高中數(shù)學(xué)立體幾何學(xué)科老師輔導(dǎo)講義

北辰教化學(xué)科老師輔導(dǎo)講義

學(xué)員姓名：年級(jí)：高二輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科老師:

授課日期3月19日授課時(shí)段

授課主題幾何體表面積與體積

教學(xué)內(nèi)容

學(xué)問回顧：

學(xué)問梳理

一.要求：

了解球、棱柱、棱錐表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式)。

二.考點(diǎn)總結(jié)：

考試中不僅有干脆求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有己知面積或體積求某些元素的量或元素間的位

置關(guān)系問題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問題，也常以幾何體為依托.因而要嫻熟駕馭多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、

性質(zhì)以及它們的求積公式.同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，

會(huì)等體積轉(zhuǎn)化求解問題，會(huì)把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解。

三.考點(diǎn)精講

1.多面體的面積和體積公式

名稱側(cè)面積(S?)全面積(S全)體積(V)

棱柱直截面周長(zhǎng)XIS底?h=S直截面?h

棱

S側(cè)+2S底

柱

直棱柱chS底?h

棱錐各側(cè)面積之和

棱

gS底?h

S側(cè)+S底

錐正棱錐-ch,

2

表中S表示面積，c'、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表斜高，h'表示斜高，I表示側(cè)棱長(zhǎng)。

2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

s側(cè)2Jirinrl冗(ri+r2)1

n(r,+r2)1+n(rA+rZ)

S全2nr(1+r)nr(1+r)4nR2

1

Vnr2h(BPnr2l)-nrh—nh(r2i+rir2+r22)-3tR3

333

表中I、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，口、n分別表示圓臺(tái)上、下底面半徑，R

表示半徑。

四.題型解析：

題型1:柱體的體積和表面積

例1.一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是20cm2,全部棱長(zhǎng)的和是24cm,求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).

點(diǎn)評(píng)：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長(zhǎng)方體的表面積多被考察。我們

平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素（對(duì)角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關(guān)系。

例2.如圖1所示，在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，已知AB=5,AD=4,AAi=3,AB_LAD,ZAjAB=ZAiAD=—?

3

（1）求證：頂點(diǎn)Ai在底面ABCD上的射影。在/BAD的平分線上；

（2）求這個(gè)平行六面體的體積。

圖1圖2

題型2：柱體的表面積、體積綜合問題

例3.一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是（）

A.26B.3A/2C.6D.V6

點(diǎn)評(píng)：解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素一棱長(zhǎng)。

例4.如圖，三棱柱ABC—ABG中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EBC將三棱柱分成體積為％、\乙的

兩部分，那么％：V2=。

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺(tái)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。最終用統(tǒng)一的

量建立比值得到結(jié)論即可。

題型3:錐體的體積和表面積

例5.在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZDAB=60°,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,P0_L平

面ABCD,PB與平面ABCD所成的角為60,，求四棱錐P-ABCD的體積？

點(diǎn)評(píng)：本小題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在實(shí)力方面主要考查空間想

象實(shí)力。

例6.在三棱錐S—ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90°,且AC=BC=5,SB=5V5?(如圖所示)

(I)證明：SC±SC；

(II)求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小;

(III)求三棱錐的體枳吆-ABC。

點(diǎn)評(píng)：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。要求對(duì)圖形必需具備肯定的洞察力，并進(jìn)行肯定

的邏輯推理。

題型4：錐體體積、表面積綜合問題

例7.ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC

=2,求點(diǎn)B到平面EFC的距離？

點(diǎn)評(píng)：該問題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，4EFG為底

面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個(gè)三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。

例8.如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心0,且與BC,DC分別

截于E、F,假如截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC的表面積分別是S”

S2,貝IJ必有（）

A.Si<$2B.Si>$2

C.S,=S2D.S”&的大小關(guān)系不能確定

點(diǎn)評(píng)：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好

平面圖形與空間幾何體之間元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

題型6：圓柱的體積、表面積及其綜合問題

例11.一個(gè)圓柱的側(cè)面積綻開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（)

1+211+4萬1+211+4萬

A.--------B.--------c.-----D.-----

2〃4〃7T2%

例12.如圖9—9,一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高

R

度恰好上升r,則一=

r

圖

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)學(xué)問以及計(jì)算實(shí)力和分析、解決問題的實(shí)力。

題型7：圓錐的體積、表面積及綜合問題

例13.（1）在△A8C中，718=2,BC=1.5,ZABC=120°（如圖所示），若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所

形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（）

9753

A.—JTB.一幾C.一"D.一"

2222

（2）若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為於，則這個(gè)圓錐的全面積是（）

A.3乃B.3V3"C.6"D.9"

點(diǎn)評(píng)：通過識(shí)圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象實(shí)力。而對(duì)空間圖形的處理實(shí)力是空間想象力深化的標(biāo)

記，是高考從深層上考查空間想象實(shí)力的主要方向。

例14.如圖所示，0A是圓錐底面中心。到母線的垂線，0A繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分,

則母線與軸的夾角的余弦值為（）

111

A.-=B.-C.-產(chǎn)

V22V2

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查柱體、錐體的體積公式及敏捷的運(yùn)算實(shí)力。

題型8：球的體積、表面積

例15.已知過球面上A,B,C三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且A6=8C=C4=2,求球的表面

積。

點(diǎn)評(píng)：正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。

例16.如圖所示，球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C,假如PA,PB,PC兩兩相互垂直，且PA=PB=PC=a,求這個(gè)

球的表面積。

點(diǎn)評(píng)：本題也可用補(bǔ)形法求解。將P—ABC補(bǔ)成一個(gè)正方體，由對(duì)稱性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就

是正方體的對(duì)角線，易得球半徑R=上a,下略。

2

題型9:球的面積、體積綜合問題

例17.如圖，正四棱錐P—A6co底面的四個(gè)頂點(diǎn)A,8,C,。在球。的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，假如

v-丁則球。的表面積是()A,4.B.8%C.12萬D.16%

(2)半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長(zhǎng)為逐，求球的表面積和體積。

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式,解題的關(guān)鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球的幾何要素。

例18.(1)表面積為324開的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個(gè)正四棱柱的表面積。

(2)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a,球。是內(nèi)切球，球。1是與正四面體的三個(gè)面和球0都相切的一個(gè)小球,

求球5的體積。

~~~~~一：-

點(diǎn)評(píng)：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等。

題型10：球的經(jīng)緯度、球面距離問題

例19.(1)我國(guó)首都靠近北緯40緯線，求北緯40緯線的長(zhǎng)度等于多少而？(地球半徑大約為6370切?)

(2)在半徑為13。機(jī)的球面上有A,3,C三點(diǎn)，AB=BC^AC=12cm,求球心到經(jīng)過這三點(diǎn)的截面的距離。

V2

例20.在北緯45圈上有A,8兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上A,8兩點(diǎn)的劣弧長(zhǎng)為KR(R為地球半徑)，求

4

兩點(diǎn)間的球面距離。

點(diǎn)評(píng)：要求兩點(diǎn)的球面距離，必需先求出兩點(diǎn)的直線距離，再求出這兩點(diǎn)的球心角，進(jìn)而求出這兩點(diǎn)的球面

距離。

五.思維總結(jié)

1.正四面體的性質(zhì)設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,則這個(gè)正四面體的

l五

(1)全面積：S金=6a2；(2)體積：V=J/；(3)對(duì)棱中點(diǎn)連線段的長(zhǎng)：d=—J2a；

122

(4)內(nèi)切球半徑：r=—a；(5)外接球半徑R=—a；

124

(6)正四面體內(nèi)隨意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值(等于正四面體的高)。

2.直角四面體的性質(zhì)有一個(gè)三面角的各個(gè)面角都是直角的四面體叫做直角四面體.直角四面體有下列性質(zhì):

如圖，在直角四面體A0CB中，ZA0B=ZB0C=ZC0A=90",0A=a,0B=b,0C=Co

則：①不含直角的底面ABC是銳角三角形;

②直角頂點(diǎn)0在底面上的射影H是AABC的垂心;

③體積V=—abc；

6

④底面△*；JaE+b2c、c2a2

⑤S^ABC二S△BUC?SAABC;

@S2ABOC=S2AAOB+S2AAOC=S"AABC

1111

⑦----r=-7+-r+;

OH2a2b2c2

⑧外切球半徑R--Ja~+b~+c~；

2

q*qc

⑨內(nèi)切球半徑r=2M0B?ABOC?AABC

a+b+c

3.圓錐軸截面兩腰的夾角叫圓錐的頂角.

①如圖，圓錐的頂角為B,母線與下底面所成角為a,母線為1,高為h,底面半徑為r,則

(.Ph

sma二cos—二一,

2/

a+2=90。=

2

.Pr

cosa=sin—=—.

2I

③球的截面用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面.

(1)過球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做球的小圓；

(2)球心與截面圓圓心的連線垂直于截面；

(3)球心和截面距離d,球半徑R,截面半徑r有關(guān)系：r=7R2-d2.

4.經(jīng)度、緯度：

經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個(gè)大圓;

1座

南被

緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓;

1度

南極

經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)劣也與地軸確定的半平面與0經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。

緯度：某地的緯度就是指過這點(diǎn)的球斗，徑與赤道平面所成角的度數(shù)。

kfflaig

W1⑥:二

5.兩點(diǎn)的球面距離：

球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就貢m經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)

的球面距離.

兩點(diǎn)的球面距離公式：(其中R為球半徑，。為A,B所對(duì)應(yīng)的球心角的弧度數(shù))

課后作業(yè)

1、如圖，△A5C中，ZACB=90,乙48c=30,BC=J5,在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓(圓心。在邊上，

半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)C、力4,與交于點(diǎn)N),將△A8C

繞直線3C旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體。

(1)求該幾何體中間一個(gè)空心球的表

(2)求圖中陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)--周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

第20題

2、如圖，四面體ABC。中，O、E分別是BD、的中點(diǎn)，AO_L平面BCZ),

CA=CB=CD=BD=2.

(1)求三棱錐A-3CQ的體積；

(2)求異面直線AE與CD所成角的大小.

BC

E

3,(本題滿分12分)

在正四棱錐2一ABC。中，側(cè)棱PA的長(zhǎng)為2后，PA與8所成的角的大小等于arccos半