高中數(shù)學平面向量講義

專題六平面對量

--根本學問

[1]向量的根本概念與根本運算

(1)向量的根本概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量不能比擬大小，但向量的?？梢员葦M大小.

②零向量：長度為0的向量，記為6,其方向是隨意的，6與隨意向量平行

③單位向量：模為1個單位長度的向量，

④平行向量(共線向量)：方向一樣或相反的非零向量.

⑤相等向量：長度相等且方向一樣的向量.

(2)向量的加法：設==那么。+b=A8+BC=AC

①。+1=2+。=五；②向量加法滿意交換律與結合律；

AB+BC+CD++PQ+QR=AR,但這時必需“首尾相連”.

(3)向量的減法：

①相反向量：與5長度相等、方向相反的向量，叫做G的相反向量.

②向量減法：向量G加上5的相反向量叫做。與B的差，

③作圖法：可以表示為從B的終點指向。的終點的向量(?,B有共同起點)

(4)實數(shù)與向量的積：實數(shù)人與向量2的積是一個向量，記作AG,它的長度與方向規(guī)定如下：

(1)|麗=風?同；(II)當％>0時，入G的方向與。的方向一樣；當；1<0時，入。的方

向與。的方向相反；當/1=()時，而=0,方向是隨意的.

(5)兩個向量共線定理：向量B與非零向量a共線=有且只有一個實數(shù);I,使得5=而

(6)平面對量的根本定理：假如召,？2是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任

一向量5,有且只有一對實數(shù)4工2使：其中不共線的向量不,當叫做表示這一

平面內全部向量的一組基底，

[2]平面對量的坐標表示

(1)平面對量的坐標表示：平面內的任一向量〃可表示成a=xi+切，記作d=(x,y)。

(2)平面對量的坐標運算：

①假設a=(xi，yj力=(工2，%)，那么=(u土w，y土％)

②假設(那么(蒼一%

Ax(,y),B(X2,y2),AB=-X)

③假設d=(x,y),那么4i=(6x,Ay)

④假設4=(X］，X),。=(々，%)，那么4〃〃。%%一工2%=0

⑤假設a=(xi，yj,8=(x2,y2))那么"?〃=玉-x2+yl-y2

⑥假設alb,那么否?》2+%*>2=0

［3］平面對量的數(shù)量積

(1)兩個向量的數(shù)量積：

兩個非零向量a與。，它們的夾角為。，那么a?%=IaI?I6Icos。叫做a與b的數(shù)量積(或

內積),

規(guī)定0-67=0

a-b

(2)向量的投影:bcos8二eR,稱為向量b在。方向上的投影投影的肯定值稱為射影

\a\

(3)數(shù)量積的幾何意義：a?b等于。的長度與人在。方向上的投影的乘積.

(4)向量的模與平方的關系：a-a=a2=\a\i

(5)乘法公式成立：

(a+b^-［^d-b^=a'-b~-\a\-\^；(d±b)-a2+2a-b+b2-|<i|'±2a-&+|/?|

(6)平面對量數(shù)量積的運算律：

①交換律成立：ab=ba

②對實數(shù)的結合律成立：(九。)力=/l(a")=a?(/lA)(/lwR)

③安排律成立：［a+b^-c=a-c±b-c=c-(a+b^

特殊留意：(1)結合律不成立：a?僅?c)w(a2)-c；

(2)消去律不成立不能得到8=c-

(3)a-h=Q不能得至ija二0或〃二0

(7)兩個向量的數(shù)量積的坐標運算：

兩個向量〃=(%,凹),5二(工2，%)，那么。?b=x}x2-￥y}y2.

(8)向量的夾角：兩個非零向量。與6,作。4=a,0B=6,那么NA0B=6(0°<0<180°)

叫做向量％與b的夾角,cos6=cos<a,b>=；4*"=/項》2_+：|必_

H-H爐/?斤寸

當且僅當兩個非零向量d與萬同方向時，。=0",當且僅當。與方反方向時0=180°,同時0與其它

任何非零向量之間不談夾角這一問題

(9)垂直：假如〃與b的夾角為90°那么稱a與b垂直，記作行，/？

(10)兩個非零向量垂直的充要條件：aLb<^a-b=O^Xlx2+yty2=0.平面對量數(shù)量積

的性質

二.例題分析

【模塊一】向量的根本運算

【例1】給出以下六個命題：

①兩個向量相等，那么它們的起點一樣，終點一樣；

②假設,卜W，那么a=6③在平行四邊形ABCD中肯定有AB=DC；

④假設團=〃,〃=p，那么加=p；⑤假設?！?,卜〃。，那么?！?。

⑥任一向量與它的相反以下不相等.⑦向量且。m=0,那么b=0

⑧”：匕的充要條件是忖=忖且4〃"⑨假設a與人方向一樣，且卜卜W，那么a>8；

⑩由于零向量的方向不確定，故零向量不與隨意向量平行；

其中正確的命題的序號是

【例2】向量a/夾角為45°,且何=1,|24-@=而；求科的值.

【變式1】假設時=2,網(wǎng)=3,a力=-3求k+0的值.

【變式2】設向量a,b滿意|a|=|b；=l及3a-2b=3,求|3a+b|的值

【例3】向量a、b的夾角為60,⑷=3,|勿=2,假設（3a+5份1,求用的值.

【例4】假設向量a=（l,2）,匕=。,一1）求2a+b與a—6的夾角.

【變式】設x,yeR,向量a=(x,l),B=(l,y)c=(2,-4),且a_Lc[〃c,那么卜+4=_

()

A.-J5B.MC.2加D.10

【例5】兩個非零向量。力滿意,+。|=卜-4，那么以下結論肯定正確的選項是（）

Ka//bB?±/?C?=\b\Da+b=a-b

【變式1】設a"是兩個非零向量.（）

A.假設|a+b|=|a|T/）|,那么a_Lb

B.假設那么a^b\=\a\-\b\

C.假設la+b|=|a1|6,那么存在實數(shù)九使得京兒6

D.假設存在實數(shù)人使得不46,那么1a+引=|a1|引

【變式2］假設平面對量。泊滿意：［2々-0W3;那么a.h的最小值是

【例6】設a,a=(cosa,sina),b=—,一-彳

(1)證明,+〃)_!_；

(2)當|2Q+q=/一2q時求角a的值.

【例7】設a、6都是非零向量，以下四個條件中，使芻a=二h成立的充分條件是（）

l?l\b\

A.a=-bB.a//bC.a=2bD.a〃?且|“HW

【模塊二】向量與平面幾何

【例1】在aABC中，NA=90A3=1,AC=2,設P、Q滿意AP=/L4B,

AQ=(1—/l)AC,Z&RBQCP=2,那么4=()

【變式1】Z\ABC為等邊三角形，AB=2設P、Q滿意AP=4A8,AQ=(l-/l)AC,2e/?

3

BQCP=j，那么4=()

11?1±V2°1±廂c-3+V2

A—B——C---D------

2222

【例2】在AABC中，AB=2,AC=3,AB-BC=1那么8C=()

A.73B.V7C.2aD.4

【變式1】假設向量氏4=(2,3),。=(4,7),那么3。=)

A.(-2,-4)B.(2,4)C.(6,10)D.(-6,-10)

［例3］假設等邊ZVU3C的邊長為26，平面內一點M滿意局=工&+2&,那么

63

MA?MB=.

【例4】A4BC中，A3邊上的高為C。，假設。3=。,。4=4。/=0,|4|=1,|6=2,那么4￡>=

22,3-3-n44,

A.Bn.—a——bC.-a--bD.—a——b

33335555

［例5］在平面直角坐標系中，0(0,0),。(6,8),將向量OP按逆時針旋轉——后,得向量。。，那

4

么點。的坐標是()

A.(—7>/2,B.(―7>/2,yp2)C.(―4\/6,—2)D.(—4^/6,2)

［例6］在A4歐中…%是8。的中點,4游3,叱10,那么AB-AC=.

A

【例7】在平行四邊形48（力中，，邊曲段的長分別為2、1.假設以N分別是邊比1、CD

上的點，且滿意竺竺=理,那么AM-AN的取值范圍是

18cl\CD\

［例8］如圖,在矩形A8CZ）中，AB=a,