(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題06數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法求和專練(原卷版+解析)

專題06數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法求和專練（原卷版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．定義表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B．C． D．2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的最小值為（）A． B． C． D．3．?dāng)?shù)列滿足﹐若，則的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝2，S7＝35，將a3，a7，a11，a15中去掉一項(xiàng)后，剩下的三項(xiàng)按原來(lái)的順序恰為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)，則數(shù)列{anbn}的前10項(xiàng)的和T10＝（）A．10212 B．9212 C．11212 D．122125．Sn＝＋＋＋…＋等于（）A． B． C． D．6．?dāng)?shù)列{n·2n}的前n項(xiàng)和等于（）A．n·2n－2n＋2 B．n·2n＋1－2n＋1＋2C．n·2n＋1－2n D．n·2n＋1－2n＋17．如圖是古箏鳴箱俯視圖，鳴箱有多根弦，每根弦下有一只弦碼，弦碼又叫雁柱，用于調(diào)節(jié)音高和傳振.右圖是根據(jù)左圖繪制的古箏弦及其弦碼簡(jiǎn)易直觀圖.在直觀圖中，每根弦都垂直于x軸，左邊第一根弦在y軸上，相鄰兩根弦間的距離為1，弦碼所在的曲線(又稱為雁柱曲線)方程為y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示與y軸重合的弦)根弦分別與雁柱曲線和直線l：y＝x＋1交于點(diǎn)An(xn，yn)和Bn(x'n，y'n)，則（）參考數(shù)據(jù)：1.122＝8.14A．814 B．900 C．914 D．10008．函數(shù)y＝[x]廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其中[x]為不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數(shù)f(x)＝[log2x]，則f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（）A．4097 B．4107 C．5119 D．51299．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，直線與圓:交于兩點(diǎn)，且.記，其前項(xiàng)和為，若存在，使得有解，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知等比數(shù)列滿足，，若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題11．?dāng)?shù)列滿足，，，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為______.12．已知數(shù)列滿足，，若，則_______.13．對(duì)于正整數(shù)，設(shè)，如對(duì)于正整數(shù)和，當(dāng)，時(shí)，設(shè)，，則__________．14．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且，令，則數(shù)列的前項(xiàng)的和等于___________.15．已知數(shù)列滿足，將數(shù)列按如下方式排列成新數(shù)列：，，，，，，，，，…，，…．則新數(shù)列的前70項(xiàng)和為______．三、解答題16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，2，，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，且，求的前n項(xiàng)和．18．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其中，且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題06數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法求和專練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．定義表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D由題可得數(shù)列依次有1個(gè)0，2個(gè)1，4個(gè)2，8個(gè)3，，個(gè)，則由可得，即可得，由錯(cuò)位相減法可求得.【詳解詳析】，，當(dāng)時(shí)，，即（共1項(xiàng)）；當(dāng)時(shí)，，即（共2項(xiàng)）；當(dāng)時(shí)，，即（共4項(xiàng)）；…當(dāng)時(shí)，，即（共項(xiàng)），由，得．即，所以．所以，則，兩式相減得，．故選：D．【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求解，解題的關(guān)鍵是得出數(shù)列的特點(diǎn)，從而得出，再利用錯(cuò)位相減法求解.2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的最小值為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】先求出，用錯(cuò)位相減法求出把不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，記，求出的最大值，即可求出t的最小值.【詳解詳析】解：對(duì)于，當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n≥2時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)：對(duì)n=1也成立，∴所以∴，兩式相減得，，，所以所以，令

，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，t的最小值為．故選：B．【名師指路】（1）數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法：①觀察歸納法；②公式法；③由求；④由遞推公式求通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③裂項(xiàng)相消法；④錯(cuò)位相減法．3．?dāng)?shù)列滿足﹐若，則的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】由，得，所以可得數(shù)列是等差數(shù)列，得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解詳析】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，所以，設(shè)的前項(xiàng)和為，所以①，②，①-②得，，得.故選：C【名師指路】本題的核心是考查錯(cuò)位相減求和，一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解．4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝2，S7＝35，將a3，a7，a11，a15中去掉一項(xiàng)后，剩下的三項(xiàng)按原來(lái)的順序恰為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)，則數(shù)列{anbn}的前10項(xiàng)的和T10＝（）A．10212 B．9212 C．11212 D．12212【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】先設(shè)等差數(shù)列的公差，根據(jù)公式求和，判斷是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)，再求得公比和，代入計(jì)算，最后利用錯(cuò)位相減法求即可.【詳解詳析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為，則，解得.故，即，由題意知，是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)，即，公比，故.故，，，兩式作差得，，所以.故選：A.5．Sn＝＋＋＋…＋等于（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解詳析】由Sn＝＋＋＋…＋，①得Sn＝＋＋…＋＋，②①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－，所以Sn＝－，∴Sn＝.故選：B.6．?dāng)?shù)列{n·2n}的前n項(xiàng)和等于（）A．n·2n－2n＋2 B．n·2n＋1－2n＋1＋2C．n·2n＋1－2n D．n·2n＋1－2n＋1【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解詳析】∵Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②由②－①得Sn＝n×2n＋1－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n×2n＋1－＝n×2n＋1－2n＋1＋2.故選:B.7．如圖是古箏鳴箱俯視圖，鳴箱有多根弦，每根弦下有一只弦碼，弦碼又叫雁柱，用于調(diào)節(jié)音高和傳振.右圖是根據(jù)左圖繪制的古箏弦及其弦碼簡(jiǎn)易直觀圖.在直觀圖中，每根弦都垂直于x軸，左邊第一根弦在y軸上，相鄰兩根弦間的距離為1，弦碼所在的曲線(又稱為雁柱曲線)方程為y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示與y軸重合的弦)根弦分別與雁柱曲線和直線l：y＝x＋1交于點(diǎn)An(xn，yn)和Bn(x'n，y'n)，則（）參考數(shù)據(jù)：1.122＝8.14A．814 B．900 C．914 D．1000【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】由題得，再利用錯(cuò)位相減法求解.【詳解詳析】由條件可得，∴，得，∵，∴．故選：C8．函數(shù)y＝[x]廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其中[x]為不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數(shù)f(x)＝[log2x]，則f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（）A．4097 B．4107 C．5119 D．5129【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)新函數(shù)的定義，確定的值，然后用分組求和法、錯(cuò)位相減法求和．【詳解詳析】由題意時(shí)，，，在上奇數(shù)共有個(gè)，，，，設(shè)，則，相減得：，所以，所以．故選：B．9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，直線與圓:交于兩點(diǎn)，且.記，其前項(xiàng)和為，若存在，使得有解，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】根據(jù)題意，先求出弦長(zhǎng)，再表示出，得到，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再表示出，用錯(cuò)位相減求和求出，再求解即可.【詳解詳析】根據(jù)題意，圓的半徑，圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，時(shí)，，所以，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，，，所以，，，所以，由有解，，只需大于的最小值即可，因?yàn)?，所以，所?故選：D【名師指路】本題主要考查求圓的弦長(zhǎng)、由和求數(shù)列通項(xiàng)、錯(cuò)位相減求數(shù)列的和和解不等式有解的情況，考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬于難題.10．已知等比數(shù)列滿足，，若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】本題首先可根據(jù)、得出，然后根據(jù)得出，再然后根據(jù)錯(cuò)位相減法求出，最后根據(jù)題意得出對(duì)任意不等式恒成立，根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解詳析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，解得，，，因?yàn)?，所以，，則，，，對(duì)任意不等式恒成立，即對(duì)任意不等式恒成立，因?yàn)?，所以，的取值范圍?故選：C.【名師指路】方法點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)列求和，常見的數(shù)列求和方法有等差等比公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、倒序相加法，考查計(jì)算能力，是難題.二、填空題11．?dāng)?shù)列滿足，，，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】數(shù)列滿足，即數(shù)列滿足，可得數(shù)列是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.再利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的求和公式即可得出數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【詳解詳析】解：數(shù)列滿足，即數(shù)列滿足，∴數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為d.則，解得.∴，∴，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，相減可得：，化為：.故答案為：【名師指路】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．12．已知數(shù)列滿足，，若，則_______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)條件得到，則數(shù)列是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，得到，則可得，寫出，利用錯(cuò)位相減法可求解.【詳解詳析】解：因?yàn)?，，所以，即，所以?shù)列是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，則，則，設(shè)①，則②，①-②可得，則.即.故答案為：.【名師指路】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）錯(cuò)位相減法；（3）裂項(xiàng)相消法；（4）分組求和法；（5）倒序相加法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.13．對(duì)于正整數(shù)，設(shè)，如對(duì)于正整數(shù)和，當(dāng)，時(shí)，設(shè)，，則__________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】82435【思路指引】首先利用分組求和與錯(cuò)位相減法求出，再計(jì)算即可；【詳解詳析】解：令則兩式相減得即，所以所以故答案為：14．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且，令，則數(shù)列的前項(xiàng)的和等于___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】首先由遞推關(guān)系可得是等比數(shù)列，進(jìn)而可得、的通項(xiàng)公式，再利用乘公比錯(cuò)位相減，分組求和即可求解.【詳解詳析】由可得，因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，則的前項(xiàng)的和等于，令，前項(xiàng)的和為，則，，兩式相減可得：，所以，所以前項(xiàng)的和為，故答案為：.15．已知數(shù)列滿足，將數(shù)列按如下方式排列成新數(shù)列：，，，，，，，，，…，，…．則新數(shù)列的前70項(xiàng)和為______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】##2.9375【思路指引】先根據(jù)題干條件得到，再利用錯(cuò)位相減法求前64項(xiàng)和，最后求出前70項(xiàng)和.【詳解詳析】①，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，②，①-②得：，即．又滿足，所以．由，得．令，則，兩式相減得，則．所以新數(shù)列的前70項(xiàng)和為．故答案為：三、解答題16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，2，，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)(2)【思路指引】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，結(jié)合，可得，故數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出；（2）由（1）得，利用錯(cuò)位相減法即可得出結(jié)果.(1)∵2，，成等差數(shù)列，∴．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，且時(shí)，，，兩式相減得，，即．∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，．(2)∵，∴，①∴，②①-②：，∴．17．已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，且，求的前n項(xiàng)和．【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)；(2).【思路指引】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合條件即求；（2）利用條件可得，然后利用錯(cuò)位相減法即求.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，即，化簡(jiǎn)得，又，，成等比數(shù)列，則，即，將代入上式