(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題01空間向量的數(shù)量積運(yùn)算綜合專練(原卷版+解析)

專題01空間向量的數(shù)量積運(yùn)算綜合專練（原卷版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．(2023·上海市北虹高級(jí)中學(xué)高二期末）如圖，平行六面體中，若，，，則下列向量中與相等的向量是A． B．C． D．2．(2023·上?！じ叨n時(shí)練習(xí)）已知向量，且，則一定共線的三點(diǎn)是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D3．(2023·上海市徐匯中學(xué)高二期中）如圖，已知正四面體，點(diǎn)，，，，，分別是所在棱中點(diǎn)，點(diǎn)滿足且，記，則當(dāng)，且時(shí)，數(shù)量積的不同取值的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．5 C．9 D．214．(2023·上海交大附中高三開學(xué)考試）對(duì)平面中的任意平行四邊形，可以用向量方法證明：，若將上述結(jié)論類比到空間的平行六面體，則得到的結(jié)論是（）A．B．C．D．5．(2023·上海市張堰中學(xué)高二月考）設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（）A． B．C． D．6．(2023·上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．(2023·上海市金山中學(xué)高二期中）在正方體中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．B．C．向量與的夾角是120°D．正方體的體積為8．(2023·上?！じ叨驴迹┤鐖D，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）．A． B．C． D．9．(2023·上?！げ軛疃懈叨驴迹┮阎橇阆蛄?，則“”是“”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．非必要非充分條件10．(2023·上海市大同中學(xué)高三月考）已知，，和為空間中的4個(gè)單位向量，且，則不可能等于A．3 B． C．4 D．二、填空題11．(2023·上海交大附中高二期中）平行六面體中，已知底面四邊形為正方形，且，其中，設(shè)，，體對(duì)角線，則的值是______.12．(2023·上?！?fù)旦附中高二期中）已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2020，過其底面中心作動(dòng)平面交線段于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于兩點(diǎn)，則的取值范圍為__________13．(2023·上?！じ叨驴迹゛，b為空間兩條互相垂直的直線，直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂直，斜邊以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與a成60°角時(shí)，與b成30°角；②當(dāng)直線與a成60°角時(shí)，與b成45°角；⑤直線與a所成角的最大值為60°；④直線與a所成角的最小值為30°；其中正確的是___________.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）14．(2023·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中）在三棱錐中，已知，，，則___________15．(2023·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末）如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.16．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高二月考）如圖，已知線段AB在平面內(nèi)，線段AC⊥，線段BD⊥AB，線段⊥，=30°，如果AB=a，AC=BD=b，則C、D間的距離為_____________；17．(2023·上海市金山中學(xué)高二期末）四棱錐中，底面是一個(gè)平行四邊形，，，，則四棱錐的體積為_______18．(2023·上海市洋涇中學(xué)高二月考）若、、是空間中的三個(gè)向量，，，，且，則的最小值為___________．19．(2023·上?！じ叨驴迹┰O(shè)向量，.其中.則與夾角的最大值為________.20．(2023·上海中學(xué)高二期中）已知是空間單位向量，，若空間向量滿足且對(duì)任意、，則______三、解答題21．(2023·上海市南洋模范中學(xué)高三期末）已知，，，定義一種運(yùn)算：，已知四棱錐中，底面是一個(gè)平行四邊形，，，（1）試計(jì)算的絕對(duì)值的值，并求證面；（2）求四棱錐的體積，說明的絕對(duì)值的值與四棱錐體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算的絕對(duì)值的幾何意義.22．(2023·上海市七寶中學(xué)高二期中）如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值是，求線段的長(zhǎng).23．(2023·上?！ね瑵?jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)高二期末）在平面四邊形中，、分、所成的比為，即，則有：.（1）拓展到空間，寫出空間四邊形類似的命題，并加以證明；（2）在長(zhǎng)方體中，，，，、分別為、的中點(diǎn)，利用上述（1）的結(jié)論求線段的長(zhǎng)度；（3）在所有棱長(zhǎng)均為平行六面體中，（為銳角定值），、分、所成的比為，求的長(zhǎng)度.（用，，表示）24．(2023·上?！じ呷驴迹┤鐖D，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，AC=4，BD=2，且側(cè)棱AA1=3.其中O1為A1C1與B1D1的交點(diǎn).（1）求點(diǎn)B1到平面D1AC的距離；（2）在線段BO1上，是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使得直線AP與CD1垂直？若存在，求出線段BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.25．(2023·上海交大附中高二期末）設(shè)全體空間向量組成的集合為，為中的一個(gè)單位向量，建立一個(gè)“自變量”為向量，“應(yīng)變量”也是向量的“向量函數(shù)”.（1）設(shè)，，若，求向量；（2）對(duì)于中的任意兩個(gè)向量，，證明：；（3）對(duì)于中的任意單位向量，求的最大值.專題01空間向量的數(shù)量積運(yùn)算綜合專練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．(2023·上海市北虹高級(jí)中學(xué)高二期末）如圖，平行六面體中，若，，，則下列向量中與相等的向量是A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】由題意可得,化簡(jiǎn)得到結(jié)果．【詳解詳析】由題意可得,故選D.【名師指路】本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2．(2023·上?！じ叨n時(shí)練習(xí)）已知向量，且，則一定共線的三點(diǎn)是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)三點(diǎn)共線的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解詳析】依題意，，所以共線，即三點(diǎn)共線，A正確.，則不共線、不共線，BD錯(cuò)誤.，則不共線，C錯(cuò)誤.故選：A3．(2023·上海市徐匯中學(xué)高二期中）如圖，已知正四面體，點(diǎn)，，，，，分別是所在棱中點(diǎn)，點(diǎn)滿足且，記，則當(dāng)，且時(shí)，數(shù)量積的不同取值的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．5 C．9 D．21【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】由條件可知點(diǎn)在平面上，并且由幾何意義可知平面，利用數(shù)量積的幾何意義求的不同取值的個(gè)數(shù).【詳解詳析】條件“且”，說明點(diǎn)在平面上，而說明為平面的中心，此時(shí)平面，由向量數(shù)量積的幾何意義，在的投影有5種情況：0、、，∴數(shù)量積的不同取值的個(gè)數(shù)是5，故選：B．【名師指路】本題考查空間向量共面定理的應(yīng)用，數(shù)量積的幾何意義，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題型.4．(2023·上海交大附中高三開學(xué)考試）對(duì)平面中的任意平行四邊形，可以用向量方法證明：，若將上述結(jié)論類比到空間的平行六面體，則得到的結(jié)論是（）A．B．C．D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】平行四邊形中是對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和，類比平行六面體中是對(duì)角線的平方和等于所有棱的平方和，整理即為．【詳解詳析】在平行六面體中，，同理，，，所以，同理，，所以即故選：D．5．(2023·上海市張堰中學(xué)高二月考）設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】如圖所示,連接AG1交BC于點(diǎn)M，則M為BC中點(diǎn),利用空間向量的運(yùn)算法則求得，即得.【詳解詳析】如圖所示,連接AG1交BC于點(diǎn)M,則M為BC中點(diǎn)，)=,.因?yàn)樗?3(),∴.則，∴，，，故選：A.6．(2023·上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算律可得，根據(jù)正方體的特點(diǎn)確定最大值和最小值，即可求解【詳解詳析】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則,,因?yàn)镸N是正方體內(nèi)切球的一條直徑，所以，，所以，又點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)為正方體頂點(diǎn)時(shí)，最大，且最大值為；當(dāng)為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時(shí)，最小，且最小為；所以，所以的取值范圍為，故選：B7．(2023·上海市金山中學(xué)高二期中）在正方體中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．B．C．向量與的夾角是120°D．正方體的體積為【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】根據(jù)空間向量的知識(shí)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解詳析】正方體如圖所示，對(duì)于A選項(xiàng)，，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，在平面內(nèi)的投影為，又因?yàn)?，即，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，為等邊三角形，，向量與的夾角是，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，故D顯然錯(cuò)誤.故選：D8．(2023·上?！じ叨驴迹┤鐖D，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）．A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】利用空間向量的三角形法則可得，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)分析解答．【詳解詳析】平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，，，，則有：，所以.故選：A9．(2023·上?！げ軛疃懈叨驴迹┮阎橇阆蛄?，則“”是“”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．非必要非充分條件【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】先討論充分性，令，可得出，從而確定充分性成立；再討論必要性，舉出反例當(dāng)，此時(shí)滿足，但“”不成立，確定必要性不成立；從而得出結(jié)論.【詳解詳析】解：由題可知，非零向量，當(dāng)“”成立，令，，則，而，，則，故充分性成立；若，此時(shí)滿足，由于分母不能為0，可知“”不成立，故必要性不成立；所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A.10．(2023·上海市大同中學(xué)高三月考）已知，，和為空間中的4個(gè)單位向量，且，則不可能等于A．3 B． C．4 D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)n個(gè)向量的和的模不大于n個(gè)向量的模的和可推出結(jié)論.【詳解詳析】因?yàn)槎?，所以因?yàn)?，，，是單位向量，且，所以不共線，所以，故選A.【名師指路】本題主要考查了向量與不等式的關(guān)系，涉及向量的共線問題，屬于難題.二、填空題11．(2023·上海交大附中高二期中）平行六面體中，已知底面四邊形為正方形，且，其中，設(shè)，，體對(duì)角線，則的值是______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】根據(jù)，平方得到，計(jì)算得到答案.【詳解詳析】，故，解得.故答案為：.【名師指路】本題考查了平行六面體的棱長(zhǎng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.12．(2023·上?！?fù)旦附中高二期中）已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2020，過其底面中心作動(dòng)平面交線段于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于兩點(diǎn)，則的取值范圍為__________【標(biāo)準(zhǔn)答案】設(shè),則,根據(jù)空間四點(diǎn)共面的條件，又四點(diǎn)共面，則，即得出答案.【詳解詳析】設(shè).則,,.由為底面中心,又因?yàn)樗狞c(diǎn)共面,所以且.所以，即即.故答案為：.【名師指路】本題考查空間四點(diǎn)共面的條件的應(yīng)用，屬于中檔題.13．(2023·上?！じ叨驴迹゛，b為空間兩條互相垂直的直線，直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂直，斜邊以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與a成60°角時(shí)，與b成30°角；②當(dāng)直線與a成60°角時(shí)，與b成45°角；⑤直線與a所成角的最大值為60°；④直線與a所成角的最小值為30°；其中正確的是___________.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）【標(biāo)準(zhǔn)答案】②④【思路指引】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的長(zhǎng)方體，|AC|＝1，|AB|=2，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，為半徑的圓，以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出結(jié)果．【詳解詳析】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示的長(zhǎng)方體高為1，底面邊長(zhǎng)為，故|AC|＝1，|AB|=2，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，為半徑的圓，以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D（，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量（0，1，0），||＝1，直線b的方向單位向量（1，0，0），||＝1，設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)B′（cos，sin，0），其中為B′C與CD的夾角，，∴AB′在運(yùn)動(dòng)過程中的向量，=（cosθ，sinθ，﹣1），||=2，設(shè)與所成夾角為α∈[0，]，則|sin|∈[0，]，∴∈[，]，∴③錯(cuò)誤，④正確．設(shè)與所成夾角為∈[0，]，|cos|，當(dāng)與夾角為60°時(shí)，即α，|sin|，∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cos|cosθ|，∵β∈[0，]，∴，此時(shí)與的夾角為45°，∴②正確，①錯(cuò)誤．故答案為：②④．【名師指路】本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，涉及空間向量的知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．14．(2023·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中）在三棱錐中，已知，，，則___________【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】用表示，根據(jù)條件列出方程建立的關(guān)系，利用等量代換計(jì)算即得.【詳解詳析】設(shè)，顯然，則，即，而，即，于是得，，，則有，所以.故答案為：15．(2023·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末）如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】2【思路指引】題中幾何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，,再將轉(zhuǎn)化為，以及將轉(zhuǎn)化為,,總之等式右邊為，，,從而得出，.【詳解詳析】解：因?yàn)?，又，所以，，則.故答案為：2.【名師指路】要充分利用幾何體的幾何特征，以及將作為轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，從而得解.16．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高二月考）如圖，已知線段AB在平面內(nèi)，線段AC⊥，線段BD⊥AB，線段⊥，=30°，如果AB=a，AC=BD=b，則C、D間的距離為_____________；【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)圖像將用表示出來，然后求模即可得到結(jié)果．【詳解詳析】解：線段在平面內(nèi)，線段，線段，線段，，如果，，由題意可知：，因?yàn)锳C⊥，⊥，運(yùn)算，又=30°，所以異面直線所成的角為，．所以、間的距離為：．故答案為：.17．(2023·上海市金山中學(xué)高二期末）四棱錐中，底面是一個(gè)平行四邊形，，，，則四棱錐的體積為_______【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】計(jì)算，，得到底面，計(jì)算，，計(jì)算體積得到答案.【詳解詳析】由，，所以底面，，故，體積為.故答案為：16.18．(2023·上海市洋涇中學(xué)高二月考）若、、是空間中的三個(gè)向量，，，，且，則的最小值為___________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡，結(jié)合圓的知識(shí)求得的最小值.【詳解詳析】設(shè)，，，∴，求的最值，、、、在同一平面時(shí)，有最值，如圖建系，不妨設(shè)，，，中點(diǎn)，可知，，，，由可知，消參可得，即點(diǎn)軌跡為，點(diǎn)的軌跡是為圓心，半徑為的圓.所以，即．故答案為：19．(2023·上?！じ叨驴迹┰O(shè)向量，.其中.則與夾角的最大值為________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由兩向量中的已知坐標(biāo)和未知坐標(biāo)間的關(guān)系，得出兩向量的終點(diǎn)的軌跡，運(yùn)用向量的夾角公式求解.【詳解詳析】向量的終點(diǎn)都在以為圓心，1為半徑的圓上；向量的終點(diǎn)都在以為圓心，1為半徑的圓上；且為圓與圓的距離為1，如圖所示，兩向量的夾角最大，為.【名師指路】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡和空間直角坐標(biāo)系中向量的夾角，屬于中檔題.20．(2023·上海中學(xué)高二期中）已知是空間單位向量，，若空間向量滿足且對(duì)任意、，則______【標(biāo)準(zhǔn)答案】##【思路指引】根據(jù)最值的定義，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解詳析】由可知：當(dāng)時(shí)，有最小值1，因?yàn)槭强臻g單位向量，,空間向量滿足,所以,顯然當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為1，所以，解得：，即當(dāng)時(shí)成立，因此，故答案為：【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)最值的定義利用配方法是解題的關(guān)鍵.三、解答題21．(2023·上海市南洋模范中學(xué)高三期末）已知，，，定義一種運(yùn)算：，已知四棱錐中，底面是一個(gè)平行四邊形，，，（1）試計(jì)算的絕對(duì)值的值，并求證面；（2）求四棱錐的體積，說明的絕對(duì)值的值與四棱錐體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算的絕對(duì)值的幾何意義.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）48，證明見解析；（2）體積為16，，的絕對(duì)值表示以為鄰邊的平行六面體的體積．【思路指引】（1）根據(jù)新定義直接計(jì)算，由向量法證明線線垂直，得線面垂直；（2）計(jì)算出棱錐體積后，根據(jù)數(shù)據(jù)確定關(guān)系．【詳解詳析】（1）由題意＝48．，，∴，即．是平面內(nèi)兩相交直線，∴平面．（2）由題意，，，，∴．∴，猜想：的絕對(duì)值表示以為鄰邊的平行六面體的體積．【名師指路】本題考查向量的新定義運(yùn)算，解題時(shí)根據(jù)新定義的規(guī)則運(yùn)算即可．考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，同時(shí)考查學(xué)生的歸納推理能力．22．(2023·上海市七寶中學(xué)高二期中）如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值是，求線段的長(zhǎng).【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過可證得結(jié)論；（2）根據(jù)二面角的空間向量求法可求得結(jié)果；（3）利用共線向量和向量線性運(yùn)算表示出，根據(jù)直線與平面所成角的空間向量求法可構(gòu)造方程求得，從而得到，求解的模長(zhǎng)即為所求結(jié)果.【詳解詳析】（1）以為原點(diǎn)可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系則，，，，，，（2）由（1）知：，平面，平面又，平面，平面平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的法向量則，令，則，二面角的正弦值為（3）由（1）知：，設(shè)，平面，平面又，平面，平面平面的一個(gè)法向量為設(shè)為直線與平面所成角則，解得：則，即的長(zhǎng)為【名師指路】本題考查空間向量法解決立體幾何中的垂直關(guān)系證明、二面角的求解、根據(jù)線面角求解其他量的問題；考查學(xué)生對(duì)于空間向量法的掌握情況，屬于?？碱}型.23．(2023·上海·同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)高二期末）在平面四邊形中，、分、所成的比為，即，則有：.（1）拓展到空間，寫出空間四邊形類似的命題，并加以證明；（2）在長(zhǎng)方體中，，，，、分別為、的中點(diǎn)，利用上述（1）的結(jié)論求線段的長(zhǎng)度；（3）在所有棱長(zhǎng)均為平行六面體中，（為銳角定值），、分、所成的比為，求的長(zhǎng)度.（用，，表示）【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）命題同題干，證明見解析；（2）；（3）【思路指引】（1）由條件可得，利用向量的線性運(yùn)算證明即可；（2）由（1）的結(jié)論可得，兩邊同時(shí)平方計(jì)算可得結(jié)果；（3）由（1）的結(jié)論可得，兩邊同時(shí)平方計(jì)算可得結(jié)果.【詳解詳析】（1）在空間四邊形中，、分、所成的比為，即，則有：.證明：；（2）由（1）的結(jié)論可得，，；（3）如圖：與所成的角為，又由（1）的結(jié)論可得，，.【名師指路】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積的運(yùn)算及模的運(yùn)算，考查學(xué)生計(jì)算能力，是中檔題.24．(2023·上海·高三月考）如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，AC=4，BD=2，且側(cè)棱AA1=3.其中O1為A1C1與B1D1的交點(diǎn).（1）求點(diǎn)B1到平面D1AC的距離；（2）在線段BO1上，是否存在一個(gè)點(diǎn)