高中數學平面向量檢測題

平面向量單元檢測

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.設向量五=(0,2),3=(2,2)，則()

A.\a\=\b\B.(a-b)//b

C.N與7的夾角為gD.(a-b)la

2.如圖在梯形ABC。中，BC=2AD,DE=EC,設

BA=a,BC=b，則前=()

A.\a+-b

24

B.；蒼+/

36

c.冢+例

D.7+部

24

3.已知向量五=區(qū)2）石=（2,丫）1=（2,-4）,且//冷3_1.己則|五—方|=（）

A.3B.V10C.VTTD.273

4.如圖，正方形A8C￡＞的邊長為2,E為BC邊的中

點，F(xiàn)為CO邊上一點，若萬?荏=|荏/，則

I用=()

A.3

B.5

D.|,

5.二個不共線的向量OA,OB,0C滿足。A,+1|吉）=0B?=0C?

（簫+急）=0,則。點是△人8（：的（）

A.垂心B.重心C.內心D.外心

6.已知向量麗=（1,2），AC=（4,-2），則AABC的面積為（）

A.5B.10C.25D.50

7.下列命題中正確命題個數為（）

回向量方〃30存在唯一的實數人使得向量方=4出

團3為單位向量，且向量五〃若，則向量五=±|初為

團若向量有小=下々，則吊

回若平面向量31萬，Kic.則向量五〃2

A.1B.2C.3D.4

8.已知點0、N、P在回4BC所在平面內，5L\0A\=\0B\=\0C\,NA+~NB+

NC=0＞PA-PB=^B-PC=PCPA＞則點。、N、P依次是團48。的()

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、內心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內心

9.已知非零向量五、石滿足|五|=|石|=|五-31=1，c=2a-b＜則cos＜泊方＞=

A.OB.；C.1D.-更

232

10.點4(3,0)、3(0,3)、C(co?c,“ig)、0(0,0),0^44-OC|=V13,a6(0,TT),

則而，厲的夾角為()

11.如圖，在△ABC中，AD=2DB,AE=3EC,CD與BE交于F,AF=xAB+

yAC,則（％/為（）

12.在AABC,4c=90。，AB=2BC=4,M,N是邊48上的兩個動點，且|MN|=

1,則由?麗的取值范圍為()

A.曲9]B.[5,9]C.卓,9]D.臣5]

第II卷(非選擇題)

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知五?1=—9，毛,備分別是與五花方向相同的單位向量，在在至上的投影向量為

—3杳，方在日上的投影向量為一;備，則為與方的夾角。為.

14.關于平面向量落a3,有下列三個命題：

第2頁，共19頁

①若(?方=五々,則3=己

②若”=(l,k),b=(-2,6),一〃1，則k=-3;

③非零向量五和石滿足|五|=|K|=\a-b\'則五與方+石的夾角為60。.

其中真命題為.(寫出所有真命題的序號)

15.已知五=(2,-1),b=(x,-2).I=(3,y).若五〃方,(a+h)1(K-c)?M(x,y),

N(y,x),則向量而的模為.

16.如圖，在A4BC中，4B=4,AC=2,NBAC=60。.已知點E,尸分別是邊A8,

AC的中點，點。在邊BC上，若詼?標=?,則線段8。的長為_______

4

三、解答題(本大題共5小題，共60.0分)

17.已知銳角團4BC的內角4,B,C所對的邊分別a,b,c,且a=3,b=V7.若方=

(a,—b),q=(sin2B,sinA),且91于.

(1)求角B和邊c.

(2)若點。滿足方力:而+二次，求AACO的面積.

?5*5

18.已知向量為=(3,2),b=(%,-!)-

(1)若(N+21)，(2N-了)，且x>0,求|五+)|；

(2)若(一8,-1),a//(b+c)，求a與3的夾角.

19.己知向量蒼=(-3,2),b=(2,1)>c=(3,-1),tGR.

(1)求|五+/|的最小值;

(2)若五一tE與不共線，求，的值.

20.已知平面向量日=(1,2)1=(一3,-2).⑴若)/(2Z+B),_0.|c|=2V5.求才的

坐標；

(2)若云與方+2石的夾角為銳角，求實數4的取值范圍.

第4頁，共19頁

21.M、N分別是Z1ABC的邊8C、AB上的點，且BM=[BC,AN=^AB,AM交CN

于P.

⑴若祠=萬南+丫而，求x-y的值；

(2)若AB=4,AC=3,^BAC=60°,求布?瓦t的值.

答案和解析

1.【答案】D

【解答】

解：因為同=2,\b\=74+4=2V2。同，故A錯誤；

因為萬一方=(一2,0)，b=(2,2).所以￡=-1*￡=0,所以@一石)與了不共線，故8

錯誤；

因為弓?b—(0,2)?(2,2)=4，|五|=2,\b\=，4+4=2V2,

所以cos(五1>=蠡1=表=當

因為〈乙3>e[0,兀],所以〈區(qū)另>=5故C錯誤；

因為(有一石)=(-2,0)，a=(0,2),所以位一3)W=-2x0+0x2=0，

所以(三一方)-L五，故。正確.

故選D.

2.【答案】D

【解答】

解：取8c中點F,連接FA,

因為在梯形A8C力中，BC=2AD,所以四邊形AOC「是平行四邊形，

所以FA//CD,FA=CD,

*1■■?,......?1，，—，?1”3"一■?

=BC+X&l-BF）=BC+：（BA-；BC）

=三/+?比=%+濘.

2424

故選D

3.【答案】B

第6頁，共19頁

【解析】

【分析】

本題考查向量的數量積，考查向量平行及垂直的判斷與證明，考查向量的模，考查計

算能力，屬于基礎題.

由題已知計算可得x=—l,y=l,即可得五—B=(—3,1)，即可得到答案.

【解答】

解：由題得向量方=(%2),b=(2,y)，c=(2,-4),

&a//c,Tic*,

x2

a//c=^Z-=—4,

b-L，=4-4y=0，

???x=—1,y=1,

--a=(-1,2),K=(2,1).

即五一B=(—3,1)，

.-.\a-b\=J(-3)2+1=V10,

故選艮

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查了向量的數量積應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

法一：建立平面直角坐標系，利用平面向量的坐標運算求解即可.

法二：由題意，根據向量的運算，可得荏，市，即EF_L4E,再由E是的中點，

進而可求解，得到答案.

【解答】

解：法一：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AO所在直線為y軸,

建立平面直角坐標系如圖所示，

ABX

則4(0,0),E(2,l).設|便|=%,則F(x,2),故N=(x,2),AE=(2,1).

■-AF-AE=\AE\2,(x,2)-(2,1)=2x+2=5,解得x=|,

二聞l=J?+22/

故選D

法二：連接EF

由題意，-：AF-AE=\AF\-\AE\cos/.EAF=\AE\2,

???|AF\cos^EAF=\AE\>

EF是8c的中點，

BE=CE=1.設DF=x,

則CF=2-x,

在RM4EF中，AE2+EF2=AF2,

即2?+I2+(2—x)2+I2=22+x2,

解得尤=I，AF=>JAD2+DF2=|.

故選D.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查了向量在幾何中的應用，考查的重點是向量加法的幾何意義和向量數量

積的性質，屬于中檔題.

森，是單位向量，且由向量備，^為鄰邊構成的四邊形是菱形，得到OA在ZB4C

的平分線上，即可得出結論.

第8頁，共19頁

【解答】

解：向量融模等于

因而向喘是單位向量,

?響量繇簫溪等都是單位向量，

,由向量器，^為鄰邊構成的四邊形是菱形,

7T7?z而石、

???0A?(-=--7=r)=0A,

\AB\\ACV

可得0A在NB4c的平分線上,

同理可得0B平分44BC,0c平分N4CB,

???。是△ABC的內心.

故選C.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了向量的數量積，兩向量的夾角，向量的模，三角形的面積公式，平面向量

的坐標公式，屬于基礎題.

先求出荏?而，及|屈|、\AC\,可求出兩向量的夾角，再根據三角形的面積公式可

求答案.

【解答】

解：由題意I荏I="2+22=次，I刀I=J42+(-2)2=2遍,

設向量荏與前的夾角為。,

贓。，"磊二^^二。，

所以。=乙4=90°,

故SMBC=1|^||^C|sin900=|X(V5)X2V5=5.

故選A.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查平面向量共線的條件、共線向量概念、單位向量概念及數量積運算，屬基礎

題.

結合平面向量的基本概念進行逐個判斷即可.

【解答】

解：(1)不正確，例如當五=6,3K6時，這樣的4不存在；

(2)正確，由于3為單位向量，且五〃高故五的模等于|五|,方向與N的方向相同或相

反，故不=士|磯京；

(3)不正確，例如當方=6,3與口不一定相等；

(4)不正確，alb.313則方與e可能不共線，

綜上，正確的命題為(2),共1個.

故選A.

8.【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了向量的幾何運用，涉及向量的加減運算，向量的數量積以及三角

形三心的判斷，考查了分析和運用能力，屬于中檔題.

根據|函|=|而|=|衣|，得到點0到三角形的三個頂點的距離相等，即點。為△

4BC的外心；再根據雨+源+枇=6,得稔+雨=一枇=麗，得到點N在AB

邊的中線上，同理可得點N也在其他邊的中線上，即可得到N為AABC的重心；再根

據百？?=PBPC=PC-適得兩~PB-~PB-PC='PBCA=0,得到點P在AC邊

的垂線上，同理可得點P在其他邊的垂線上，進而得到點尸為AABC的垂心，進而得

到答案.

【解答】解：因為|而|=|而|=|左所以點0到三角形的三個頂點的距離相等，

所以點。為△ABC的外心；

由而+而+枇=6，得福+而=一覺=麗，

由中線的性質可知點N在A8邊的中線上，

同理可得點N在其他邊的中線上，

所以點N為△4BC的重心；

由可PB=PBPC=PCPA，

得P4-PB-PB-PC=PB(PA-PC)=PB-CA=O,

則點P在AC邊的垂線上，同理可得點P在其他邊的垂線上，

第10頁，共19頁

所以點尸為△ABC的垂心.

故選C.

9【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查了向量的數量積和向量的夾角及余弦定理，屬于基礎題.

根據題意，將向量五石轉化為而，而捐出三角形ABC為等邊三角形，再根據余弦定理

得出=4。2+。。2,進而求出答案.

【解答】

解：設丘=4B，AD=2a,b=AC>

則五一3=說一左=方;^=2日一5=同一而=而;

因為同=|同=|五一3=1,所以三角形ABC為等邊三角形，所以乙4，

<)

222

1AD+AC-CD22+l2-CD2

所以0084一COB---,Ip-?解得CD=V3;

322xADxAC22X2X1

所以m=AC2^CD2,

所以乙4CD=],所以cusq/.T)=8S^=0,

故選A.

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查向量的坐標運算、數量積以及向量夾角，屬于基礎題.

利用向量坐標形式進行運算求出C點坐標，然后求出布,灰的夾角的余弦值，最后結

合夾角的范圍求出夾角的大小.

【解答】

解：,??4(3,0),C(cosn,.sina),0(0,0),

.」+OC'(3+cosn,hiiki)?\0A+0C|=7(34-cosa)2+sin2a=

V104-6cosa=V13?

1

/.cosa=】,

vaG(0,7T),

a=3r即0(I，亨)，

A方,正夾角余弦值為"藝=送=叵,

\OB\\OC\3X12

V麗,能夾角范圍為［0,兀］,

.?.南,0?夾角為也

故選。.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查了平面向量的基本定理及其意義，同時考查了分析問題的能力和計算能

力，屬于中檔題.

根據4。=208,AE=3EC,利用8、F、E三點共線和C、F、。三點共線分別表示

出向量存，根據平面向量基本定理可求出x、y的值.

【解答】

解：???AD=2DB,AE=3EC,

設前=4褊CF=fiCD^

.-.AF=AB+'BF=AB+A'BE

=AB+4(萍-AB)=(l-^AB+^XAC,

且酢^AC+CF^AC+nCD

=AC+M(|A5-硝=|〃而+(1-〃)幅

(l-A=-n[x=-

可得(33解得{:,

印=1-〃

所以羽=[而+：而，

因為"=x而+y前，

所以％=5

則(x,y)為&}.

故選A.

第12頁，共19頁

12.【答案】A

【解析】解：以C4,CB為坐標軸建

立坐標系如圖所示：

vAB=2BC=4,4BAC=30°,

AC=2V3

設4N=a,則N(2g一苧,力

同Q+l)a+1、

M(2V3-2，2)’

：.CM-CN=(2V3-亨)(26-?鳳尸)+|—=a2-5a+9.

vM,N在AB上，0WaW3.

二當a=0時，加.麗取得最大值9,

當a=|時，CM■麗取得最小值*

故選：A.

建立坐標系，設4N=a,用a表示出由，麗，得出麗?而關于a的函數，從而得出

范圍.

本題考查了平面向量的數量積運算，屬于中檔題.

13.【答案】120。

【解析】

【分析】

本題考查投影向量、向量的數量積、夾角公式，屬于基礎題.

根據投影向量定義，列出方程，求解|初=6,忸|=3,再根據夾角公式，即可求

解.

【解答】

f|a|cos0=-3

,,,11—?-3(a—6

解：由題意，得J|b|cos0=￡=■［芮=3'

\a-b=—9

u.?b—91

:.COS0=---ZT=-----=----

|a||K|6x32

V0°<e<180°,9=120°.

故答案為：120°.

14.【答案】②

【解析】

【分析】本題考查向量平行的條件，向量的夾角，向量的模等知識，屬于基礎題.

將原式變?yōu)槿?(K-C)=o,可判斷①錯誤；根據平面向量共線的條件可判斷②正

確；畫出圖形根據向量的平行四邊形法則可判斷③錯誤.

【解答】

解：①方=k■不時，al(h—c)=0>a1(b—c)?不一定有3=高故①錯誤.

@a=(1,/c),b=(-2,6)，由百〃石知，lx6-(-2k)=0,二k=-3,故②正

確.

③非零向量五，至滿足|=|9|=|五—質，則三向量方，b>五—加構成正三角形，如

圖.

由向量加法的平行四邊形法則知，方+方平分NB4C,二2+方與五的夾角為30°,故③

錯誤.

15.【答案】8V2

【解析】

【分析】

本題主要考查了向量的坐標運算，向量的數量積運算法則，向量平行以及垂直的充要

條件，屬于基礎題.

由乙〃方求出X值，進一步求出3+方、b-c>又由m+方)_L(石一？)，構造方程，解方

第14頁，共19頁

程求出y,有了M、N的坐標，代入向量模的計算公式，即可求出向量的模.

【解答】

解：因為在〃方，所以x=4,所以方=(4,一2)，

所以五+1=(6,—3)，fe-c=(1,-2-y).

因為0+B)l(3—?)，所以0+B)?@-？)=0,

即6—3(—2-y)=0,所以y=—4.

所以向量而=(—8,8)，|而|=8近.

故答案為8VL

16.【答案聯(lián)

【解析】

【分析】

本題考查了向量的數量積運算和坐標運算，先是以A為坐標原點，AB為x軸，過A點

的AB的垂線為），軸建立坐標系，故可得各個點的坐標，再由麗?濟=弓和8、D、C

三點共線，解出答案.

【解答】

解：以A為坐標原點，AB為x軸，過4點的A8的垂線為y軸建立坐標系，如下圖：

由題意得4(0,0),8(4,0),C(1,V3),E(2,0),飛片)，

設。(x,y)(0<%<4,0<y<V3),

則55=(2_以_切，D?=(i-x,--y)>氏=(一3,⑺)，B5=(x-4,y)?

則經=（2-1）（；一工）一y（等一y）=學‘①,

又B、。、C三點共線，則有前與前共線，-3i/-1）,②,

13（1

X=-X=-

'或15%（舍去），

[y=7（y=-T

配=V號’...初=+哼）=惇，

故答案為理.

2

17.【答案】解：（1）由萬JL干,

得方q=0

即?—b）?儂口2B.sinA）=asin2B一fcsin4=0,

由正弦定理，

/.2sinAsinBcotsB-sinBtinA=0,

又sinZw0,sinB豐0,

.?.cosZ?=-,

又B6（嶗，?①哈

由/=Q2+02_2QCCOS8,

代入a3.b二、萬得c?—3c+2=0,

，c=l或2,

當C=1時，1>/+仃2,不合題意，舍；

當C=2時，°2<廬+/,符合題意，

所以仃=2；

（2）-.<W--A5+2A^,

3?J

=A0-15=-AS=京前一函號配，

J?JJ?J

???。在8。上，且為靠近C的三等分點，

c1.D國3V3

ShABC=-acsmB=-x3x2x—=?

.c_1c_1sz36_y[3

???^^ACD—=3X

【解析】本題考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，平面向量的線性運算，兩

向量垂直的坐標表示，解題關鍵是由正弦定理化邊為角，屬于基礎題.

第16頁，共19頁

(1)由向量垂直得數量積為0,再由正弦定理化邊為角，可求得8角，然后由余弦定理

求得c,注意取舍.

(2)由向量的線性運算求得。在BC上位置，利用回ABC的面積得出結論.

18.【答案】解：(1)因為五=(3,2),K=(x,-1).

所以萬+21=(3+2x,0),2a-K=(6-x,5),

由(N+2T)_L(2N-1)可得(五+2萬)?(2五一B)=0，

即(3+2x)(6-x)=0,解得x=6或x=-|(舍去，因為x>0),

所以己+石=(9,1)，

故|W+5|=V92+I2=V82.

(2)由題意，b+c=(—8+x,-2),

又W〃(石+?)，則-2x3=2x(%—8),

解得x=5,則石=(5,—1)，

所以cos(乙石>=噩=潦急=當，

又<N,1>€。對,所以方與石的夾角為：.

【解析】本題考查向量的數量積運算，向量的坐標運算，向量的模和夾角，向量之間

的平行，垂直判定，屬于較易題.

(1)得出五+2方=(3+2x,0)，2a-b=(6-x,5)，根據0+2石)?(2萬一石)=0即可

求解x的值，從而可得|2+3|；

(2)可得方+下=(一8+%-2)，根據弓〃出+。