線(xiàn)段與角課件

直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段、角

1.直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段

(1)在直線(xiàn)的基礎(chǔ)上定義射線(xiàn)、線(xiàn)段；

直線(xiàn)上的一點(diǎn)一旁的部分叫射線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)叫做射線(xiàn)的端點(diǎn)。

直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的部分叫線(xiàn)段，這兩個(gè)點(diǎn)叫線(xiàn)段的端點(diǎn)。

(2)在線(xiàn)段的基礎(chǔ)上定義直線(xiàn)、射線(xiàn)。

把線(xiàn)段向一方無(wú)限延伸所形成的圖形叫射線(xiàn)，

把線(xiàn)段向兩方無(wú)限延伸所形成的圖形是直線(xiàn)。

2.兩個(gè)重要公理

(1)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線(xiàn)，并且只有一直線(xiàn)，也稱(chēng)為“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”。

(2)兩點(diǎn)之間的連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短，簡(jiǎn)稱(chēng)“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”。

3.兩點(diǎn)之間的距離：連接兩點(diǎn)之間線(xiàn)段的長(zhǎng)度。

4.表示方法

(1)我們經(jīng)常用大寫(xiě)的英文字母表示點(diǎn)：A,B,C,D……

(2)直接的表示方法

①用兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示，這兩個(gè)大寫(xiě)字母表示直線(xiàn)上的點(diǎn)，不分先后順序，如

直線(xiàn)AB,如圖3—40(1)也可以寫(xiě)作直線(xiàn)BA。

A8

(1)(2)

圖3-40

②用一個(gè)小寫(xiě)字母來(lái)表示，如直線(xiàn)1,如圖3-40(2)o

(3)射線(xiàn)的表示方法：

①用兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示.第一個(gè)大寫(xiě)字母表示射線(xiàn)的端點(diǎn)，第二個(gè)大寫(xiě)字母表

示射線(xiàn)上的點(diǎn).如射線(xiàn)0A,如圖3-41(1),但不能寫(xiě)作射線(xiàn)A0.

②用一個(gè)小寫(xiě)字母來(lái)表示，如射線(xiàn)1,如圖3-41(2).

OA

(1)(2)

圖3-41

(4)線(xiàn)段的表示方法：

①用兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示，這兩個(gè)大寫(xiě)字母表示線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)，無(wú)先后順序之

分，如線(xiàn)段AB,如圖3-42(1),也可以寫(xiě)作線(xiàn)段BA.

②也可以用一個(gè)小寫(xiě)字母來(lái)表示：如線(xiàn)段1,如圖3-42(2).

A8''

⑴(2)

圖3-42

5.直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的主要區(qū)別

類(lèi)型端點(diǎn)延長(zhǎng)線(xiàn)及反向延長(zhǎng)線(xiàn)用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示

直線(xiàn)0個(gè)無(wú)無(wú)順序

射線(xiàn)1個(gè)有反向延長(zhǎng)線(xiàn)第一個(gè)表示端點(diǎn)

線(xiàn)段2個(gè)兩者都有無(wú)順序

6.中點(diǎn)：把線(xiàn)段分成相等兩條線(xiàn)段的點(diǎn)叫做這個(gè)線(xiàn)段的中點(diǎn)

【例1】如圖3—43所示根據(jù)要求作圖：

⑴連結(jié)AB;

⑵作射線(xiàn)AC;

(3)作直線(xiàn)BC.

解如圖3—44所小.

本題重點(diǎn)考查對(duì)直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的理解.

注意連結(jié)AB表示“作線(xiàn)段AB”.

【例2】平面上有四個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)一條直線(xiàn)，則可以畫(huà)幾條直線(xiàn)？

分析解決本題時(shí)需要注意分類(lèi)：

第一種情況，當(dāng)四點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上的時(shí)候，顯然只能畫(huà)一條直線(xiàn)，如圖

3—45(1).

第二種情況，當(dāng)三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上的時(shí)候，而另一點(diǎn)卻不在這條直線(xiàn)上，則

可以畫(huà)四條直線(xiàn)，如圖3—45(2).

第三種情況，當(dāng)任何三點(diǎn)不共線(xiàn)的時(shí)候，可以畫(huà)六條直線(xiàn)，如圖3—45(3).

（1）

解1或4或6

【例3】如圖3—47,已知線(xiàn)段AB=IOcm,C是線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，N

是BC的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)度.

AMCN8

圖3-47

解???!!是AC的中點(diǎn)

.\MC=-AC

2

；N是BC的中點(diǎn)

.\cN=-BC

2

MC+CN=-AC+-BC

22

,.,MC+CN=MN,AC+BC=AB

AMN=-AB

2

?.,AB=10cm

AMN=-X10=5cm

2

答線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度為5cm。

注意：

(1)對(duì)于很多同學(xué)來(lái)講，此題是道極其簡(jiǎn)單的題目，直接到算式“10+2=5”便完成

了此題，實(shí)際上“10+2=5”這個(gè)算式便是解決該問(wèn)題的核心，前面的大部分文

字及推理過(guò)程都是為了說(shuō)明“10+2=5”為什么是正確的.這些文字說(shuō)理就

是我們學(xué)習(xí)幾何的基本功.

(2)做幾何題不僅要注意題目中的已知條件“兩個(gè)中點(diǎn)”，同時(shí)也要注意圖形自身存

在的條件：”整體和部分之間的關(guān)系”即“MN=MC+CN,AB=AC+BC”.

(3)幾何語(yǔ)言是豐富多彩的，關(guān)于M是AC的中點(diǎn)，我們可以得到五個(gè)結(jié)論：①AM=CM,

②A(yíng)M=』AC,③CM=』AC,④AC=2AM,⑤AC=2CM我們應(yīng)該學(xué)會(huì)從中選擇一個(gè)對(duì)于

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解決該問(wèn)題有利的結(jié)論.

【例4】如圖3—51,設(shè)A、B、C、D為4個(gè)居民小區(qū)，現(xiàn)要在四邊形ABCD內(nèi)建一個(gè)

購(gòu)物中心，試問(wèn)應(yīng)把購(gòu)物中心建在何處，才能使4個(gè)居民小區(qū)到購(gòu)物中心的

距離之和最小，說(shuō)明理由.

解應(yīng)該建在A(yíng)C、BD的交點(diǎn)P上，如圖3—52所示.

首先我們使購(gòu)物中心到A和C的距離之和最小，那么購(gòu)物中心就應(yīng)該建在A(yíng)C線(xiàn)段

的某點(diǎn)處.這是因?yàn)槿绻c(diǎn)P不在A(yíng)C上，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，可以知道P'A+P，

OAC.同時(shí)我們也能看出，購(gòu)物中心建在線(xiàn)段AC上的任意一點(diǎn)，都可以保證購(gòu)物中心

到A、C距離之和最小.

同理，購(gòu)物中心若到B、D之和距離最小，也必須建在線(xiàn)段BD上，這樣購(gòu)物中心

就必須建在A(yíng)C、BD的交點(diǎn)上.

練習(xí)：

1.下列敘述正確的是

(C)

A.可以畫(huà)一條長(zhǎng)5cm的直線(xiàn)

B.一根拉緊的線(xiàn)是一條直線(xiàn)

C.直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)C點(diǎn)在直線(xiàn)AB上是一個(gè)意思

D.直線(xiàn)AB與直線(xiàn)BA是不同的直線(xiàn)

2.已知平面上任意四點(diǎn)A、B、C、D過(guò)其中每?jī)牲c(diǎn)畫(huà)一條直線(xiàn)，共可以畫(huà)

(D)

A.6條B.4條C.6條或4條D.6條，4條或1條

3.點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，現(xiàn)有4個(gè)等式：(1)AC=BC,(2)BC=』AB,(3)AB=2AC,(4)

2

-AB=2CB,其中能表示點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的有

2

(C)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.線(xiàn)段AB延長(zhǎng)到C,使AB=^AB,延長(zhǎng)BC至！JD,使CD=^BC,若AD=70cm,

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則AB的長(zhǎng)為(D)

A.20cmB.28cmC.36cmD.40cm

角的度量

1.角的定義

有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線(xiàn)是

角的兩條邊.

2.角的表示方法

①利用三個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示，如圖3—72.

圖3-72

注意頂點(diǎn)一定要寫(xiě)在中間.也可記為NBOA,但不能寫(xiě)成NBAO或/ABO等.

②利用一個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示，如圖3—73.

圖3-73

注意用一個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示角的時(shí)候，這個(gè)大寫(xiě)字母一定要表示角的頂點(diǎn)，而且

以它為頂點(diǎn)的角有且只有一個(gè).

③用數(shù)字來(lái)表示角，如圖3—74.

Zl

圖3-74

④用希臘字母來(lái)表示角，如圖3—75.

/a

圖3-75

3.角度之間的關(guān)系

1周角=360。1平角=180。1直角=90。

1周角=2平角1平角=2直角

4.單位換算

1度=60分(1。=60，)1分=60秒(0=60”)

【例5】在圖3—77中，角的表示方法正確的是()

A.ZAB.ZBC.ZCD.ZD

解B

說(shuō)明本題考查用一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示角，這種表示角的方法相對(duì)于三個(gè)大寫(xiě)英文

字母來(lái)說(shuō)，簡(jiǎn)單一些，但是要注意，以該字母為頂點(diǎn)的角必須只有一個(gè).故本題

選B；

【例6】計(jì)算題

⑴5］。49424。21，=_____________________

(2)39°41'-24°45'=_____________________

(3)23。1342"x3=______________________

(4)12°13,-4=______________________

解(1)51°49'+24°21'=75°70'=76°10‘

(2)39°4「-24°45'=38。101'-24。45'=14。56'

(3)23°13'42"X3=69°41'6"

(4)12°13'+4=3°3'15"

注意度分秒計(jì)算過(guò)程中是“逢60進(jìn)1”，在減法運(yùn)算中是“借1當(dāng)60”，在計(jì)算乘法時(shí),

有時(shí)稍顯得繁雜一點(diǎn)，我們可以采用如下方式：

23°13'42"

X3

69°39'126”

2>Z

____________6

69°41'6”

做除法運(yùn)算時(shí)，也需要注意單位的轉(zhuǎn)化.

3°3'15”

4112。13，

/12。__________

13'

12'

―1'?把1'轉(zhuǎn)化為60"

60"

60"

【例7】(1)32.43°=0'"

(2)65°43'12"=°

解(1)首先在第一個(gè)空上填上32,然后計(jì)算(32.43°-32°)=0.43°,

0.43°=O.43x60'=25.8\在第二個(gè)空填上25.8,上的整數(shù)25.(25.8'—25：

=0.8%0.8儀60=48",所以在第三個(gè)空上填上48.因此得到答案：32.43°

=32°25'48".

(2)這是如何把度分秒形式的度數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)的形式，首先把12”化為分，即

12"+60=0.2\

43'+0.2，=43.2'.再把分化成度43.2^60=0.72°.

所以65°43'12"=65.72°.

練習(xí)

1.如圖3—79,下列角除了用三個(gè)大寫(xiě)字母表示外，還可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示的是

(C)

A.ZBDCB.ZADCC.ZABCD.ZACB

2.20。15,的一半是(D)

A.10°B.107C.10°8,D.10°7'30"

3.(1)77°42'+34。45'=112°27'；

(2)108°18,-56°23,=51°55,；

(3)180°-(34°54'+21°33')=123°33'.

4.如圖3—84,指出OA表示什么方向的一條射線(xiàn)，仿照這條射線(xiàn)畫(huà)出表示下列方向

的射線(xiàn)：

(1)南偏東60°；

(2)北偏西70。；

(3)西南方向(即南偏西45°).

解：OA表示北偏東40。,如圖3-154

角的比較與計(jì)算

1.余角和補(bǔ)角

如果兩個(gè)角的和等于90。.就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中每一個(gè)角是另一個(gè)角的

余角.

如果兩個(gè)角的和等于180。,就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)

角.

2.兩個(gè)基本定理

①等角的補(bǔ)角相等(同角的補(bǔ)角相等).

②等角的余角相等(同角的余角相等)

3.兩個(gè)補(bǔ)充內(nèi)容

①鄰補(bǔ)角，如圖3—87,由一個(gè)角的一邊及另一邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)構(gòu)成的角是原角的

鄰補(bǔ)角.

②對(duì)頂角：如圖3—88由角的兩邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)構(gòu)成的角是原角的對(duì)頂角：如N1

和N2,因?yàn)镹1和N2都和N3是鄰補(bǔ)角，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，可知N1=N2,

因此可得到對(duì)頂角相等.

4.角平分線(xiàn)

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線(xiàn)，叫做這個(gè)角的角平分

線(xiàn).

如圖3—89,Z1=Z2,則OC就是NAOB的角平分線(xiàn).

A

C

OB

圖3-89

5.方向角

以正北、正南的方向?yàn)榛鶞?zhǔn).如圖3—90指向北偏東30°,圖3—91指向南偏東

65°

【例8】如圖3—92,在直角△ABC中.ZACB=90°,CDJ_AB于D.

求證：NA=NDCB（提示：利用三角形內(nèi)角和為180。）.

圖3-92

證明VZA+ZB+ZACB=180°,ZACB=90°

:.ZA+ZB=180°—90°=90°

VZDCB+ZB+ZCDB=180°,CD±AB

:.ZCDB=90,ZDCB+ZB=180°—90°=90°

/.ZA=ZDCB

【例9】如圖3—93,已知NA0B=90。，ZBOC=40°,OD是NAOC的平分線(xiàn)，求

ZBOD.

解VZAOB=90°,ZBOC=40°

:.ZAOC=ZAOB—ZBOC=90°—40°=50°

；OD是NAOC的平分線(xiàn)

/.ZCOD=-Z