高中數(shù)學(xué)必修2人教A：全冊(cè)導(dǎo)學(xué)案第4章《圓與方程》

§4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

心學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心、半徑寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2.會(huì)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

(預(yù)習(xí)教材P124~P127,找出疑惑之處)

1.在直角坐標(biāo)系中，確定直線(xiàn)的基本要素是什么？圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它的要

素又是什么呢？

2.什么叫圓？在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線(xiàn)都可用一個(gè)二元一次方程來(lái)表示，那么，圓

是否也可用?個(gè)方程來(lái)表示呢？如果能，這個(gè)方程又有什么特征呢？

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

新知：圓心為43,勿，半徑為r的圓的方程(x-a)2+(y-份2=/叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

則圓的方程就是丁=/

a=b=01+

探究：確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本要素？

X典型例題

例寫(xiě)出圓心為42,-3),半徑長(zhǎng)為5的圓的方程，并判斷點(diǎn)M/5,-7),M式-百,-1)是否在這個(gè)

圓上.

小結(jié)：點(diǎn)M(x0,y°)與圓(x-a)2+(y-b)2=r的關(guān)系的判斷方法:

222

(l)(x0-?)+(y0-Z>)>r,點(diǎn)在圓外；

⑵(x0-4+(%-6)2=/，點(diǎn)在圓上；

⑶(x°-q)2+(%-4</,點(diǎn)在圓內(nèi).

變式：ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是4(5,1),B(7,-3)

C(2,-8),求它的外接圓的方程

反思：

1.確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a,6/的方程組，求6,r或直接求出圓

心(a,b)和半徑r.

2.待定系數(shù)法求圓的步驟：(1)根據(jù)題意設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。-。)2+日-。)2=/；(2)

根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a,仇，?的方程組；(3)解方程組，求出的值，并代入所設(shè)的方

程，得到圓的方程.

例2已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,1)和8(2,-2)，且圓心在直線(xiàn)l:x-y+\=O上,求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

X動(dòng)手試試

練1.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,l),圓心在點(diǎn)C(8,-3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

練2.求以C（l,3）為圓心，并且和直線(xiàn)3x-4y-7=0相切的圓的方程

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

—,方法規(guī)納

⑴利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程能直接求出圓心和半徑.

⑵比較點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小，能得出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

⑶借助弦心距、弦、半徑之間的關(guān)系計(jì)算時(shí)，可大大化簡(jiǎn)計(jì)算的過(guò)程與難度.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法：

⑴根據(jù)題設(shè)條件，列出關(guān)于。、b、/?的方程組，解方程組得到。、b、r得值，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程.

⑵根據(jù)確定圓的要素，以及題設(shè)條件，分別求出圓心坐標(biāo)和半徑大小，然后再寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程.

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一?般D.較差

X當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：

1.已知A(2,4),8(-4,0),則以AB為直徑的圓的方程(一~

A.(x+l)2+(y-2f=52B.(x+l>+(y+2>=52

C.(x-l)2+(y-2)2=52D.(x-1)2+(>■+2)2=52

2.點(diǎn)P(小,5)與圓的x2+;/=24的位置關(guān)系是().

A.在圓外B.在圓內(nèi)C.在圓上D.不確定

3.圓心在直線(xiàn)x=2上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)4。,-4).夕0,-2),則圓C的方程為().

A.(x-2)2+(y-3)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=25

C.(x-2『+(y+3)2=5D.U-2)2+(y+3)2=25

4.圓關(guān)于(x+2)2+/=5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)的圓的方程

5.過(guò)點(diǎn)A(2,4)向圓V+y2=4所引的切線(xiàn)方程

'Q課后作業(yè)

1.已知圓的圓心在直線(xiàn)2x+y=0上，且與直線(xiàn)x+y-l=0切于點(diǎn)(2,-1),求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.已知圓/+丁=25求：⑴過(guò)點(diǎn)A(4,-3)的切線(xiàn)方程.⑵過(guò)點(diǎn)8(-5,2)的切線(xiàn)方程

§4.1圓的一般方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.在掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程

確定圓的圓心半徑.掌握方程+y2+Dx+Ey+尸=0表示圓的條件；

2.能通過(guò)配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.能用待定系數(shù)法求圓的方程；

3.培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力

4y學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

(預(yù)習(xí)教材P127~匕30,找出疑惑之處)

1.已知圓的圓心為C(a,。)，半徑為r,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程若圓心

為坐標(biāo)原點(diǎn)上，則圓的方程就是

2.求過(guò)三點(diǎn)4(0,0),8(1,1),C(4,2)的圓的方程.

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

問(wèn)題L方程/+y2-2x+4y+l=0表示什么圖形？方程/+)/-2x+4y+6=0表示什么圖

形？

2

問(wèn)題2.方程x+/+Dx+Ey+F=0在什么條件下表示圓？

新知：方程/+/+小+矽+尸”表示的軌跡.

⑴當(dāng)。2+E?-4F>0時(shí)，表示以(-2,-￡)為圓心，勺示+6-4尸為半徑的圓；

222

(2)當(dāng)。？+E2-4尸=0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解x=-2,y=--,即只表示一個(gè)點(diǎn)(一2,-￡)；

2222

(3)當(dāng)￡>2+爐-4/<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形

小結(jié)：方程/+丫2+6+￡)，+尸=0表示的曲線(xiàn)不一定是圓只有當(dāng)￡>2+1-4尸>0時(shí)，它表

示的曲線(xiàn)才是圓，形如W+y2+Dx+Ey+F=0的方程稱(chēng)為圓的一般方程

思考：

1.圓的一般方程的特點(diǎn)？

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的區(qū)別？

X典型例題

例1判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請(qǐng)求出圓的圓心及半徑.

⑴4r+4丫2-4》+12)，+9=0；

⑵4x?+4/-4x+12y+ll=0.

例2已知線(xiàn)段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓上(x+lF+y2=4運(yùn)動(dòng)，求線(xiàn)段AB的

中點(diǎn)歷的軌跡方程.

X動(dòng)手試試

練1.求過(guò)三點(diǎn)｛0,0),8(1,1),。(4,2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo).

練2.已知?個(gè)圓的直徑端點(diǎn)是4(8,乂),832，丫2)，試求此圓的方程.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.方程/+丁+9:+或+/=0中含有三個(gè)參變數(shù)，因此必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，才能確

定一個(gè)圓，還要注意圓的一般式方程與它的標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化.

2.待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中常用的?種方法，在以前也已運(yùn)用過(guò).例如：由已知條件確定二次函數(shù),

利用根與系數(shù)的關(guān)系確定一元二次方程的系數(shù)等.這種方法在求圓的方程有著廣泛的運(yùn)用，要

求熟練掌握.

3.使用待定系數(shù)法的一般步驟：⑴根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；⑵根據(jù)條件列出

關(guān)于〃也廠或DE,尸的方程組；⑶解出“也/■或,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.

，?學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(cè)(時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分)計(jì)分：

1.若方程+y2-x+y+m=o表示一個(gè)圓，則有().

A.m<2B.m<2C.m<—D.m<—

22

2.圓/+J-4%-1=0的圓心和半徑分別為().

A.(2,0),5B.(0,-2),V5C.(0,2),0D.(2,2),5

3.動(dòng)圓龍2+丁一(4m+2)x-2my+4nr++1=0的圓心軌跡是().

A.2x+y-1=0B.x-2y+\=0

C.2x-y+1=0D.x-2y-1=0

4.過(guò)點(diǎn)C(-1,1),O(1,3),圓心在x軸上的圓的方程是.

5.圓f+/_4x_5=0的點(diǎn)至I］直線(xiàn)3x-4,y+20

=0的距離的最大值為.

課后作業(yè)

1.設(shè)直線(xiàn)2方+3〉+1=0和圓/+丫2-2)-3=0相交于4,8,求弦48的垂直平分線(xiàn)方程.

2.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)>4(-2,-4)且與直線(xiàn)/:x+3y-26=0相切于點(diǎn)B(8,6)的圓的方程.

§4.2直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解直線(xiàn)與圓的兒種位置關(guān)系；

2.利用平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求圓心到直線(xiàn)的距離;

3.會(huì)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離來(lái)判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.

』學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

(預(yù)習(xí)教材P133~P136,找出疑惑之處)

1.把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程&-4)2+(丫-份2=,整理為圓的一般方

程.

把x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)整理為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

2.一艘輪船在沿直線(xiàn)返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70加

處，受影響的范圍是半徑為30bn的圓形區(qū)域.已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40處，如果這艘

輪船不改變航線(xiàn)，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？

3.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有哪幾種呢？

4.我們?cè)鯓优袛嘀本€(xiàn)與圓的位置關(guān)系呢？如何用宜線(xiàn)與圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系

呢？

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

新知1：設(shè)直線(xiàn)的方程為/：辦+勿，+c=0,圓的方程為。:產(chǎn)+)2+6+4+/=0,圓的半

徑為r,圓心(-?,-二)到直線(xiàn)的距離為4,則判別直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn):

22

⑴當(dāng)d>r時(shí)，直線(xiàn)/與圓C相離：

⑵當(dāng)d=r時(shí)，直線(xiàn)/與圓C相切；

⑶當(dāng)?時(shí)，直線(xiàn)/與圓C相交；

新知2：如果直線(xiàn)的方程為)，=丘+小，圓的方程為(》-。)2+6-①2=/，將直線(xiàn)方程代入圓

的方程，消去y得到x的一元二次方程式Pd+Qx+RuO,那么：⑴當(dāng)△<()時(shí)，直線(xiàn)與圓沒(méi)

有公共點(diǎn)；

⑵當(dāng)△=()時(shí)，直線(xiàn)與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

⑶當(dāng)△>()時(shí)，直線(xiàn)與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；

X典型例題

例1用兩種方法來(lái)判斷直線(xiàn)3x-4y+6=0與圓。-2)2+()-3)2=4的位置關(guān)系.

例2如圖2,已知直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)M(5,5)且和圓C:/+y2=25相交，截得弦長(zhǎng)為4后，求/的方程

變式：求直線(xiàn)x-y-5=0截圓/+)『-4x+4y+6

=0所得的弦長(zhǎng).

X動(dòng)手試試

練1.直線(xiàn)y=x與圓/+()，—1)2=/相切，求「的值.

練2.求圓心在直線(xiàn)2x-y=3上，且與兩坐標(biāo)軸相切的圓的方程.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有兩種方法

①判斷直線(xiàn)與圓的方程組是否有解

a.有解，直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn).有一組則相切;有兩組，則相交

b無(wú)解，則直線(xiàn)與圓相離

②如果直線(xiàn)的方程為4x+By+C=O,圓的方程為(x-“)2+(y-/7)2=/,則圓心到直線(xiàn)的

⑴如果d<r直線(xiàn)與圓相交；

⑵如果d=r直線(xiàn)與圓相切；

⑶如果d>r直線(xiàn)與圓相離.

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(cè)(時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分)計(jì)分：

1.直線(xiàn)3x—4y+6=0與圓(x-2>+(y-3)2=4

A.相切B.相離C.過(guò)圓心D.相交不過(guò)圓心

2.若直線(xiàn)x+y+,*=0與圓./+)3=m相切，則”?的值為().

A.0或2B.2C.y/2D.無(wú)解

3已知直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)(-2,0),當(dāng)直線(xiàn)/與圓/+y2=2x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是

).

(-2夜,2偽B.(—y/2,y/2')

4.過(guò)點(diǎn)M(2,2)的圓/+y2=8的切線(xiàn)方程為

5.圓x?+y2=i6上的點(diǎn)到直線(xiàn)x-y-3=0的距離的最大值為.

課后作業(yè)

1.圓/+y，+2x+4y-3=0上至I」直線(xiàn)/:x+y+1

=0的距離為四的點(diǎn)的坐標(biāo).

2.若直線(xiàn)4x-3y+a=O與圓產(chǎn)+丁=100.(1)相交；⑵相切；⑶相離；分別求實(shí)數(shù)〃的取值范

圍.

§4.2圓與圓的位置關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解圓與圓的位置的種類(lèi)；

2.利用平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式求兩圓的連心線(xiàn)長(zhǎng);

3.會(huì)用連心線(xiàn)長(zhǎng)判斷兩圓的位置關(guān)系.

心學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

(預(yù)習(xí)教材P136~P137,找出疑惑之處)

1.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，

2.直線(xiàn)x—y—5=0截圓r+y~+4y+6=0所得的弦長(zhǎng).

3.圓與圓的位置關(guān)系有幾種,哪幾種?

4.設(shè)圓兩圓的圓心距設(shè)為d.

當(dāng)d>/?+r時(shí)，兩圓

當(dāng)4=/?+廣時(shí)，兩圓

當(dāng)IR-rkd<R+r時(shí)，兩圓.

當(dāng)d=IR-rl時(shí)，兩圓

當(dāng)d<IR-rl時(shí)，兩圓

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

探究：如何根據(jù)圓的方程，判斷兩圓的位置關(guān)系？

新課：兩圓的位置關(guān)系利用圓的方程來(lái)判斷.通常是通過(guò)解方程或不等式和方法加以解決

X典型例題

例1已知圓G：x2+y2+2x+8y-8=0,圓C?:/

2

+j+4x-4y-2=0,試判斷圓C1與圓C2的關(guān)系？

變式：若將這兩個(gè)圓的方程相減，你發(fā)現(xiàn)了什么？

例2圓C1的方程是+)"-2mx+4y+"「-5=0,圓C?的方程是:x2+/+2犬-2切+疝

-3=0,膽為何值時(shí)兩圓⑴相切；⑵相交；⑶相離；⑷內(nèi)含.

X動(dòng)手試試

練1.已知兩圓x2+y2-6x=0與/+)，-4y="?問(wèn)，"取何值時(shí)，兩圓相切.

練2.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2,-2）,且與圓x2+y2-6x=0^x2+丁=4交點(diǎn)的圓的方程

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.判斷兩圓的位置關(guān)系的方法：

⑴由兩圓的方程組成的方程組有幾組實(shí)數(shù)解確定.

⑵依據(jù)連心線(xiàn)的長(zhǎng)與兩半徑長(zhǎng)的和八+々或兩半徑的差的絕對(duì)值的大小關(guān)系.

2.對(duì)于求切線(xiàn)問(wèn)題，注意不要漏解，主要是根據(jù)幾何圖形來(lái)判斷切線(xiàn)的條數(shù).

3.-一般地，兩圓的公切線(xiàn)條數(shù)為：①相內(nèi)切時(shí)，有一條公切線(xiàn)；②相外切時(shí)，有三條公切線(xiàn);

③相交時(shí)，有兩條公切線(xiàn)；④相離時(shí)，有四條公切線(xiàn).

4.求兩圓的公共弦所在直線(xiàn)方程，就是使表示圓的兩個(gè)方程相減消去二次項(xiàng)即可得到.

3學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：

1.已知0<r<行+1,則兩圓W+y）=’與（］-以+（），+1）2=2的位置關(guān)系是（）.

A.外切B.相交C.外離D.內(nèi)含

2.兩圓x2+y?-2x=0與x?+y?-4y=0的公共弦長(zhǎng)（）.

A.拽B.1C.述D,2

55

3.兩圓—+y2_4x+2y+1=0與+y2+以_4y

-1=0的公切線(xiàn)有（）.

A.1條B.2條C.4條D.3條

4.兩圓x2+y2+4x-4y=o,x2+y2+2x-12=O相交于兩點(diǎn)，則直線(xiàn)48的方程

是■

2

5.兩圓V+9=］和（X_3）+/=4的外公切線(xiàn)方程.

課后作業(yè)

1.已知圓C與圓爐+丁-2x=0相外切，并且與直線(xiàn)x+氐=0相切于點(diǎn)QC3,-73），求圓C的

方程.

2

2.求過(guò)兩圓G：/+丫2-4、+2>=0和圓C2:x+y-2y-4=0的交點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)

/:2x+4y-l=0上的圓的方程.

§4.2.3直線(xiàn)與圓的方程的應(yīng)用

2學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)；

2.利用平面直角坐標(biāo)系解決直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；

3.會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題.

學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

（預(yù)習(xí)教材P138~P140,找出疑惑之處）

1.圓與圓的位置關(guān)系有____________________________

2.Ur2+y2+4x-4y-5=0^H?+/-8x+4y

+7=0的位置關(guān)系為.

3.過(guò)兩圓/+/-6x-4=0和x?+y?+6y-28

=0的交點(diǎn)的直線(xiàn)方程.

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

1.直線(xiàn)方程有幾種形式？分別是?

2.圓的方程有幾種形式?分別是咖些?

3.求圓的方程時(shí)，什么條件下，用標(biāo)準(zhǔn)方程?什么條件下用一般方程?

4.直線(xiàn)與圓的方程在生產(chǎn).生活實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用.想想身邊有哪些呢?

X典型例題

例1已知某圓拱形橋.這個(gè)圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時(shí)每間隔4m需要用一根支

柱支撐，求支柱&當(dāng)?shù)母叨龋ň_0.01m）

變式：趙州橋的跨度是37.4m.圓拱高約為7.2m.求這座圓拱橋的拱圓的方程

例2已知內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，求證圓心到?邊距離等于這條邊所對(duì)這條邊長(zhǎng)

的一半.

X動(dòng)手試試

練1.求出以曲線(xiàn)/+丁=25與y=/一13的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形的面積.

練2.討論直線(xiàn)y=x+2與曲線(xiàn)y=U的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.用坐標(biāo)法解決兒何問(wèn)題時(shí)，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點(diǎn)、直線(xiàn)、圓，然后通

過(guò)對(duì)坐標(biāo)和方程的代數(shù)運(yùn)算，把代數(shù)結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，得到幾何問(wèn)題的結(jié)論，這就

是用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的“三部曲”.

2.用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示

問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)

題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.

3.解實(shí)際問(wèn)題的步驟：審題一化歸一解決一反饋.

■Q學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(cè)(時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分)計(jì)分：

1.一動(dòng)點(diǎn)到4(-4,0)的距離是到8(2,0)的距離的2倍，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程().

A.(x-4)、y2=4B.(x-4)2+/=16

2222

C.x+(y-4)=4D.x+(y-4)=16

2.如果實(shí)數(shù)滿(mǎn)足Y+)，2-4X+1=0,則上的最大值為()

X

A.1B.—C.x/3D.72

3

3.圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線(xiàn)x+y+l=0的距離為夜的點(diǎn)共有().

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

22

4.圓(x-l)+(y-l)=4關(guān)于直線(xiàn)/:x-2y-2=0對(duì)稱(chēng)的圓的方

程.

5.求圓（x-爐+（y+=4關(guān)于點(diǎn)（2,2）對(duì)稱(chēng)的圓的方程.

課后作業(yè)

1.坐標(biāo)法證明:三角形的三條高線(xiàn)交于一點(diǎn).

2.機(jī)械加工后的產(chǎn)品是否合格，要經(jīng)過(guò)測(cè)量檢驗(yàn)?zāi)耻?chē)間的質(zhì)量檢測(cè)員利用三個(gè)同樣的量球以

及兩塊不同的長(zhǎng)方體形狀的塊規(guī)檢測(cè)一個(gè)圓弧形零件的半徑.一知量球的直徑為2厘米,并測(cè)出

三個(gè)不同高度和三個(gè)相應(yīng)的水平距離,求圓弧零件的半徑.

§423直線(xiàn)，圓的方程（練習(xí)）

』學(xué)習(xí)目顯

1.理解直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)；

2.利用平面直角坐標(biāo)系解決直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；

3.會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題.

學(xué)習(xí)過(guò)程

一、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

（預(yù)習(xí)教材P12rP140.找出疑惑之處）

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

例1一個(gè)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5,O）與B（-2,l）圓心在直線(xiàn)x-3y-10=0上,求此圓的方程

直線(xiàn)與圓的關(guān)系

例2求圓(x-2『+(y+3『=4上的點(diǎn)到x-y+2=0的最遠(yuǎn)、最近的距離

三.軌跡問(wèn)題

充分利用幾何圖形的性質(zhì),熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.

例3求過(guò)點(diǎn)A(4,0)作直線(xiàn)/交圓O:犬+)，=4于B,C兩點(diǎn),求線(xiàn)段BC的中點(diǎn)P的軌跡方程

四弦問(wèn)題

主要是求弦心距（圓心到直線(xiàn)的距離）,弦長(zhǎng)，圓心角等問(wèn)題.一般是構(gòu)成直角三角形來(lái)計(jì)算

例4直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5,5）,且和圓V+y=25相交，截得的弦長(zhǎng)為4逐，求/的方程.

五.對(duì)稱(chēng)問(wèn)題（圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，圓關(guān)于圓對(duì)稱(chēng)）

例5求圓（x—+（y+1）?=4關(guān)于點(diǎn)（2,2）對(duì)稱(chēng)的圓的方程.

練習(xí)

1.求圓（x-iy+（y-l『=4關(guān)于直線(xiàn)x-2y-2=0對(duì)稱(chēng)的圓的方程

2.由圓外一點(diǎn)尸（2,1）引圓O：/+）,2=4的割線(xiàn)交圓于A,B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)的軌跡.

3.等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4.2)底邊一個(gè)端點(diǎn)是B(3,5)求另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡是什么？

4.已知圓C的圓心坐標(biāo)是(-：,3),且圓C與直線(xiàn)x+2y-3=0相交于P,。兩點(diǎn)，又OPLOQ,。

是坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓。的方程.

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B.較好C.-?般D.較差

X當(dāng)堂檢測(cè)(時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分)計(jì)分：

1.已知M(3,0)是圓/+丁-8*-2)，+10=0內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)的量長(zhǎng)的弦所在的直線(xiàn)方程是

().

Ax+y-3=0Bx-y-3=0

C2x-y-6=0D2x4-y-6=0

2.若圓(x-3f+(y+5)2=/上有且只有兩點(diǎn)到直線(xiàn)4x-3y-2=0的距離為1,則半徑r的取

值范圍是().

A.(4,6)B.[4,6)C,(4,6]B.[4,6]

3.已知點(diǎn)和圓C：(x-5)2+(y-7)2=4,一束光線(xiàn)從A點(diǎn)經(jīng)過(guò)X軸反射到圓周C的最短

路程是（~~

A.10B.672-2C.4V6D.8

4.設(shè)圓x2+y2-4x-5=0的弦AB的中點(diǎn)P（3,1）,則直線(xiàn)AB的方程為.

5.圓心在直線(xiàn)y=x上且與x軸相切于點(diǎn)（1,0）的圓的方程.

■Q課后作業(yè)

1.從圓外一點(diǎn)P（l,l）向圓Y+/=1引割線(xiàn)，交該圓于42兩點(diǎn)，求弦A8的中點(diǎn)的軌跡方程.

2.2.已知圓的半徑為癡，圓心在直線(xiàn)y=2x上，圓被直線(xiàn)x-y=0截得的弦長(zhǎng)為4及，求圓

的方程.

§4.3空間直線(xiàn)坐標(biāo)系

』學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.明確空間直角坐標(biāo)系是如何建立；明確空間中的任意一點(diǎn)如何表示;

2能夠在空間直角坐標(biāo)系中求出點(diǎn)的坐標(biāo)

i一學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

（預(yù)習(xí)教材P142~P144,找出疑惑之處）

1.平面直角坐標(biāo)系的建立方法，點(diǎn)的坐標(biāo)的確定過(guò)程、表示方法?

2.一個(gè)點(diǎn)在平面怎么表示？在空間呢？

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

1.怎么樣建立空間直角坐標(biāo)系？

2.什么是右手表示法?

3.什么是空間直角坐標(biāo)系，怎么表示？

思考：坐標(biāo)原點(diǎn)。的坐標(biāo)是什么？

討論:空間直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的確定過(guò)程

X典型例題

例1在長(zhǎng)方體。BCO-Z/AEC，中，|。川=3,|OC|=4

|0。1=2.寫(xiě)出D：C,A',B'四點(diǎn)坐標(biāo).

反思：求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的步驟：建立空間坐標(biāo)系一寫(xiě)出原點(diǎn)坐標(biāo)-各點(diǎn)坐標(biāo).

討論：若以C點(diǎn)為原點(diǎn)，以射線(xiàn)8C,CD,CC'方向分別為X,)，,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

各頂點(diǎn)的坐標(biāo)又是怎樣的呢？

變式：已知M(2,-3,4),描出它在空間的位置

例2V-A8C。為正四棱錐，。為底面中心，若A8=2,VO=3,試建立空間直角坐標(biāo)系，并

確定各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

X動(dòng)手試試

練1.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，確定棱長(zhǎng)為3的正四面體各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

練2.已知A8CO-A'8'C'。'是棱長(zhǎng)為2的正方體，E,F分別為8*和。C的中點(diǎn)，建立適當(dāng)

的空間直角坐標(biāo)系，試寫(xiě)出圖中各中點(diǎn)的坐標(biāo)

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.求空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可以由點(diǎn)向各坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)，垂足的坐標(biāo)即為在該軸上的

坐標(biāo).

2.點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)在該坐標(biāo)平面內(nèi)兩個(gè)坐標(biāo)不變，另一個(gè)變成相反數(shù)；關(guān)于坐標(biāo)軸

對(duì)稱(chēng)則相對(duì)于該軸的坐標(biāo)不變，另兩個(gè)變?yōu)橄喾磾?shù)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)則三個(gè)全變?yōu)橄喾磾?shù)；

3.空間直角坐標(biāo)系的建立要選取好原點(diǎn)，以各點(diǎn)的坐標(biāo)比較好求為原則，另外要建立右手直角

坐標(biāo)系.

4.關(guān)于一些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)求法

P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)平面wy對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)＜(x,y,-z);

P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)平面yoz對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P-,(-x,y,z)；

P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)平面xoz對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)鳥(niǎo)(x,-y,z);

P(x,y,z)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)E(x,-y,-z);

P(x,y,z)關(guān)于y對(duì)軸稱(chēng)的點(diǎn)P5(-x,y,-z)；

Pix,y,z)關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P6(,-x,-y,z)s

0學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(cè)(時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分)計(jì)分：

1.關(guān)于空間直角坐標(biāo)系敘述正確的是().

A.P(x,y,z)中尤,y,z的位置是可以互換的

B.空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與一個(gè)三元有序數(shù)組是一種-一對(duì)應(yīng)的關(guān)系

C.空間直角坐標(biāo)系中的三條坐標(biāo)軸把空間分為八個(gè)部分

D.某點(diǎn)在不同的空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)位置可以相同

2.已知點(diǎn)A(-3,1,-4),則點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為().

A.(l,-3,-4)B.(-4,1,-3)C.(3,-l,4)D.(4,-1,3)

3,已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,3,1),8(4,1,-2),C(6,3,7),則A/18C的重心坐標(biāo)為

().

77?147

A.(6,—,3)B.(4,—,2)C.(8,—-,4)D.(2,—,1)

2336

4.已知ABC。為平行四邊形，且4(4,1,3),8(2,-5,1),

C(3,7,-5)則頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

5.方程(x-2『+(y+3)2+(z—I)?=36的幾何意義是.

課后作業(yè)

1.在空間直角坐標(biāo)系中，給定點(diǎn)”(1,-2,3),求它分別關(guān)于坐標(biāo)平面，坐標(biāo)軸和原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

的坐標(biāo).

2.設(shè)有長(zhǎng)方體48CO-4'B'C'。'，長(zhǎng)、寬、高分別為48=4麗,4。=3麗,/14'=5的,"是線(xiàn)段

CU的中點(diǎn).分別以ABM。,4A所在的直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

⑴求48,C,￡),A',8',C',?！淖鴺?biāo);

⑵求N的坐標(biāo)；

§432空間兩點(diǎn)間的距離公式

，一學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過(guò)特殊到?般的情況推導(dǎo)出空間兩點(diǎn)間的距離公式

2.掌握空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式及推導(dǎo)，并能利用公式求空間中兩點(diǎn)的距離.

學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

(預(yù)習(xí)教材P14S-P146，找出疑惑之處)

1.平血兩點(diǎn)的距離公式？

2.我們知道數(shù)軸上的任意一點(diǎn)M都可用對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)X表示，建立了平面直角坐標(biāo)系后，平

面上任意一點(diǎn)M都可用對(duì)應(yīng)一對(duì)有序?qū)崝?shù)(X,)，)表示.那么假設(shè)我們建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系

時(shí)，空間中的任意一點(diǎn)是否可用對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)表示出來(lái)呢？

3.建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，為方便求點(diǎn)的坐標(biāo)通常怎樣選擇坐標(biāo)軸和坐標(biāo)原點(diǎn)？

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

1.空間直角坐標(biāo)系該如何建立呢?

2.建立了空間直角坐標(biāo)系以后，空間中任意一點(diǎn)M如何用坐標(biāo)表示呢？

33.3.空間中任意一點(diǎn)6(占,％,21)與點(diǎn)P2(x2,y2,z2)之間的距離公式

生闈=/(再一2)2+(必一為產(chǎn)+(Zi-z?)2?

注意：⑴空間兩點(diǎn)間距離公式同平面上兩點(diǎn)間的距離公式形式上類(lèi)似；⑵公式中如々5,丫2

石,不可交換位置；⑶公式的證明充分應(yīng)用矩形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)=4?+62+02這一依據(jù).

探究：

⑴點(diǎn)M(x,y,z)與坐標(biāo)原點(diǎn)o(0,0,0)的距離？

⑵如果|OP|是定長(zhǎng)r,那么/+>2+/=r2表示什么圖形？

X典型例題

例1求點(diǎn)P|(l,0,例與尸2(4,3,-1)之間的距離

變式：求點(diǎn)4(0,0,0)到8(5,2,-2)之間的距離

例2在空間直角坐標(biāo)系中，已知加C的頂點(diǎn)分別是4(723),8(2,-2,3),4,|,3).求證:

\ABC是直角三角形.

X動(dòng)手試試

練1.在z軸上，求與兩點(diǎn)4-4,1,7)和8(3,5,-2)等距離的點(diǎn).

練2.試在叼平面上求一點(diǎn),使它到5),

8(3,4,4)和C(4,6,l)各點(diǎn)的距離相等.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.兩點(diǎn)間的距離公式是比較整齊的形式，要掌握這種形式特點(diǎn)，另外兩個(gè)點(diǎn)的相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)之

間是相減而不是相加.

2.在平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓.與之類(lèi)似的是，在三維空間中，到定點(diǎn)的

距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是以定點(diǎn)為球心，以定長(zhǎng)為半徑的球.

X知識(shí)拓展

1.空間坐標(biāo)系的建立，空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法.________________

2.平面上P(X1,yJ,Q(X2，y2)兩點(diǎn)間的距離公式d=1(占-x?)?+?1-%)'?

3.平面上圓心在原點(diǎn)的圓的方程Y+y?=r.

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B,較好C.-?般D.較差

X當(dāng)堂檢測(cè)(時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分)計(jì)分：

1.空間兩點(diǎn)4(3,-2,5),5(6,0,-1)之間的距離().

A.6B.7C.8D.9

2.在x軸上找一點(diǎn)P,使它與點(diǎn)4(4,1,2)的距離為回，則點(diǎn)尸為().

A.(9,0,0)B.(-1,0,0)

C.(9,0,0)(-1,0,0)D.都不是

3.設(shè)點(diǎn)8是點(diǎn)A(2,-3,5)關(guān)于my面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則|4?|=().

A.10B.MC.738D.38

4.已知A(3,5,-7)和點(diǎn)8(-2,4,3),則線(xiàn)段A8在坐標(biāo)平面yoz上的射影長(zhǎng)度

為.

5.已知AA8C的三點(diǎn)分別為A(3,l,2),B(4,-2,-2),

C(0,5,l)則BC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為.

課后作業(yè)

1.已知三角形的頂點(diǎn)為A(l,2,3),8(7,10,3)和C(-l,3,1).試證明A角為鈍角.

2.在河的一側(cè)有一塔。。=5加，河寬3C=3m,另側(cè)有點(diǎn)A,AB=4m,求點(diǎn)A與塔頂。的

距離.

第四章圓與方程復(fù)習(xí)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程，會(huì)根據(jù)條件求出圓心和半徑，進(jìn)而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；根

據(jù)方程求得圓心和半徑；掌握二元二次方程表示圓的等價(jià)條件；熟練進(jìn)行互化.

2.掌握直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，會(huì)用代數(shù)法和兒何法判斷直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系；會(huì)求切線(xiàn)方程

和弦長(zhǎng)；能利用數(shù)形結(jié)合求最值.

3.掌握空間直角坐標(biāo)系的建立，能用(x,y,z)表示點(diǎn)的坐標(biāo)；會(huì)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求空間兩點(diǎn)的距

離.

，一學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

(復(fù)習(xí)教材P124-P152，找出疑惑之處)

復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)

1.圓的方程

⑴標(biāo)準(zhǔn)式：圓心在點(diǎn)5,6),半徑為/■的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為當(dāng)圓心

在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，圓的方程為.

⑵一般式：__________________________________

⑶圓的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程為

⑷是求圓的方程的常用方法..

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有，

判斷的依據(jù)為：

3.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有

判斷的依據(jù)為：

4.圓與圓的位置關(guān)系有_____________________一

判斷的依據(jù)為：

5.