第11講 用公式法求解一元二次方程（解析版）-2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

第11講用公式法求解一元二次方程模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，了解公式法的概念，能熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程；2．會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況，由方程根的情況能確定方程中待定系數(shù)的取值范圍；知識(shí)點(diǎn)一．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.2.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無(wú)實(shí)根.知識(shí)點(diǎn)二、一元二次方程根的判別式1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即；（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.要點(diǎn)：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計(jì)算的值；④根據(jù)的符號(hào)判定方程根的情況.2.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根﹥0；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0；（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根﹤0.要點(diǎn)：（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件；（2）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則≥0.考點(diǎn)一：利用用公式法還原一元二次方程例1．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）在用求根公式解方程的過(guò)程中，，，的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】略【變式1-1】（23-24八年級(jí)下·安徽安慶·期中）若關(guān)于的一元二次方程的根為，則這個(gè)方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了解一元二次方程．根據(jù)公式法解答，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的根為，∴二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，∴這個(gè)方程為．故選：D【變式1-2】（2024八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）是下列哪個(gè)一元二次方程的根（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，根據(jù)公式法解一元二次方程的方法即可得結(jié)論，用公式法解一元二次方程的一般步驟為：把方程化成一般形式，進(jìn)而確定，，的值；求出的值（若，方程無(wú)實(shí)數(shù)根）；在的前提下，把的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根，解題的關(guān)鍵是掌握去根公式．【詳解】解：、中，，不合題意；、中，，不合題意；、中，，不合題意；、中，x，符合題意；故選：．【變式1-3】（2024·河北石家莊·一模）若是一元二次方程的根，則（

）A． B．4 C．2 D．0【答案】D【分析】本題主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判斷即可【詳解】解：∵是一元二次方程方程的根，∴，，，∴，故選：D考點(diǎn)二：求一元二次方程中判別式的值例2.（23-24九年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）在公式法解方程時(shí)，的值是（

）A．16 B．24 C．72 D．64【答案】B【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，先化為一元二次方程的一般形式，將的值代入，即可求解．【詳解】解：，即∴，故選：B．【變式2-1】（22-23九年級(jí)上·廣東梅州·階段練習(xí)）用公式法解一元二次方程時(shí)，計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)方程的系數(shù)的帶、、的值，再將其代入求值即可得到結(jié)果．【詳解】解：在一元二次方程中，，，，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的系數(shù)與根的判別式，熟練掌握基本知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（23-24八年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）當(dāng)用公式法解方程時(shí)，的值為（

）A．2 B． C．17 D．【答案】C【分析】本題考查了根的判別式，將原方程變形為一般式找出、、的值是解題的關(guān)鍵．將原方程變形為一般式，找出、、的值，將其代入即可得出結(jié)論．【詳解】解：原方程可變形為，，，，．故選：C【變式2-3】（22-23九年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）在公式法解方程時(shí)，的值是（

）A．16 B．4 C．32 D．64【答案】D【分析】首先把方程化簡(jiǎn)為一般形式，再得出、、的值，最后求出判別式的值即可．【詳解】解：，，，，，；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了公式法解一元二次方程，解此題時(shí)首先要化簡(jiǎn)．還要注意熟練應(yīng)用公式．考點(diǎn)三：用公式法求解一元二次方程例3.（23-24八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）解方程：．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．本題直接利用公式法求解即可．【詳解】解：一元二次方程中，，，，∴，∴，∴．【變式3-1】（23-24九年級(jí)上·四川涼山·階段練習(xí)）用公式法解方程：．【答案】【分析】本題考查公式法解一元二次方程，根據(jù)公式法，按步驟求解即可得到答案，熟記公式法解一元二次方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，．【變式3-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）解方程：【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)公式法解一元二次方程，即可求解．【詳解】解：∴，∴解得：，【變式3-3】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)，(3)方程無(wú)解【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握利用公式法求解方程是解題的關(guān)鍵；（1）由題意易得，然后根據(jù)公式法可進(jìn)行求解；（2）由題意易得，然后根據(jù)公式法可進(jìn)行求解；（3）由題意易得，然后根據(jù)公式法可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：∴，∴，∴，∴；（2）解：∴，∴，∴，∴；（3）解：∴，∴，∴原方程無(wú)解．考點(diǎn)四：用公式法解一元二次方程的錯(cuò)題復(fù)原問(wèn)題例4.（2024九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）小明在解方程的過(guò)程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，其解答如下：解：，，，第一步，第二步，第三步，．第四步(1)問(wèn)：小明的解答是從第______步開(kāi)始出錯(cuò)的；(2)請(qǐng)寫出本題正確的解答．【答案】(1)一；(2)正確的解答見(jiàn)解析．【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，熟練掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）先把方程化為一般式，再確定a、b、c的值，從而可判斷小明的解答從第一步開(kāi)始出錯(cuò)了；（2）方程化為一般式得到，，，再計(jì)算根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【詳解】（1）小明的解答是從第一步開(kāi)始出錯(cuò)的，故答案為：一；（2）解：方程化為一般式為，，，，，，，．【變式4-1】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）解方程，某位同學(xué)的解答過(guò)程如下：解：∵，，，∴，∴，∴，.請(qǐng)你分析以上解答過(guò)程有無(wú)錯(cuò)誤，如有錯(cuò)誤，指出錯(cuò)誤的地方，并寫出正確的結(jié)果.【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：有錯(cuò)誤，的值應(yīng)為.將方程化為一般形式，得.∵，，，∴，∴，∴，.【變式4-2】（22-23九年級(jí)下·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）嘉淇在用公式法解方程時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過(guò)程如下所示：解方程解：

（第一步）

（第二步）∴原方程無(wú)實(shí)數(shù)根

（第三步）(1)嘉淇的解答過(guò)程從第__________步開(kāi)始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤的原因是__________；(2)請(qǐng)你寫出此題的正確的求解過(guò)程．【答案】(1)一，原方程沒(méi)有化成一般形式(2)見(jiàn)解析【分析】（1）運(yùn)用公式法的前提是將一元二次方程化成一般形式；（2）將一元二次方程化成一般形式，即可代入公式法求解．【詳解】（1）解：確定各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)將一元二次方程化成一般形式故答案為：一；原方程沒(méi)有化成一般形式；（2）解：原方程化成一般形式是：∵，，∴∴即，【點(diǎn)睛】本題考查利用公式法求解一元二次方程．注意求解過(guò)程中的易錯(cuò)點(diǎn)：未將一元二次方程化成一般形式，直接使用公式法．【變式4-3】（22-23八年級(jí)下·北京門頭溝·期末）閱讀材料，并回答問(wèn)題：小明在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，解方程的過(guò)程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程無(wú)解問(wèn)題：(1)上述過(guò)程中，從步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（填序號(hào)）；(2)發(fā)生錯(cuò)誤的原因是：；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過(guò)程．【答案】(1)③(2)計(jì)算錯(cuò)誤(3)見(jiàn)解析【分析】根據(jù)公式法的步驟判斷和求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得：從③步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤故答案為：③；（2）計(jì)算錯(cuò)誤（負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)得負(fù)數(shù)）；（3）∵，，，∴，∴，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握公式法的計(jì)算步驟．考點(diǎn)五：根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況例5.（23-24九年級(jí)下·云南昆明·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程的根的情況，下列說(shuō)法正確的是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【詳解】解：∵，∴，∴方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選A．【變式5-1】（2024·河南周口·三模）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】D【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．先計(jì)算根的判別式的值得到，再由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷，然后根據(jù)根的判別式的意義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：D．【變式5-2】（2024·上?！ぶ锌颊骖}）以下一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．分別計(jì)算出各選項(xiàng)中的根的判別式的值，即可判斷．【詳解】解：A．，該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故A選項(xiàng)不符合題意；B．，該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故B選項(xiàng)不符合題意；C．，該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故C選項(xiàng)不符合題意；D．，該方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：D．【變式5-3】（23-24八年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）下列方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．分別計(jì)算四個(gè)方程的根的判別式，然后根據(jù)判別式的意義判斷根的情況．【詳解】解：A、可化為：，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；B、，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；C、，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；D、可化為：，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；故選：D．考點(diǎn)六：根據(jù)一元二方程根的情況求參數(shù)例6.（2024·甘肅金昌·三模）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)當(dāng)時(shí)，求方程的解；(2)若該方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判別式．（1）利用配方法解方程即可；（2）根據(jù)一元二次方程跟的判別式，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為，配方，得，解得；（2）解：∵該方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得，即若該方程有實(shí)數(shù)根，的取值范圍是．【變式6-1】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若為正整數(shù)，請(qǐng)用配方法求出此時(shí)方程的解．【答案】(1)且(2)，【分析】本題考查一元二次方程根的判別式及用配方法解方程，（1）由關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義可得且，即，兩個(gè)不等式的公共解即為的取值范圍；（2）求出的值，用配方法解方程即可；解題的關(guān)鍵是掌握：式子是一元二次方程根的判別式，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴且，解得：且，∴的取值范圍為且；（2）∵且，且m為正整數(shù)，∴，∴原方程為，∴，∴，∴，∴，∴此時(shí)方程的解為：，．【變式6-2】（23-24八年級(jí)下·山東泰安·期中）已知：關(guān)于x的一元二次方程．(1)當(dāng)m取何值時(shí)，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；(2)若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的最小整數(shù)值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了根的判別式，熟知根的判別式為是解題的關(guān)鍵．（1）利用判別式的意義得到，根據(jù)題意可得，即可解答；（2）利用判別式的意義得到，根據(jù)題意可得，即可得到m的最小整數(shù)值．【詳解】（1）解：關(guān)于x的一元二次方程，可得，當(dāng)，即時(shí)，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；（2）解：∵有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴；∴m的最小整數(shù)值為．【變式6-3】（23-24九年級(jí)上·黑龍江綏化·期末）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根；(2)如果這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，其第三邊長(zhǎng)為4，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)的周長(zhǎng)為11或10．【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，根據(jù)根的情況求參數(shù)和等腰三角形的性質(zhì).（1）先計(jì)算出，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可證明．（2）分兩種情況計(jì)算，當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，代入方程，求出k值，得出方程，進(jìn)而求得方程的另一個(gè)根，當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為4時(shí)，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)得出k的值，把k值代入方程，解方程即可求的的腰長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：，∵，即，∴無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，把代入，得，，解得；方程化為，則其另一個(gè)解為，此時(shí)的周長(zhǎng)為．當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為4時(shí)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，此時(shí)方程化為，即,解得：，此時(shí)的周長(zhǎng)為．綜上所述，的周長(zhǎng)為11或10．一、單選題1．（23-24九年級(jí)上·河北廊坊·階段練習(xí)）用求根公式解方程時(shí)，，的值是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】將方程化為一般形式即可得到a，b，c的值．【詳解】解：∵，∴，則，，．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式：，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級(jí)下·浙江溫州·期中）一元二次方程的實(shí)數(shù)根有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．0個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】B【分析】本題考查了根的判別式，掌握判別式是解題的關(guān)鍵．計(jì)算出方程的進(jìn)行判斷即可，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【詳解】解：，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：B．3．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·期中）是下列哪個(gè)一元二次方程的根（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的求根公式，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即，根據(jù)一元二次方程的求根公式，反推出一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)一元二次方程為，則方程的根為：，，，，，該一元二次方程為，故選：D．4．（23-24九年級(jí)上·河北保定·期中）已知方程的兩根是等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)，則等腰三角形的周長(zhǎng)是（

）A．15 B．12 C．9 D．12或15【答案】A【分析】題考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，利用因式分解法求出x的值，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：解方程得，因?yàn)?，所以等腰三角形的兩腰?、6，底邊長(zhǎng)為3，所以三角形周長(zhǎng)．故選A．5．（2024·四川廣安·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A．且 B．C．且 D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．由關(guān)于的一元二次方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得且，解此不等式組即可求得答案．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：，，，的取值范圍是：且．故選：A．二、填空題6．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）方程的解是．【答案】，【分析】選擇公式法求解即可．【詳解】，整理，得，∵∴，∴，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解方程，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙忸}的關(guān)鍵．7．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）用公式法解方程時(shí)，其中求得的的值是．【答案】64【分析】先將方程化為一般式，準(zhǔn)確找出a、b、c的值，代入計(jì)算即可．【詳解】解：，，∴，∴，故答案為：64．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是將方程化為一般式，準(zhǔn)確找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．8．（2024·上海徐匯·二模）關(guān)于的一元二次方程根的情況是：原方程實(shí)數(shù)根．【答案】有兩個(gè)不相等的【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由題意得，，∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故答案為：有兩個(gè)不相等的．9．（2024·江蘇連云港·二模）若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則方程有個(gè)根．【答案】?jī)苫?【分析】本題主要考查了一元二次方程的解、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到，再計(jì)算判別式的值得到，則，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】∵一次函數(shù)（k、b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，∴，∵，∵，∴，即，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故答案為：兩．10．（2024·甘肅定西·三模）若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查一元二次方程的定義，根的判別式的意義，解題的關(guān)鍵是記?。寒?dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．根據(jù)一元二次方程的定義結(jié)合根的判別式的意義列不等式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，且，解得，且，故答案為：且．三、解答題11．（21-22八年級(jí)上·上海靜安·期末）用公式法解方程：．【答案】【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，先求解，再利用求根公式解方程即可．【詳解】解：，，，則，∴原方程的根為.12．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3).【答案】(1)，(2)，.(3)【詳解】解：（1）∵，，，∴，∴，即，.（2）移項(xiàng)，得，∴，，，∴，∴，即，.（3）∵，，，∴，∴，即.13．（2024·江西·一模）課堂上，劉老