高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 (31)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（31）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，共40.0分）

1.設(shè)a,口是兩個(gè)平面，a,b是兩條直線，下列推理正確的是（）

aua)

A.na//aB.bu01=a//p

a//b)

Qua)aGa

//b

C.bu￡1=>aD.?！ㄈ眨馻//b

a〃回aC8=b

2.

俯視圖

A.竽B.竽C.4V3D.2

3

3.設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，正確的是（）

A.若Ql/?,THua,nc/?,則mJLn

B.若a/甲,mua,nu0,則m〃7i

C.若a-L0,aC\P=m,mln,則n10

D.若戈〃￡,mla,葭〃6，則m_Ln

4.將邊長(zhǎng)為5的菱形ABC。沿對(duì)角線AC折起，頂點(diǎn)B移動(dòng)至處，在以點(diǎn)B'，A，C,。為頂

點(diǎn)的四面體48,CD中，棱AC、8,。的中點(diǎn)分別為E、F,若AC=6,且四面體4B，CD的外

接球球心落在四面體內(nèi)部，則線段EF長(zhǎng)度的取值范圍為（）

A.(年,2旬B.(券,4)C.(V3.2V3)D.（於4）

5.如圖，在正四棱臺(tái)力BCD-4遇傳以1中，記直線與C￡＞所成角

為a,直線44］與平面ABCD所成角為0,二面角4一48-。所成

角為y,則下列關(guān)系正確的是（）

B

A.p>a,p>y

B.a>>y

C.a>y，Y>P

D.y>a,y>p

6.已知點(diǎn)48,C,D在同一個(gè)球面上,48=26,AC=4,Z.BAC=30。.若四面體A8CO體積的最大值

為4,則這個(gè)球的表面積為（）

A.487rB.?兀C.647rD.與TT

33

7.己知球。與棱長(zhǎng)為4的正四面體的各棱相切，則球O的體積為（）

A8^2U8^3c8^6px16^2

A.71D.71Lx.71D.---------71

3333

8.如圖，已知三棱錐D-ABC,記二面角C-4B-C的平面角為a,直線。A與

平面ABC所成的角為°,直線與8c所成的角為y,則（）/\\c

AS

B.a<p

C.a>y

D”y

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，共12.0分）

9.20世紀(jì)50年代，人們發(fā)現(xiàn)利用靜態(tài)超高壓和高溫技術(shù)，通過石一、

墨等碳質(zhì)原料和某些金屬反應(yīng)可以人工合成金剛石.人工合成金/z\/\

剛石的典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及它K/

們的過渡形態(tài).其中立方八面體（如圖所示）有24條棱、12個(gè)頂一V

點(diǎn)、14個(gè)面（6個(gè)正方形、8個(gè)正三角形），它是將立方體“切”去8個(gè)“角”后得到的幾何體.己

知一個(gè)立方八面體的棱長(zhǎng)為1,則

A.它的所有頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，且該球的直徑為2

B.它的任意兩條不共面的棱所在直線都相互垂直

C.它的體積為出

3

D.它的任意兩個(gè)共棱的面所成的二面角都相等

10.如圖所示，在正方體ABC。-41/加。1中，棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸為線段41c上

的動(dòng)點(diǎn)（包含線段端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）

A

A.當(dāng)砧=3審時(shí)，DiP〃平面BOG

B.當(dāng)中=3中時(shí)，力"I平面DiAP

C.NAPDI的最大值為90。

D.4P+PD1的最小值為竽

11.正方體A8CD-481GD1的棱長(zhǎng)為1,E,F,G分別為BC,CCi，BBi的中

點(diǎn).貝(1()

A.直線與直線A尸垂直

B.直線41G與平面AEF平行

C.平面AE尸截正方體所得的截面面積為J

D.點(diǎn)。與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等

①a14，an口=/,wlZ；（2）any=m,al/?,y1/?；

③a1y,/?1y,ml.a；(4)/?la,"1夕，mA.a.

其中為tnl夕的充分條件的是.(將你認(rèn)為正確的所有序號(hào)都填上)

14.平面四邊形4BC。中，AD=AB=丘,CD=CB=V5.且AD1ZB,現(xiàn)將44BD沿著對(duì)角線

BO翻折成zM'BD,則在zM'B。折起至轉(zhuǎn)到平面BCD內(nèi)的過程中，直線4c與平面88所成的

最大角的正切值為.

四、解答題(本大題共16小題，共192.0分)

15.如圖，三棱柱4BC-2B1G中，1平面ABC,AC=BC,AB=244=4,以AB,8C為鄰

邊作平行四邊形ABC。，連接&O和

(1)求證：平面BCGB1；

(2)若二面角4-DC-4為45。，

①證明：平面4GD，平面&AD；

②求直線&A與平面&G。所成角的正切值.

16.如圖，四棱錐P-ABC。中，P4J_菱形ABC￡)所在的平面，Z.ABC=60°,E是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是

PC上的點(diǎn).

(1)求證：平面AEF_L平面PAD；

(2)若M是PZ)的中點(diǎn)，當(dāng)4B=4P時(shí)，是否存在點(diǎn)尸，使直線EM與平面AEF所成角的正弦值

為［?若存在，請(qǐng)求出引勺值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

17.在四棱錐P-4BC。中，P41平面ABC。，AB=BC=2,AD=CD=巾，PA=遍,

Z.ABC=120。.G為線段PC上的點(diǎn).

(1)證明：BD1平面PAC；

(2)若G滿足PCL平面BGD,求二面角G-CD-4正弦值.

18.如圖，在四棱柱ABCD-&B1GD1中.底面A8C。是邊長(zhǎng)為2的菱形，ABX=CBX,

(1)證明：平面BDCiBi，平面力BCD;

(2)若NZMB=60°.△D/B是等邊三角形，求5到GBD的距離.

19.如圖，在三棱柱4BC-&B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB1BC,AAX=AC=2,BC=1,E,F分

別是4G，BC的中點(diǎn).

B

(1)求證：GF〃平面4BE.

(2)求三棱錐E-4BC的體積.

20.將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計(jì)、面積為100dm2的矩形薄鐵皮(如圖)，并沿虛線/1，

%裁剪成A，B,C三個(gè)矩形(B,C全等)，用來制成一個(gè)柱體，現(xiàn)有兩種方案：

方案①：以匕為母線，將A作為圓柱的側(cè)面展開圖，并從B,C中各裁剪出一個(gè)圓形作為圓柱

的兩個(gè)底面；

方案②：以。為側(cè)棱，將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖，并從B,C中各裁剪出一個(gè)正方形(各

邊分別與"或%垂直)作為正四棱柱的兩個(gè)底面.

(1)設(shè)B,C都是正方形，且其內(nèi)切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑；

(2)設(shè)，1的長(zhǎng)為x而，則當(dāng)尤為多少時(shí)，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？

21.如圖1,在邊長(zhǎng)為4的菱形4BCD中，NBA。=60°,DE14B于點(diǎn)E,將△AOEiAOE折起至4iOE

的位置，使DC,如圖2.

圖1圖2

(1)求證：&E1平面BCDE;

(2)求二面角E--C的余弦值；

(3)判斷在線段EB上是否存在一點(diǎn)P,膜平面AGP工平面A[BG若存在，求出胎的值；若不存

在，說明理由.

22.如圖，四棱錐P-ABCD中,底面ABCQ為菱形，PA_L平面ABC￡>,E為尸。的中點(diǎn).

入

(1)證明:PB〃平面AEC；

(2)設(shè)PA=1,4ABC=60c,三棱錐EiCD的體積棉，求二面角D-AE-C的余弦值.

23.已知四棱錐P—4BCC中，底面ABC。是正方形，PD1平面4BCC,PD=AB,E是尸8的中點(diǎn).

(1)求證：平面PBC_L平面尸CC；

(2)求二面角E-AD-B的大??；

24.已知四棱錐S-4BCC,54_1_平面48。0,底面A8C。為直角梯形，AB//DC,/.DAB=90°,

AB=2DC,AD=V3DC,M是S3中點(diǎn).

s

(1)求證：CM〃平面SAD；

(2)若直線OM與平面SA8所成角的正切值為F是SC的中點(diǎn)，求二面角C-4尸一。的余弦

值.

25.如圖，在底面是菱形的四棱錐P-4BC。中，儀)，PA=AC=a,PB=PD=g，

點(diǎn)E在P。上且PE:ED=2:1,尸為PC的中點(diǎn).

(1)求證：面PAD_L面ABCD.

(2)求證：8尸〃平面ACE.

(3)求二面角E-AC-。的平面角的大小.

26.如圖，三棱錐P-4BC中，P4_L平面ABC,PA=AC=2,BC=V3-^BAC=60",。是PA的

中點(diǎn)，E是C￡＞的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在PB上，PF=3FB.

(1)證明：平面P4B1平面P8C；

(2)證明：EF〃平面A8C；

(3)求二面角B-CD-4的正弦值.

27.如圖，在直三棱柱中，平面&BC1側(cè)面&ABB],且4&=AB=2.

(1)求證：AB1BC；

(2)若直線AC與平面4BC所成的角為和求銳二面角A-AC-3的大小.

28.如圖，正方形ADEF與梯形ABC。所在的平面互相垂直，ADLCD,AB"CD,AB=AD=2,

CD=4,M為CE的中點(diǎn).

(I)求證：BM〃平面AQEF；

(口)求證：平面8。七_(dá)1平面5&?；

(DI)求三棱錐E-BDM的體積.

29.如圖(1),在五邊形8czM￡中，CD//AB,/.BCD=90°,CD=BC=1,AB=2,ZkABE是以

AB為斜邊的等腰直角三角形，現(xiàn)將△ABE沿AB折起，使平面4BE_L平面ABC。，如圖(2),記

線段A3的中點(diǎn)為O.

(I)求證：平面ABE_L平面EO。；

(H)求平面ECD與平面ABE所成的銳二面角的大小.

30.如圖，在四棱錐P—4BCD中，己知PB，底面1BC,AD//BC,AB=AD=2,CD1PD,

異面直線PA和CO所成角等于60。.

(1)求直線PC和平面PAZ)所成角的正弦值的大小；

(2)在棱P4上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角4-BE-C的余弦值為丑？若存在，指出點(diǎn)E在棱

6

PA上的位置；若不存在，說明理由.

【答案與解析】

1.答案：D

解析：

本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，逐一判斷即可求解.

解：

由于a〃b,b//a,則au戊或。〃。，所以A錯(cuò)誤；

由于aua,bu),a〃b,則a〃3或a,/?相交,所以B錯(cuò)誤;

由于aua,bu0,a〃/?,則a〃b或a,b為異面直線，所以C錯(cuò)誤；

由于aua,a〃夕,aC/?=b,則?！?,所以￡＞正確.

故選D

2.答案：A

解析：

由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個(gè)三棱錐，其高為2VL底面是直角邊長(zhǎng)為2,2的直角三角

形，故先求出底面積，再由體積公式求解其體積即可.

解：由題設(shè)條件，此幾何幾何體為一個(gè)三棱錐，其高為2次，底面是直角邊長(zhǎng)為2,2的直角三角形，

故其體積是三xZx2x2x2^=辿，

323

故選A.

3.答案：D

解析：

本題考查了空間線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理，考查了空間想象能力與推理能力，

屬于中檔題.

A.由條件可得m與“不一定垂直，即可判斷出正誤；

B.由條件可得：m〃n或?yàn)楫惷嬷本€，即可判斷出正誤；

C.由條件可得：〃與￡的各種位置關(guān)系都有可能，即可判斷出正誤；

。.由a〃。，mla,n〃/?,利用面面平行、線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷出正誤.

解：，"，"是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面.

A.a1p,mua,nu0,則機(jī)與〃不一定垂直，不正確；

B.a//p,mca,nu0,則7n〃?i或?yàn)楫惷嬷本€，因此不正確；

Cal0,aC0=m,mln,則“與S的各種位置關(guān)系都有可能，因此不正確；

D.a//P，m1a,???m1P，又n〃.，可得m_Ln,正確.

故選：D.

4.答案：B

解析：

本題考查了棱錐外接球問題，屬于難題.

由題意可知4cl平面夕ED,根據(jù)外接球到棱錐頂點(diǎn)距離相等，球心。落在線段所上，結(jié)合題意可

OE<EF<EB',即可求解EF長(zhǎng)度范圍.

解：如圖

顯然AC_LB'E,iLACIDE,B'ECDE=E,B'E、DEu平面B'ED,

AC1平面B'ED,

???E是AC的中點(diǎn)，

???到點(diǎn)A,C的距離相等的點(diǎn)位于平面B'E。內(nèi),

同理可知，到點(diǎn)B',。的距離相等的點(diǎn)位于平面ACF內(nèi)，

???球心。到點(diǎn)4,B',C,。的距離都相等，

.??球心。位于平面B'ED與平面AC尸的交線上，即直線EF上，

???依題意可知，球心。落在線段E尸上（不含端點(diǎn)E、F）,顯然EF1B'。,

易知EA=3,EB'=4,則0壽=0E2+9,

且OB'?=OF2+FB'2=OF2+EB'2-EF2

=(EF-OE/+16-EF2

=OE2+16-2EF-OE,

???OA=OB',

???OE?+9=OE2+16-2EF-OE,

7

???OE=—,

2EF

顯然OE<EF,3<EF,即EF>任,

2EF2

又EF<EB'=4,

—<EF<4.

2

故應(yīng)選B.

5.答案：C

解析：

本題考查異面直線所成角，線面夾角以及二面角，考查推理能力和空間想象能力，屬于中檔題.

分別作出線面角、和二面角，轉(zhuǎn)化后即可比較.

解：由題意，在正四棱臺(tái)48。。-4道住1。1中，記直線44］與8所成角為a,

則由CD〃AB可知a等于乙41AB,

又直線44與平面ABCD所成角為氏

過人作&。_L4BCD,

則夕等于乙4那。，

判斷可知，a>/?，

而二面角4一4B-。所成角為y,

過。點(diǎn)作0MJ.4B,則了=乙41M0,

判斷可知，a>Y，Y>P

所以a>y,y>0

故選C.

6.答案：B

解析：

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，屬于中

等題.

由余弦定理求出BC,可得4人⑶。是直角三角形，于是得出AABC外接圓的圓心為斜邊4c的中點(diǎn)E,

求出AABC的面積，利用點(diǎn)。、球心、E三點(diǎn)共線且。、E位于球心的異側(cè)時(shí)，四面體ABC。的體積

取最大值，利用錐體體積公式可算出此時(shí)OE的值，然后可計(jì)算出三棱錐。-4BC的側(cè)棱長(zhǎng)，射影定

理求出外接球的半徑，代入球的體積公式求解.

解：由AB=2V3

,AC=4,^BAC=30°,

得BC=y/AB2+AC2-2AB-AC-cos^BAC=2,

AB2+BC2=AC2,???/.ABC=90°,

則小ABC的外接圓的直徑為2r=AC=4,外接圓圓心為線段AC的中點(diǎn)E,

如下圖所示，

當(dāng)點(diǎn)。、球心。、E三點(diǎn)共線且當(dāng)。、E位于球心的異側(cè)時(shí)，

四面體A8CZ）的體積取最大值，此時(shí)，DE1平面ABC,

S&ABC=-BC=1x2ax2=2V3）,

四面體ABCD的體積為％TBC=9sAABC?DE=4,

解得DE=2V3>

由勾股定理得D4=DB=DC=y/DE2+EA2=4.

???四面體ABCD的外接球的直徑為2R=比=與=隨，

DE2y/33

則四面體ABCD的外接球的半徑為度.

3

因此，四面體ABCD的外接球的表面積為4TTR2=4兀x（竽/=

故選B.

7.答案：A

解析：

本題考查幾何體內(nèi)切球的應(yīng)用，考查學(xué)生空間想象力與計(jì)算能力，屬于較難題目；

把四面體補(bǔ)成正方體，四面體的棱長(zhǎng)為正方體的面對(duì)角線，求出該正方體內(nèi)切球的體積即可。

解：將正四面體補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體面上的對(duì)角線，

因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為4,所以正方體的棱長(zhǎng)為

因?yàn)榍騉與正四面體的各棱都相切，所以球0為正方體的內(nèi)切球，

即球0的直徑為正方體的棱長(zhǎng)2vL

則球。的體積1^=2兀/?3=%兀

33

故選：A

8.答案：A

解析：

本題考查二面角、線面角、異面直線所成角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置

關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.設(shè)三棱錐。-4BC是棱長(zhǎng)

為2的正四面體，取AB中點(diǎn)E,OC中點(diǎn)MAC中點(diǎn)N,連結(jié)力￡、比、腦7、硒,過。作。。1CE,交CE于

0,連結(jié)A。，則4DEC=a,乙DAO=B，aMNE=y,由此能求出結(jié)果.

解：設(shè)三棱錐4BC是棱長(zhǎng)為2的正四面體，

取A8中點(diǎn)E,OC中點(diǎn)M,AC中點(diǎn)N,連結(jié)DE、CE、MN、EN,

過。作。01CE,交CE于O,連結(jié)A0,

D

貝此OEC=a,Z.DAO=/?,Z.MNE=y,

DE=CE=A/4^1=>/3.DC=2,

3+3-4_1

cosa=

2X-73XV3-3’

22V3

4A0n=CrOn=-CE=----=——，

333

也云

AO_3_=C，

???COSbD=—

1AD23

取BC中點(diǎn)F,連結(jié)OF、AF,則DFLBC,AFIBC,

又DFCAF=F,

??.BC，平面AFD,

???BCLAD,

:.y=90°.

/.y>a>/?.

當(dāng)三棱錐D-ABC是不是正四面體，y大小不能確定.

故選A.

9.答案：ACD

解析:

本題考查棱錐和棱柱的體積公式，異面直線的夾角，二面角，屬于較難題.

進(jìn)行逐項(xiàng)分析.

解：由題意，可將該立方八面體理解為1個(gè)直四棱柱和4個(gè)四棱錐組成，如圖所示:

對(duì)于A選項(xiàng)，取AE,DH,MN的中點(diǎn)R,S,O,連接MH,SN,

??,立方八面體的棱長(zhǎng)為1，△?!￡/?為等邊三角形，

MR=^-,AB=V2.根據(jù)對(duì)稱性可知梯形MRSN的高為”=烏

222

則NM=1+2x佰丫一（守=2,

在棱柱EACH-FBCG中，BH=]/+/+（或『=2,

根據(jù)對(duì)稱性可知，。為MN和8H的交點(diǎn)，0M=ON=OB=OH=1,

故該立方八面體的12個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，其直徑為2,故A正確；

對(duì)于3選項(xiàng)，可知4M〃PB,直線AM和直線8c不在同一平面內(nèi)，

"BC為直線AM和直線BC的夾角，其大小為60。，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，分別計(jì)算直四棱柱和四棱錐的體積，

所以該立方八面體的體積為U=lxlxV2+4xixlxV2x2zl=^.故C正確；

323

對(duì)于。選項(xiàng)，該立方八面體的每一條棱所相交而來的兩個(gè)面均是一個(gè)正方形和一個(gè)三角形,

根據(jù)對(duì)稱性可知，它的任意兩個(gè)共棱的面所成的二面角都相等，故D正確；

故選ACD.

10.答案：ABD

解析：

本題考查了正方體的幾何特征，空間線面位置關(guān)系的判定，屬于中檔題.

利用三棱錐A-A1B15的體積可知當(dāng)#3K了時(shí)，P為41c與平面的交點(diǎn)，根據(jù)平面

〃平面BOQ可判斷A,根據(jù)4CJ?平面力/5可判斷8,根據(jù)等邊三角形力反。】可判斷C,根

據(jù)Rt△ArAC^Rt△415C可判斷D.

解:連接4當(dāng)，當(dāng)小，ADr,

則XgX1=、，

S

bABtn=；XV2xV2xsin60°=AXC=V3,

設(shè)占到平面4B也的距離為h,貝4x苧X%=i,

解得/i=@，

33

二當(dāng)#時(shí)，尸為&C與平面人當(dāng)義的交點(diǎn).①

???平面AB1%〃平面BDCi，Z\Pu平面48山1，

???D】P〃平面BDG，故A正確；

由①可知P€平面力

,.,力1。_1_平面也。1，.?.41。_1平面。1仍故B正確;

可知當(dāng)笳3A了時(shí)，尸為等邊△力當(dāng)。1的中心，

LAPDX=120°,故C錯(cuò)誤；

連接AC,DC則RtAAiZC三RtAAiDiC,：.AP=DrP,

4P的最小值為筆=手，AP+PDi的最小值為適故D正確.

41c33

故選：ABD.

11.答案：BC

解析：

本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，主要是平行和垂直，記熟線面平行、垂直的判定和性質(zhì)是迅

速解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查截面的畫法及計(jì)算，以及空間異面直線所成的角的求法，屬于較難題.

利用向量法判斷異面直線所成角；利用面面平行證明線面平行；作出正方體的截面為等腰梯形，求

其面積即可；利用等體積法處理點(diǎn)到平面的距離.

解：對(duì)選項(xiàng)A：以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、DA所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

貝110(0,0,0)、4(1,0,0)、&(L0,l)、EG，1,0)、F(0,l,|),G(l,l,》，。式0,0,1).

從而西=(0,0,1)，AF=(-1,1,^).

從而西.而0,

所以直線。Di與直線A尸不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

取BiQ的中點(diǎn)為M,連接為M、GM,

貝IJ易知41M//4E,

又41M，平面AEF,AEu平面AEF,

故Ai"〃平面AEF,

又GM]IEF,同理可得GM〃平面4EF,

又41MCGM=M,4M、GMu平面&GM,

極平面A、MG11平面AEF,

又&Gu平面&MG,

仄而A[G//平面AEF,選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,連接4D1，DiF,如圖所示,

???正方體中4DJ/BCJ/EF,

.??4、E、尸、Di四點(diǎn)共面，

???四邊形4EFD］為平面AEF截正方體所得的截面四邊形，且截面四邊形4EFD1為梯形,

又由勾股定理可得D#=AE=拳ADX=V2,EF=y,

梯形AEFDi為等腰梯形，高為/盧）2_（竺1）2=逗,

所以S娜AEFOi=T*I?+乎）*,從而選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D:由于SAGEF=S梯形BEFG—S&EBG

一，、

=-1(l+-1)x-1--1X-1X-1=-1

2、2，22224

而SAECF=：X：X；3

_11

而匕-GE/=』S&EFG,AB,VA-ECF=AECF'AB,

所以匕.GEF=2^4-ECF,即=^C-AEF1

點(diǎn)G到平面AE〃的距離為點(diǎn)。到平面AE尸的距離的二倍，從而。錯(cuò)誤.

故選BC.

12.答案：y；y（l~^）

解析:

本題主要考查了棱錐的內(nèi)切球問題，考查了等比數(shù)列性質(zhì)，是較難題.

先利用等邊三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，求出圓錐軸截面內(nèi)切圓的半徑q,同理得到學(xué)■=g所以數(shù)列埠，

以，代，…，瑞是以:為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)歹U，再利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式即可求出Si+S2+…Sn

的值.

解：

解：延長(zhǎng)AH交底面圓為點(diǎn)G,圓錐的頂點(diǎn)為尸，過。1做三邊的垂線，如圖所示，

易知△AGP為等邊三角形，由等面積法，可知：ri(2+2+2)=：x2x2xsin60。，求得q=日,

球On，。底1和圓錐的截面，其中EF為圓On,Onr的切線，切點(diǎn)為B,如圖所示：

易知△4EF和A4/C為等邊三角形，

?.■^i=tan300,.-.DC=V3rn_1,

,黑=tan30°,二AD=V5rn_ix總=3。-1,

AB—rn_j.BE=AB,tan30。=~~Tn_i<

由等面積法，可知|x(iAE+EF+AF)xrn=AExAFxsin60。,

??號(hào)J即平/

rn-isrn-lv

???數(shù)列療，域，埒，…，虎是以1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，

?**Si+$2+S34-----FSn

=47r(r/+母H-----1-堵)

故答案為：/泮（1_》

13.答案：②④

解析：

本題考查了空間線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，以及空間垂直位置關(guān)系之間的聯(lián)系，解題時(shí)逐

一加以論證即可得出的充分條件.

解：若直線?nua時(shí)，當(dāng)滿足a1/?,Qn夕=八7nl/時(shí)，m1.0成立,否則不成立，故①錯(cuò)誤；

設(shè)an0=_L￡=b,若a_L/?,y_L/?則mJ._Lb,此時(shí);n_L/?成立，故②正確；

若a_Ly,￡j_y,則a,/?關(guān)系不確定?n_L0不一定成立，故③錯(cuò)誤；

若兀J.a,711夕則a〃夕，當(dāng)m1a時(shí)m1/?成立，故④正確.

故答案為②④.

14.答案：叵

3

解析：

本題考查圖象的翻折，直線與面所成的角，難度較大.

由題設(shè)得BD1AC,在翻折過程中BC1面40C,當(dāng)AC運(yùn)動(dòng)到與圓。相切，NAC。最大，可得解.

解：設(shè)4C,BC相交于0,得4'。=1,CO=2,

vAD=AB=V2,CD=CB=V5，BDLAC,

在翻折過程中得4。'1BD,CO1BD,1?.BDJjffM'OC,

.,.面AOC1面BCD,即乙4'C。為所求.

A'A"

如圖,

現(xiàn)將平面40C單獨(dú)取出，隨著翻折力'在以0為圓心半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AC運(yùn)動(dòng)到與圓O

相切時(shí)NACO最大，即如圖中A'C的狀態(tài)，此時(shí)4。4”。=今又因?yàn)?。=1,CO=2,所以易知此

時(shí)

乙4'C。=%故直線AC與平面BCD所成的最大角的正切值為立，

63

故答案為：立.

3

15.答案：解：（1）如圖所示，

連接4C,在平行四邊形ABC。中，AB//CD,AB=CD,

在三棱柱44G中,又A[BJ/AB，AB\=AB,

所以44//CQ,=CD,

所以四邊形4月。。是平行四邊形，

所以

又4。2平面3。?！辏珺|Cu平面8CC￡,

所以4。//平面8CG4；

(2)①取C。的中點(diǎn)0,連接力0,40,

因?yàn)?C=3C，乂BC=AD,

所以AD=AC,AOLCD，

又因?yàn)?4_1_平面/BC，CDu平面ABC,

所以4/J_CD,

又44C4O=4,&A、A。u平面4/O,

所以CD1平面4/O，

又必。u平面A}AO,

所以4。_LCD,

所以“04為二面角A.-DC-A的平面角，

在中，OA=A.A=2,故

所以AC1.40,

又平面力BC，4Cu平面A8C,

A}A_LAC,

C\AD=A,4[A、40u平面44。，

所以/cj_平面44。，

又因?yàn)?C〃411Gl，:41GJL平面A}AD,

又力1C1u平面4傳1。，

所以平面4GD1平面44￡)；

②過A作4W_L4。，

因?yàn)槠矫鎋L平面平面為GDC平面4“匚平面4/。，

所以4MJ_平面4GD,

所以4M是力/在平面&GD上的射影，

所以乙44〃是直線與平面4G。所成角，

在及以44附中，A[A=2,AD=2五,

tan44〃=—=V2.

1

AAt

解析：本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直，面面垂直的判定定理以及線面角二面角的求

法，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

（1）連接qc,證明4。//4。，再利用線面平行的判定定理證明.

（2）①取CD的中點(diǎn)0,連接AO,4。，易證ZAtOA為二面角A.-DC-A的平面角，得到AC1AD,

結(jié)合平面/5C,得到44_LAC,從而得到/c_L平面4/。，再利用4C//4G，由面面

垂直的判定定理證明；

②過A作根據(jù)①的結(jié)論，得到4"_L平面&G。，可知W"是直線與平面

41Go所成角，然后在附中求解.

16.答案：解：（1）證明:連接AC.

?.?底面ABCO為菱形，乙4BC=60。，ABC是等邊三角形.

???后是8（7中點(diǎn)，:4E18。.

又AD“BC,：.AELAD.

???PA1平面ABCD,AEu平面ABCD,PALAE.

又PAClAD=A,PA,ADu平面PAD,

AE_L平面PAD.

又AEu平面AE凡.?.平面4EF1平面PAD.

（2）解:如圖,

以A為原點(diǎn)，AE,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)AB=4P=2,則4E=g，則4(0,0,0),C(遮,1,0)，0(0,2,0),P(0,0,2),E(遮,0,0),

M(0,l,1))AP=(0,0,2)>PC=(V3,l,-2)-AE=(V3,0,0).

設(shè)兩=4玄=(V32,A,-22).則都=AP+PF=(V3A,A,2-2A).

設(shè)記=(x,y,z)是平面AEF的一個(gè)法向量,

則(沆-AE-V3x=0,

(m-AF-V3Ax+Ay+(2—2A)z-0,

取z=4,得記=(0,2/1-2,A).

設(shè)直線EM與平面AE尸所成的角為。，由麗=（一百,1,1）得，

sin0=|cos（EM,m）\=制=小牖5=?

化簡(jiǎn)得10M-134+4=0,解得/1=:或；I=g.

故存在點(diǎn)片滿足題意，此時(shí)，費(fèi)=出哈

解析：

本題考查面面垂直和線面角以及存在型問題.

(1)根據(jù)條件關(guān)鍵證明力E1平面PAD,再由面面垂直的判定定理證明結(jié)果；

(2)以A為原點(diǎn)，AE,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)

PF=APC=(V3A,A,-2A)>則而=而+丙=(遮;U,2-22).根據(jù)直線與平面AEF所成角的

正弦值為計(jì)算結(jié)果.

17.答案：(1)證明：???在四棱錐P-ABCD中，PAIffiABCD,BDcffiABCD,

PA1BD,

AB=BC=2,AD=CD=夕，

設(shè)AC與3。的交點(diǎn)為O,則BO是AC的中垂線

故。為AC的中點(diǎn)，且BC1AC,而24n4C=A,PA,ACc?PAC,

：.BD1面PAC；

(2)解：由已知得到：PC=7PA2+4c2=[3+12=6,

因?yàn)镻CJ?面BG。，GOu面BG￡>,二PC1GO,

在中，PD=VT+7=V10,CD=y/7,PC=V15.

PG=x???CG=V15-x10-x2=7-(V15-x)2PG=x=|A415,GC=|V15,

:.——PG=-3.

GC2

AC與8。的交點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC為x軸，0力為)，軸，過。作PA的平行線為Z軸，

則C(V5,0,0),0(0,2,0),P(-V3,0,V3)，

因?yàn)槎?I正，得G(9,0，W),

所以品=(卓,0,_等)，而=(_遮,2,0)，

設(shè)平面GCD的法向量為4=(x,y,z),

,.(n-i-GC=0/日~~-x—~~z—0.?^3

故一，得55，令x=l,則m丫=巴*=2,

凡。=0(，V3x+2y=02

所以冗=(1,*,2)

又因?yàn)槠矫鍭CD的法向量為芯=(0,0,1),

設(shè)二面角G-CO-4為

0x14-0x14-1x2

cos<rH.nJ>="

故lxW+（容產(chǎn)+22

解析：本題考查線面垂直的證明，考本題考查線面垂直的證明，空間想象能力以及計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化

思想的應(yīng)用.

(1)推導(dǎo)出PALBC,BD1AC,由此能證明BD1平面PAC.；

(2)求出PC,說明PC1GD,在APDC中，利用勾股定理求解邊長(zhǎng)，然后推出比值即可.建立空間直

角坐標(biāo)系，求兩平面的法向量。進(jìn)而求二面角G-CD-4正弦值.

18.答案：解：(1)證明：如圖，設(shè)AC與8。相交于點(diǎn)O,連接B10,

因?yàn)樗倪呅蜛8CQ為菱形，故ACJ.BD,。為AC的中點(diǎn)，

又AB】=CB、,故當(dāng)0_L4C,

又BDu平面BDD/i，/。u平面且BDnBiO=O,

故4cl平面

又ACu平面ABCD,

所以平面_L平面A8CD；

(2)因?yàn)榈酌鍭BC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，又N￡MB=60°,

所以BD=2,AO=C0=V3.

又ADBiB是等邊三角形，

可得B]。1BD,BD=BB]=DBr=2,Br0-V3,

結(jié)合(1)可知平面BDD1a_L平面ABC。，平面C平面ABC。=BD,Bx01BD,B1。u平面

BDD、B],

所以Bi。_L平面ABCD,又OCu平面ABCD,故當(dāng)。1OC,

所以B]C=V6，

設(shè)&C交BG于點(diǎn)H,

又BBi=2,BC=2,

所以平行四邊形BCG當(dāng)為菱形，故BiCIBCi，

y.BDLAC,BD1Br0,AC,B]。u平面4CB1，

所以BD，平面力

由B]Cu平面ACBi，

所以BO1BC

又BDnBC】=B,BD,BC】u平面GBD,

所以SC_L平面GBD,

故，為名在平面CxBD內(nèi)的射影，

故點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫鍳BD的距離為81H=芋=當(dāng)，

又D\B\〃BD,5當(dāng)C平面GBD,BOu平面

所以〃平面GBD,

故點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫鍳BD的距離與點(diǎn)Di到平面GBD的距離相等，

所以點(diǎn)Di到平面GBD的距離為苧.

解析：本題考查了面面垂直的判定，空間中點(diǎn)到平面的距離，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

(1)設(shè)AC與8。相交于點(diǎn)O,連接以。，結(jié)合菱形的性質(zhì)可得AC1BD,且。為AC的中點(diǎn)，再根據(jù)

CBi，可得810JL4C,進(jìn)而證明AC1平面BDDi/,即可得證；

(2)設(shè)BiC交BC1于點(diǎn)“，運(yùn)用線面垂直的判定與性質(zhì)得到”為名在平面GBD內(nèi)的射影，進(jìn)而求出名到

平面GB。的距離，然后證明D/i〃平面/BD,即可得到％到平面QBO的距離.

19.答案：(1)證明：取AB中點(diǎn)G,連接EG,FG,

???F是8c的中點(diǎn)，

1

FG//AC,FG=)C；

???E是AG的中點(diǎn)，EC\"AC,ECi=\AC,

FG2EQ，

???四邊形FGECi為平行四邊形，

???C/〃EG,

???GF<t平面ABE,EGu平面ABE,

.??C】F〃平面ABE；

(2)vAAr=AC=2,BC=1,AB1BC,

???AB=V3?

_1

J^E-ABC=^AABC0

=-x-xV3x1x2=—.

323

則三棱錐E-48c的體積為更.

3

解析：本題主要考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，兒何體的體積的求法，考查空間想象能力

以及計(jì)算能力，屬于較易題.

(1)取AB中點(diǎn)G,連接EG,FG,證明尸G〃EQ,推出GF〃EG,然后利用直線與平面平行的判定

定理證明〃平面A8E；

(2)說明4818C,求出48,然后求解幾何體的體積即可.

20.答案：解：(1)設(shè)所得圓柱的半徑為則(2nr+2r)X4r=100,

Sj2(rr+1)

解得r

2(7T+1)

X

<

a<7，(a2

(2)設(shè)所得正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為則｛I。。2即.20

a<--4a,(a<

x

y,0<X<2屈,

方法一：所得正四棱柱的體積V=a2x<^,x>2V10.

Y，0<x<2V10,

記函數(shù)p(x)=^,x>2V10.

則p(x)在(0,上單調(diào)遞增，在［2何，+8)上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)*=2，歷時(shí)，Pmax(x)=2O\41O.

3

所以當(dāng)x=2V10.a=同時(shí)，Vmax=20>JT0dm.

20

方法二：2aWxW從而a<V10.

所得正四棱柱的體積U=a?》<a2(y)=20a<20V10.

3

所以當(dāng)a=VTU，x=2同時(shí)，Vmax=20V10dm.

答：(1)圓柱的底面半徑為嚅票dm；

(2)當(dāng)x為2，1U時(shí)，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大.

解析：(1)根據(jù)側(cè)面積公式即可求出r,

(2)設(shè)所得正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為以加7,貝IJ盆即20

(a<----4a,a<—.

vXX

方法一：根據(jù)體積公式，借助和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出，

方法二：利用不等式的性質(zhì)即可求出.

本題考查了圓柱的側(cè)面積和正四棱柱的體積公式，以及導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.答案：(1)證明：:DEIBE,BE//DC,

???DE1DC,

AAD1DC,AiDnDE=D,A1D,DEu平面4DE,

DC1平面&0E,又「AiEu平面&DE,

DC1ArE,

"AXELDE,DCODE=D,DC,DEu平面8cOE,

AXE，平面BCDE；

(2)解：由題意，以EB,ED,EAi分別為x,y,z軸，建立坐標(biāo)系，貝UDE=26,

4式0,0,2),8(2,0,0),C(4,2V3,0),D(0,2>/3,0),

西=(-2,0,2),BC=(2,2V3,0).

平面4BE的一個(gè)法向量為有=(0,1,0),

—2丫J-Q7-n

{2%+2vf7=0，

令y=1,???布=(一百,1,—V3),

一、mny[7

cos<m,n>=——=—,

|m||n|7

二鈍二面角E-ArB-C的余弦值為-?；

(3)解：在線段E3上不存在一點(diǎn)尸，使平面&0P1平面&BC,

設(shè)P(t,0,0)(0<t<2),則審=(t,0,-2),A^D=(0,273,-2)，

設(shè)平面4CP的法向量為方=(a力，c),則卜^2c=0,

(ta-2c=0

令a=2,p=(2,專,t),

???平面&DP1平面4BC,

由第二問可得平面4BC的一個(gè)法向量記=(-V3.1.-V3)，

由沅下=0得，二一2遙+套一百t=0,

t=—3,

v0<t<2,

???在線段EB上不存在一點(diǎn)P,使平面4DP，平面&BC.

解析：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)及利用空間向量求二面角和平面與平面垂直.

(1)證明DC1平面4DE,可得DC1&E,利用&E1DE,DCC\DE=D,可得4E1平面BCDE；

(2)以EB,ED,E4分別為x,y,z軸，建立坐標(biāo)系，求出平面&BE、平面&BC的一個(gè)法向量，利

用向量的夾角公式求二面角E—4B-C的余弦值；

(3)設(shè)P(t,O,0)(0<t<2),求出平面&OP的法向量，利用平面4DPJ■平面&BC,可