2023年名校真題精講共講第講計(jì)數(shù)與組合專題學(xué)生版

第6講計(jì)數(shù)和組合專題計(jì)數(shù)問題

1、枚舉法

枚舉法就是把所有也許得狀況一一列舉出來，然后數(shù)一下總共有多種狀況．

2、加乘原理

（1）加法原理——分類

假如完畢一件事有幾類措施，在每一類措施中又有不同樣措施，那么把每類措施數(shù)相加就得到所有措施數(shù)．

（2）乘法原理——分步

假如完畢一件事有多種環(huán)節(jié)，在每一種環(huán)節(jié)中又有不同樣措施，那么把每步措施數(shù)相乘就得到所有措施數(shù)．

3、排列組合

（1）排列

從m個(gè)不同樣元素中取出n個(gè)（），并根據(jù)一定次序排成一列，其措施數(shù)叫做從m個(gè)不同樣元素中取出n個(gè)排列數(shù)，記作.其計(jì)算措施為：

即從m開始遞減地連乘n個(gè)數(shù)

(2)組合

從m個(gè)不同樣元素中取出n個(gè)（）構(gòu)成一組（不計(jì)次序），其措施數(shù)叫做從m個(gè)不同樣元素中取出n個(gè)不同樣組合數(shù)，記作.其計(jì)算措施為：

4、分類法和排除法

（1）分類法：分來法處理問題基礎(chǔ)思想是通過度類拆解把一種復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成多種相對(duì)簡樸小問題來處理．

（2）排除法：當(dāng)題目中滿足規(guī)定狀況較多，分類法不好處理時(shí)，可以嘗試用排除法，把不符合規(guī)定狀況去掉，剩余就是符合．

5、容斥原理

（1）理解簡樸容斥原理（兩個(gè)之間重疊）和復(fù)雜容斥原理（三個(gè)之間重疊）

（2）用文氏圖協(xié)助解題

6、遞推措施

（1）上樓梯模型

（2）傳球法——列表寫出每一步中詳細(xì)措施數(shù)

（3）幾何圖形分平面——增量分析

7、插板法

用于求解“把m個(gè)相似球放到n個(gè)不同樣盒子中”此類問題

（1）注意：球必需是相似，盒子必需是不同樣．

（2）假如規(guī)定每個(gè)盒子至少一種球，那么措施數(shù)為（把n-1個(gè)板插到m-1個(gè)空隙中）

（3）假如規(guī)定每個(gè)盒子可以為空，那么措施數(shù)為（先借n個(gè)球，然后根據(jù)每個(gè)盒子至少1個(gè)去放，最終從每個(gè)盒子中拿出1個(gè)還回去）

（4）方程正整數(shù)解共組（把n個(gè)球放到3個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少1個(gè)）

（5）方程自然數(shù)解共組（把n個(gè)球放到3個(gè)盒子中，每個(gè)盒子可以為空）

8、和旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)有關(guān)計(jì)數(shù)

此類問題要想清晰與否有反復(fù)，反復(fù)了多少．一般求解時(shí)，要先固定部分對(duì)象，使其不能旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)．

統(tǒng)籌計(jì)劃

1、安排工序問題

2、最短路線或最短時(shí)間問題

3、排隊(duì)等待問題

4、集合問題

5、貨品調(diào)度問題

游戲?qū)Σ?/p>

（1）必勝方略往往是考慮“怎樣讓對(duì)方輸”，即必勝方行動(dòng)時(shí)怎樣進(jìn)行一次合適操作，把必輸狀態(tài)留給對(duì)方．

（2）游戲?qū)Σ咧型鶗?huì)運(yùn)用對(duì)稱性來處理問題，如桌子上放硬幣問題（輪番在圓桌上放硬幣，到誰放時(shí)候放不下了她就輸了．先手方把第一種硬幣用來占領(lǐng)圓桌中心點(diǎn)即可，后來后手方再怎么放，先手方所有能在桌上找到一種對(duì)稱空位點(diǎn)可以放置硬幣）

邏輯推理

解答推理問題常見措施有：排除法、假設(shè)法、反證法．一般可以從如下幾方面考慮：選準(zhǔn)突破口，分析時(shí)綜合多種條件進(jìn)行鑒定；根據(jù)題中條件，在推理過程中，不停排除不也許狀況，從而得出規(guī)定結(jié)論；對(duì)也許出現(xiàn)狀況作出假設(shè)，然后再根據(jù)條件推理，假如得到結(jié)論和條件不矛盾，闡明假設(shè)對(duì)的；碰到比較復(fù)雜推理問題，可以借助圖表進(jìn)行分析．

常見題型：

去偽存真題：有人說真話有人說假話，有人說真話；或每人說一部分對(duì)，一部分錯(cuò)．注意合適選擇假設(shè)等措施協(xié)助解題．

條件分析題：用列表或作圖措施，對(duì)條件進(jìn)行歸納整頓．

體育比賽類問題：要注意弄清比賽規(guī)則，尤其是積分規(guī)則，對(duì)陣措施．若是畫對(duì)陣關(guān)系圖，注意箭頭表勝敗，虛線表達(dá)平局．例如：若是2分賽制，則獲勝隊(duì)2分，平局各1分，失敗不得分，那么總得分為“”；而3分賽制時(shí)，獲勝隊(duì)得3分，平局各得1分，失敗不得分．那么此時(shí)總分為“”

抽屜原理

1、最不利原則

2、抽屜原理

最值問題

常見結(jié)論：

（1）兩數(shù)和一定，差越小，積越大

（2）當(dāng)多種數(shù)和一定是，越靠近乘積越大

（3）兩點(diǎn)之間線段最短

（4）在周長一定封閉圖形中，圓面積最大；在面積一定封閉圖形中，圓周長最小

構(gòu)造論證

1、構(gòu)造往往用于闡明“能”，即給出也許狀況；論證往往用于闡明“否”，即為何不行

2、常見題型：

（1）構(gòu)造或論證：此類題目中一般會(huì)以“能否”等詞匯發(fā)問．解答時(shí)，假如是“能”，就要構(gòu)造出可行狀況；假如是答“不能”，要論證為何．

（2）構(gòu)造和論證：常見于求最值問題，以求最大值問題，得出最大值后要先論證不能得更大值了，然后構(gòu)造最大值對(duì)應(yīng)可行狀況，闡明這個(gè)最大值可以達(dá)到．一、枚舉法在所有三位數(shù)中，各位數(shù)字之和不超過4共有______個(gè)．

二、加乘原理和排列組合將1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字填入下面五個(gè)方格中，使得陰影方格中填入數(shù)不小于相鄰方格中數(shù)，共有_____種填法．

用0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字能構(gòu)成______個(gè)沒有反復(fù)數(shù)字四位偶數(shù)．

從1~9選出7個(gè)數(shù)字分別填入圖中7個(gè)圓圈中，使得每條線段兩端點(diǎn)處所填數(shù)，上面比下面大，那么符合規(guī)定共_______種．

三、容斥原理圖，數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)長方體？

四、概率初步某軍官參與射擊比賽，她射擊命中率是80%．那么她連打3槍，恰好有2槍命中概率是________．

甲、乙兩人玩擲硬幣，出現(xiàn)正面甲得1分，背面乙得1分．先得10分者為勝．比賽進(jìn)行一段時(shí)間后，甲得9分，乙得6分，那么甲獲勝概率是_______

五、遞推計(jì)數(shù)在一種平面上畫3個(gè)三角形、1個(gè)圓、1條直線，最多可以把平面提成______個(gè)部分．

在世界杯一場小組賽中，巴西隊(duì)以7:5擊敗南非隊(duì)，假如巴西隊(duì)在比賽中從未落后過，那么這場比賽共有_____種不同樣進(jìn)球次序．

六、對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)（1）中關(guān)村一小六年級(jí)A班30名同學(xué)投票選舉優(yōu)秀少先隊(duì)員，投票采用不記名措施，每人只能投1票且不能投棄權(quán)票（誰所有不選）．假如候選人共3人，那么投票共_____種不同樣也許．（2）假如這30名學(xué)生可以投棄權(quán)票，那么投票成果共______種不同樣也許

七、和翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)有關(guān)計(jì)數(shù)問題用7種顏色為一種正方體6個(gè)面染色，規(guī)定每個(gè)面只能用1種顏色，且6個(gè)面顏色互不相似．那么共有______種不同樣染色措施．

八、統(tǒng)籌計(jì)劃北京、上海、杭州三地同步研制成了大型電子計(jì)算機(jī)若干臺(tái)，除當(dāng)?shù)貞?yīng)用外，北京可以支援外地10臺(tái)，上?？梢灾г獾?臺(tái)，杭州可以支援外地6臺(tái)．目前決定給武漢6臺(tái)，重慶8臺(tái)，深圳6臺(tái)．若每臺(tái)計(jì)算機(jī)運(yùn)費(fèi)如下表，表中運(yùn)費(fèi)單位是“百元”．上海、北京和杭州制造機(jī)器完全相似，應(yīng)當(dāng)怎樣調(diào)運(yùn)，才能使總運(yùn)費(fèi)最??？最省運(yùn)費(fèi)是________萬元．

終點(diǎn)起點(diǎn)武漢重慶深圳北京7912上海879杭州6108

九、游戲?qū)Σ吒鸩?，甲、乙輪番取，?guī)定每次只可以取1、3、4根．假如以取完火柴人為勝，甲先取，那么誰有必勝方略？方略是什么？

十、邏輯推理老師在3個(gè)盒子里各放了一種彩色球，讓小明、小亮、小強(qiáng)、小佳四人猜一下各個(gè)盒子里放是什么顏色球．

小明說：“1號(hào)盒里是黃球，2號(hào)盒里是黑球，3號(hào)盒里是紅球”

小亮說：“1號(hào)盒里是橙球，2號(hào)盒里是黑球，3號(hào)盒里是綠球”

小強(qiáng)說：“1號(hào)盒里是紫球，2號(hào)盒里是黃球，3號(hào)盒里是藍(lán)球”

小佳說：“1號(hào)盒里是橙球，2號(hào)盒里是綠球，3號(hào)盒里是紫球”

老師說：“你們中有一人恰好猜對(duì)了兩個(gè)，其他三人每人猜對(duì)一種．”

那么第三個(gè)箱子中放是______球．

在一列國際列車上，有A、B、C、D四位不同樣國籍旅客，她們分別穿藍(lán)、黑、灰、褐色大衣，每邊兩個(gè)人面對(duì)面地坐在同一張桌子上．已知：

（1）英國人坐B先生左側(cè)；

（2）A先生穿褐色大衣；

（3）穿黑色大衣坐在德國人右側(cè)；

（4）D先生對(duì)面坐著美國旅客；

（5）俄國旅客穿著灰色大衣．

那么A、B、C、D分別是哪國人？分別穿什么顏色衣服？

5支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，每兩隊(duì)之間比一場，獲勝者得3分，負(fù)者0分，平手各得1分．最終5支球隊(duì)積分各不相似，第三名得了7分，并且和第一名打平．請(qǐng)問：這5支球隊(duì)得分從高到低依次是多少？

十一、抽屜原理有一種不透明魔法口袋，里面裝有大小、形狀完全相似小球，分為紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色，每種顏色小球所有有足夠多種．n個(gè)人在口袋里取球，每人隨意取3個(gè)，不管怎么取，所有一定有5個(gè)人取到球種類完全相似，那么n至少是______．

十二、最值問題將1、2、3、4、5、6分別填在正方體6個(gè)表面上，計(jì)算具有公共棱兩個(gè)面上數(shù)乘積，這樣乘積共有12個(gè)，這12個(gè)乘積和最大是_______

十三、構(gòu)造論證把圖中圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色．問：能否使得每一條直線上紅圈個(gè)數(shù)所有是奇數(shù)？

有3堆小石子，每次許可進(jìn)行如下操作：從每堆中取走同樣數(shù)目的小石子，或是將其中某一石子數(shù)是偶數(shù)堆中二分之一石子移入此外一堆．開始時(shí)，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子．問能否做到：

(1)某2堆石子所有取光？

(2)3堆中所有石子所有被取走？在所有三位數(shù)中，可以被9整除，并且三個(gè)數(shù)字恰好能構(gòu)成等差數(shù)列（可以變化次序，如567、756）共有______個(gè)

在4000~7000內(nèi)有______個(gè)沒有反復(fù)數(shù)字5倍數(shù)．

有甲、乙、丙、丁四人過河，河上有一條小船，每次只能坐兩個(gè)人，這樣每次就必需有一人把船劃回來接剩余人．那么四人過河有______措施．

圖，圖中只含一種☆長方形有______個(gè)？

一次吃自助餐，有10道菜，每人有4個(gè)盤子可以選菜，規(guī)定每個(gè)盤子只能裝1種菜，不過可以反復(fù)選菜（例如某道菜很好吃，我可以把2個(gè)盤子所有裝這1種菜），那么共有_____種選菜方案．

（第六屆高思杯六年級(jí)，參與了高思杯不過當(dāng)時(shí)沒做出來同學(xué)，看看自己目前與否會(huì)做了）正方體八個(gè)頂點(diǎn)分別標(biāo)識(shí)為A、B、C、D、E、F、G、H．目前用四種顏色給頂點(diǎn)染色，規(guī)定有棱相連兩個(gè)頂點(diǎn)顏色不同樣，一共有_______不同樣染色措施．（旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后相似算不同樣染法）

把23表達(dá)到若干個(gè)互不相似自然數(shù)之和，那么這些自然數(shù)乘積最大是______．

：一種新建5層樓房一種單元每層有東西兩套房；各層房號(hào)圖所示，現(xiàn)已經(jīng)有趙、錢、孫、李、周五個(gè)人入?。惶焖齻?cè)谛^(qū)花園里聊天：

趙說：“我家是第3個(gè)入住，第1個(gè)入住就住我對(duì)門．”

錢說：“只有我一家住在最高層．”

孫說：“我家入住時(shí)，我家同側(cè)上一層和下一層所有已經(jīng)有人入住了．”

李說：“我家是五家中最終一種入住，我家樓下那層全空著．”

周說：“我家住在106號(hào)，104號(hào)空著，108號(hào)也空著．”

她們說就是真話，設(shè)第1、2、3、4、5家入住房號(hào)個(gè)位數(shù)字依次為A、B、C、D、E，那么五位數(shù)________．

六個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循