高中數(shù)學(xué)必修二教材習(xí)題（含答案）63

6.3.1平面向量基本定理

例1如圖6.340A，礪不共線，且而=用方，礪表示麗.

解：因AP=/AB)

UUUUUULU

所以O(shè)P=QA+AP

=OA+tAB

^OA+t(OB-OA\

=OA+tOB-tOA

=(\-t')OA+tOB.

例2如圖6.3-5,8是AABC的中線，CO=』AB,用向量方法證明AABC是直角三角

2

形.

分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一個(gè)基底表示，本題可?。?，萬4｝為

基底，用它表示cU，CB-證明瓦?國(guó)=0，可得瓦從而證得AABC是直角三

角形.

證明：如圖6.3-6,設(shè)麗=￡,DA=b^則=￡+麗=一心于CB=a-b-

DB

圖6.36

而?麗=R+1).僅一到=7一日

因?yàn)?

2

所以CD=ZM.

因?yàn)?=CD?，b2=DA2>

所以國(guó)?國(guó)=0.

因此C4J_C3.

于是AABC是直角三角形.

練習(xí)

1.如圖，AD,BE,CE是A4BC的三條中線，C4=a，CB=b.用2,萬表示通,

uuur________

AD>BE，CF-

【答案】l\B-b-a；AD=-b-a-BE=-a-b；CF=-a+-b.

2222

【解析】

【分析】

直接利用向量的減法三角形法則和平行四邊形法則即可。

【詳解】解：AB=CB-CA=b-a-,

AD=CD-CA=-CB-a=-b-a；

22

JE=CE-CB^-CA-CB=-a-b；

22

CF=^(CA+CB)=^(a+b)^^a+^b.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的減法三角形法則以及平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題。

2.如圖，平行四邊形ABCO的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)。，AB=a，而=5,點(diǎn)E,F

分別是。4,0C的中點(diǎn)，G是CD的三等分點(diǎn)(OG=；C。).

(1)用5表示麻，麗，0G；

（2）能由（1）得出。E,所的關(guān)系嗎？

一13-13-___11-

【答案】（1）DE=-a一一h,FB=~a--b,OG=一一a+-h；（2）DE=BF

444462

【解析】

【分析】

（1）利用三角形法則以及平行四邊形法則即可。

（2）利用（1）的結(jié)果找出詼，而的關(guān)系即可得出DE,跖的關(guān)系

【詳解】解：（1）DE=AE-AD=-AC-Ai5=-（AB+AD）-Ab

44

1一3一1一3-

=-AB--AD=-a--b,

4444

_________3____3____

FB=AB-AF=AB一一AC=AD）

44

4444

OG=DG-/X）=-DC--Dfi=-AB--（^-AD）

3232

=AAB+-AD=--a+-b.

6262

(2)由(1)知，DE^-a--h,BF^-FB=-\^a-^-b\^-DE,：.\DE\=\BF\,

44(44J

即?！?".

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形法則以及平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題。

3.如圖，在AABC中，AO=‘A8,點(diǎn)E,F分別是AC,BC的中點(diǎn).設(shè)通=方,

4

AC=b-

(1)用Z力表CD，EF-

(2)如果NA=60",AB=2AC,CD,EE有什么關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論.

一1__1

【答案】(1)CD^-a-b,EF=-a-(2)CDA.EF,證明見解析

42

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)向量的三角形法則以及中位線定理即可表示出麗，EF

(2)設(shè)AC=機(jī)，則AB=2機(jī)，成=/〃.計(jì)算CZ)?石尸即可。

【詳解】解：(1)CD=AD-AC=-AB-AC=-a-b；

44

—1—1-

EF=-AB=-a.

22

(2)CDA.EF,證明如下：設(shè)AC=m,則AB=2m,EF=m.

―-—■fl-1-1-21--1,1。

CD-EF=—a-b\--a=—a——a-b=—x(2m)——x2mxmxcos60

(4J28282

CD±EF-ACDLEF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的三角形法則以及利用向量的數(shù)量積判斷直線的關(guān)系,

屬于中等題。

變式練習(xí)題

4.在口A3CD中，E和F分別是邊CO和BC的中點(diǎn)，/=4荏+〃而，其中九

蚱R,則4+〃=.

4

【答案】§

【解析】

【分析】利用平面向量的基本定理可得出關(guān)于義、〃的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)

的值，即可證得結(jié)論成立.

【詳解】解：如下圖所示，

DEc

A廠

B

由平面向量的加法法則可得AC=AB+AD，

AF=AB+BF=AB+-AD,AE^AD+DE^-AB+AD,

22

因?yàn)?/p>

=+=++“而+；砌=0+

2+-2//=102.4

所以，，解得丸=〃=可，因此，2+//=-.

4

故答案為：y.

__,UUlluiluuu

5.若向量。4,。月不共線，且0尸=xOA+）OB（其中x+y=l），求證：A,P,B共線.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)條件和向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到Q=y而，結(jié)合向量而與而

有公共點(diǎn)A,即可證得AR6三點(diǎn)共線.

__________ULUUUUULI

【詳解】由題意，向量。4,08不共線，且OP=xQ4+yO3（其中x+y=l）,

可得加=（1-y）麗+丁麗=麗-y西+）,礪，

所以加—礪=y（而一礪），即/=），瓦，所以而//而，

由向量而與而有公共點(diǎn)A,所以AP,8三點(diǎn)共線.

6.如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN=2NC,AM與BN相交于

點(diǎn)P,求AP：PM.

3

【答案】4：1.

【解析】

【詳解】設(shè)BM=ei，H=e2,

則后=專蘇=32曲麻=2ei+e2?

?；A,P,M和B,P,N分別共線,.?.存在X，nGR,

..T―.TT

彳更、pF\4M=4eL3A?e2，Bp=RBN=2Nei+|xe2.

故2(入+2M)ei+(3X+|i)e2,

而BA=BC+CA=2ei+3e2,

.(X+2p=2,.卜=g，

?13入+p=3,?%二,

??qp=二AM,??PM=gAM,即AP.PM=4.

7.如圖所示，在△A3。中，。。=一。4,0D=--OB,AO與BC相交于點(diǎn)M,

4

設(shè)函=跖0月=4試用a和8表示向量?jī)?

應(yīng)

【答案】?jī)?3。+%

【解析】

【詳解】設(shè)次/="2。+帥，

則-盾=①。+，力—。=(m-1)。+/力，

布=俞一眉=/流-眉=-a+權(quán)

又TA,M,。三點(diǎn)共線，，而與而共線.

?,?存在實(shí)數(shù)八使得加=Th，

即(m—\)a~^nb=/^―

/.(m—\)a~\~nb=—fa+g/O.

?一i-r

?li消去，得加一1——2及,

f

即相+2〃=1.①

又：巾=在一左=〃刈+泌一%=Q-Ja+汕，

濠=濟(jì)-虎=6-'=—%+/>.

又：。，M,B三點(diǎn)共線，.?.也與法共線.

.,.存在實(shí)數(shù)外，使得不<=外港，

Q-+吐=/(—^B+@，

.?.卜一『中'消去t\得4〃?+〃=1.②

由①②得加=3，n=|，+

8..如圖，在△OAB中，詼=；礪，歷=；麗,AO與BC交于點(diǎn)M設(shè)方=第礪=]

在線段AC上取一點(diǎn)E,在線段BO上取一點(diǎn)F,使EF過"點(diǎn)，設(shè)礪=p礪，OF

，13

=qOB，求證：z-+T—=1.

【答案】證明見解析

【解析】

----1T

【分析】由8,M,C三點(diǎn)共線計(jì)算可得0M=7位+(1-m)匕，由AM,。三點(diǎn)共線,

4

.1T.1T3f

計(jì)算可得0M=〃M+—(1-〃)6,即可求得。M=—由E,M,尸三點(diǎn)共線，

277

計(jì)算可得兩=丸礪+(l_X)^=Xp1+(l一㈤「，消去，，即可證得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槭稀?C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)〃，使得

———.------1-----------1->

OM=mOC+(1-m)OB=m--0A