2023-2024學(xué)年黑龍江省雞西市密山市第四中學(xué)高二上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省雞西市密山市第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．書寫要規(guī)范，不要亂涂亂改.2．答題卡要涂滿，避免漏涂、涂串行等類似錯誤的發(fā)生.3．注意考試時間，合理安排答題順序.4．有印刷不清晰看不清圖的及時舉手報告.試卷分值：120分考試時間：120分鐘一、選擇題（共8題，每題5分，滿分40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由補集的定義可知，，故選：A．2.已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，可得因為，所以解得，所以.故選：A.3.已知R，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則，則成立．而當(dāng)且時，滿足，但不成立；“”是“”的充分不必要條件．故選：A．4.《張丘建算經(jīng)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計算?各種等差數(shù)列問題的解決?某些不定方程問題求解等.書中記載如下問題：“今有女子善織，日增等尺，初日織五尺，三十日共織390尺，問日增幾何？”那么此女子每日織布增長（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺〖答案〗C〖解析〗設(shè)每日織布增長x尺，則，即，解得.故選：C.5.甲、乙為完全相同的兩個不透明袋子，袋內(nèi)均裝有除顏色外完全相同的球．甲袋中裝有5個白球，7個紅球，乙袋中裝有4個白球，2個紅球．從兩個袋中隨機抽取一袋，然后從所抽取的袋中隨機摸出1球，則摸出的球是紅球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)事件為“取出甲袋”,事件為“取出紅球”,分兩種情況進(jìn)行討論.若取出的是甲袋,則,依題意可得,所以，若取出的是乙袋,則,依題意可得,，所以，綜上所述,摸出的球是紅球的概率為.故選：B.6.已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且記，，，下列等式可能成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗A選項，，，，若，則，即，解得，與已知矛盾，故A不成立；B選項，，，，，所以B成立；

C選項，若成立，則，，，滿足條件，故C可能成立．

D選項，，若，則，

，，，，與題設(shè)矛盾，故D不可能成立．故選：BC．7.已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.，，則B.，，，，則C.，，，則D.，，，則〖答案〗D〖解析〗對于A，，，則或，A錯誤；對于B，若，，，，則或相交，只有加上條件相交，結(jié)論才成立，B錯誤；對于C，，，無法得到，只有加上條件才能得出結(jié)論，C錯誤；對于D，，，則，又因為，所以，D正確.故選:D.8.設(shè)a，b為正數(shù)，若圓關(guān)于直線對稱，則最小值為（）A.9 B.8 C.6 D.10〖答案〗A〖解析〗圓，即，所以圓心為，所以，即，因為、，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號．故選：A．二、多項選擇題（答對1個得1.5分，全答對得3分，答錯不得分，滿分12分）9.已知平面與平面平行，若是平面的一個法向量，則平面的法向量可能為（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗設(shè)平面的法向量可能為，則由題意可得，對于選項，，滿足題意；對于選項，設(shè)，無解，所以不符合題意；對于選項，設(shè)，無解，所以不符合題意；對于選項，，滿足題意．故選：AD．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.的最小正周期為B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.當(dāng)時，的最大值為1D.在區(qū)間上有且僅有7個零點〖答案〗BC〖解析〗由題可知，，，，即，，，故，，，的最小正周期為，故A錯誤；，即，故B正確；，當(dāng)時，，故C正確；令，，零點可取值為：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；故在區(qū)間上有且僅有8個零點，故D錯誤；故選：BC.11.已知等差數(shù)列前項和為，公差，且記，，，下列等式可能成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗A選項，，，，若，則，即，解得，與已知矛盾，故A不成立；B選項，，，，，所以B成立；

C選項，若成立，則，，，滿足條件，故C可能成立．

D選項，，若，則，

，，，，與題設(shè)矛盾，故D不可能成立．故選：BC．12.如圖，在邊長為2的正方形中，是的中點，將沿翻折到，連接PB，PC，F(xiàn)是線段PB的中點，在翻折到的過程中，下列說法正確的是（）A.存在某個位置，使得 B.的長度為定值C.四棱錐的體積的最大值為 D.直線與平面所成角的正切值的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗因為，假設(shè)，又，平面，所以平面，又平面，所以．在中，，所以與不可能垂直，故A錯誤；取的中點，連接，，如圖所示，因為F是線段PB的中點，G是PA的中點，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，故B正確；當(dāng)平面平面時，四棱錐的體積最大，過作的垂線，垂足為，所以，，，，所以，因平面平面，平面平面，，平面，所以平面，即是四棱錐的高，所以，故C正確；當(dāng)平面平面時，直線與平面所成角的正切值取得最大值，此時，所以，故D正確．故選：BCD．三、填空題（共4題，每空3分，滿分12分）13.已知：，，則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，的最小值是故〖答案〗為：14.10名同學(xué)進(jìn)行隊列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法有______種〖答案〗420〖解析〗先從7個人中選2人調(diào)整到前排有種選法，調(diào)整后前排有5個人，把2人在5個位置選2個進(jìn)行排列由種站法，其他3人的相對順序不變站到剩余3個位置，按照乘法計數(shù)原理得總共有種方法.故〖答案〗為：42015.在三棱錐中，平面，則二面角的正切值為___________.〖答案〗2〖解析〗因為平面，平面、平面.所以，.在中：;在中：;在中：.在中：.所以二面角的余弦值.正弦值.所以二面角的正切值.故〖答案〗為：2.16.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，若數(shù)列的前項和滿足恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________．〖答案〗〖解析〗因為，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，有，

所以，即，因此數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，因為，所以，，

得，因此．由恒成立得恒成立，

因為，所以，即，所以．故〖答案〗為：．四、解答題（滿分56分）17.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，平分線交于點，且．求的面積．解：（1）因為，由正弦定理可得，即，即，所以，又，所以，所以，則，又，所以.（2）由題意，得，又，所以，即，由余弦定理得，即，于是，解得或（舍），所以．18.如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的一點.（1）證明：；（2）當(dāng)平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時，求點B到平面DFE距離.解：（1）以B為坐標(biāo)原點，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，可得，，，.，.因為，所以.（2），設(shè)為平面DEF的法向量，則，即，可取.因為平面的法向量為，所以.由題設(shè)，可得，所以.點B到DFE平面距離.19.某市工業(yè)部門計劃對所轄中小型企業(yè)推行節(jié)能降耗技術(shù)改造，下面是對所轄的400家企業(yè)是否支持技術(shù)改造進(jìn)行的問卷調(diào)查的結(jié)果：支持不支持合計中型企業(yè)602080小型企業(yè)180140320合計240160400（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為“支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)規(guī)?！庇嘘P(guān)；（2）從上述支持技術(shù)改造的中小型企業(yè)中，按分層隨機抽樣的方法抽出12家企業(yè)，然后從這12家企業(yè)中隨機選出9家進(jìn)行獎勵，中型企業(yè)每家獎勵60萬元，小型企業(yè)每家獎勵20萬元．設(shè)為所發(fā)獎勵的總金額（單位：萬元），求的分布列和均值．附：，．解：（1）零假設(shè)為：“支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)規(guī)模”無關(guān)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得到，．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為“支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)規(guī)?！庇嘘P(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于．（2）由（1）可知支持節(jié)能降耗技術(shù)改造的企業(yè)中，中型企業(yè)與小型企業(yè)的數(shù)量比為．所以按分層隨機抽樣的方法抽出的12家企業(yè)中有3家中型企業(yè)，9家小型企業(yè)．選出的9家企業(yè)的樣本點是，，，（前者為中型企業(yè)家數(shù)，后者為小型企業(yè)家數(shù)）．故的所有可能取值為180，220，260，300．，，，，故的分布列為180220260300的均值為．20.已知拋物線，點為直線上的動點（點的橫坐標(biāo)不為0），過點作的兩條切線，切點分別為．（1）證明：直線過定點；（2）若以點為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求四邊形的面積．解：（1）設(shè)，，，因為，則，所以，則切線的斜率為，故，整理得，同理可得，故直線的方程為，所以直線過定點.（2）由（1）知直線的方程為，，，由整理得，于是，，，則，故．設(shè)，分別為點，到直線的距離，則，，四邊形的面積，設(shè)為線段的中點，則．由，得，解得，將代入式解得，故四邊形的面積為．黑龍江省雞西市密山市第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．書寫要規(guī)范，不要亂涂亂改.2．答題卡要涂滿，避免漏涂、涂串行等類似錯誤的發(fā)生.3．注意考試時間，合理安排答題順序.4．有印刷不清晰看不清圖的及時舉手報告.試卷分值：120分考試時間：120分鐘一、選擇題（共8題，每題5分，滿分40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由補集的定義可知，，故選：A．2.已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，可得因為，所以解得，所以.故選：A.3.已知R，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則，則成立．而當(dāng)且時，滿足，但不成立；“”是“”的充分不必要條件．故選：A．4.《張丘建算經(jīng)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計算?各種等差數(shù)列問題的解決?某些不定方程問題求解等.書中記載如下問題：“今有女子善織，日增等尺，初日織五尺，三十日共織390尺，問日增幾何？”那么此女子每日織布增長（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺〖答案〗C〖解析〗設(shè)每日織布增長x尺，則，即，解得.故選：C.5.甲、乙為完全相同的兩個不透明袋子，袋內(nèi)均裝有除顏色外完全相同的球．甲袋中裝有5個白球，7個紅球，乙袋中裝有4個白球，2個紅球．從兩個袋中隨機抽取一袋，然后從所抽取的袋中隨機摸出1球，則摸出的球是紅球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)事件為“取出甲袋”,事件為“取出紅球”,分兩種情況進(jìn)行討論.若取出的是甲袋,則,依題意可得,所以，若取出的是乙袋,則,依題意可得,，所以，綜上所述,摸出的球是紅球的概率為.故選：B.6.已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且記，，，下列等式可能成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗A選項，，，，若，則，即，解得，與已知矛盾，故A不成立；B選項，，，，，所以B成立；

C選項，若成立，則，，，滿足條件，故C可能成立．

D選項，，若，則，

，，，，與題設(shè)矛盾，故D不可能成立．故選：BC．7.已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.，，則B.，，，，則C.，，，則D.，，，則〖答案〗D〖解析〗對于A，，，則或，A錯誤；對于B，若，，，，則或相交，只有加上條件相交，結(jié)論才成立，B錯誤；對于C，，，無法得到，只有加上條件才能得出結(jié)論，C錯誤；對于D，，，則，又因為，所以，D正確.故選:D.8.設(shè)a，b為正數(shù)，若圓關(guān)于直線對稱，則最小值為（）A.9 B.8 C.6 D.10〖答案〗A〖解析〗圓，即，所以圓心為，所以，即，因為、，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號．故選：A．二、多項選擇題（答對1個得1.5分，全答對得3分，答錯不得分，滿分12分）9.已知平面與平面平行，若是平面的一個法向量，則平面的法向量可能為（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗設(shè)平面的法向量可能為，則由題意可得，對于選項，，滿足題意；對于選項，設(shè)，無解，所以不符合題意；對于選項，設(shè)，無解，所以不符合題意；對于選項，，滿足題意．故選：AD．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.的最小正周期為B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.當(dāng)時，的最大值為1D.在區(qū)間上有且僅有7個零點〖答案〗BC〖解析〗由題可知，，，，即，，，故，，，的最小正周期為，故A錯誤；，即，故B正確；，當(dāng)時，，故C正確；令，，零點可取值為：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；故在區(qū)間上有且僅有8個零點，故D錯誤；故選：BC.11.已知等差數(shù)列前項和為，公差，且記，，，下列等式可能成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗A選項，，，，若，則，即，解得，與已知矛盾，故A不成立；B選項，，，，，所以B成立；

C選項，若成立，則，，，滿足條件，故C可能成立．

D選項，，若，則，

，，，，與題設(shè)矛盾，故D不可能成立．故選：BC．12.如圖，在邊長為2的正方形中，是的中點，將沿翻折到，連接PB，PC，F(xiàn)是線段PB的中點，在翻折到的過程中，下列說法正確的是（）A.存在某個位置，使得 B.的長度為定值C.四棱錐的體積的最大值為 D.直線與平面所成角的正切值的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗因為，假設(shè)，又，平面，所以平面，又平面，所以．在中，，所以與不可能垂直，故A錯誤；取的中點，連接，，如圖所示，因為F是線段PB的中點，G是PA的中點，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，故B正確；當(dāng)平面平面時，四棱錐的體積最大，過作的垂線，垂足為，所以，，，，所以，因平面平面，平面平面，，平面，所以平面，即是四棱錐的高，所以，故C正確；當(dāng)平面平面時，直線與平面所成角的正切值取得最大值，此時，所以，故D正確．故選：BCD．三、填空題（共4題，每空3分，滿分12分）13.已知：，，則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，的最小值是故〖答案〗為：14.10名同學(xué)進(jìn)行隊列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法有______種〖答案〗420〖解析〗先從7個人中選2人調(diào)整到前排有種選法，調(diào)整后前排有5個人，把2人在5個位置選2個進(jìn)行排列由種站法，其他3人的相對順序不變站到剩余3個位置，按照乘法計數(shù)原理得總共有種方法.故〖答案〗為：42015.在三棱錐中，平面，則二面角的正切值為___________.〖答案〗2〖解析〗因為平面，平面、平面.所以，.在中：;在中：;在中：.在中：.所以二面角的余弦值.正弦值.所以二面角的正切值.故〖答案〗為：2.16.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，若數(shù)列的前項和滿足恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________．〖答案〗〖解析〗因為，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，有，

所以，即，因此數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，因為，所以，，

得，因此．由恒成立得恒成立，

因為，所以，即，所以．故〖答案〗為：．四、解答題（滿分56分）17.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，平分線交于點，且．求的面積．解：（1）因為，由正弦定理可得，即，即，所以，又，所以，所以，則，又，所以.（2）由題意，得，又，所以，即，由余弦定理得，即，于是，解得或（舍），所以．18.如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的一點.（1）證明：；（2）當(dāng)平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時，求點B到平面DFE距離.解：（1）以B為坐標(biāo)原點，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，可得，，，.，.因為，所以.（2），設(shè)為平面DEF的法向量，則，即，可取.因為平面的法向量為，所以.由題設(shè)，可得，所以.點B到