高中數(shù)學(xué)好題易錯(cuò)題集

高中數(shù)學(xué)好題易錯(cuò)題集2023.1.12

23m,..,、

(高一事函數(shù))已知函數(shù)了(》)=(4加—3加卜才是黑函數(shù)，且〃3)<〃5).

(1)求實(shí)數(shù)，"的值；

⑵若〃北+1)<“3-4”)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍

2.3〃1.

【詳解】(1)因?yàn)椤?(4"-3加卜F是基函數(shù)，所以4/-3加=1,

解得m=1或切=-1.

4

1999

當(dāng)相=-^時(shí)，f(x)=x^此時(shí)/(3)=33，/(5)=5-8,顯然”3)>〃5)不符合題意:

當(dāng)〃7=1時(shí)，/(力=/,此時(shí)/(3)=3"45)=54，滿足/(3)vf⑸,符合題意.

綜上，m=l；

(2)因?yàn)?所以“X)的定義域?yàn)椋?,+8),且在［0,+8)上單調(diào)遞增，

由〃2a+l)v〃3—而)，

2a+l>0

得《3-4a2。,解得-/Wa<5，

2。+1<3-4。

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為-g，g)

(高一二次函數(shù)與恒成立)已知函數(shù)〃x)=ln(x+q)(aeR)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,0),

g(x)=x2-2e/,x).

(1)求函數(shù)g(x)的解析式；

(2)設(shè)機(jī)>0,若對(duì)于任意xe—,m,都有g(shù)(x)<-ln(〃?-l),求機(jī)的取值范圍

_m

【詳解】(1)解：由己知可得，/(l)=ln(l+a)=0,所以a=0,

所以/(x)=lnx,定義域?yàn)?0,+8).

所以有，g(x)=x2-2e/(A>=%2-2elnt=x2-2x,xe(O,-H?).

(2)解：若對(duì)于任意xe—,m,都有g(shù)(x)<-lnG〃-l),

tn

只需滿足g(x)11m成立.

由(1)知，g(x)=f-2x,x>0,對(duì)稱軸為x=l.

由“>0,可得，w2>1,所以力>1,即有

mm

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得g(x)在上單調(diào)遞減，在(1,向上單調(diào)遞增,

所以g(x)的最大值在x=3或、=用處取得.

Xgf—1-2x—=^---,g(m)=nr-2m,

\m)\m)mm"tn

g(機(jī))一g-2m—{-^r—^-\=nr——■一—=(m+1)(瓶-1),

)\tnm)m\m)后

又m>1，所以gG")-g('J>0，所以g(m)>g]\)，

所以gGOmax=g(%)=病一2m.

由g(x)maxvTn()%—1)成立，可得病一2mv-lnO-1)，m>1,

即相2-2m+]n(m-l)<0,z/7>1.

令〃("?)=/—2m+ln(n?—l),m>1,則原不等式等價(jià)于〃

>1,且設(shè)班<網(wǎng)，

則M小)一妝也)=肛2—2叫+ln(〃&—+2m,-ln(/n,-1)

=(7w)一加2)(//+m2-2)+ln——,

因?yàn)樗?，色?,m、<嗎,所以㈣一"?2<。，叫+嗎-2>0,0<町一1<嗎一1,

所以。<eW<1,所以In強(qiáng)二1<0,所以(叫-小)(叫+〃?「2)+ln%三<0.

所以九(肛)所以人(犯)<〃(/nJ,

所以〃(加)=4-2,〃+ln(?i-l)在(1,4w)上單調(diào)遞增.

又妝2)=22-2x2+ln(2—l)=0,則由〃(旭)<0=力⑵,可解得1<機(jī)<2.

4

(高一函數(shù)零點(diǎn))已知定義在(0,+8)上的函數(shù)"x)=x+1-5,則“X)的零點(diǎn)是

；若關(guān)于x的方程y(x)=m(M>o)有四個(gè)不等實(shí)根不當(dāng)不用，則玉起毛匕=

【詳解】令/(x)=。，則％+3=5,BPX2-5X+4=(X-1)(X-4)=0,可得x=l或x=4,

x

又X￡(0,4-00),故/(x)的零點(diǎn)是X=1和x=4;

由/（力=砥機(jī)＞0）有四個(gè)不等實(shí)根與,％2，0匕，即/（幻且不￡（。,+8）與y=m＞。有四個(gè)不同

交點(diǎn),

因?yàn)閥=x+3-522jx-±-5=-l,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立,

xVx

結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，V在xe（0,2）上遞減，在xe（2,*o）上遞增,

綜上,(0,1)和(4,用)上丫＞0,(1,4)上"0,

則（0,1）、（2,4）上/（x）=y|遞減,（1,2）、（4,+8）上f（x）=|），|遞增,

所以Ax）函數(shù)圖象如下，由圖知：

又y=x+±-5=l,貝U-Gx+dnO,解得x=3土石,

X

若不1＜電＜工3＜%4，則3-&vX]Vlvx2V2＜七＜4Vx4＜3+6,

44U—=5-〃?,

故石+—=七+—=加+5,

所以不看是12-（加+5）尤+4=0的兩個(gè)根，々，芻是/+。％-5）工+4=0的兩個(gè)根,

則不工4=工2七=4,故%％2工3%4=16.

故答案為：x=l和x=4,16

（高一概率）甲約乙下中國(guó)象棋，若兩人下成和棋的概率是甲獲勝的概率是g,則下列

結(jié)論正確的是（）

74

A.甲不輸?shù)母怕蕿檎鼴.乙不輸?shù)母怕蕿閙

2I

C.乙獲勝的概率為二D.乙輸?shù)母怕蕿椤?/p>

【分析】利用互斥事件概率加法公式、對(duì)立事件概率計(jì)算公式直接求解.

【詳解】選項(xiàng)A：甲、乙兩人下成和棋的概率是3，甲獲勝的概率是1，所以甲不輸?shù)母怕?/p>

117

為耳+1=而，故A正確；

14

選項(xiàng)B：乙不輸?shù)母怕蕿楣蔅正確；

113

選項(xiàng)C：乙獲勝的概率為=而，故C不正確；

選項(xiàng)D：乙輸?shù)母怕?即甲獲勝的概率)為(，故D正確.

故選ABD.

(高一上圖像變換)關(guān)于函數(shù)f(x)=|ln|2-x||,下列描述正確的有()

A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱

C.若片片々，但/(%)=/(七)，則X|+±=2

D.函數(shù)/(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換，可得圖像，利用圖象注意檢測(cè)選項(xiàng)，可得答案.

【詳解】由函數(shù)y=lnx,x軸下方圖象翻折到上方可得函數(shù)y=|lnx|的圖象,

將y軸右側(cè)圖象翻折到左側(cè)，右側(cè)不變，可得函數(shù)丫=阿4=阿-4的圖象，

將函數(shù)圖象向右平移2個(gè)單位，可得函數(shù)產(chǎn)舊-(*-2)||=網(wǎng)2-用的圖象，

則函數(shù)/。)=1卬2-刈的圖象如圖所示.

由圖可得函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，A正確；

函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，B正確；

若入戶々，但/(與)=/5)，若4，4關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則為+巧=4,C錯(cuò)誤;

函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，D正確.

故選：ABD.

(高一上指數(shù)綜合)已知函數(shù)/(的=3,-3'+2,則f(log32)=；關(guān)于x的不等

式/(3x)+/(4-x)>4的解集為.

【詳解】/(log32)=3咽2-3-喝2+2=2-]+2=；；

設(shè)g(x)=/(x)-2=3*-3-',

因?yàn)間(-x)=3-1-3,=—g(x),所以g(x)為奇函數(shù)，

設(shè)玉<&，因?yàn)間(%)-g(々)=3',-3』—3%+3』=(3"—3-)(1+卡)，

因?yàn)檎?lt;々，所以3&<34，所以3"-3處<0,所以g(xj<g(x2),所以g(x)在R上是增函

數(shù)，

因?yàn)閒(3x)+/(4-x)>4,所以g(3x)+g(4r)>0,

所以g(3x)>g(x—4),所以3x>x—4,解得x>-2.

所以關(guān)于x的不等式/(3x)+/(4-x)>4的解集為(-2收).

-7

故答案為：—;(-2,+oo).

(高一上一元二次不等式成立)⑴若不等式x2+ox+240,aeR的解集為{知342},求

不等式—+5+221--的解集；

(2)若對(duì)于任意的X€{T-14X41},不等式/+曲:+242。%-1)+4恒成立，求實(shí)數(shù)”的

取值范圍；

(3)若方程*2+,a+2=辦2+(。+2)》+1在{x|g<xV3>有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

【詳解】(1)若不等式/+ax+240的解集為{xH4x42},即1,2是方程x?+辦+2=。的

兩個(gè)根，貝!)1+2=-a=3,即。=一3,

由/+以+221—/得工2一3X十2之1一爐，即2X2-3X+1N0得(2%—1)(%—1)之0,得工21或

/

即不等式的解集為(e,U[l,+oo).

(2)解：不等式/+辦+242”(;(:-1)+4在xe{x|-14x41}恒成立，即f—儀+2a-240在

xe{x|-14x41}恒成立，

12-a+2a-2<0i(il

故、2，解得故〃的取值范圍為YO，￡.

(-\Y+a+2a-2<03I3」

(3)國(guó)軍：由辦？+(o+2)x+1=d+分+2,得(。一I)/+2x-l=0,HP(a-l)x2=1-2x,

若方程在｛x4<x43｝有解，等價(jià)為07=匕巴=與_2=(1_1尸_］有解，

2x-xxx

2

*.*xG｛x|—<x3),一￡-?21,即一14(—I)—1<0,即一IKa—1<0,則0<。<1,

2x\_3Jx

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是［。/).

(高一上分段函數(shù))設(shè)函數(shù)f(x)=-\：：］；“<°若/(〃〃))=1

則實(shí)數(shù)4=

【詳解】設(shè)〃a)=w,則/(㈤=1,當(dāng)時(shí)，顯然一M=i無(wú)解，

當(dāng)機(jī)<0時(shí)，由蘇+2m+1=1得〃?=一2,/.f(^)=-2,

當(dāng)a<0時(shí)，由/+2a+l=(4+1)220,/(〃)=-2無(wú)解，

當(dāng)a20時(shí)，由—/=-2得a=>/2，綜上a=V2.

故答案為：血.

(平移與伸縮變換)函數(shù)y=2「"的圖像可看作是把函數(shù)y=2,經(jīng)過(guò)以下哪種變換得到()

A.把函數(shù)y=2,向右平移一個(gè)單位

B.先把函數(shù)y=2,的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，然后把所得函數(shù)圖像向左平移一個(gè)單位

C.先把函數(shù)y=2,的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，然后把所得函數(shù)圖像向左平移一個(gè)單位

D.先把函數(shù)y=2'的圖像關(guān)于V軸對(duì)稱，然后把所得函數(shù)圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

2倍，橫坐標(biāo)不變

【詳解】選項(xiàng)A：函數(shù)y=2*向右平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=2一；

選項(xiàng)B：先把函數(shù)y=2'的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱得到y(tǒng)=-2］然后向左平移一個(gè)單位得到

y=-2口

選項(xiàng)C：先把函數(shù)y=2'的圖像關(guān)于了軸對(duì)稱得到y(tǒng)=2-,然后向左平移一個(gè)單位得到

y=2<Jr+l>=2皿.

選項(xiàng)D：先把函數(shù)y=2,的圖像關(guān)于V軸對(duì)稱得到丁=2一」,然后把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

2倍,橫坐標(biāo)不變得到y(tǒng)=2x2、=2*

故選：D

(高一上指數(shù)函數(shù)綜合)設(shè)函數(shù)/。)=(左-1)/+「3>0且"D是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),

/(1)=|

(1)求。的值并用定義法證明/(x)在(。,+紇)上的單調(diào)性；

⑵若/W+2)—/(加—4)>0,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(3)若g(x)=m+,產(chǎn)-(2m+l)/(x)在[1,+8)上的最小值為-3,求m的值.

【詳解】(1)[?由函數(shù)”力=依-1)，+/是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),

二滿足/(x)=f(-x),

即(％-1)/+ax=ax+(k-\)ax,

-1=1,即z=2,

xx

.\f(x)=a+af

又f(1)=|,即a+/=|,

化簡(jiǎn)為：2/-5a+2=0,

解得：。=2或者〃=:，

2

:.f(x)=2x+Tx,

設(shè)方,電e(0,+<?)且芭，則

/(士)-/(幻

=2.+2-3-（2J2-&）

=2*-2X：+--------

2*,2過(guò)

-2X,

叼+-———

=2*-22內(nèi)+為

xl

由王<々，得2、一2與<0

?.#0<Xj<x2,

.,/<1,即1-募>。，

???〃37（々）=（2廠211-擊卜0,

\/（X）在單調(diào)遞增；

（2）/（力是R上的偶函數(shù)，

\/（勾在X?O,4W）單調(diào)遞增，在X￡（f,0）單調(diào)遞減.

,.,/（/??+2）-/（m-4）>0,

即/（m+2）>/（m-4）,

.,.|m+2|>|/n-4|,

兩邊平方得：+4+4〃?>+16-8〃z

解得：m>1,

實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為：（1,內(nèi)）；

（3）由（1）知,g（x）=a2x+a2x-（2/M+1）/（x）=22J+2-2x-（2/n+1）（2X+Tx）

將g（x）變形得：g（x）=22*+2-2x-（2/n+l）（2x+Tx）=（2r+Tx）?-（2w+l）（2r+2T）-2

令r=2*+2",因?yàn)閤e[l,+8）,由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得

則原函數(shù)化為：y=r2-（2/n+l）z-2,/>|,

由題知，y=*-（2m+l）t-2在Ze■1,+e）上的最小值為-3,

函數(shù)y=”一（26+1"-2的對(duì)稱軸為：r=-二（空D=〃?+g,

①當(dāng)，〃+即加>2時(shí)，，""一"=（/〃+：）-（2〃？+l）[，〃+gJ-2=-3,

解得：加=-：3或加=1均不符合題意，舍去，

22

②當(dāng)初+:=：,即加=2時(shí)，X?/?=f-T-5x--2=--^-3,不符合題意，

22I2J24

③當(dāng)，〃+即0?<2時(shí)，為加=(1)—+—2=—3,

解得：機(jī)=子19符合題意，

所以加的值為治19.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用換元法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論是解題的關(guān)鍵.

(高一上奇偶性)若/(x)=lna++。是奇函數(shù)，則。=_____,b=____.

2-x

【詳解】因?yàn)?W=lna+J—+》是奇函數(shù)，

2-x

所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

由—30可得，(2-x)(2?+l-ar)^0,

所以％=如1=_2,解得“=:,

a4

所以函數(shù)的定義域?yàn)?f,-2)U(-2,2)U(2,+w),

因?yàn)?(x)在x=0處有定義，即f(0)=0,

所以1/+6=0,解得6=ln4,

4

故答案為：-了；In4

4

(高一上統(tǒng)計(jì))某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分

層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30),

[30,40),L,[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)已知樣本中分?jǐn)?shù)在[40,50)的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù);

(2)試估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的第三四分位數(shù)；

（3）已知樣本中男生與女生的比例是3：1,男生樣本的均值為70,方差為10,女生樣本的均

值為80,方差為12,請(qǐng)計(jì)算出總體的方差.

【詳解】⑴由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在［50,90）的頻率為（0.01+0.02+0.04+0.02）x10=0.9,

在樣本中分?jǐn)?shù)在［50,90）的人數(shù)為100x0.9=90（人）,

在樣本中分?jǐn)?shù)在［40,90）的人數(shù)為95人，所以估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在［40,90）的人數(shù)為

400x0.95=380（人），總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人

（2）測(cè)試成績(jī)從低到高排序，樣本中分?jǐn)?shù)在［40,70）的頻率為0.4,

樣本中分?jǐn)?shù)在［40,80）的頻率為0.8,則75%分位數(shù)在［70,80）之間，

所以估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)為70+10x先075—-074=70+8.75=78.75.

0.8-0.4

31

（3）總樣本的均值為2x70+—x80=72.5,

44

所以總樣本的方差為sJ=（［10+（72.5-70）2］+；［12+（72.5-80）1=與

（高一上翻折變換與零點(diǎn)汨知函數(shù)f（x）=［詈24°「<&若f（a）=以b）=f（c）（a<b<c）,

l-x,x>8,

則"c的取值可能是（）

A.8.5B.10.5C.12.5D.14.5

【詳解】畫出?。?［型2琲°丁<8,的圖象，如下所示:

因?yàn)镕(a)=F0)=/(c),

故可得：log2a+log2b=0,解得ab=］；

數(shù)形結(jié)合可知：ce（8,ll）,

故必c?8,ll）.

則滿足該范圍的選項(xiàng)是：AB.

（高一上概率）如圖所示的電路由邑兩個(gè)系統(tǒng)組成，其中M,N,P,Q,L是五個(gè)不同

的元件，若元件N,P,Q,乙出現(xiàn)故障的概率分別為!，!，則下列結(jié)論

23456

正確的是（）

&S2

A.元件M,N均正常工作的概率為:B.系統(tǒng)B正常工作的概率為:

60

C.系統(tǒng)52正常工作的概率為上D.系統(tǒng)3，邑均正常工作的概率為g29

36

【分析】對(duì)于A,利用獨(dú)立事件的概率公式求解即可，對(duì)于B,先求出系統(tǒng)卻不能正常工作

的概率，然后利用對(duì)立事件的概率公式求解，對(duì)于C,先求出系統(tǒng)邑不能正常工作的概率,

然后利用對(duì)立事件的概率公式求解，對(duì)于D,利用獨(dú)立事件的概率公式求解即可，

【詳解】設(shè)事件4,B,C,D,E分別表示M,N,P,Q,L元件出現(xiàn)故障，則P（A）=g,

111——191

P（D）=-,P（E）=＜所以元件均正常工作的概率為P（A）P（8）=；x：=；,

356233

A錯(cuò)誤，

2I|5

系統(tǒng)》正常工作的概率為1—=q=B正確；

i11?9

系統(tǒng)反正常工作的概率為=l-3="，C錯(cuò)誤；

563030

29529

系統(tǒng)S-1均正常工作的概率為=D正確.

30636

故選：BD.

（高一上單調(diào)性與奇偶性）已知定義域?yàn)閇-5,5]的函數(shù)/*）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,

且滿足/（-x）+/（幻=0.若V0X2G（0,5],當(dāng)占＜%時(shí)，總有/⑷＞外，則滿足

內(nèi)x2

（26一1）/（2機(jī)—1）4（m+4）/（優(yōu)+4）的實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A.[—1,1]B.[-1,5]

C.[-2,3]D.[-2,1]

【詳解】令g(x)=#(x),xe[-5,5]

f(x)f(x)

因?yàn)槲?天?0,5],當(dāng)占<不時(shí)，總有即赴/(々)>先/(西)，

%X2

即％,%?0,5],當(dāng)?shù)?lt;X2時(shí)，總有g(shù)(囚)>g&),

所以g(x)在(0,5]上遞增,又因?yàn)椤═)+5(X)=0,

所以g(-力=一"(-X)=M'(x)=g(X),xe[-5,5],

所以g(x)在[-5,5]上是偶函數(shù)，

又因?yàn)?2〃?-1)/(2加一1)4(6+4)/(加+4),

所以g(2加一l)《g(w+4),Bp^(|2m-l|)<g(|m+4|),

—5<2m-1<5-2<m<3

所以<一54m+445,Hp]-9</?t<l,

\lm-1|<\m+4|-l</n<5

解得一IKmKI,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為[-15.

故選：A.

(高一上分段函數(shù))己知awR,函數(shù)〃力=1:一毋①若/[〃叨=1,則。之值為

[x^-ax,x>\

;②若不等式/(X)>/⑴對(duì)任意xeR都成立，則a的取值范圍是

【詳解】解：由題可知，山)=卜丁小二,

[X-ax,x>\

①當(dāng)acl時(shí)，則f(a)=a2-a2=。，/[/(a)]=/(0)=a2=l,

解得：a=-l；

當(dāng)aZl時(shí)，則/(")=/—黯=0,/[/(?)]=./(O)=a2=l,

解得：a=l；

綜上得：a=±l.

②由題可知，=

由不等式/(x)Z/(l)對(duì)任意xwR都成立，

ci~-cix^.\—Clx2_cix—Cl

所以有<,怛成“且<,恒成“，

X<1X>1

一片一辦之1一。］一必+。2+。-120

對(duì)于K恒成立時(shí)，即京怛成立,

-a<0

解得：a>l；

-a+a2-l+a>0

…\x2-ax>l-a-,Ja(x-1)Vf—1

對(duì)于《恒成u時(shí),即恒成立,

%>1[x>l

當(dāng)X=1時(shí)，明顯成立,

當(dāng)方>1時(shí)，aVx+1恒成立，又???x21,x+122,解得：a<2；

綜上得：14a42.

所以〃的取值范圍是：［1,2］

故答案為：①±1;②口，2］.

(高一上存在與任意)設(shè)〃x)=-x2-好+1,g(x)=-+；+”

(1)若〃x)在區(qū)間［1,2］上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍;