2023-2024學年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學高二（下）期末數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學高二（下）期末數(shù)學試卷一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，共54分）1.已知直線2x?y+1=0與直線x+my+2=0垂直，則m=______．2.已知函數(shù)f(x)=2x2+1，則limx→03.2位教師和3名學生站成一排，要求2位教師相鄰，則不同排法的種數(shù)為______．4.已知隨機變量X服從兩點分布，且P(X=0)=2a2，P(X=1)=a，那么a=______．5.雙曲線C：49mx2?16m6.投擲一顆骰子，記事件A={2,4,5}，B={1,2,4,6}，則P(A|B)=______．7.已知點A(1,1)，F(xiàn)1是橢圓x28+y24=1的左焦點，8.已知圓C：x2+y2?6x=0，l1，l2是過原點且互相垂直的兩條直線，若l1被C截得的弦長與l2被C截得的弦長的比為2：9.若m，n∈N?，m≥3，n≥m+2，則Anm=A10.下列說法中正確的是______．

①設隨機變量服X從二項分布B(6,12)，則p(x=3)=516；

②已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)且P(X<4)=0.9，則P(0<X<2)=0.4；

③小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A=“4個人去的景點互不相同”，事件B=“小趙獨自去一個景點”，則P(A|B)=11.在某道選詞填空題中，共有4個空格、5個備選單詞，其中每個空格只有備選單詞中的一個正確答案(備選單詞中有一個是多余的)，則4個空格全部選錯的概率是______．12.如圖，有一張較大的矩形紙片ABCD，O，O1分別為AB，CD的中點，點P在OO1上，|OP|=2.將矩形按圖示方式折疊，使直線AB(被折起的部分)經(jīng)過P點，記AB上與P點重合的點為M，折痕為l.過點M再折一條與BC平行的折痕m，并與折痕l交于點Q，按上述方法多次折疊，Q點的軌跡形成曲線E.曲線E在Q點處的切線與AB交于點N，則△PQN的面積的最小值為______．

二、選擇題（第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分）13.某12人的興趣小組中，有5名“三好生”，現(xiàn)從小組中任意選6人參加競賽，用ξ表示這6人中“三好生”的人數(shù)，則下列概率中等于C53C7A.P(ξ=2) B.P(ξ=3) C.P(ξ≤2) D.P(ξ≤3)14.已知二項式(1+2x)5，則(

)A.展開式中第3項與第4項的二項式系數(shù)相等

B.展開式中第三項為40x2

C.展開式所有項的系數(shù)和為32

15.若斜率為1的直線l與曲線y=ln(x+a)和圓x2+y2A.?1 B.1 C.3 D.?1或316.設定義域為R的偶函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)為y=f′(x)，若f′(x)+(x+1)2也為偶函數(shù)，且f(2a+4)>f(a2+1)，則實數(shù)A.(?∞,?1)∪(3,+∞) B.(?∞,?3)∪(1,+∞)

C.(?3,1) D.(?1,3)三、解答題（共78分）17.已知(x?1)(mx+1)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x18.已知函數(shù)f(x)=aex+sinx?2，且f(x)在點(0,f(0))處的切線與直線x+2y?1=0垂直．

(1)求a的值；

(2)當x≥0時，求f(x)的導函數(shù)f′(x)19.某校高二年級數(shù)學競賽選拔賽分為初賽和決賽兩階段進行.初賽采用“兩輪制”方式進行，要求每個班級派出兩名同學，且每名同學都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的同學才具備參與決賽的資格.高二某班派出甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是45、34，乙通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是23、12，且每名同學所有輪次比賽的結(jié)果互不影響．

(1)若該班獲得決賽資格的同學個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；

(2)已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問題放入A，B兩個紙箱中，A箱中有3道選擇題和3道填空題，B箱中有4道選擇題和4道填空題.決賽中要求每位參賽同學在A，B兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.甲先從A箱中依次抽取2道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入B箱中，然后乙再從B箱中抽取題目．

①求乙從B箱中抽取的第一題是選擇題的概率；

②已知乙從B箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從A箱中抽出的是20.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線上一點與右焦點F(2,0)的最短距離為2．

(1)求雙曲線的方程；

(2)O為坐標原點，直線x=ty+2與雙曲線的右支交于A、B兩點，與漸近線交于C、D兩點，A與C在x軸的上方，B與D在x軸的下方．

(ⅰ)求實數(shù)t的取值范圍．

(ⅱ)設S121.已知函數(shù)f(x)=alnx?ax+1，a∈R．

(1)若經(jīng)過點(0,0)的直線與函數(shù)f(x)的圖像相切于點(2,f(2))，求實數(shù)a的值；

(2)設g(x)=f(x)+12x2?1，若函數(shù)g(x)在區(qū)間(32,4)為嚴格遞減函數(shù)時，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)對于(2)中的函數(shù)g(x)，若函數(shù)g(x)有兩個極值點為x1，參考答案1.2

2.8

3.48

4.125.7x±4y=0

6.127.[38.±19.An?210.①②③④

11.5312012.813.B

14.AB

15.D

16.A

17.解：(1)在(x?1)(?x+1)7=a0+a1x+a2x2+???+a8x8中，

取x=1，得0=a0+a1+a2+???+a818.解：(1)f(x)=aex+sinx?2，

則f′(x)=cosx+aex，

所以f′(0)=a+1

因為直線x+2y?1=0的斜率為?12，f(x)在點(0,f(0))處的切線與直線x+2y?1=0垂直．

所以(a+1)?(?12)=?1，解得a=1；

(2)令g(x)=f′(x)=cosx+ex(x≥0)．

19.解：(1)甲獲得決賽資格的概率P1=45×34=35，乙獲得決賽資格的概率P2=23×12=13，

X012P483所以E(X)=0×415+1×815+2×315=1415；

(2)設事件Ai=“甲取到i道選擇題”，i=0，1，2；事件B=“乙取到第一題是選擇題”，

由題意可知，P(A0)=C32C62=20.解：(1)設雙曲線的焦距為2c，

此時c=2，

因為F(2,0)到直線bx?ay=0的距離為|2b|b2+a2=2，

所以b=2，

則a=c2?b2=2，

故雙曲線的方程為x22?y22=1；

(2)(ⅰ)設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立x=ty+2x2?y2=2，消去x并整理得(t2?1)y2+4ty+2=0，

此時t2?1≠0Δ=8t2+8>0y1+y2=?4tt2?1y1?y2=2t2?1，

因為直線與雙曲線右支交于兩點，

所以y1y221.解：(1)已知f(x)=alnx?ax+1，函數(shù)定義域為(0,+∞)，

可得f′(x)=ax?a，

此時f′(2)=?a2，

因為經(jīng)過點(2,f(2))的切線經(jīng)過原點，

所以k=f(2)2=?a2，

即aln2?2a+12=?a2，

解得a=11?ln2；

(2)因為g(x)=f(x)+12x2?1=alnx+12x2?ax，函數(shù)定義域為(0,+∞)，

可得g′(x)=ax+x?a，

若函數(shù)g(x)在區(qū)間(32,4)為嚴格遞減函數(shù)，

此時g′(x)=ax+x?a≤0在區(qū)間(32,4)上恒成立，

即a≥x2x?1在區(qū)間(32,4)上恒成立，

不妨設?(x)=x2x?1，函數(shù)定義域為(32,4)，

可得?′(x