用Matlab求解差分方程問題市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

用Matlab求解差分方程問題一、一階線性常系數(shù)差分方程二、高階線性常系數(shù)差分方程三、線性常系數(shù)差分方程組第1頁第1頁一、一階線性常系數(shù)差分方程瀕危物種自然演變和人工孵化問題Florida沙丘鶴屬于瀕危物種，它在較好自然環(huán)境下，年均增長率僅為1.94%，而在中檔和較差環(huán)境下年均增長率分別為-3.24%和-3.82%，假如在某自然保護(hù)區(qū)內(nèi)開始有100只鶴，建立描述其數(shù)量改變規(guī)律模型，并作數(shù)值計算。第2頁第2頁模型建立記第k年沙丘鶴數(shù)量為xk,年均增長率為r，則第k+1年鶴數(shù)量為xk+1=(1+r)xkk=0,1,2······已知x0=100,在較好，中檔和較差自然環(huán)境下r=0.0194,-0.0324,和-0.0382我們利用Matlab編程，遞推后觀測沙丘鶴數(shù)量改變情況第3頁第3頁Matlab實現(xiàn)首先建立一個關(guān)于變量n，r函數(shù)functionx=sqh(n,r)a=1+r;x=100;fork=1:nx(k+1)=a*x(k);end第4頁第4頁在command窗口里調(diào)用sqh函數(shù)

k=(0:20)';>>y1=sqh(20,0.0194);>>y2=sqh(20,-0.0324);>>y3=sqh(20,-0.0382);>>round([k,y1',y2',y3'])ToMatlab（ff6）第5頁第5頁利用plot繪圖觀測數(shù)量改變趨勢能夠用不同線型和顏色繪圖rgbcmykw分別表示紅綠蘭蘭綠洋紅黃黑白色：+o*.Xsd表示不同線型第6頁第6頁plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐標(biāo)系下畫圖

plot(k,y2,':')>>plot(k,y2,'--')>>plot(k,y2,'r')>>plot(k,y2,'y')>>plot(k,y2,'y',k,y1,':')>>plot(k,y2,k,y1,':')>>plot(k,y2,'oy',k,y1,':')用gtext(‘r=0.0194’),gtext(‘r=-0.0324’),gtext(‘r=-0.0382’)在圖上做標(biāo)識。ToMatlab（ff6）第7頁第7頁人工孵化是挽救瀕危物種辦法之一，假如每年孵化5只鶴放入保護(hù)區(qū)，觀測在中檔自然條件下沙丘鶴數(shù)量如何改變Xk+1=aXk+5,a=1+r假如我們想考察每年孵化多少只比較適當(dāng)，能夠令Xk+1=aXk+b,a=1+r第8頁第8頁functionx=fhsqh(n,r,b)a=1+r;x=100;fork=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;end第9頁第9頁k=(0:20);%一個行向量y1=(20,-0.0324,5);%也是一個行向量round([k’,y1’])%對k,y1四舍五入，但%是不改變變量值plot(k,y1)%ky1是行向量列向量都能夠也能夠觀測發(fā)展趨勢，以及在較差條件下發(fā)展趨勢，也能夠考察每年孵化數(shù)量改變影響。ToMatlab（ff7）第10頁第10頁高階線性常系數(shù)差分方程

假如第k+1時段變量Xk+1不但取決于第k時段變量Xk，并且與以前時段變量相關(guān)，就要用高階差分方程來描述第11頁第11頁一年生植物繁殖一年生植物春季發(fā)芽，夏天開花，秋季產(chǎn)種，沒有腐爛，風(fēng)干，沒被人為掠取那些種子能夠活過冬天，其中一部分能在第2年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，其中另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活過一個冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，如此繼續(xù)，一年生植物只能活1年，而近似認(rèn)為，種子最多能夠活過兩個冬天，試建立數(shù)學(xué)模型研究這種植物數(shù)量改變規(guī)律，及它能始終繁殖下去條件。第12頁第12頁模型及其求解記一棵植物春季產(chǎn)種平均數(shù)為c,種子能活過一個冬天(1歲種子)百分比為b,活過一個冬天沒有發(fā)芽又活過一個冬天（2歲種子）百分比仍為b,1歲種子發(fā)芽率a1，2歲種子發(fā)芽率a2。設(shè)c,a1,a2固定，b是變量，考察能始終繁殖條件記第k年植物數(shù)量為Xk，顯然Xk與Xk-1,Xk-2相關(guān)，由

Xk-1決定部分是a1bcXk-1,由Xk-2決定部分是

a2b(1-a1)bcXk-2

Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2第13頁第13頁Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2實際上，就是Xk=pXk-1+qXk-2我們需要知道x0,a1,a2,c,考察b不同時，種子繁殖情況。在這里假設(shè)X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20這么能夠用matlab計算了第14頁第14頁Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2functionx=zwfz(x0,n,b)c=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;x(1)=x0;x(2)=p*(x(1));fork=3:nx(k)=p*(x(k-1))+q*(x(k-2));end第15頁第15頁k=(0:20)';y1=zwfz(100,21,0.18);y2=zwfz(100,21,0.19);y3=zwfz(100,21,0.20);round([k,y1',y2',y3']);plot(k,y1,k,y2,':',k,y3,'o'),gtext('b=0.18');gtext('b=0.19');gtext('b=0.20')ToMatlab（ff8）第16頁第16頁結(jié)果分析：Xk=pXk-1+qXk-2(1)

x1+px0=0(2)

差分方程特性方程差分方程特性根：方程(1)解能夠表為C1,c2由初始條件x0,x1擬定。第17頁第17頁本例中，用待定系數(shù)辦法能夠求出b=0.18時,c1=95.64,c2=4.36，這樣事實上，植物能始終繁殖下去條件是b>0.191第18頁第18頁線性常系數(shù)差分方程組汽車租賃公司運營一家汽車租賃公司在3個相鄰都市運營，為以便用戶起見公司承諾，在一個都市租賃汽車能夠在任意一個都市歸還。依據(jù)經(jīng)驗預(yù)計和市場調(diào)查，一個租賃期內(nèi)在A市租賃汽車在A,B,C市歸還百分比分別為0.6,0.3,0.1;在B市租賃汽車歸還百分比0.2,0.7,0.1;C市租賃歸還百分比分別為0.1,0.3,0.6。若公司開業(yè)時將600輛汽車平均分派到3個都市，建立運營過程中汽車數(shù)量在3個都市間轉(zhuǎn)移模型，并討論時間充足長以后改變趨勢。第19頁第19頁0.60.3ABCABCABC假設(shè)在每個租賃期開始能把汽車都租出去，并都在租賃期末歸還0.10.70.20.10.60.30.1第20頁第20頁模型及其求解記第k個租賃期末公司在ABC市汽車數(shù)量分別為x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1個租賃期開始各個都市租出去汽車數(shù)量），很容易寫出第k+1個租賃期末公司在ABC市汽車數(shù)量為(k=0,1,2,3···)第21頁第21頁用矩陣表示用matlab編程，計算x(k),觀測n年以后3個都市汽車數(shù)量改變情況第22頁第22頁functionx=czqc(n)A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6];x(:,1)=[200,200,200]';fork=1:nx(:,k+1)=A*x(:,k);end假如直接看或者發(fā)展趨勢，能夠直接在命令窗口（commondwindow）作，而不是必須編一個函數(shù)第23頁第23頁A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6];>>n=10;>>fork=1:nx(:,1)=[200,200,200]';x(:,k+1)=A*x(:,k);end>>round(x)第24頁第24頁作圖觀測數(shù)量改變趨勢k=0:10;plot(k,x)，gridgtext('x1(k)'),gtext('x2(k)'),gtext('x3(k)')第25頁第25頁能夠看屆時間充足長以后3個都市汽車數(shù)量趨于180，300，120能夠考察這個結(jié)果與初始條件是否相關(guān)若最開始600輛汽車都在A市，能夠看到改變時間充足長以后，各都市汽車數(shù)量趨于穩(wěn)定，與初始值無關(guān)第26頁第26頁直接輸入x（:,1）值即可x(:,1)=[600,0,0];round(x');plot(k,x),grid第27頁第27頁6.6

按年齡分組人口模型不同年紀(jì)組繁殖率和死亡率不同.建立差分方程模型，討論穩(wěn)定情況下種群增長規(guī)律.假設(shè)與建模

種群按年齡大小等分為n個年齡組，記i=1,2,…,n

時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2,…

以雌性個體數(shù)量為對象.

第i年齡組1雌性個體在1時段內(nèi)繁殖率為bi

第i年齡組在1時段內(nèi)死亡率為di,存活率為si=1-di第28頁第28頁假設(shè)與建模xi(k)~時段k第i年齡組種群數(shù)量~按年齡組分布向量預(yù)測任意時段種群按年齡組分布~Leslie矩陣(L矩陣)(設(shè)至少1個bi>0)第29頁第29頁按年齡分組種群增長野生或喂養(yǎng)動物因繁殖而增加，因自然死亡和人為屠殺而降低，不同年紀(jì)動物繁殖率，死亡率有較大差異，因此在研究某一個群數(shù)量改變時，需要考慮年紀(jì)分組種群增加。將種群按年紀(jì)等間隔分成若干個年紀(jì)組，時間也離散化為時段，給定各年紀(jì)組種群繁殖率和死亡率，建立按年紀(jì)分組種群增加模型，預(yù)測未來各年紀(jì)組種群數(shù)量，并討論時間充分長以后改變趨勢。第30頁第30頁模型及其求解設(shè)種群按年齡等間隔分成n個年齡組，記i=1,2,···，n,時段記作k=0,1,2···,且年齡組區(qū)間與時段長度相等(若5歲為一個年齡組，則5年為一個時段)。以雌性個體為研究對象記在時段k第i年齡組數(shù)量為xi(k);第i年齡組繁殖率為bi，表示每個個體在一個時段內(nèi)繁殖數(shù)量；第i年齡組死亡率為di，表示一個時段內(nèi)死亡數(shù)與總數(shù)比，si=1-di是存活率。第31頁第31頁記在時段k種群各年齡組數(shù)量為X(k)=[x1(k),x2(k),····,xn(k)]’第32頁第32頁這樣，有x(k+1)=Lx(k),k=0,1,····給定在0時段，各年齡組初始數(shù)量x(0)就能夠預(yù)測任意時段k,各年齡組數(shù)量設(shè)一個群分成5個年齡組，繁殖率b1=0,b2=0.2,,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2存活率s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1各年齡組既有數(shù)量都是100只，用matlab計算x(k)第33頁第33頁b=[0,0.2,1.8,0.8,0.2];s=diag([0.5,0.8,0.8,0.1]);L=[b;s,zeros(4,1)];x(:,1)=100*ones(5,1);>>n=30;>>fork=1:nx(:,k+1)=L*x(:,k);end>>ro