高中數(shù)學(xué)講義-直線的參數(shù)方程

直線的參數(shù)方程

目錄

教材內(nèi)容解析........................................................................................1

學(xué)情分析............................................................................................1

教學(xué)方法與教學(xué)手段.................................................................................2

教學(xué)目標(biāo)...........................................................................................2

教學(xué)重點(diǎn)............................................................................................2

教學(xué)難點(diǎn)............................................................................................2

教學(xué)過程............................................................................................2

課題引入....................................................................................2

二.直線的參數(shù)方程（直線的參數(shù)的發(fā)現(xiàn)與確定）................................................3

三.參數(shù)f的幾何意義..........................................................................3

四.直線參數(shù)方程的應(yīng)用........................................................................4

五.本課小結(jié)..................................................................................8

六.作業(yè)......................................................................................8

教材：人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《教學(xué)》（A版）選修4—4坐標(biāo)條與參數(shù)方程P35-P39,

分兩節(jié)課完成，本教案是第一節(jié)課，內(nèi)京主要在P35~P37.

教材內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容是人教A版選修4—4第二講第三部分的內(nèi)容.直線是學(xué)生最熟悉的幾何圖形，在教

材《必修2》中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的五種方程.教科書先引導(dǎo)學(xué)生回顧了用傾斜角的正切表示的直

線的點(diǎn)斜式方程，這是為推導(dǎo)直線的參數(shù)方程做準(zhǔn)備，從代數(shù)變換的角度看，教材P35的直線參

數(shù)方程F=*°+'c°sa，。為參數(shù)）就是點(diǎn)斜式的變形.在提出“如何建立直線的參數(shù)方程？”后，教

y=%+fsina.

材引導(dǎo)學(xué)生借助向量工具探究直線的參數(shù)方程.這一過程，教師引導(dǎo)學(xué)生通過類比、聯(lián)想的思想方

法，將直線和單位方向向量聯(lián)系起來，引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)，從而建立直線的參數(shù)方程.

學(xué)情分析

學(xué)生對(duì)事物的認(rèn)識(shí)多是從直觀到抽象，從感性到理性.而對(duì)事物的理解多以自己的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)

來建構(gòu)或解釋現(xiàn)象，而并不是把知識(shí)從外界直接搬到記憶中.高二學(xué)生的學(xué)習(xí)過程更是如此.

之前圓錐曲線的參數(shù)方程學(xué)生已經(jīng)熟悉，也能夠理解各種曲線的參數(shù)的幾何意義，但是直線的

參數(shù)方程還能否用角作為參數(shù)呢？這是完全不同的，應(yīng)該選擇那個(gè)量作為直線的參數(shù)呢?需要引入

”方向向量的概念”，之前的必修教材從未學(xué)習(xí)過，所以，在講本節(jié)課之前，提前對(duì)方向向量的知

識(shí)作了補(bǔ)充學(xué)習(xí)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提前進(jìn)行知識(shí)儲(chǔ)備.

教學(xué)方法與教學(xué)手段

教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)探究式（教師設(shè)問引導(dǎo)，學(xué)生自主探究、合作解決）.

教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)（利用計(jì)算機(jī)和實(shí)物投影輔助教學(xué)）.

教學(xué)目標(biāo)

1.利用直線的單位方向向量推導(dǎo)直線的參數(shù)方程，體會(huì)直線的普通方程與參數(shù)方程的聯(lián)系；

2.理解并掌握直線的參數(shù)方程中參數(shù)f的幾何意義；

3.通過直線參數(shù)方程的探究，體會(huì)參數(shù)的形成過程，培養(yǎng)嚴(yán)密地思考和嚴(yán)謹(jǐn)推理的習(xí)慣；

4.在學(xué)習(xí)過程中滲透類比、歸納、推理的數(shù)學(xué)思想方法，以及引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)“根據(jù)幾何性質(zhì)

選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)，建立參數(shù)方程”的幾何問題代數(shù)化的解析思想.

教學(xué)重點(diǎn)

1.分析直線的幾何條件，選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線的參數(shù)方程；

2.直線的參數(shù)方程中參數(shù)f的幾何意義.

教學(xué)難點(diǎn)

1.直線的參數(shù)方程中參數(shù)f的幾何意義；

2.直線參數(shù)方程中參數(shù)f的幾何意義的初步應(yīng)用.

教學(xué)過程

一.課題引入

問題L已知直線/：x+y-l=O與拋物線y=V交于A,8兩點(diǎn)，求M（T,2）到A,8兩點(diǎn)的距離

之積.

解：解析法

?x+y—1=°_（?左門在六上兒l八mi4,t3+\/5.—1+A/53>/5

由〈，可知兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為4----------,--------）,8（---------,--------x）

y=x22222

所以4HM=J（_1—Z1^）2+（2_1^）2,J（_i-Zl^）2+（2?1^）2

=J（3-6.（3+石）=2.

【設(shè)計(jì)意圖】

通過幾何法求解距南，讓學(xué)生真切感受“計(jì)算過程”的繁瑣，為引入本節(jié)課題做鋪墊,

問題2.有沒有比這種方法更簡(jiǎn)便的算法？接著引入本節(jié)課題“直線的參數(shù)方程”.

二.直線的參數(shù)方程（直線的參數(shù)的發(fā)現(xiàn)與確定）

探究1.一般地，設(shè)直線/經(jīng)過點(diǎn)用0（%,%），且傾斜角為a,動(dòng)點(diǎn)M（x,y）為直線上任意一點(diǎn)，

直線/的單位方向向量記作e=（cosa,sina）,ae[0,不），那么

M.M//e,因此根據(jù)共線向量的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)/,使得「

MQM=te,—/

即（I-%,y-%）=Kcosa,sina）,于是，有/?/M

尸f=‘cos"為參數(shù)）/

y-y0=tsina/疏

因此，把上面的方程叫做經(jīng)過點(diǎn)“。（%治）,傾斜角為a的直線/的O/"

參數(shù)方程.//

直線參數(shù)方程的文字表述：直線上任意動(dòng)點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)等于定點(diǎn)相應(yīng)坐標(biāo)加上參數(shù)乘以傾斜

角的正余弦.

注意：直線上的任意一個(gè)點(diǎn)都唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)參數(shù)J

【設(shè)計(jì)意圖】

通過教呼引導(dǎo)和啟發(fā)，由學(xué)生自己獨(dú)立或在小組合作的基礎(chǔ)上，借助直線的單住方向向量建.立

起直線/的參數(shù)方程，這是本節(jié)課的其中一個(gè)重點(diǎn)和關(guān)鍵.

探究3.參數(shù)/的符號(hào)又有什么意義呢？

當(dāng)0<a<萬時(shí)，sina>0,所以直線/的單位方向向量e的方向總是向上的.

（1）若￡>0,由/=2二%=y—%>ony>%，可知點(diǎn)”在點(diǎn)上方，則M。"的方向向上;

sina

(2)若f<0,由/=^^包?=>y-%<0=>y<%,可知點(diǎn)M在點(diǎn)M()下方，則的方向向下；

sina

(3)若f=0,則、=%，從而點(diǎn)M點(diǎn)A/。重合.

【設(shè)計(jì)意圖】

引導(dǎo)學(xué)生思考討論后獲取共投，直線的參數(shù)/具有兩點(diǎn)意義：符號(hào)決定了動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定點(diǎn)的往

置，絕對(duì)值表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距青，為后面參數(shù)的應(yīng)用做鋪墊，

問題3.如果直線水平放置，那么直線上的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系可以和我們學(xué)過的那個(gè)知識(shí)聯(lián)系

起來？

【設(shè)計(jì)意圖】

回顧教輔概念，理解教物上的任意一點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)賣教，皮的生標(biāo)的絕對(duì)值刖好是對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原

點(diǎn)的距.離.

問題4.數(shù)軸是怎樣建立的？數(shù)軸上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義是什么？

—i~NT周—

BO%

X1X2

規(guī)定了原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度和正方向的直線叫數(shù)軸。

己知數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為乙，XB，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為土磬，A,8兩點(diǎn)間

的距離為|的=,-斌.

類似地，有向直線類似于x軸，則A,3兩點(diǎn)間的距離為|4邳=以-端，線段A3的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)

的參數(shù)為5.

2

【設(shè)計(jì)意圖】

教材中在有向直線上確定兩點(diǎn)間的距離，以及兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參教，有些同學(xué)不能立刻理解，而用

教軸上兩點(diǎn)間的距離以及線段中點(diǎn)的生標(biāo)來類比，就可以幫助學(xué)生很好的理斛，這里類比思維起到

了重要作用.

四.直線參數(shù)方程的應(yīng)用

例1.已知直線/過點(diǎn)M(-1,2),傾斜角為3萬，寫出直線/的參數(shù)方程.

4

解：因?yàn)橹本€/過點(diǎn)M(-l,2),且/的傾斜角為3萬，

所以它的參數(shù)方程為

1o

x=-\-----1,

2口為參數(shù)）

尸2+2

2

變式1.已知直線/過點(diǎn)M(T,2),斜率為-1,寫出直線/的參數(shù)方程.

解：因?yàn)橹本€/過點(diǎn)”(-1,2),且/的斜率為-1,

所以它的傾斜角為2萬，從而直線的參數(shù)方程為

4

x=-\------1,

2。為參數(shù)）

y=2CH--V--2-1.

.2

變式2.已知直線/過點(diǎn)M(-1,2),斜率為-1,且與拋物線y=V交于A,8兩點(diǎn).求線段AB的長(zhǎng)

和點(diǎn)M(-1,2)到A,8兩點(diǎn)的距離之積.

解：解法一(解析法)：

因?yàn)橹本€/過點(diǎn)M(-1,2),且/的斜率為-1,

所以它的普通方程為y-2=-(x+l),即x+y-1=0

由y；1=°可知兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為人(土在，/叵

y=x22

-1+V53-V5

22

解法二(參數(shù)法(一))：

,V2

將直線/的參數(shù)方程a為參數(shù))代入拋物線方程得

>=2+丁.

/+"-2=0

解之得『受叵53叵

所以由參數(shù)/的幾何意義得|AB|=|MA|+|"M=H+N|=W，

|網(wǎng).|網(wǎng)=葉冏=|%|=2

解法三（參數(shù)法（二））：

1o

x=-l---1,

將直線/的參數(shù)方程2（r為參數(shù)）代入拋物線方程得

y=2cH--V-21.

2

產(chǎn)+"—2=0

t\+t--V2

所以由韋達(dá)定理可知2

t^2=—2

所以由參數(shù)/的幾何意義得

|=|MA|+|M8|=，|+\t2\=\t]-t2\=4%=M，

|剛.|四.小團(tuán)=陶=2

【設(shè)計(jì)意圖】

這是教材中的一道例題，做了適當(dāng)?shù)母膭?dòng)，變成兩個(gè)問題求解，這樣安排便于學(xué)生更家易熟悉

直線的參數(shù)方程，其次在變式2中，設(shè)計(jì)了三種方法求解，第一種剛好就是課題引入前的引例讓

學(xué)生在自主解答的過程中去感受和體會(huì)引入?yún)⒔痰膬?yōu)越性，斛折法家易想，但是不家易算，參數(shù)法

的引入就使問題的計(jì)算趨.于簡(jiǎn)單化，這也是引入?yún)⒔谭匠痰哪康乃?

例題小結(jié)：

（1）體會(huì)參數(shù)法在解決幾何問題時(shí)的方便性;

(2)數(shù)軸任意一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)x相當(dāng)于直線上任意一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)f；

(3)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)為，-之間的距離是|百一百=&,+%)2-4%%,直線上任意兩點(diǎn)間的距離

剛好等于A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)之差的絕對(duì)值|4卻=/7=而+32-4他?

22

練習(xí).經(jīng)過點(diǎn)M(2,l)作直線/,交橢圓上+上=1于A,3兩點(diǎn).如果點(diǎn)M恰好為線段的中點(diǎn),

164

求直線/的方程.

解：解法一：點(diǎn)差法

設(shè)4(”),B(x2,y2),則由題意可知

%1+x2=4,

j+%=2.

又因?yàn)辄c(diǎn)A(X1,yJ,BQ2,%)在橢圓上，則有

/2

V+史一

1

'-22221

/1640?——?y一％=0=—一%___j_

、_2

V必2164一2

I164

因此，直線/的方程為y=-；x+2.

解法二：參數(shù)法

設(shè)過點(diǎn)M(2,1)的直線/的參數(shù)方程為

x=2+Ecosa,

(/為參數(shù))，將其代入橢圓方程整理得

y=l+/sina.

(3sin2(2+l)r2+4(cos+2sina)t-8=0

_4(cosa+2sina)

所以

3sin2(7+1

因?yàn)辄c(diǎn)"(2,D為線段AB的中點(diǎn)，所以空=°,即

cosa+2sina=0

于是直線/的斜率為&=t