幾何變換-第四講學(xué)生版

第四講幾何變換

一、平移變換

1.定義設(shè)PQ是一條給定的有向線段，T是平面上的一個變換，它把平面圖形F上任一點X變到X，，

使得雙=0,則T叫做沿有向線段凡的平移變換。記為X>X，,圖形FD：，F(xiàn)'。

2.主要性質(zhì)在平移變換下，對應(yīng)線段平行且相等，直線變?yōu)橹本€，三角形變?yōu)槿切?，圓變?yōu)閳A。

兩對應(yīng)點連線段與給定的有向線段平行（共線）且相等。

二、軸對稱變換

1.定義設(shè)1是一條給定的直線，S是平面上的一個變換，它把平面圖形F上任一點X變到X，，使得

X與X，關(guān)于直線1對稱，則S叫做以1為對稱軸的軸對稱變換。記為，圖形。

2.主要性質(zhì)在軸對稱變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線（段）或者平行，或者交于對稱軸，且這兩

條直線的夾角被對稱軸平分。

三、旋轉(zhuǎn)變換

1.定義設(shè)a是一個定角，0是一個定點，R是平面上的一個變換，它把點0仍變到0（不動點），

而把平面圖形F上任一點X變到X，，使得OX'=0X,且NXOX，=a,則R叫做繞中心0,旋轉(zhuǎn)角為a的

旋轉(zhuǎn)變換。記為X-川>X］圖形FR23~F'o

其中a<0時，表示NX0X'的始邊0X到終邊0X，的旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向；a>0時，為逆時針方向。

2.主要性質(zhì)在旋轉(zhuǎn)變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

四、位似變換

1.定義設(shè)0是一個定點，H是平面上的一個變換，它把平面圖形F上任一點X變到X使得6父'

=k?阮，則H叫做以0為位似中心,k為位似比的位似變換。記為，圖形F那球>F'。

其中k>0時，X,在射線0X上，此時的位似變換叫做外位似；k<0時，X'在射線0X的反向延長線上，此

時的位似變換叫做內(nèi)位似。

2.主要性質(zhì)在位似變換下，一對位似對應(yīng)點與位似中心共線；一條線上的點變到一條線上，且保持

順序，即共線點變?yōu)楣簿€點，共點線變?yōu)楣颤c線；對應(yīng)線段的比等于位似比的絕對值，對應(yīng)圖形面積的比

等于位似比的平方；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行，即一直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平

行、相交位置關(guān)系保持不變；圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對應(yīng)點；兩對應(yīng)圓相切時切點為位似中心。

[例1]P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點，且/PAB=NPCB。

求證：ZPBA=ZPDA0

【例2】“風(fēng)平三角形"中，AA'=BB'=CC'=2,AOB'=NB0C'=60°。

再

求證：SAA0B'+SABOC,+SAC0A。

【例3】在兩條對角線長度以及夾角一定的所有凸四邊形中，試求周長最小的四邊形。

【例4】P是。0的弦AB的中點，過P點引。0的兩弦CD、EF,連結(jié)DE交AB于M,連結(jié)CF交AB于N。

求證：MP=NPo

圖4

【例5】是給定銳角NACB內(nèi)一個定圓，試在。0及射線CA、CB上各求一點P、Q、R,使得△PQR的周

長為最小。

圖5

【例6】aABC中，NA290°,ADLBC于D,APQR是它的任一內(nèi)接三角形。求證：PQ+QR+RP>2AD?

【例7】以AABC的邊AB、AC為斜邊分別向外作等腰直角三角形APB、AQC,M是BC的中點。求證：MP=MQ,

MP±MQo

【例8】已知0是aABC內(nèi)一點，ZA0B=ZB0C=ZC0A=120o；P是AABC內(nèi)任一點，求證:

PA+PB+PC》OA+OB+OC。

【例9】。。與AABC的三邊BC、CA、AB分別交于點Ai、Az、B1、Bz、G、C2,過上述六點分別作所在邊的

垂線ai、a?、bi、bz、，設(shè)&、b2>ci三線相交于一點D。求證：az、bi,c?三線也相交于一點。

圖9

【例10】AD是4ABC的外接圓0的直徑，過D作。0的切線交BC于P,連結(jié)并延長PO分別交AB、AC于