高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

充要條件一充分不必要條件，必要不充分條件，充分必要條件，既不充分也不必要條

第一節(jié)集合

知識(shí)點(diǎn)精講

一、集合的有關(guān)概念

1.集合的含義與表示

某些指定對(duì)象的部分或全體構(gòu)成一個(gè)集合.構(gòu)成集合的元素除了常見(jiàn)的數(shù)、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對(duì)象

外，還可以是其他對(duì)象.

2.集合元素的特征

(1)確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個(gè)對(duì)象都能明確判斷出它是否為該集合

中的元素.

(2)互異性：集合中任何兩個(gè)元素都是互不相同的，即相同元素在同一個(gè)集合中不能重復(fù)

出現(xiàn).

(3)無(wú)序性：集合與其組成元素的順序無(wú)關(guān).如,也可=｛。,0,可.

3.集合的常用表示法

集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法(韋恩圖、數(shù)軸)和區(qū)間法.

4.常用數(shù)集的表示

R—實(shí)數(shù)集Q—有理數(shù)集Z—整數(shù)集N—自然數(shù)集N*或N*—正整數(shù)集C一復(fù)數(shù)集

二、集合間的關(guān)系

1.元素與集合之間的關(guān)系

元素與集合之間的關(guān)系包括屬于(記作aeA)和不屬于(記作a史A)兩種.

空集：不含有任何元素的集合，記作0.

2.集合與集合之間的關(guān)系

(1)包含關(guān)系.

子集：如果對(duì)任意acAnAeB,則集合A是集合8的子集，記為或8=4,顯

然規(guī)定：0cA.

(2)相等關(guān)系.

對(duì)于兩個(gè)集合A與8,如果同時(shí)BqA,那么集合A與8相等，記作4=6.

(3)真子集關(guān)系.

對(duì)于兩個(gè)集合A與8,若AgB,且存在人但。WA,則集合A是集合8的真子集,

記作或BVA.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

三、集合的基本運(yùn)算

集合的基本運(yùn)算包括集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算，如表1-1所示.

1.交集

由所有屬于集合A且屬于集合8的元素組成的集合，叫做A與8的交集，記作AcB,即

AcB={x|xwAHxw6}.

2.并集

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，叫做A與8的并集，記作ADB,即

AD8={x|xw洞txG6}.

3.補(bǔ)集

已知全集/,集合A±/,由/中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做集合A相對(duì)于全

集/的補(bǔ)集，記作6/A,即@A={x|xw/且r定A}.

四、集合運(yùn)算中常用的結(jié)論

1.集合中的邏輯關(guān)系

(1)交集的運(yùn)算性質(zhì).

Ar>B=Br>A,AcB^A,AcBqBAn/=A,Ar>A=A,An0=0.

(2)并集的運(yùn)算性質(zhì).

A<JB=B^A,A^A^JB,B^AuBA<JI=1,A<JA=A,A<J0=A.

(3)補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì).

頒,A)=A,6/0=7,取=0?A)cA=0,Au(6;A)/.

補(bǔ)充性質(zhì)：Ac8=A=AD5=8OAqBo輒q,A<=>=0.

(4)結(jié)合律與分配律.

結(jié)合律：Au(BuC)=(AuB)uCAn(BnC)=(AnB)nC.

分配律：An(BuC)=(AnB)u(AnC)A58CC)=(AU8)C(AUC).

(5)反演律(德摩根定律).

頒Ac6)=(潭)5?/)取ADB)=(/A)C(?/).

即“交的補(bǔ)=補(bǔ)的并”，“并的補(bǔ)=補(bǔ)的交

2.由〃(〃wN*)個(gè)元素組成的集合A的子集個(gè)數(shù)A的子集有2"個(gè)，非空子集有2"-1個(gè),

真子集有2"-1個(gè)，非空真子集有2"-2個(gè).

3.容斥原理

Card(AuB)=Card(A)+Card(B)-Card(AnB).

題型歸納及思路提示

題型1集合的基本概念

思路提示：利用集合元素的特征：確定性、無(wú)序性、互異性.

例1.1設(shè)集合{1,。+匕,。}=，貝（）

A.1B.-1C.2D.-2

變式1已知集合人={1,2,3,4,5},B={(x,y)|xewA},則8中所含元素的個(gè)數(shù)為

().

A.3B.6C.8D.10

變式2（2017濟(jì)南調(diào)研）設(shè)P,Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q={a+b\aeP,b&Q},

若尸={0,2,5},0={1,2,6},則尸+。中元素的個(gè)數(shù)是（）

A.9B.8C.7D.6

題型2集合間的基本關(guān)系

思路提示

（1）判斷兩集合的關(guān)系常用兩種方法：一是邏輯分析法，即先化筒集合，再?gòu)谋磉_(dá)式中尋

找兩集合的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系，這體現(xiàn)了合情推理的思

維方法.

（2）已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)

化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類(lèi)問(wèn)題常利用數(shù)軸和韋恩圖輔助分析.

一、集合關(guān)系中的判斷問(wèn)題

例L2若A={X|X=4〃+1,〃GZ},B={x\x=4n-3,n^Z],

C={x|x=8〃+l,“eZ},則A,B,C之間的關(guān)系為（）.

A.CuBuAB.AuB7CC.COA=BD.A=3=C

變式1設(shè)集合=g+M={x|x=：+g,Zez),則

A.M=NB.M。NC.MuND.McN=0

二、已知集合間的關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍

例1.3設(shè)4=卜|丁一8x+15=0},B={x|分—1=0}.若B=則實(shí)數(shù)a組成的集合為

().

A.1或，B.」或2C.0或』或』D.0或一1或，

35353535

分析：解方程辦-1=0,建立。的關(guān)系式求a,從而確定集合C.

評(píng)注：(1)研究集合的子集問(wèn)題時(shí)應(yīng)首先想到空集，因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?

(2)含參數(shù)的一元一次方程辦=b解的確定：

當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解x=2；

a

當(dāng)。=萬(wàn)=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解，可為為任意實(shí)數(shù)；

當(dāng)a=0且人不。時(shí)，方程無(wú)解.

變式1已知集合A={1,3,J￡},8={1,/〃},AuB=A,則加=()

A.0或后B.0或3C.1或百D.1或3

例1.4已知集合4={%|尤2—。?7jc^016<0},B={x\x<a},若418,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是.

變式1若將例1.4中的集合B改為{x|x2a},其他條件不變，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

變式2已知集合4=卜|%2一3%-10?0}，集合B={x|p+lWxW2p-l}，若B±A,

求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

變式3已知集合?={X，<1},知={4},若PcM=M,則a的取值范圍是()

A.(—oo,—1]B.[1,-Foo)C.[―1,1]D.(―oo,—1][1,-poo)

三、集合關(guān)系中的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題

例1.5已知集合4=卜|》2—3x—10W0,xeZ},則集合A的子集個(gè)數(shù)為.

分析：本題應(yīng)首先確定集合A中元素的個(gè)數(shù)，再求其子集的個(gè)數(shù).

例1.6已知集合A={x|尤？-3x+2=0,xe尺},3={x|0<x<5,xeN},滿足條件

的集合C的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

變式1已知集合M滿足{l,2}UMq{x|x410,xeN*},求集合M的個(gè)數(shù).

題型3集合的運(yùn)算

思路分析

凡是遇到集合的運(yùn)算（并、交、補(bǔ)）問(wèn)題，應(yīng)注意對(duì)集合元素屬性的理解，數(shù)軸和韋恩圖

是集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，數(shù)形結(jié)合是解集合運(yùn)算問(wèn)題的常用思想.

一、集合元素屬性的理解

例1.7已知集合”=}及=爐+1,%€7?}”=卜及=>/^?},則McN=（）

A.1x|1<x<3}B.{x|lWx<3}C.1<x<3}D.1x|1<x<4}

分析：在進(jìn)行集合運(yùn)算之前，首先要識(shí)別集合，即認(rèn)清集合中元素的屬性，判斷〃、N是

數(shù)集還是點(diǎn)集，是數(shù)集要化簡(jiǎn)集合，是點(diǎn)集要解方程組.在本題中，集合/代表元素是因

變量，故是函數(shù)的值域（數(shù)集）；集合N的代表元素是自變量，故是函數(shù)的定義域（數(shù)集）.

變式1(2017?山東)設(shè)函數(shù)y=74—f的定義域?yàn)锳,函數(shù)y=妨(1-工)的定義域?yàn)锽,

則Ac3=()

A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)

變式2已知集合4={九eR||x+3|+|x—4區(qū)9},B={ycR|y=4x+,-6,x>0卜則

集合Ac6=.

變式3設(shè)全集/={(x,y)|x,ywR},集合

M=(x,仁l},N={(x,y)|ywx+l},那么(犧)c(,N)=(

A.0B.{(2,3)}C.(2,3)D?{O,y)ly=x+1}

二、數(shù)軸在集合運(yùn)算中的應(yīng)用

例1.8設(shè)集合S={x||x-2|>3},T={x[a<x<a+8},SuT=H,則“的取值范圍是

()

A.(―3,—1)B.[―3,—1]C.(—oo,-3]-1,+8)D.(oo,—3)(—1,+oo)

分析：借助數(shù)軸表示集合S和集合T,根據(jù)集合的關(guān)系，求解參數(shù)的取值范圍.

變式1已知全集。=/?,集合4={幻一24%43},6={幻》<一1或04},那么集合

AC@B)=().

A.{x|-2<x<4}B.{X|X<3BJU>41C.{X|-2<X<-1)D.{X|-1<X<3}

變式2已知集合加=|劃上二

<0,N={x|無(wú)<一3},則集合{x|x21}=().

Ix—1

A.MDNB.MDNC.&(MCN)D.0(M2N)

變式3已知集合A=|x|x2-4/nx+2m+6=0,XG/?}.若An(-oo,0)w0,則實(shí)數(shù)m的

取值范圍是.

三、韋恩圖在集合運(yùn)算中的應(yīng)用

例1.9設(shè)U為全集，M,P是兩個(gè)非空集合，定義例與P的差集

M-P^{x\xeM^jc^P},則〃一(M—P)=().

A.PB.McPC.M<JPD.M

分析：本題可利用題中所給定義M-P表示從集合M中去掉屬于集合P的元素解題.

變式1設(shè)全集U=MDN={1,2,3,4,5},Mcd,N={2,4},則％=().

A.{1,2,3}B.{1,3,5}C.{1,4,5}D.{2,3,4}

例1.10如圖1-3所示，/是全集，A,民C是它的子集，則陰影部分所表示的集合是()

圖1-3

A.(AnB)nCB.(An6/B)nCC.(An/?)n6/CD.(6/BuA)nC

分析：本題考查對(duì)利用韋恩圖表述集合關(guān)系的理解.

變式1已知M,N為集合/的非空子集，且不相等，若Nc@M)=0,則MuN=

()

A.MB.NC.ID.0

四、以集合為載體的創(chuàng)新題

例1.11設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于ZeA,如果左且Z+1史A,那么稱(chēng)k

是A的一個(gè)孤立元，給定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3個(gè)元素組成的所有集合中，不

含孤立元的集合共有個(gè).

變式1定義一種新的集合運(yùn)算△:AAB={x\xeA,且.若集合

A={x|f—4x+3<0},B={x|2<x<4},則按運(yùn)算A,3AA等于（）

A.{x|3<x44}：B.{x|3<%<4}

C.{x|3<x<4}D.{x|2<x<4}

評(píng)注解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，要抓住兩點(diǎn)：（1）緊扣新定義.首先分析新定義的

特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中，這是破

解新定義型集合問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；（2）用好集合的性質(zhì).解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可

以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).

最有效訓(xùn)練題1(限時(shí)45分鐘)

1.集合P={XWZ|0?X<3},M={XGR|X2〈9},則PcM=().

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{x|0<x<3}D.{x|0<x<3}

2.若A={x[y==|y=x?+1},則AcB=()

A.(l,+oo)B.[1,2]C.[0,+oo)D.(0,+oo)

3.設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}.集合A={2,4,5,7},B={1,4,7,8},那么如圖1-5所

示的陰影部分表示的集合是（）

4.已知全集/=/?,集合M={x||x|<2,xeR},P={x|x>a},并且那么a

的取值范圍是()

A.{2}B.\a<2}C.\^a\a>2!D.?a<2}

5.設(shè)集合A={x||x—a|<l,xeR},3={x|l<x<5,xeR}.若AcB=0,則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是()

A.{a10WaW6}B.{a[a<2^a>41C.^a\a<O^a>6}D.{?|2<a<4)

6.設(shè)全集U={(x,y)|xeR,yeR},A-{(x,y)12x-y+m<0],B={(x,y)|x+y-n>0}

,那么P(2,3)eAc(0.B)的充要條件是()

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