2023年名校真題精講共講第講計數與組合專題學生版

第6講計數和組合專題計數問題

1、枚舉法

枚舉法就是把所有也許得狀況一一列舉出來，然后數一下總共有多種狀況．

2、加乘原理

（1）加法原理——分類

假如完畢一件事有幾類措施，在每一類措施中又有不同樣措施，那么把每類措施數相加就得到所有措施數．

（2）乘法原理——分步

假如完畢一件事有多種環(huán)節(jié)，在每一種環(huán)節(jié)中又有不同樣措施，那么把每步措施數相乘就得到所有措施數．

3、排列組合

（1）排列

從m個不同樣元素中取出n個（），并根據一定次序排成一列，其措施數叫做從m個不同樣元素中取出n個排列數，記作.其計算措施為：

即從m開始遞減地連乘n個數

(2)組合

從m個不同樣元素中取出n個（）構成一組（不計次序），其措施數叫做從m個不同樣元素中取出n個不同樣組合數，記作.其計算措施為：

4、分類法和排除法

（1）分類法：分來法處理問題基礎思想是通過度類拆解把一種復雜問題轉化成多種相對簡樸小問題來處理．

（2）排除法：當題目中滿足規(guī)定狀況較多，分類法不好處理時，可以嘗試用排除法，把不符合規(guī)定狀況去掉，剩余就是符合．

5、容斥原理

（1）理解簡樸容斥原理（兩個之間重疊）和復雜容斥原理（三個之間重疊）

（2）用文氏圖協助解題

6、遞推措施

（1）上樓梯模型

（2）傳球法——列表寫出每一步中詳細措施數

（3）幾何圖形分平面——增量分析

7、插板法

用于求解“把m個相似球放到n個不同樣盒子中”此類問題

（1）注意：球必需是相似，盒子必需是不同樣．

（2）假如規(guī)定每個盒子至少一種球，那么措施數為（把n-1個板插到m-1個空隙中）

（3）假如規(guī)定每個盒子可以為空，那么措施數為（先借n個球，然后根據每個盒子至少1個去放，最終從每個盒子中拿出1個還回去）

（4）方程正整數解共組（把n個球放到3個盒子中，每個盒子至少1個）

（5）方程自然數解共組（把n個球放到3個盒子中，每個盒子可以為空）

8、和旋轉、翻轉有關計數

此類問題要想清晰與否有反復，反復了多少．一般求解時，要先固定部分對象，使其不能旋轉或翻轉．

統籌計劃

1、安排工序問題

2、最短路線或最短時間問題

3、排隊等待問題

4、集合問題

5、貨品調度問題

游戲對策

（1）必勝方略往往是考慮“怎樣讓對方輸”，即必勝方行動時怎樣進行一次合適操作，把必輸狀態(tài)留給對方．

（2）游戲對策中往往會運用對稱性來處理問題，如桌子上放硬幣問題（輪番在圓桌上放硬幣，到誰放時候放不下了她就輸了．先手方把第一種硬幣用來占領圓桌中心點即可，后來后手方再怎么放，先手方所有能在桌上找到一種對稱空位點可以放置硬幣）

邏輯推理

解答推理問題常見措施有：排除法、假設法、反證法．一般可以從如下幾方面考慮：選準突破口，分析時綜合多種條件進行鑒定；根據題中條件，在推理過程中，不停排除不也許狀況，從而得出規(guī)定結論；對也許出現狀況作出假設，然后再根據條件推理，假如得到結論和條件不矛盾，闡明假設對的；碰到比較復雜推理問題，可以借助圖表進行分析．

常見題型：

去偽存真題：有人說真話有人說假話，有人說真話；或每人說一部分對，一部分錯．注意合適選擇假設等措施協助解題．

條件分析題：用列表或作圖措施，對條件進行歸納整頓．

體育比賽類問題：要注意弄清比賽規(guī)則，尤其是積分規(guī)則，對陣措施．若是畫對陣關系圖，注意箭頭表勝敗，虛線表達平局．例如：若是2分賽制，則獲勝隊2分，平局各1分，失敗不得分，那么總得分為“”；而3分賽制時，獲勝隊得3分，平局各得1分，失敗不得分．那么此時總分為“”

抽屜原理

1、最不利原則

2、抽屜原理

最值問題

常見結論：

（1）兩數和一定，差越小，積越大

（2）當多種數和一定是，越靠近乘積越大

（3）兩點之間線段最短

（4）在周長一定封閉圖形中，圓面積最大；在面積一定封閉圖形中，圓周長最小

構造論證

1、構造往往用于闡明“能”，即給出也許狀況；論證往往用于闡明“否”，即為何不行

2、常見題型：

（1）構造或論證：此類題目中一般會以“能否”等詞匯發(fā)問．解答時，假如是“能”，就要構造出可行狀況；假如是答“不能”，要論證為何．

（2）構造和論證：常見于求最值問題，以求最大值問題，得出最大值后要先論證不能得更大值了，然后構造最大值對應可行狀況，闡明這個最大值可以達到．一、枚舉法在所有三位數中，各位數字之和不超過4共有______個．

二、加乘原理和排列組合將1、2、3、4、5這五個數字填入下面五個方格中，使得陰影方格中填入數不小于相鄰方格中數，共有_____種填法．

用0、1、2、3、4這五個數字能構成______個沒有反復數字四位偶數．

從1~9選出7個數字分別填入圖中7個圓圈中，使得每條線段兩端點處所填數，上面比下面大，那么符合規(guī)定共_______種．

三、容斥原理圖，數一數，圖中共有多少個長方體？

四、概率初步某軍官參與射擊比賽，她射擊命中率是80%．那么她連打3槍，恰好有2槍命中概率是________．

甲、乙兩人玩擲硬幣，出現正面甲得1分，背面乙得1分．先得10分者為勝．比賽進行一段時間后，甲得9分，乙得6分，那么甲獲勝概率是_______

五、遞推計數在一種平面上畫3個三角形、1個圓、1條直線，最多可以把平面提成______個部分．

在世界杯一場小組賽中，巴西隊以7:5擊敗南非隊，假如巴西隊在比賽中從未落后過，那么這場比賽共有_____種不同樣進球次序．

六、對應計數（1）中關村一小六年級A班30名同學投票選舉優(yōu)秀少先隊員，投票采用不記名措施，每人只能投1票且不能投棄權票（誰所有不選）．假如候選人共3人，那么投票共_____種不同樣也許．（2）假如這30名學生可以投棄權票，那么投票成果共______種不同樣也許

七、和翻轉、旋轉有關計數問題用7種顏色為一種正方體6個面染色，規(guī)定每個面只能用1種顏色，且6個面顏色互不相似．那么共有______種不同樣染色措施．

八、統籌計劃北京、上海、杭州三地同步研制成了大型電子計算機若干臺，除當地應用外，北京可以支援外地10臺，上海可以支援外地4臺，杭州可以支援外地6臺．目前決定給武漢6臺，重慶8臺，深圳6臺．若每臺計算機運費如下表，表中運費單位是“百元”．上海、北京和杭州制造機器完全相似，應當怎樣調運，才能使總運費最省？最省運費是________萬元．

終點起點武漢重慶深圳北京7912上海879杭州6108

九、游戲對策根火柴，甲、乙輪番取，規(guī)定每次只可以取1、3、4根．假如以取完火柴人為勝，甲先取，那么誰有必勝方略？方略是什么？

十、邏輯推理老師在3個盒子里各放了一種彩色球，讓小明、小亮、小強、小佳四人猜一下各個盒子里放是什么顏色球．

小明說：“1號盒里是黃球，2號盒里是黑球，3號盒里是紅球”

小亮說：“1號盒里是橙球，2號盒里是黑球，3號盒里是綠球”

小強說：“1號盒里是紫球，2號盒里是黃球，3號盒里是藍球”

小佳說：“1號盒里是橙球，2號盒里是綠球，3號盒里是紫球”

老師說：“你們中有一人恰好猜對了兩個，其他三人每人猜對一種．”

那么第三個箱子中放是______球．

在一列國際列車上，有A、B、C、D四位不同樣國籍旅客，她們分別穿藍、黑、灰、褐色大衣，每邊兩個人面對面地坐在同一張桌子上．已知：

（1）英國人坐B先生左側；

（2）A先生穿褐色大衣；

（3）穿黑色大衣坐在德國人右側；

（4）D先生對面坐著美國旅客；

（5）俄國旅客穿著灰色大衣．

那么A、B、C、D分別是哪國人？分別穿什么顏色衣服？

5支球隊進行單循環(huán)比賽，每兩隊之間比一場，獲勝者得3分，負者0分，平手各得1分．最終5支球隊積分各不相似，第三名得了7分，并且和第一名打平．請問：這5支球隊得分從高到低依次是多少？

十一、抽屜原理有一種不透明魔法口袋，里面裝有大小、形狀完全相似小球，分為紅、黃、藍、白、黑五種顏色，每種顏色小球所有有足夠多種．n個人在口袋里取球，每人隨意取3個，不管怎么取，所有一定有5個人取到球種類完全相似，那么n至少是______．

十二、最值問題將1、2、3、4、5、6分別填在正方體6個表面上，計算具有公共棱兩個面上數乘積，這樣乘積共有12個，這12個乘積和最大是_______

十三、構造論證把圖中圓圈任意涂上紅色或藍色．問：能否使得每一條直線上紅圈個數所有是奇數？

有3堆小石子，每次許可進行如下操作：從每堆中取走同樣數目的小石子，或是將其中某一石子數是偶數堆中二分之一石子移入此外一堆．開始時，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子．問能否做到：

(1)某2堆石子所有取光？

(2)3堆中所有石子所有被取走？在所有三位數中，可以被9整除，并且三個數字恰好能構成等差數列（可以變化次序，如567、756）共有______個

在4000~7000內有______個沒有反復數字5倍數．

有甲、乙、丙、丁四人過河，河上有一條小船，每次只能坐兩個人，這樣每次就必需有一人把船劃回來接剩余人．那么四人過河有______措施．

圖，圖中只含一種☆長方形有______個？

一次吃自助餐，有10道菜，每人有4個盤子可以選菜，規(guī)定每個盤子只能裝1種菜，不過可以反復選菜（例如某道菜很好吃，我可以把2個盤子所有裝這1種菜），那么共有_____種選菜方案．

（第六屆高思杯六年級，參與了高思杯不過當時沒做出來同學，看看自己目前與否會做了）正方體八個頂點分別標識為A、B、C、D、E、F、G、H．目前用四種顏色給頂點染色，規(guī)定有棱相連兩個頂點顏色不同樣，一共有_______不同樣染色措施．（旋轉或翻轉后相似算不同樣染法）

把23表達到若干個互不相似自然數之和，那么這些自然數乘積最大是______．

：一種新建5層樓房一種單元每層有東西兩套房；各層房號圖所示，現已經有趙、錢、孫、李、周五個人入?。惶焖齻冊谛^(qū)花園里聊天：

趙說：“我家是第3個入住，第1個入住就住我對門．”

錢說：“只有我一家住在最高層．”

孫說：“我家入住時，我家同側上一層和下一層所有已經有人入住了．”

李說：“我家是五家中最終一種入住，我家樓下那層全空著．”

周說：“我家住在106號，104號空著，108號也空著．”

她們說就是真話，設第1、2、3、4、5家入住房號個位數字依次為A、B、C、D、E，那么五位數________．

六個足球隊進行單循