2,0,1).

設(shè)平面BBiDiD的一個(gè)法向量n=(x,y,z),

心竺，可得?x+2y=0,

〃，麗lz=0,

...可取n=(1,-1,0).

〃?BCi_2_一舊

cos<n,BC]>=

In|,|BCi|五■的s'

，BG與平面BBDD所成角的正弦值為衛(wèi).

13.【解析】?.“〃!），.?.存在實(shí)數(shù)k,使得a二kb,

即(入+1,0,2入)=k(6,2口7,2),

入+1=6k,

*0?0=k(2p—1),解得k二人-1,U—■

、2人=2k,

答案，-

57

14?【解析】AB=(1,-3,,AC=(-2,-1,,

4.4.

(n?AB=O,(x=-y,

I

...x：y：z=-y：y：(一士y)=2：3：(-4).

33

答案：2：3：(-4)

15.【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)0(0,0,0),P(1,2,3),

/.IOP|=V12+22+32=V14(cm).

答案:WN

16.【解析】VBD=AD-AB,EF=-AE+AD+DF=--AP+AD+-AB,ABD?EF=

22

(AD-AB)?(--AP+AIH-AB)=4-2=2.

22

IEFI-(--AP+AD+-AB)2=6,|EFl=V6,|BD1=272,cos<BD,EF>=

22

—>—>

BD-EF_2

|BD||EF|2V*7XV66'

即異面直線EF與BD所成角的余弦值為丫.

6

答案:立

6

【一題多解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,

z

p

...E(0,0,1),F(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),

，EF=(1,2,-1),BD=(-2,2,0),

17.【解析】(1)VAB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

|AB||AC|

AZBAC=60°,.-.S=|AB||AC|sin60°=7\W

(2)設(shè)a=(x,y,z),則a_LAB0-2x-y+3z=0,

a±AOx-3y+2z=0,|a|=V3^x2+y2+z2=3,

解得x=y=z=1或x=y=z=-1,

a=(1,1,1),a=(-1,-1,-1).

18.【解析】存在.以CA,CB,CCi所在的直線為x軸，y軸和z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，ZA

則A(2,0,0),A1(2,0,2),

D(0,0,1),B(0,2,0),

設(shè)B十入BA1，入e(0,1),

則E(2入，2(1-入)，2人).

又AD=（-2,0,1）,

足（2（入-1）,2（1-入）,2入），

設(shè)n=（x,y,z）為平面AED的法向量,

n?AD=0,—2x+z=0,

則一即

（入-）（入）

n?AE=0,2lx+21-y+2Az=0,

取x=1,貝Iy=—,z=2,即n=（1,—,2）.

1—入1—入

由于d=4"=空，

In|a

,4又入￡(0,1),解得入

?

,15+管

當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí),A到平面AED的距離為平.

【拓展提升】探索性問題的解法

在立體幾何中，經(jīng)常會遇到點(diǎn)、線、面處在什么位置時(shí)結(jié)論成立，或某一結(jié)論成

立時(shí)需要具備什么條件，或某一結(jié)論在某一條件下，某個(gè)元素在某個(gè)位置時(shí)是否

成立等類似的問題.這些問題都屬探索性問題，解決這些問題僅憑幾何手段有時(shí)

會十分困難，我們借助向量將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，把點(diǎn)、線、面的位置數(shù)量化，

通過對代數(shù)式的運(yùn)算就可得出相應(yīng)的結(jié)論.這樣可以使許多幾何問題進(jìn)行類化，

公式化，使問題的解決變得有“法”可依，有路可尋.

19.【解析】以A為原點(diǎn),AB,AD,AAi的方向分別

為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),0(0,1,1),

E(±1,0),Bi(a,0,1),

2

⑴ADF(O,1,1),B|E=(—：,1,7),

?/AD］?B；E=—：X0+1X1+(—1)X1=0,

Z.B1E±AD1.

⑵假設(shè)在棱AAi上存在一點(diǎn)P(0,0,z。)，使得DP〃平面BAE,此時(shí)而二(0,-1,z0),

又設(shè)平面BiAE的法向量為n=(x,y,z).

?「nJ■平面BAE,AB1=(a,0,1),AE二(±1,0),

2

一一fax4-z=0,

.,.n_LAB】，n_LAE,得(ax,”n

---ry=u,

12J

取x=1,得平面BiAE的一個(gè)法向量a),要使DP〃平面BAE,

2

只需n_L6k有Laz°=0,解得：z0=-.

27

.?.AP=3.?.在棱AAl上存在點(diǎn)P,使得DP〃平面BiAE,且P為AA1的中點(diǎn).

20.［解題指南］要證明EF_LB'C,只需要證明EF-ETC=O；要求EF,C'G所成角的

余弦值,只要求出國,.G所成角的余弦值;要求FH的長，只要求出|就「即可.

【解析】(1)設(shè)AB=a,AD二b,AX'=C,

貝"c,b=b?a=c?a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.

EF=ED+DF=--c+i(a-b)

=-(a-b-c),

BzC=BC-BB-b-c,

/.EF?B^—Ca-b-c)?(b-c)~(c2-b2)

=-X(1-1)=0..,.EF±B'C.

(2)E(a-b-c),C'G=C'C+CG=-c-a,

24.

—>—>

二?EF?C'G」(a-b-c)?(_c--a)

24.

——_ik/--a2+cd)一,

24.8

IEF12=-(a-b-c)2=-(a2+b2+c2)

44.4.

|CzG|2=(-c-ia)2=c2^a2=^

4.1616

/.IEFI—,IC7GI=—,

24.

cos<EF,C7G>==—,

|EF||QG|17

...EF,C,G所成角的余弦值為學(xué)

(3)FH=FB+BC+CC^C^—(a-b)+b+c+-CzG=-(a-b)+b+c+-(-c--a)=-a+-b+-c,

22224.822

/.|FH|-(-a+-b+-c)2

872

=―2+*+七*

6444.64

AFH的長為手.

21?【解析】方法一：⑴TO,D分別為AC,PC的中點(diǎn),

.,.0D/7PA.

又PAu平面PAB,

0D。平面PAB,

.二0D〃平面PAB.

(2)設(shè)PA=2a,VAB±BC,OA=OC,

.,.OA=OB=OC=—a.

2

又?.?OP_L平面ABC,.*.PA=PB=PC=2a.

取BC中點(diǎn)E,連接PE,則BC_L平面POE.

作OF_LPE于F,連接DF,則OFJ■平面PBC.

NODF是OD與平面PBC所成的角.

PA=2a,OA二二a,，0P=—a.

XV0E=-,.\0F=—a.

2NC

在RtAODF中，sinNODF二*箸，_

.,.0D與平面PBC所成角的正弦值為上空.

方法二：丁OP_L平面ABC,OA=OC,AB=BC,

.*.OA±OB,OA±OP,OB±OP.

以0為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖),

設(shè)AB=a,則A(—a,0,0),

B(0,—a,0),C(-—a,0,0).

設(shè)OP=h,則P(0,0,h).

⑴YD為PC的中點(diǎn)，

OD=(-匚a,04h).

42

XPA=(-a,0,-h),AOD=--PA.

22

.\OD〃PA,又PAu平面PAB,0D。平面PAB,

.?.0D〃平面PAB.

(2)PA=2a,h=—a,

.,.OD=(--a,0,包a).

44

可求得平面PBC的一個(gè)法向量n=(7,1,二),

7

空.〃二同

cos<OD,n>=

|ODII/7I30

設(shè)0D與平面PBC所成的角為e,

則sin0=Icos<OD,n>|=—.

.,.0D與平面PBC所成角的正弦值為衛(wèi).

22.【解析】方法一：以A為原點(diǎn)，以AD,AB,AP所在直線

分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,由

C

x

AB=2,CD=1,AD=\，2PA=4PQ=4,M,N分別是PD,PB的中點(diǎn)，可得A(0,0,0),

B(0,2,0),C(V2,1,0),

D(V2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(立,0,2),N(0,1,2).

(1)訕=(a,-1,0),晶=(0,2,-4),麗=(-三，0,1).設(shè)平面PBC的法向量為

n(F(x,y,z),

則有：no_LBCn(x,y,z)?(?2-1,0)=0^V2x-y=0,n0±PB^(x,y,z)?(0,2,-4)=

0=>2y-4z=0,

令z=1,則x=\^2,y=2nno=(\耳,2,1).

MQ-n0=0,1)?(422,1)=0,

又MQ。平面PCB,，MQ〃平面PCB.

⑵設(shè)平