2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)訓(xùn)練-等差數(shù)列及其性質(zhì)

2023考點(diǎn)考跋復(fù)打——等差檄列及其根質(zhì)

考法一、等差數(shù)列的基本運(yùn)算

⑴等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：《,=%+(〃—D”

⑵等差數(shù)列的前〃和的求和公式：

〃(q+a“)

=---!----=na.+------a

n212

例1、在等差數(shù)列｛4｝中,若4+%=30,4=11，則｛%｝的公差為()

A.-2B.2C.-3D.3

例2、已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，$8=100,%=44，則/=().

A.10B.11C.12D.13

例3、記S〃為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.己知$5=5,%=5,則()

13

A.a..=2n-5B.a=nC.S=2n2-9nD.S=—n2——n

〃n〃l“tn〃22

練習(xí)1、等差數(shù)列1、2a、4/、…的第五項(xiàng)等于()

A.—B.1C.5D.16

2

練習(xí)2、設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，且6=3,/+%=36,則｛4｝的通項(xiàng)公式為

練習(xí)3、在等差數(shù)列｛a｝中，a+&+々=21,&<93=70,若a=61,則〃=()

A.18B.19C.20D.21

練習(xí)4、已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若不￡=2,則2=()

?“一ail

651110

A.B.C.D.

56ToTT

練習(xí)5、設(shè)s,是某個等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，若S2019=S2020=2()2(),則$2021=()

2211

A.2020-B.2020+C.2020-D.2020+

2019201910101010

練習(xí)6、已知s,是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，則“S,,=〃2—是“數(shù)列｛凡｝是公差為2的等

差數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

練習(xí)7、己知數(shù)列｛4｝中各項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，%=1,%=16,若數(shù)列｛〃7｝為等差數(shù)列，則《3=

()

A.169B.144C.12D.13

練習(xí)8、已知公差不為0的等差數(shù)列｛4｝中，%+。4=線，為=4,則4o=.

練習(xí)9、已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若品=51，42=()，則｛%｝的通項(xiàng)公式為

練習(xí)10、已知等差數(shù)列｛%｝滿足4+%=8,%+%=14,則它的前8項(xiàng)的和Sg=()

A.70B.82C.92D.105

練習(xí)11、已知等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S",若邑=12,4=10,則｛%｝的公差為()

A.4B.3C.2D.1

練習(xí)12、等差數(shù)列｛4｝中，前〃項(xiàng)和為S“，且E=1,S3=9,則$5=()

A.17B.25C.5D.81

考法二、等差數(shù)列的性質(zhì)

⑴在等差數(shù)列｛4｝中，對任意加，nwN*,an=am+(n-tn)d,(=""二'

n-m

⑵在等差數(shù)列｛《,｝中，若根,n,p,qeN+且m+n=p+q,則a,“+a”=%,+%,特

殊地，2?n=p+q時，則2aM=%,+%,%,是外、%的等差中項(xiàng).

⑶等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即SM，S2H-S“，S3"-S2"成等差

數(shù)列.

⑷設(shè)數(shù)列伍“｝是等差數(shù)列，且公差為d,(I)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2〃項(xiàng)，則①

a

S奇-5偶=〃，/；②⑸若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有2〃一1項(xiàng)，則①S偶一S奇=〃〃=%

3偶4+1

（中間項(xiàng)）;

Clm_.2m一1

（6）若僅"｝與山』為等差數(shù)列,且前〃項(xiàng)和分別為S，，與SJ,則粼S%T

例1、在等差數(shù)列｛4｝中，若。3+。4+%+。6+%=750,則出+。8=（）

A.360B.300C.240D.200

例2、已知數(shù)列EJ為等差數(shù)列，S〃為其前刀項(xiàng)和，%+2=g+。5,則§5二（）

A.2B.14C.50D.10

例3、在等差數(shù)列｛4｝中,%=24+6,則〃2+4+%=（）

A.-18B.-6C.8D.12

例4、已知數(shù)列｛〃“｝是等差數(shù)列，若4+/+%=1，4+。5+4=3,則%+出+%=（）

A.5B.4C.9D.7

例5、設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前幾項(xiàng)和為%其中S2=3,S4=15,則§6=（）

A.9B.18C.27D.36

例6、已知數(shù)列｛〃〃｝、抄〃｝都是等差數(shù)列，設(shè)｛4｝的前〃項(xiàng)和為S〃，低｝的前〃項(xiàng)和為7；.

2/1+1哈（

)

右亡3〃+2

練習(xí)1、已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且為=1，則%+/+。3+%+。5=)

A.3B.4C.5D.6

練習(xí)2、S”是等差數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，4+4+。3=3,%+4=1（），則Sg=)

A.9B.16C.20D.27

練習(xí)3、已知公差不為。的等差數(shù)列｛〃/滿足q+d=d+d，則（）

A.。6=°B.%=0C.512=0D.S13=0

(、(1\S口2〃一1

練習(xí)4、已知等差數(shù)列｛a,,｝的前n項(xiàng)和為S“，等差數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為7；.若寸=--,

a5

則

b5

191737

A.B.c.D.

TTTo25

練習(xí)5、已知數(shù)列｛4｝,也｝為等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和分別為S“，T“j=也±楙，則上=

練習(xí)6、等差數(shù)列｛風(fēng)｝的前m(mcM)項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則前3m項(xiàng)和為()

A.130B.170C.210D.260

練習(xí)7、等差數(shù)列僅“)的前〃項(xiàng)和為S”且SK)=20,520=15,則S3o=()

A.10B.-30C.-15D.25

S7〃a

練習(xí)8、兩等差數(shù)列｛q｝和｛2｝的前〃項(xiàng)和分別是S〃、北，已知寸n=-則廣s=

T

n〃+3b5

練習(xí)9、設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，若4+%=%+%，則力=()

A.28B.34C.40I).44

練習(xí)10、已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若邑=9,$6=63,則%+%+%等于()

A.63B.71C.99D.117

練習(xí)11、已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若S”=22,則4+%+%=()

A.18B.12C.9D.6

練習(xí)12、已知等差數(shù)列｛a,,｝,｛〃｝的前"項(xiàng)和分別為S,,,/，若對于任意的自然數(shù)〃，都有

S“_4〃-8則幺上組+3L_=(

)

1=瓦+如b5+b7

80

A.3B.6D.1?

練習(xí)13、己知等差數(shù)列｛4｝,也｝的前“項(xiàng)和分別為S,和7；,且^=2=

“一1唬

()

練習(xí)14、設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的前"項(xiàng)和為S“，若&o=2O,§20=30,則$3。=()

A.20B.30C.40D.50

練習(xí)15、已知等差數(shù)列｛%｝的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為319,所有偶數(shù)項(xiàng)之和

為290,則該數(shù)列的中間項(xiàng)為()

A.28B.29C.30D.31

練習(xí)16、等差數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為￡,若a2+a：+a”=⑵則凡=.

練習(xí)17、已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，若/+%+4+%=20,則$9=

練習(xí)18、已知數(shù)列｛q｝和也｝均為等差數(shù)列，前0項(xiàng)和分別為S“，Tn,且滿足：V“eN*，

S"=1+3/+延+…%二

^~2n+r川4+&+九+九一——?

練習(xí)19、兩個等差數(shù)列的｝和也｝的前“項(xiàng)和分別為S,、T?,且率=2署，則注今M

于()

考法三、等差數(shù)列的最值問題

（1）.利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值.當(dāng)q>0,J<0

時，S“有最大值；q<0,d>0時，S“有最小值;若已知氏，則最值時"的值（〃eN+）

則當(dāng)％>0,d<0,滿足〈八的項(xiàng)數(shù)〃使得S“取最大值，（2）當(dāng)q<0,d>0時，

&+140

a<0

滿足八的項(xiàng)數(shù)〃使得S.取最小值.

1%2o

⑵利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和：S.=4?2+B?（A,B為常數(shù)，〃eN*）為二次函數(shù)，通過配

方或借助圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的方法求解；有時利用數(shù)列的單調(diào)

性（d>0,遞增；d<0,遞減）；

（3）.利用數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法:求最大項(xiàng)的方法：設(shè)勺為最大項(xiàng)，則有〈；

a

ln之?,.+1

fa<a.

求最小項(xiàng)的方法：設(shè)。“為最小項(xiàng)，則有ntl.只需將等差數(shù)列的前"項(xiàng)和〃=1,2,3,…

1%<?,1+i

依次看成數(shù)列｛S,,｝,利用數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法即可.

例1、等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S?,S7=49,%=3%，則S“取最大值時的〃為（）

A.7B.8C.14D.15

例2、在等差數(shù)列｛%｝中，若&<-1,且它的前麒項(xiàng)和S“有最小值，則當(dāng)S“>0時，〃的

as

最小值為

A.14B.15C.16D.17

例3、等差數(shù)列｛《,｝中，%=16,%=8,5.是數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，則5.最大時，〃=（）

A.10B.11C.10或11D.11或12

練習(xí)1、若公差為負(fù)的等差數(shù)列僅“｝中的兩項(xiàng)%，為是方程--10犬+9=0的兩個根，設(shè)

數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,則當(dāng)5?最大時，n的值為（)

A.5B.9或10C.10D.9

練習(xí)2、已知等差數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S,,且S?>S8，S8=S9<S10,則下面結(jié)論錯誤

的是（）

A.=0B.S[5>S]4

C.d<QD.Sg與S9均為S”的最小值

練習(xí)3、等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，若V〃eN*，S“〈S7,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式

可能是（）

A.an=3/1-15B.an=17-3HC.an=n-7D.an=15-2H

練習(xí)4、等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和記為s.，若q>0,S1（）=S20,則不成立是（）

A.d<0B.at6<0

C.Sn?S?D.當(dāng)且僅當(dāng)S”<0時〃..32

練習(xí)5、已知等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足區(qū)“，55>40,則該數(shù)列的公差d

可取的值是（）

A.3B.1C.-1D.-3

練習(xí)6、等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，若V〃eN*,S“<S7,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式可

能是（）

A.an=16-3nB.an=15-2n

C.an=2n-14D.an=2H-15

S

練習(xí)7、等差數(shù)列｛q｝中，。3=16,%=8,"是數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，則數(shù)列J方的前〃

項(xiàng)和最大時，〃=（）

A.20B.21C.20或21D.21或22

練習(xí)8、設(shè)等差數(shù)列｛4“｝的前〃項(xiàng)和為S,，若弓=-11,4+%=-6,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.當(dāng)且僅當(dāng)〃=6時S“取最小值B.當(dāng)且僅當(dāng)〃=6時S“取最大值

C.當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時S“取最小值D.當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時S”取最大值

練習(xí)9、已知數(shù)列｛。〃｝的通項(xiàng)公式為勺=〃一3,〃￡N*，為其前〃項(xiàng)和，則當(dāng)?！?lt;0

時，正整數(shù)”的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

練習(xí)10、若數(shù)列｛a｝滿足：51=19,4+1=a-3,則數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和數(shù)值最大時，〃的

值為

A.6B.7

C.8D.9

設(shè)s“為等差數(shù)列｛對｝的前〃項(xiàng)和，+若"<一1,則

練習(xí)“、

ai

)

A.S,,的最大值是S8B.S”的最小值是Sg

C.S”的最大值是S7D.S,的最小值是S,

練習(xí)12、已知數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為明公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列｛%｝滿足勿一^^若對

an

任意的〃wN*，都有2之區(qū)成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[—6,—5]B.（—6,—5）C.[—5,—4]D.（—5,-4）

練習(xí)13、已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和記為S,,%+2%+生=§4+4,則“多<1”是“｛5?｝

為單調(diào)數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

練習(xí)14、已知S“是等差數(shù)列加“｝的前"項(xiàng)和，且S6>S7〉Ss,給出下列五個命題：

①d<0;②，>0；③，2<0;④數(shù)列⑸｝中的最大項(xiàng)為立；⑤同<|%|.

其中正確命題的是.

練習(xí)15、設(shè)q,d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為外,公差為△的等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為s“，滿足：

/<（）,且55。+16=0,則S”的最小值為.

練習(xí)16、已知S“為等差數(shù)列｛a“｝的前"項(xiàng)和，且S2=35,4+4+4=39,則當(dāng)S“取

最大值時，〃的值為一.

考法四、等差數(shù)列的證明與判斷

例1、已知數(shù)列｛%｝滿足&=2,a“+i=U-，證明：數(shù)列j/I1是等差數(shù)列；

%+%=2

例2、已知數(shù)列｛4｝,q=l,4=3,且滿足+1_一（〃22且〃GN*），證明新數(shù)

a"+2

列K，-??｝是等差數(shù)列，并求出?！暗耐?xiàng)公式.

G]I

例3、已知數(shù)列｛2｝首項(xiàng)4=3,且滿足=芒^d+2”—令％=三七

（1）求證：數(shù)列｛c“｝為等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛2｝中的最小項(xiàng).

練習(xí)1、已知在數(shù)列｛%｝中,4=g，4用+4=2〃，求證：｛4｝為等差數(shù)列;

練習(xí)2、在正項(xiàng)數(shù)列｛4｝中，q=l,2新二I+向二一向=0,neN\求證：數(shù)列

練習(xí)3、已知數(shù)列｛怎｝滿足q=2,a?an+l-2?;,+l=0,〃eN*，證明：,丁「不是等差

數(shù)歹!J;

練習(xí)4、已知數(shù)列｛a,J滿足q=],〃(〃+1)%,

,an_}+=0,n>2,neN,

]

求證:數(shù)列〈＞為等差數(shù)列;

(〃+1)可

練習(xí)5、已知數(shù)列｛%｝滿足4用=，，(〃eN"),且q=4,證明：數(shù)列,三5,是等

差數(shù)列；

練習(xí)6、已知數(shù)列｛a“｝中，q=3,且滿足a“+]=q+2〃+2也=a“一〃,證明：

數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，并求｛2｝的通項(xiàng)公式；

練習(xí)7、記S“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，己知4＞(),4=3囚，且數(shù)列｛瘋｝是等差數(shù)列，

證明：｛4｝是等差數(shù)列.

■'

練習(xí)8、在數(shù)列｛%｝中，4=2,?！笔?與凡。用的等差中項(xiàng)，求證：數(shù)列＜一^＞是等

差數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式;

練習(xí)9、已知正項(xiàng)數(shù)列｛a,J滿足4=1,々=2,且對任意的正整數(shù)n,1+是和＜2的

等差中項(xiàng)，證明：是等差數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

%+1,”為奇數(shù),

練習(xí)10、已知數(shù)列｛%｝滿足％=1

q+2,〃為偶數(shù)

⑴記勿=々”，寫出4，伉，并求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式;

（2）求｛%｝的前20項(xiàng)和.

考法五、實(shí)際生活中的等差數(shù)列

例1、在古印度的數(shù)學(xué)著作《麗拉沃蒂》中，有這樣一個問題：某人給一個人布施，初日施

3德拉瑪（古印度貨幣單位），其后日增2德拉瑪，共布施360德拉瑪，請快告訴我，他布施

了幾日？這個問題的答案是（）

A.9B.18C.20D.24

例2、《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下題：“今有五人分五錢，令上二人所

得與下三人等.問各得幾何？"其意思為'‘已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩

人所得之和與丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問

五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種質(zhì)量單位）在這個問題中，戊所得為（）

A.一1錢1B.土錢2C.一錢D.一3錢

4235

練習(xí)1、《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、

春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之

和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問小滿日影長為（）（1丈

=10尺=100寸）

A.四尺五寸B.三尺五寸C.二尺五寸D.一尺五寸

練習(xí)2、《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，據(jù)書中記載，中國古代諸侯的等級從低

到高分為五級：男、子、伯、侯、公.現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，共5人，要把80個橘子分完

且每人都要分到橘子，級別每高一級就多分加個（加為正整數(shù)），若按這種方法分橘子,“子”

恰好分得13個橘子的概率是（）

1111

A.-B.-C.-D.一

8765

練習(xí)3、《張丘建算經(jīng)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就有最

大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計算、各種等差數(shù)列問題的解決、某些不定方程問題求解等.書中記

載如下問題：“今有女子善織，日增等尺，初日織五尺，三十日共織390尺，問日增幾何？”

那么此女子每日織布增長（）

416168

A.，尺DB-5尺DC-五尺aD-百尺D

練習(xí)4、我國明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：今有鈔二百三十八貫，

令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問：各該鈔若干？其意思是：

現(xiàn)有錢238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲、乙、丙、丁、戊五個人，現(xiàn)在只知道戊所得錢

比甲少33貫600文（1貫=1000文），問各人各得錢多少？在這個問題中，戊所得錢數(shù)為（）

A.30.8貫B.39.2貫C.47.6貫D.64.4貫

練習(xí)5、中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“九百九十六斤棉，贈分八子

作盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳.”其意