專題03 分式與分式方程（原卷版）-2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

專題03分式與分式方程目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一分式、最簡(jiǎn)分式、分式方程的定義】 2【考點(diǎn)二分式有無意義及分式的值為0】 4【考點(diǎn)三利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化】 6【考點(diǎn)四求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值】 8【考點(diǎn)五求分式值為正、負(fù)數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍】 9【考點(diǎn)六分式加減乘除混合運(yùn)算】 11【考點(diǎn)七分式化簡(jiǎn)求值】 13【考點(diǎn)八與分式有關(guān)的新定義型問題】 14【考點(diǎn)九解分式方程】 18【考點(diǎn)十根據(jù)分式方程有增根求參數(shù)】 20【考點(diǎn)十一根據(jù)分式方程有無解求參數(shù)】 21【考點(diǎn)十二根據(jù)分式方程根的情況求參數(shù)的范圍】 23【考點(diǎn)十三不等式組與分式方程綜合的參數(shù)問題】 24【考點(diǎn)十四與分式、分式方程有關(guān)的規(guī)律探究問題】 27【考點(diǎn)十五不等式與分式方程的實(shí)際問題】 33【過關(guān)檢測(cè)】 361.分式的意義2.分式的基本性質(zhì)3.分式的運(yùn)算4.分式方程5.列一分式方程解實(shí)際問題的一般步驟：（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系式；（3）設(shè)元，根據(jù)等量關(guān)系式列分式方程；（4）解分式方程，檢驗(yàn)并作答?？键c(diǎn)剖析【考點(diǎn)一分式、最簡(jiǎn)分式、分式方程的定義】例題1：（23-24八年級(jí)上·貴州銅仁·期末）在，，，，，中，分式的個(gè)數(shù)有（

）．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)例題2：（22-23八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）下列各分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．例題3：（22-23八年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）下列方程中，是分式方程的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）下列代數(shù)式：①；②；③；④；⑤．其中分式的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（23-24八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）下列各式，，，，，中，最簡(jiǎn)分式的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（22-23八年級(jí)上·河南開封·期末）下列方程中是分式方程的是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)二分式有無意義及分式的值為0】例題：（23-24八年級(jí)上·河南駐馬店·期末）若分式有意義，下列說法錯(cuò)誤的是（

）．A．當(dāng)時(shí)，分式的值為正數(shù) B．當(dāng)時(shí)，分式無意義C．當(dāng)時(shí)，分式的值為0 D．當(dāng)時(shí)，分式的值為1【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·天津紅橋·期末）若分式有意義，則該分式中的字母x滿足的條件是（）A． B． C． D．2．（23-24八年級(jí)上·甘肅定西·期末）已知某個(gè)分式，當(dāng)時(shí)，分式無意義，當(dāng)時(shí)，分式的值為0，則該分式可能是（

）A． B． C． D．3．（21-22八年級(jí)上·貴州銅仁·期末）下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的值為0B．當(dāng)時(shí)，有意義C．無論x為何值，的值不可能是正整數(shù)D．無論x為何值，總有意義【考點(diǎn)三利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化】例題：（22-23八年級(jí)上·內(nèi)蒙古烏?！て谀┫铝懈魇街袕淖蟮接业淖冃握_的是（）A．B．C．D．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）下列等式中，從左向右的變形正確的是（

）A．B．C．D．2．（23-24八年級(jí)上·山東德州·期末）把分式中的和分別擴(kuò)大為原來的2倍，則分式的值（

）A．?dāng)U大為原來的2倍 B．?dāng)U大為原來的4倍C．縮小為原來的 D．不變3．（23-24八年級(jí)上·四川瀘州·期末）如果把分式中的m，n都變?yōu)樵瓉淼?倍，那么分式的值（）A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．變?yōu)樵瓉淼?倍C．變?yōu)樵瓉淼?D．不變【考點(diǎn)四求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值】例題：（23-24八年級(jí)上·北京朝陽·期末）若分式的值為整數(shù)，則的整數(shù)值為．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)上·上海浦東新·期末）如果分式的值為正整數(shù)，則所有滿足的整數(shù)x的值的和為．2．（22-23八年級(jí)下·福建泉州·期末）已知為大于1的正整數(shù)，且代數(shù)式的值也是整數(shù)，則可取的最大整數(shù)值是．【考點(diǎn)五求分式值為正、負(fù)數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍】例題：（23-24八年級(jí)上·陜西延安·期末）若分式的值為正數(shù)，則的取值范圍是．【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）若分式的值為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是．2．（22-23八年級(jí)上·黑龍江大慶·期末）已知分式的值為正數(shù)，則a的取值范圍．【考點(diǎn)六分式加減乘除混合運(yùn)算】例題：（23-24九年級(jí)上·四川瀘州·期末）化簡(jiǎn)：【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·山東臨沂·期末）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．2．（23-24八年級(jí)上·寧夏固原·期末）下面是某分式化簡(jiǎn)過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)．……第一步……第二步……第三步……第四步任務(wù)一：填空①以上化簡(jiǎn)步驟中，第______步是通分，通分的依據(jù)是______．②第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是______．任務(wù)二：直接寫出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果．【考點(diǎn)七分式化簡(jiǎn)求值】例題：（23-24八年級(jí)上·寧夏石嘴山·期末）先化簡(jiǎn)再求值：，其中．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·廣東東莞·期末）先化簡(jiǎn)：，再?gòu)闹羞x擇合適的a的值代入求值．2．（23-24八年級(jí)上·山東濰坊·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中使得分式的值為．【考點(diǎn)八與分式有關(guān)的新定義型問題】例題：（23-24七年級(jí)上·上海奉賢·期末）定義：如果分式與分式的和等于它們的積，即，那么就稱分式與分式“互為關(guān)聯(lián)分式”，其中分式是分式的“關(guān)聯(lián)分式”．例如分式與分式，因?yàn)?，，所以，所以分式與分式“互為關(guān)聯(lián)分式”．(1)請(qǐng)通過計(jì)算判斷分式與分式是不是“互為關(guān)聯(lián)分式”？(2)小明在研究“互為關(guān)聯(lián)分式”是發(fā)現(xiàn)：因?yàn)椋忠驗(yàn)槎疾粸?，所以，所以，也就是“互為關(guān)聯(lián)分式”的兩個(gè)分式，將它們各自分子和分母顛倒位置后相加，和為1．請(qǐng)你根據(jù)小明發(fā)現(xiàn)的“互為關(guān)聯(lián)分式”的這個(gè)特征，求分式的“關(guān)聯(lián)分式”．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·河南商丘·期末）定義：若兩個(gè)分式的和為（為正整數(shù)），則稱這兩個(gè)分式互為“階分式”．例如，分式與互為“3階分式”．(1)分式與___________互為“6階分式”．(2)若正數(shù)互為倒數(shù)，求證：分式與互為“5階分式”．2．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)．如：．我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；，這樣的分式就是真分式．類似地，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．如：．解決下列問題：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)將假分式化為帶分式；(3)求所有符合條件的整數(shù)x的值，使得的值為整數(shù)．【考點(diǎn)九解分式方程】例題：（23-24八年級(jí)上·寧夏石嘴山·期末）解分式方程(1)(2)【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·四川涼山·期末）解分式方程(1)；(2)；2．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）解分式方程(1)；(2)．【考點(diǎn)十根據(jù)分式方程有增根求參數(shù)】例題：（23-24八年級(jí)上·山東泰安·期末）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值是．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）若關(guān)于x的分式方程有增根，則的值是．2．（23-24八年級(jí)上·湖南湘潭·期末）已知關(guān)于x的分式方程有增根，則方程的增根為．【考點(diǎn)十一根據(jù)分式方程有無解求參數(shù)】例題：（22-23八年級(jí)下·陜西西安·期末）若關(guān)于的分式方程無解，則．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·湖北襄陽·期末）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為．2．（23-24八年級(jí)上·甘肅武威·期末）若關(guān)于的分式方程無解，則．【考點(diǎn)十二根據(jù)分式方程根的情況求參數(shù)的范圍】例題：（23-24八年級(jí)上·四川涼山·期末）分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍為【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)下·江蘇蘇州·期末）如果關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，那么m的取值范圍是．2．（23-24八年級(jí)上·山東東營(yíng)·期末）已知關(guān)于的分式方程，若此方程的解為正數(shù)，則的取值范圍為．【考點(diǎn)十三不等式組與分式方程綜合的參數(shù)問題】例題：（23-24八年級(jí)上·河南周口·期末）若整數(shù)使得關(guān)于的不等式組有解，且使得關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為．【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程有非負(fù)數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為．2．（23-24九年級(jí)上·重慶銅梁·期末）關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)，且關(guān)于的不等式組有且僅有3個(gè)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為．【考點(diǎn)十四與分式、分式方程有關(guān)的規(guī)律探究問題】例題1：（23-24八年級(jí)上·廣東汕頭·期末）把一個(gè)分式寫成兩個(gè)分式的和叫作把這個(gè)分式表示成“部分分式”，請(qǐng)解答下列問題：(1)若，分別求、的值；(2)根據(jù)（1）中的規(guī)律，求的值．例題2：（22-23八年級(jí)上·河北石家莊·期末）解方程：①的解是；②的解是；③的解是；④的解是；（1）請(qǐng)完成上面的填空；（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出第⑤個(gè)方程和它的解；（3）請(qǐng)你用一個(gè)含正整數(shù)的式子表述上述規(guī)律，并寫出它的解．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·北京石景山·期末）小明根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過“由特殊到一般”的方法探究分式的運(yùn)算規(guī)律．下面是小明的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．第1個(gè)：；第2個(gè)：；第3個(gè)：；第4個(gè)：；第5個(gè)：______．……(2)觀察、歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出猜想：第n個(gè)等式可以表示為：______（n為正整數(shù)）．(3)證明（2）中的猜想．2．（23-24八年級(jí)上·北京朝陽·期末）下面是一些方程和它們的解．的解為，；的解為，；的解為，；……根據(jù)上面的方程和它們的解所反映的規(guī)律，解答下面問題：(1)的解為_______；(2)關(guān)于x的方程的解為_______；(3)關(guān)于x的方程的解為_______．3．（23-24七年級(jí)上·上海金山·期末）閱讀下面的材料，然后回答問題：方程的解為；方程的解為；方程的解為……．(1)觀察上述方程的解，猜想關(guān)于的方程的解是_________；(2)根據(jù)上述的規(guī)律，猜想關(guān)于的方程的解是______；(3)由（2）可知，在解方程：時(shí)，可變形轉(zhuǎn)化為的形式求值，按要求寫出你的變形求解過程．【考點(diǎn)十五不等式與分式方程的實(shí)際問題】例題：（23-24八年級(jí)上·湖北隨州·期末）“垃圾分一分，環(huán)境美十分”．某社區(qū)為積極響應(yīng)有關(guān)垃圾分類的號(hào)召，從百貨商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了A，B兩種品牌的垃圾桶作為可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每個(gè)貴40元，用3000元購(gòu)買A品牌垃圾桶的數(shù)量是用2000元購(gòu)買B品牌垃圾桶數(shù)量的2倍．(1)購(gòu)買一個(gè)A品牌、一個(gè)B品牌的垃圾桶各需多少元？(2)若該社區(qū)決定再用不超過6000元購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌垃圾桶共60個(gè)，恰逢百貨商場(chǎng)對(duì)這兩種品牌垃圾桶的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整：A品牌按上一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)的七折出售，B品牌比上一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)提高了．那么該社區(qū)此次最多可購(gòu)買多少個(gè)B品牌垃圾桶？【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·寧夏固原·期末）依據(jù)最新出臺(tái)的寧夏初中體育與健康學(xué)業(yè)水平考試方案，自2024年起，寧夏中考體育成績(jī)將以70分計(jì)入總成績(jī)中．必考項(xiàng)目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、1分鐘跳繩，每項(xiàng)滿分15分．男生選考項(xiàng)目包括立定跳遠(yuǎn)、50米跑、單杠引體向上、前擲實(shí)心球，女生選考項(xiàng)目包括立定跳遠(yuǎn)、50米跑、1分鐘仰臥起坐、前擲實(shí)心球．為適應(yīng)學(xué)生體育課學(xué)習(xí)（課時(shí)數(shù)、考勤等）、日常參與體育鍛煉．我校用3000元購(gòu)買大、小跳繩共110根，且購(gòu)買大跳繩與小跳繩的費(fèi)用相同，大跳繩的單價(jià)是小跳繩單價(jià)的1.2倍．(1)求大、小兩種跳繩的單價(jià)各是多少？(2)若學(xué)校計(jì)劃用不超過7000元的資金再次購(gòu)買這兩種跳繩共260根，已知兩種跳繩的價(jià)格不變，求大跳繩最多可購(gòu)買多少根？2．（23-24八年級(jí)上·天津紅橋·期末）為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)買A，B兩種型號(hào)的充電柱．已知A型充電樁比B型充電樁的單價(jià)少萬元，且用15萬元購(gòu)買A型充電樁與用20萬元購(gòu)買B型充電樁的數(shù)量相等．(1)A，B兩種型號(hào)充電樁的單價(jià)各是多少？(2)該停車場(chǎng)計(jì)劃共購(gòu)買25個(gè)A，B型充電樁，購(gòu)買總費(fèi)用不超過26萬元，且B型充電樁的購(gòu)買數(shù)量不少于A型充電樁購(gòu)買數(shù)量的．請(qǐng)問A，B型充電樁各購(gòu)買多少個(gè)可使購(gòu)買總費(fèi)用最少？【過關(guān)檢測(cè)】過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（23-24八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）下列各式：，，，中，是分式的共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（23-24八年級(jí)上·湖南懷化·期末）如果分式中的x、y都擴(kuò)大到原來的3倍，那么下列說法中，正確的是（

）A．分式的值不變 B．分式的值縮小為原來的C．分式的值擴(kuò)大為原來的3倍 D．分式的值擴(kuò)大為原來的9倍3．（22-23八年級(jí)下·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）對(duì)于分式下列說法不正確的是（）A．時(shí)，分式值為0 B．3時(shí)，分式無意義C．時(shí)，分式值為負(fù)數(shù) D．時(shí)，分式的值為正數(shù)4．（23-24八年級(jí)上·山東聊城·期末）下列說法正確的是（

）A．分式是最簡(jiǎn)分式 B．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，可以變形為C．分式中的，都擴(kuò)大為原來的3倍，分式的值不變 D．分式的值為零，則的值為5．（23-24八年級(jí)上·陜西渭南·期末）若關(guān)于的方程無解，那么的值是（

）A．4 B． C． D．36．（22-23八年級(jí)下·重慶開州·期末）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程有非負(fù)數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（）A． B．3 C．6 D．2二、填空題7．（23-24八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）函數(shù)自變量x的取值范圍是．8．（23-24八年級(jí)上·湖南婁底·期末）若分式方程有增根，則．9．（22-23八年級(jí)下·福建泉州·期末）已知為大于1的正整數(shù)，且代數(shù)式的值也是整數(shù)，則可取的最大整數(shù)值是．10．（23-24七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）觀察下列分式：按此規(guī)律第10個(gè)分式是．11．（23-24八年級(jí)上·山東日照·期末）已知關(guān)于的方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是．12．（20-21八年級(jí)上·廣東潮州·期末）式子稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為，則二階行列式．三、解答題13．（23-24八年級(jí)上·河南周口·期末）解分式方程∶(1)(2)14．（22-23八年級(jí)上·貴州銅仁·期末）先化簡(jiǎn)再求值，其中．15．（23-24八年級(jí)上·山東聊城·期末）（1）計(jì)算：；（2）先化簡(jiǎn)，然后從，0，1，2中選取一個(gè)你喜歡的數(shù)作為x的值代入求值．16．（23-24八年級(jí)上·廣西賀州·期末）某校為響應(yīng)政府號(hào)召，準(zhǔn)備購(gòu)買甲，乙兩種型號(hào)的分類垃圾桶．購(gòu)買時(shí)發(fā)現(xiàn)，甲種型號(hào)的單價(jià)比乙種型號(hào)的單價(jià)少50元，用3000元購(gòu)買甲種垃圾桶的個(gè)數(shù)與用3300元購(gòu)買乙種垃圾桶的個(gè)數(shù)相同．(1)求甲、乙兩種型號(hào)垃圾桶的單價(jià)各是多少元？(2)若某校需要購(gòu)買分類垃圾桶6個(gè)，總費(fèi)用不超過3100元，求所有不同的購(gòu)買方式．17．（23-24八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如果兩個(gè)分式的和為常數(shù)，我們稱這兩個(gè)分式互為“和美”分式，這個(gè)常數(shù)為“和美”值．如，所以與互為“和美”分式．(1)已知，，，判斷A和B是不是互為“和美”分式？若是，請(qǐng)證明，并求出“和美”值；若不是，請(qǐng)說明理由；(2)已知，，m、n、p為非零常數(shù)，若C、D