考點19 任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念4種常見考法歸類-【考點通關(guān)】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專用)含解析

考點19任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念4種常見考法歸類-【考點通關(guān)】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專用)考點19任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念4種常見考法歸類考點一象限角與終邊相同的角（一）終邊相同的角（二）象限角（三）區(qū)域角的表示考點二扇形的弧長與面積問題（一）弧長的有關(guān)計算（二）扇形面積的有關(guān)計算（三）扇形中的最值問題（四）扇形弧長公式與面積公式的應(yīng)用考點三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用（一）利用定義求角的三角函數(shù)值（二）由三角函數(shù)值求終邊上的點或參數(shù)（三）由單位圓求三角函數(shù)值（四）已知角α的終邊在直線上求三角函數(shù)值考點四三角函數(shù)函數(shù)值符號的確定（一）已知角或角的范圍確定三角函數(shù)式的符號（二）由三角函數(shù)式的符號確定角的范圍或象限1.象限角的2種判斷方法圖象法在平面直角坐標系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角轉(zhuǎn)化法先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角注：注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標軸角．2.求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的步驟(1)將θ的范圍用不等式(含有k，且k∈Z)表示；(2)兩邊同除以n或乘以n；(3)對k進行討論，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．3.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角．4.“順轉(zhuǎn)減，逆轉(zhuǎn)加”的應(yīng)用注意“順轉(zhuǎn)減，逆轉(zhuǎn)加”的應(yīng)用，如角α的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)180°可得角α＋180°的終邊，類推可知α＋k·180°(k∈Z)表示終邊落在角α的終邊所在直線上的角。5.角度制和弧度制的互化：eq\x(180°＝πrad)—eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(—1°＝\f(π,180)rad≈0.01745rad,—1rad＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°))6.扇形的弧長和面積公式扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．7.有關(guān)弧長及扇形面積問題的注意點(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決；(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．8.三角函數(shù)的定義中常見的四種題型及解決方法求已知角三角函數(shù)值，一般求已知角的終邊與單位圓的交點坐標，再利用三角函數(shù)的定義求解．已知角α終邊上一點P的坐標，求角α的三角函數(shù)值，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解．，，.（注：利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)值時，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x，縱坐標y，該點到原點的距離r．）(3)已知角α的一個三角函數(shù)值和終邊上一點P的橫坐標或縱坐標，求角α的三角函數(shù)值．先求出點P到原點的距離(帶參數(shù))，根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問題；（注：(4)已知角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值時，常用的解題方法有以下兩種：①②注意到角的終邊為直線，所以應(yīng)分兩種情況來處理，取射線上任一點坐標(a，b)(a≠0)，則對應(yīng)角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(b,a).（注：若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意“在終邊上任取一點”應(yīng)分兩種情況（點所在象限不同）進行分析．）9.特殊角的三角函數(shù)值注：sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，sin75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，tan15°＝2－eq\r(3)，tan75°＝2＋eq\r(3).10.三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號11.三角函數(shù)值符號及角所在象限的判斷三角函數(shù)值在各個象限的符號與角的終邊上的點的坐標密切相關(guān)．sinα在一、二象限為正，cosα在一、四象限為正，tanα在一、三象限為正．學(xué)習(xí)時首先把取正值的象限記清楚，其余的象限就是負的，如sinα在一、二象限為正，那么在三、四象限就是負的．值得一提的是：三角函數(shù)的正負有時還要考慮坐標軸上的角，如sineq\f(π,2)＝1>0，cosπ＝－1<0．12.三角不等式的重要結(jié)論0<α<eq\f(π,2)時，sinα<α<tanα，特別地，cos1<sin1<1<tan1.考點一象限角與終邊相同的角（一）終邊相同的角1．（2023湖北省十堰市天河英才高中月考）下列與角的終邊相同的角的表達式中正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023山東）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（

）A． B．C． D．3．【多選】（2023廣西河池市期末）在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．4．（2023北京市昌平區(qū)期末）在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，則“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2023廣州市培正中學(xué)）設(shè)集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(

)A．M＝N B．N?M C．M?N D．M∩N＝?（二）象限角6．（2023陜西省榆林市第十中學(xué)第一次月考）若角是第一象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角7．（2023高三專題訓(xùn)練）已知角第二象限角，且，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角8．（2023高三專題訓(xùn)練）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（2023天津市紅橋區(qū)期末）已知是銳角,那么是A．第一象限角 B．第二象限角C．小于的正角 D．不大于直角的正角10．（2023高三專題訓(xùn)練）若是第四象限角，則是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四（三）區(qū)域角的表示11．（2023高三專題訓(xùn)練）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A． B．C．D．12．（2023高三專題訓(xùn)練）如圖，用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界).（1）；（2）13．（2023高三專題訓(xùn)練）如圖所示，終邊在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的角的集合為______．考點二扇形的弧長與面積問題（一）弧長的有關(guān)計算14．（2023春·北京豐臺·高三統(tǒng)考期中）已知扇形的半徑為2，圓心角為，則其弧長為_________.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐展開圖的側(cè)面積為2π，且為半圓，則底面圓半徑為_______．16．（湖南省部分市2023屆高三下學(xué)期3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，書中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，則直角圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．17．（2023高三專題訓(xùn)練）如圖，在平面直角坐標系中，一單位圓的圓心的初始位置為（0，1），此時圓上一點的位置為（0，0），該圓沿軸正向滾動，當圓滾動到圓心位于（2，1）時，點的坐標為______.18．（陜西省西安市周至縣2023屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題）折扇在我國已有三千多年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1），圖2為其結(jié)構(gòu)簡化圖，設(shè)扇面A，B間的圓弧長為，A，B間的弦長為d，圓弧所對的圓心角為（為弧度角），則?d和所滿足的恒等關(guān)系為（

）A． B．C． D．19．（廣西邕衡金卷2023屆高三一輪復(fù)習(xí)診斷性聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在扇形中，C是弦的中點，D在上，．其中，長為．則的長度約為（提示：時，）（

）A． B． C． D．20．【多選】（2023高三專題訓(xùn)練）如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為圓心的圓與x軸正半軸交于點．已知點在圓O上，點T的坐標是，則下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．，則 D．若，則21．（貴州省貴陽市2023屆高三適應(yīng)性考試（二）數(shù)學(xué)（文）試題）已知正方體的棱長為4，點P在該正方體的表面上運動，且，則點P的軌跡長度是________．22．（2023高三專題訓(xùn)練）擲鐵餅是一項體育競技活動．如圖，這是一位擲鐵餅運動員在準備擲出鐵餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”．經(jīng)測量，此時兩手掌心之間的弧長是，“弓”所在圓的半徑為米，則這位擲鐵餅運動員兩手掌心之間的距離約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．米 B．米C．米 D．米（二）扇形面積的有關(guān)計算23．（2023河南省許昌市鄢陵縣職業(yè)教育中心期末）已知扇形的半徑為1，圓心角為30°，則扇形的面積為（

）A．30 B． C． D．24．（上海市長寧區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為，底面周長為，則這個圓錐的體積為___________．25．（福建省連城縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題）《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)名著，其對扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問題：現(xiàn)有一扇形田，下周長（弧長）為20米，徑長（兩段半徑的和）為20米，則該扇形田的面積為_____平方米.26．（北京市陳經(jīng)綸中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月診斷數(shù)學(xué)試題）以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德國機械工程專家、機構(gòu)運動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名．一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機等都有應(yīng)用勒洛三角形如圖，已知某勒洛三角形的三段弧的總長度為，則該勒洛三角形的面積為（

）A． B． C． D．27．（2023高三專題訓(xùn)練）中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的第一章“方田”中載有“半周半徑相乘得積步”，其大意為：圓的半周長乘以其半徑等于圓面積.南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之曾用圓內(nèi)接正多邊形的面積“替代”圓的面積，并通過增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n使得正多邊形的面積更接近圓的面積，從而更為“精確”地估計圓周率π.據(jù)此，當n足夠大時，可以得到π與n的關(guān)系為（

）A． B． C． D．28．（山西省長治市輔成學(xué)校2023屆高三上學(xué)期1月大聯(lián)考（新高考卷）數(shù)學(xué)試題）水滴是劉慈欣的科幻小說《三體II·黑暗森林》中提到的由三體文明使用強互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，因為其外形與水滴相似，所以被人類稱為水滴.如圖所示，水滴是由線段和圓的優(yōu)弧圍成，其中恰好與圓弧相切.若圓弧所在圓的半徑為1，點到圓弧所在圓圓心的距離為2，則該封閉圖形的面積為（

）A． B． C． D．29．（湖南省衡陽市名校協(xié)作體2023屆高三全真模擬適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）兩千多年前，我國首部數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》是數(shù)學(xué)的瑰寶，世人驚嘆祖先的智慧.其中早就提出了宛田（扇形面積）的計算方法：“以徑乘周，四而一”（意思是說直徑與弧長乘積的四分之一），已知扇形的圓心角為，弧長為，且，則它的面積為（

）A． B． C． D．30．（廣西柳州高級中學(xué)、南寧市第三中學(xué)2023屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）圣彼得大教堂坐落在梵蒂岡城內(nèi)，是世界上最大的天主教教堂作為最杰出的文藝復(fù)興建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特點之一就是窗門處使用尖拱造型，其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形．如圖，所在圓的圓心O在線段AB上，若，，則扇形OAC的面積為___．（三）扇形中的最值問題31．（天津市河?xùn)|區(qū)2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）在面積為4的扇形中，其周長最小時半徑的值為（

）A．4 B． C．2 D．132．（2023高三專題訓(xùn)練）已知扇形的周長為30cm，當它的半徑和圓心角各取什么值時，能使扇形的面積最大？最大面積是多少？33．（2023高三專題訓(xùn)練）已知扇形的圓心角是，半徑是，弧長為.(1)若，求扇形的面積；(2)若扇形的周長為，求扇形面積的最大值，并求此時扇形圓心角的弧度數(shù)．34．（廣東省揭陽市普通高中2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，四邊形ABCD是邊長為的正方形，P是圓弧上的動點，且，Q是線段BC上的動點.當點P固定時，點Q將運動到使取到最小值時的位置；當點Q固定時，點P將運動到使取到最大值時的位置.當某一時刻，點P，Q都不再運動，且滿足上述條件時，則（

）A． B． C．2 D．不存在35．（2023·山東濟南·濟南市歷城第二中學(xué)?？级＃┤鐖D，圓心角為的扇形的半徑為2，點C是弧AB上一點，作這個扇形的內(nèi)接矩形．(1)求扇形的周長；(2)當點C在什么位置時，矩形的面積最大？并求出面積的最大值．36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某企業(yè)欲做一個介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面（由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的）.已知，，線段BA，CD與，的長度之和為30，圓心角為弧度.(1)求關(guān)于x的函數(shù)表達式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問x取何值時，y的值最大？并求出最大值.（四）扇形弧長公式與面積公式的應(yīng)用37．（遼寧省朝陽市第一高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知扇形的面積為4，圓心角的弧度數(shù)是2，則該扇形的半徑為________．38．（浙江省S9聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知扇形的面積為，該扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的弧長為____________cm．39．（2023高三專題訓(xùn)練）已知扇形的周長是6cm，面積是，則扇形的中心角的弧度數(shù)是（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2或440．（2023山東省威海市乳山市銀灘高級中學(xué)月考）如圖，扇形AOB的面積是1，它的弧長是2，則弦AB的長為________．41．（山東省濟南市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知圓錐側(cè)面展開圖的周長為，面積為，則該圓錐的體積為______．42．（山西省太原市2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，垂直于底面，，，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧的長度是弧長度的2倍，，則該曲池的體積為（

）A． B． C． D．考點三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用（一）利用定義求角的三角函數(shù)值43．（2023高三專題訓(xùn)練）已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A． B． C． D．44．（山西省臨汾市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知點是角終邊上一點，則的值為（

）A． B． C． D．45．（北京市房山區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知角終邊過點，角終邊與角終邊關(guān)于軸對稱，則______；______．46．（四川省攀枝花市2023屆高三第三次統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)試題）已知為銳角，，角的終邊上有一點，則（

）A． B．C． D．47．（四川省宜賓市2023屆高三下學(xué)期第二次診斷性測試理科數(shù)學(xué)試題）四邊形由如圖所示三個全等的正方形拼接而成，令，，則（

）A．1 B． C． D．（二）由三角函數(shù)值求終邊上的點或參數(shù)48．（江蘇省揚州市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知角的終邊上一點，則（

）A． B．C． D．以上答案都不對49．（河南省開封市2023屆高三第三次模擬考試理科數(shù)學(xué)試題）設(shè)α是第二象限角，P（x，1）為其終邊上一點，且，則tanα=（

）A． B． C． D．50．（2023高三專題訓(xùn)練）已知角的終邊經(jīng)過點，且，求的值.51．（北京市八一學(xué)校2023屆高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知角終邊經(jīng)過點，且，則的值為_________．52．（2023高三專題訓(xùn)練）已知角的終邊過點，若，則實數(shù)m的值為（

）A． B．4 C．或3 D．或4（三）由單位圓求三角函數(shù)值53．（2023高三專題訓(xùn)練）在平面直角坐標系中，角以軸的非負半軸為始邊，終邊與單位圓交于點，則=（

）A． B． C． D．54．【多選】（江蘇省常州市第三中學(xué)2023屆高三下學(xué)期五模數(shù)學(xué)試題）已知角的終邊與單位圓交于點，則（

）A． B． C． D．55．（安徽省蚌埠市2023屆高三四模數(shù)學(xué)試題）將頂點在原點，始邊為軸非負半軸的銳角的終邊繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后，交單位圓于點，那么（

）A． B． C． D．56．（山東省日照市2023屆高三下學(xué)期4月校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題）已知角的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸最合，終邊與單位圓交于點，將角的終邊繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與角的終邊重合，則_________．57．（2023屆河南省部分名校高三仿真模擬測試文科數(shù)學(xué)試題）已知在平面直角坐標系xOy中，角的頂點為O，始邊為x軸的非負半軸，若的終邊與圓交于點，則（

）A． B．C． D．（四）已知角α的終邊在直線上求三角函數(shù)值58．（廣西南寧市東盟中學(xué)2020-2021學(xué)年高三年級12月月考數(shù)學(xué)試題）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則（

）A． B． C． D．59．（青海省玉樹州2023屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)文科試題）已知角的終邊落在直線上，則（

）A． B． C． D．考點四三角函數(shù)函數(shù)值符號的確定（一）已知角或角的范圍確定三角函數(shù)式的符號60．（2023高三專題訓(xùn)練）若，則（

）A． B．C． D．61．（2023秋·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若是第三象限角，則下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．62．（河南省部分學(xué)校2023屆高三高考仿真適應(yīng)性測試文科數(shù)學(xué)試題）已知是第二象限角，則點（，）所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限63．（2023高三專題訓(xùn)練）已知是第二象限角，則點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（二）由三角函數(shù)式的符號確定角的范圍或象限64．（福建省寧德市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期區(qū)域性學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測（期末）數(shù)學(xué)試題）已知點是第二象限的點，則的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限65．（2023高三專題訓(xùn)練）已知點在第三象限，則角的終邊在第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四66．（2023高三專題訓(xùn)練）在平面直角坐標系中，點位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四67．（2023高三專題訓(xùn)練）若角滿足，，則在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考點19任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念4種常見考法歸類考點一象限角與終邊相同的角（一）終邊相同的角（二）象限角（三）區(qū)域角的表示考點二扇形的弧長與面積問題（一）弧長的有關(guān)計算（二）扇形面積的有關(guān)計算（三）扇形中的最值問題（四）扇形弧長公式與面積公式的應(yīng)用考點三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用（一）利用定義求角的三角函數(shù)值（二）由三角函數(shù)值求終邊上的點或參數(shù)（三）由單位圓求三角函數(shù)值（四）已知角α的終邊在直線上求三角函數(shù)值考點四三角函數(shù)函數(shù)值符號的確定（一）已知角或角的范圍確定三角函數(shù)式的符號（二）由三角函數(shù)式的符號確定角的范圍或象限1.象限角的2種判斷方法圖象法在平面直角坐標系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角轉(zhuǎn)化法先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角注：注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標軸角．2.求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的步驟(1)將θ的范圍用不等式(含有k，且k∈Z)表示；(2)兩邊同除以n或乘以n；(3)對k進行討論，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．3.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角．4.“順轉(zhuǎn)減，逆轉(zhuǎn)加”的應(yīng)用注意“順轉(zhuǎn)減，逆轉(zhuǎn)加”的應(yīng)用，如角α的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)180°可得角α＋180°的終邊，類推可知α＋k·180°(k∈Z)表示終邊落在角α的終邊所在直線上的角。5.角度制和弧度制的互化：eq\x(180°＝πrad)—eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(—1°＝\f(π,180)rad≈0.01745rad,—1rad＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°))6.扇形的弧長和面積公式扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．7.有關(guān)弧長及扇形面積問題的注意點(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決；(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．8.三角函數(shù)的定義中常見的四種題型及解決方法求已知角三角函數(shù)值，一般求已知角的終邊與單位圓的交點坐標，再利用三角函數(shù)的定義求解．已知角α終邊上一點P的坐標，求角α的三角函數(shù)值，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解．，，.（注：利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)值時，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x，縱坐標y，該點到原點的距離r．）(3)已知角α的一個三角函數(shù)值和終邊上一點P的橫坐標或縱坐標，求角α的三角函數(shù)值．先求出點P到原點的距離(帶參數(shù))，根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問題；（注：(4)已知角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值時，常用的解題方法有以下兩種：①②注意到角的終邊為直線，所以應(yīng)分兩種情況來處理，取射線上任一點坐標(a，b)(a≠0)，則對應(yīng)角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(b,a).（注：若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意“在終邊上任取一點”應(yīng)分兩種情況（點所在象限不同）進行分析．）9.特殊角的三角函數(shù)值注：sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，sin75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，tan15°＝2－eq\r(3)，tan75°＝2＋eq\r(3).10.三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號11.三角函數(shù)值符號及角所在象限的判斷三角函數(shù)值在各個象限的符號與角的終邊上的點的坐標密切相關(guān)．sinα在一、二象限為正，cosα在一、四象限為正，tanα在一、三象限為正．學(xué)習(xí)時首先把取正值的象限記清楚，其余的象限就是負的，如sinα在一、二象限為正，那么在三、四象限就是負的．值得一提的是：三角函數(shù)的正負有時還要考慮坐標軸上的角，如sineq\f(π,2)＝1>0，cosπ＝－1<0．12.三角不等式的重要結(jié)論0<α<eq\f(π,2)時，sinα<α<tanα，特別地，cos1<sin1<1<tan1.考點一象限角與終邊相同的角（一）終邊相同的角1．（2023湖北省十堰市天河英才高中月考）下列與角的終邊相同的角的表達式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)終邊相同的角的表示方法，以及角度和弧度的用法要求，分別判斷各選項，可得答案.【詳解】對于A，B，，中角度和弧度混用，不正確；對于C，因為與是終邊相同的角，故與角的終邊相同的角可表示為，C正確；對于D，，不妨取，則表示的角與終邊不相同，D錯誤，故選：C2．（2023山東）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用終邊落在坐標軸上角的表示方法即可求解【詳解】終邊在軸正半軸上的角的集合是故選：A3．【多選】（2023廣西河池市期末）在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用終邊相同的角的定義求解.【詳解】因為，，所以與角終邊相同的角是和，故選：AC．4．（2023北京市昌平區(qū)期末）在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，則“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】判斷命題“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”和“”之間的邏輯推理關(guān)系，可得答案.【詳解】由題意知，角與角的終邊關(guān)于軸對稱時，則，故，則，即；當時，此時，角與角的終邊不關(guān)于軸對稱，即“”成立不能得出“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”成立，故“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”是“”的充分而不必要條件，故選：A5．（2023廣州市培正中學(xué)）設(shè)集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(

)A．M＝N B．N?M C．M?N D．M∩N＝?【答案】C【分析】變形表達式為相同的形式，比較可得．【詳解】由題意可即為的奇數(shù)倍構(gòu)成的集合，又，即為的整數(shù)倍構(gòu)成的集合，，故選C．【點睛】本題考查集合的包含關(guān)系的判定，變形為同樣的形式比較是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．（二）象限角6．（2023陜西省榆林市第十中學(xué)第一次月考）若角是第一象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)題意得，分為偶數(shù)和奇數(shù)求解即可.【詳解】因為是第三象限角，所以，所以，當為偶數(shù)時，是第一象限角，當為奇數(shù)時，是第三象限角.故選：C．7．（2023高三專題訓(xùn)練）已知角第二象限角，且，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判斷出所在象限．【詳解】因為角第二象限角，所以，所以，當是偶數(shù)時，設(shè)，則，此時為第一象限角；當是奇數(shù)時，設(shè)，則，此時為第三象限角.；綜上所述：為第一象限角或第三象限角，因為，所以，所以為第三象限角．故選：C．8．（2023高三專題訓(xùn)練）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由題意知，，，即可得的范圍，討論、、對應(yīng)的終邊位置即可.【詳解】∵角的終邊在第一象限，∴，，則，，當時，此時的終邊落在第一象限，當時，此時的終邊落在第二象限，當時，此時的終邊落在第三象限，綜上，角的終邊不可能落在第四象限，故選：D.9．（2023天津市紅橋區(qū)期末）已知是銳角,那么是A．第一象限角 B．第二象限角C．小于的正角 D．不大于直角的正角【答案】C【解析】根據(jù)是銳角，得出的取值范圍是，再判定的終邊位置即可．【詳解】∵是銳角，即，∴.所以是小于的正角．故選：C．【點睛】本題考查象限角的概念及判定，任意角的概念．得出的取值范圍是關(guān)鍵．10．（2023高三專題訓(xùn)練）若是第四象限角，則是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【分析】由題可得，，即得答案.【詳解】是第四象限角，則，，則，，在第二象限.故選：B.（三）區(qū)域角的表示11．（2023高三專題訓(xùn)練）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A． B．C．D．【答案】B【分析】對按奇偶分類討論可得．【詳解】當k＝2n(n∈Z)時，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此時的終邊和0≤≤的終邊一樣，當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此時的終邊和π≤≤π＋的終邊一樣．故選：B．12．（2023高三專題訓(xùn)練）如圖，用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界).（1）；（2）【解析】如題圖①，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z)，所以陰影部分內(nèi)的角的集合為；如題圖②，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z).不妨設(shè)右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，則M1=，M2=.所以陰影部分內(nèi)的角的集合為或.13．（2023高三專題訓(xùn)練）如圖所示，終邊在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的角的集合為______．【答案】【分析】求出終邊在直線OM上、直線ON上的角的集合進行求解即可.【詳解】終邊在直線OM上的角的集合為：．同理可得終邊在直線ON上的角的集合為，所以終邊在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的角的集合為．故答案為：考點二扇形的弧長與面積問題（一）弧長的有關(guān)計算14．（2023春·北京豐臺·高三統(tǒng)考期中）已知扇形的半徑為2，圓心角為，則其弧長為_________.【答案】/【分析】根據(jù)扇形弧長公式進行求解【詳解】若扇形的圓心角為，半徑為，則扇形弧長公式，代入，得：.故答案為：.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐展開圖的側(cè)面積為2π，且為半圓，則底面圓半徑為_______．【答案】1【分析】由圓錐的側(cè)面積公式結(jié)合半圓弧長計算公式求得結(jié)果【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，則依題意得，解得，則圓錐底面圓半徑為1.故答案為：1.16．（湖南省部分市2023屆高三下學(xué)期3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，書中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，則直角圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓錐的母線長和弧長以及圓心角之間的關(guān)系即可求解【詳解】設(shè)直角圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為，底面圓的半徑為，母線長為，因為直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以，則，解得.故選：.17．（2023高三專題訓(xùn)練）如圖，在平面直角坐標系中，一單位圓的圓心的初始位置為（0，1），此時圓上一點的位置為（0，0），該圓沿軸正向滾動，當圓滾動到圓心位于（2，1）時，點的坐標為______.【答案】【分析】根據(jù)點坐標的幾何意義，利用三角函數(shù)以及幾何關(guān)系，可得答案.【詳解】如圖，作軸，，為垂足.根據(jù)題意得劣弧，則，于是在中，，，，可得點的橫坐標為，點的縱坐標為，所以點的坐標為.故答案為：.18．（陜西省西安市周至縣2023屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題）折扇在我國已有三千多年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1），圖2為其結(jié)構(gòu)簡化圖，設(shè)扇面A，B間的圓弧長為，A，B間的弦長為d，圓弧所對的圓心角為（為弧度角），則?d和所滿足的恒等關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先用表示出d和，進而求得的值.【詳解】過點O作于D，則，則，則故選：A19．（廣西邕衡金卷2023屆高三一輪復(fù)習(xí)診斷性聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在扇形中，C是弦的中點，D在上，．其中，長為．則的長度約為（提示：時，）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)弧長公式，結(jié)合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可.【詳解】設(shè)圓心角，，，所以，，所以．故選：B.20．【多選】（2023高三專題訓(xùn)練）如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為圓心的圓與x軸正半軸交于點．已知點在圓O上，點T的坐標是，則下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．，則 D．若，則【答案】AD【分析】根據(jù)弧長公式可判斷A的正誤；由正弦線余弦線的定義即可判斷B的正誤；當時，可知可判斷C的正誤；當時成立，故也一定滿足，此時可判斷D的正誤.【詳解】由于單位圓的半徑為1，根據(jù)弧長公式有，所以A正確．由于B是∠AOB的一邊與單位圓的交點，是對應(yīng)∠AOB的正弦值，即，所以是對應(yīng)∠AOB的余弦值，即，所以B錯誤．當時，，，所以C錯誤．反過來，當，即時，一定成立，所以D正確．故選：AD．21．（貴州省貴陽市2023屆高三適應(yīng)性考試（二）數(shù)學(xué)（文）試題）已知正方體的棱長為4，點P在該正方體的表面上運動，且，則點P的軌跡長度是________．【答案】【分析】由已知可判斷點可能在平面內(nèi)，可能在平面內(nèi)，可能在平面內(nèi).先求解當點在平面內(nèi)時，可推得點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓與正方形邊界及其內(nèi)部的交線.然后根據(jù)扇形的弧長公式，即可得出當點在平面內(nèi)時，點P的軌跡長度是，進而得出答案.【詳解】因為，所以點可能在平面內(nèi)，可能在平面內(nèi)，可能在平面內(nèi).當點在平面內(nèi)時，由平面，平面，可知，所以，所以，所以點到的距離為，所以點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓與正方形邊界及其內(nèi)部的交線.如上圖，，，則的長，所以，當點在平面內(nèi)時，點P的軌跡長度是.同理可得，當點在平面內(nèi)時，點P的軌跡長度也是.當點在平面時，點P的軌跡長度也是.綜上所述，點P的軌跡長度為.故答案為：.22．（2023高三專題訓(xùn)練）擲鐵餅是一項體育競技活動．如圖，這是一位擲鐵餅運動員在準備擲出鐵餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”．經(jīng)測量，此時兩手掌心之間的弧長是，“弓”所在圓的半徑為米，則這位擲鐵餅運動員兩手掌心之間的距離約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】由扇形弧長公式可求得圓心角，根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意作圖如下，由題意知：的長為，為的中點，，，即所求距離約為米.故選：A.（二）扇形面積的有關(guān)計算23．（2023河南省許昌市鄢陵縣職業(yè)教育中心期末）已知扇形的半徑為1，圓心角為30°，則扇形的面積為（

）A．30 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)扇形的面積公式求得結(jié)果.【詳解】已知扇形圓心角為30°，即，扇形半徑為1，所以扇形的面積.故選：B.24．（上海市長寧區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為，底面周長為，則這個圓錐的體積為___________．【答案】/【分析】利用圓的周長和扇形弧長公式可構(gòu)造方程求得圓錐底面半徑和母線長，由勾股定理可得圓錐的高，代入圓錐體積公式即可.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，高為，，解得：，，圓錐體積.故答案為：.25．（福建省連城縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題）《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)名著，其對扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問題：現(xiàn)有一扇形田，下周長（弧長）為20米，徑長（兩段半徑的和）為20米，則該扇形田的面積為_____平方米.【答案】100【分析】本題可通過題意中的“以徑乘周四而一”得出答案.【詳解】因為徑長為20米，下周長為20米，所以由題意中“以徑乘周四而一”可知，該扇形菜田的面積平方米。故答案為：100.26．（北京市陳經(jīng)綸中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月診斷數(shù)學(xué)試題）以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德國機械工程專家、機構(gòu)運動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名．一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機等都有應(yīng)用勒洛三角形如圖，已知某勒洛三角形的三段弧的總長度為，則該勒洛三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)等邊三角形的邊長為，由題意可得，進而求出的值，再求出扇形的面積和等邊三角形的面積，從而求出該勒洛三角形的面積.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長為，則由題意得：，解得：，所以扇形的半徑為，圓心角為，則其面積為，又等邊三角形的面積為，則該勒洛三角形的面積為，故選：B.27．（2023高三專題訓(xùn)練）中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的第一章“方田”中載有“半周半徑相乘得積步”，其大意為：圓的半周長乘以其半徑等于圓面積.南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之曾用圓內(nèi)接正多邊形的面積“替代”圓的面積，并通過增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n使得正多邊形的面積更接近圓的面積，從而更為“精確”地估計圓周率π.據(jù)此，當n足夠大時，可以得到π與n的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓的半徑為，由題意可得，化簡即可得出答案.【詳解】設(shè)圓的半徑為，將內(nèi)接正邊形分成個小三角形，由內(nèi)接正邊形的面積無限接近圓的面即可得：，解得：.故選：A.28．（山西省長治市輔成學(xué)校2023屆高三上學(xué)期1月大聯(lián)考（新高考卷）數(shù)學(xué)試題）水滴是劉慈欣的科幻小說《三體II·黑暗森林》中提到的由三體文明使用強互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，因為其外形與水滴相似，所以被人類稱為水滴.如圖所示，水滴是由線段和圓的優(yōu)弧圍成，其中恰好與圓弧相切.若圓弧所在圓的半徑為1，點到圓弧所在圓圓心的距離為2，則該封閉圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由直角三角形的面積及扇形的面積即可得解.【詳解】如圖，設(shè)圓弧所在圓的圓心為，連接，依題意得，且，則，所以，所以該封閉圖形的面積為.故選：A.29．（湖南省衡陽市名校協(xié)作體2023屆高三全真模擬適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）兩千多年前，我國首部數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》是數(shù)學(xué)的瑰寶，世人驚嘆祖先的智慧.其中早就提出了宛田（扇形面積）的計算方法：“以徑乘周，四而一”（意思是說直徑與弧長乘積的四分之一），已知扇形的圓心角為，弧長為，且，則它的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由條件可得，化簡計算可得的值，從而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)扇形的圓心角，所在圓的半徑為，所以，又，所以，即，因為，所以，所以，故扇形的面積為.故選:A.30．（廣西柳州高級中學(xué)、南寧市第三中學(xué)2023屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）圣彼得大教堂坐落在梵蒂岡城內(nèi)，是世界上最大的天主教教堂作為最杰出的文藝復(fù)興建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特點之一就是窗門處使用尖拱造型，其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形．如圖，所在圓的圓心O在線段AB上，若，，則扇形OAC的面積為___．【答案】【分析】過點作，在中，表示出.然后在中，根據(jù)勾股定理，得出.進而根據(jù)已知，結(jié)合三角形的面積公式，即可得出答案.【詳解】如圖，過點作，設(shè)所在圓的半徑為，則，在中，，，所以，，所以，.在中，有，即，整理可得，.因為，所以，所以，扇形OAC的面積為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：作，得到兩個直角三角形.表示出各邊關(guān)系，進而求得扇形的半徑.（三）扇形中的最值問題31．（天津市河?xùn)|區(qū)2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）在面積為4的扇形中，其周長最小時半徑的值為（

）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【分析】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，根據(jù)扇形的面積公式將用表示，再根據(jù)扇形的弧長和周長公式結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，則，所以，則扇形的周長為，當且僅當，即時，取等號，此時，所以周長最小時半徑的值為.故選：C.32．（2023高三專題訓(xùn)練）已知扇形的周長為30cm，當它的半徑和圓心角各取什么值時，能使扇形的面積最大？最大面積是多少？【答案】當扇形的半徑為，圓心角為2弧度時，扇形的面積最大，最大面積是.【分析】設(shè)扇形的半徑是，扇形的弧長為，根據(jù)扇形的周長為30cm，則有，然后利用扇形面積公式表示扇形面積求其最值，根據(jù)弧長公式求圓心角.【詳解】設(shè)扇形的半徑是，扇形的弧長為，圓心角的弧度數(shù)是，則，.扇形的面積，可得當時，，又，所以.所以，當扇形的半徑為，圓心角為2弧度時，扇形的面積最大，最大面積是.33．（2023高三專題訓(xùn)練）已知扇形的圓心角是，半徑是，弧長為.(1)若，求扇形的面積；(2)若扇形的周長為，求扇形面積的最大值，并求此時扇形圓心角的弧度數(shù)．【答案】(1)(2)最大值為25；【分析】（1）先把角度化為弧度，再利用扇形面積公式求解即可；（2）由題意可知扇形的面積為，利用二次函數(shù)的的性質(zhì)，結(jié)合弧度的定義即可求解【詳解】（1）因為，所以扇形的面積為；（2）由題意可知：，即，所以扇形的面積為，當時，扇形面積的最大值為，此時，34．（廣東省揭陽市普通高中2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，四邊形ABCD是邊長為的正方形，P是圓弧上的動點，且，Q是線段BC上的動點.當點P固定時，點Q將運動到使取到最小值時的位置；當點Q固定時，點P將運動到使取到最大值時的位置.當某一時刻，點P，Q都不再運動，且滿足上述條件時，則（

）A． B． C．2 D．不存在【答案】A【分析】由題意點P，Q都不再運動，且滿足已知條件時，為的中點，且，則為的中點，連接交于，求出，即可得解.【詳解】當點P固定時，點Q將運動到使取到最小值時的位置，此時，，則要使當點P，Q都不再運動，且滿足題中兩個條件時，，且點離最遠，則為的中點，所以為的中點，連接交于，因為四邊形ABCD是邊長為的正方形，所以，為的中點，又因，為的中點，所以，，所以，因為為的中點，所以，所以.故選：A.35．（2023·山東濟南·濟南市歷城第二中學(xué)?？级＃┤鐖D，圓心角為的扇形的半徑為2，點C是弧AB上一點，作這個扇形的內(nèi)接矩形．(1)求扇形的周長；(2)當點C在什么位置時，矩形的面積最大？并求出面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由公式求弧AB長，即可得到周長；（2）設(shè)，即可由三角函數(shù)表示出，即可得矩形面積與的函數(shù)式，最后進行變換得，即可討論最值最值成立的條件.【詳解】（1）由題，弧AB長為，故扇形的周長為：；（2）設(shè)，則，，所以，所以矩形的面積，，所以當時，取得最大值，即當C在弧AB中點時，矩形的面積最大，最大值為.36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某企業(yè)欲做一個介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面（由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的）.已知，，線段BA，CD與，的長度之和為30，圓心角為弧度.(1)求關(guān)于x的函數(shù)表達式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問x取何值時，y的值最大？并求出最大值.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）根據(jù)扇形的弧長公式結(jié)合已知條件可得出關(guān)于、的等式，即可得出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）利用扇形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可算得，．因為，所以，所以，.（2）解：根據(jù)題意，可知，當時，.綜上所述，當時銘牌的面積最大，且最大面積為.（四）扇形弧長公式與面積公式的應(yīng)用37．（遼寧省朝陽市第一高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知扇形的面積為4，圓心角的弧度數(shù)是2，則該扇形的半徑為________．【答案】【分析】根據(jù)扇形的面積公式列式可求出結(jié)果.【詳解】依題意得，，設(shè)半徑為，由，得，得.故答案為：38．（浙江省S9聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知扇形的面積為，該扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的弧長為____________cm．【答案】【分析】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，由已知可得出，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，由已知可得，圓心角，面積，所以有，即，解得.故答案為：.39．（2023高三專題訓(xùn)練）已知扇形的周長是6cm，面積是，則扇形的中心角的弧度數(shù)是（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用扇形面積公式求出扇形所在圓半徑，再借助弧長公式求解作答.【詳解】設(shè)扇形所在圓半徑為r，則扇形弧長為，依題意，，解得或，所以扇形的中心角的弧度數(shù)是或.故選：C40．（2023山東省威海市乳山市銀灘高級中學(xué)月考）如圖，扇形AOB的面積是1，它的弧長是2，則弦AB的長為________．【答案】【分析】由扇形面積公式可得，從而求得，再根據(jù)即可求解.【詳解】由扇形面積公式，可得，解得，所以，所以.故答案為：41．（山東省濟南市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知圓錐側(cè)面展開圖的周長為，面積為，則該圓錐的體積為______．【答案】或【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐底面圓半徑、母線長，進而求出高即可計算作答.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長，則圓錐側(cè)面展開圖扇形弧長為，依題意，，即，解得或，當時，圓錐的高，體積為，當時，圓錐的高，體積為，所以該圓錐的體積為或.故答案為：或42．（山西省太原市2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，垂直于底面，，，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧的長度是弧長度的2倍，，則該曲池的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)扇形弧長公式可知弧所在圓和弧所在圓的半徑之間關(guān)系為，結(jié)合可求得，再根據(jù)柱體的體積計算公式，采用切割的方式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)弧所在圓的半徑為，弧所在圓的半徑為，因為弧的長度是弧長度的2倍，所以，即，又，則，所以該曲池的體積，故選：.考點三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用（一）利用定義求角的三角函數(shù)值43．（2023高三專題訓(xùn)練）已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)的定義求值計算作答.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，則，因此，所以.故選：B44．（山西省臨汾市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知點是角終邊上一點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函數(shù)的定義得出，利用三角恒等變換代入化簡即可.【詳解】故選：A.45．（北京市房山區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知角終邊過點，角終邊與角終邊關(guān)于軸對稱，則______；______．【答案】/0.6【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出角的正切值，得到點關(guān)于軸的對稱點，即可求得，再結(jié)合余弦的差角公式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，角終邊過點，由三角函數(shù)定義知：，，，由角終邊與角終邊關(guān)于軸對稱得角的終邊過點，所以，，故.故答案為：，.46．（四川省攀枝花市2023屆高三第三次統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)試題）已知為銳角，，角的終邊上有一點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，利用三角函數(shù)的定義可求得的值，再利用兩角和的正切公式可求得的值.【詳解】因為為銳角，，則，所以，，由三角函數(shù)的定義可得，因此，.故選：A.47．（四川省宜賓市2023屆高三下學(xué)期第二次診斷性測試理科數(shù)學(xué)試題）四邊形由如圖所示三個全等的正方形拼接而成，令，，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由正切函數(shù)的定義即可求得，再根據(jù)正切的和差公式即可求解.【詳解】依題意，設(shè)正方形的邊長為1，根據(jù)正切函數(shù)的定義有：，所以.故選：C.（二）由三角函數(shù)值求終邊上的點或參數(shù)48．（江蘇省揚州市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知角的終邊上一點，則（

）A． B．C． D．以上答案都不對【答案】C【分析】可由題意，利用坐標分別表示出，然后再計算即可得到答案.【詳解】因為角的終邊上一點，所以，，所以.故選：C.49．（河南省開封市2023屆高三第三次模擬考試理科數(shù)學(xué)試題）設(shè)α是第二象限角，P（x，1）為其終邊上一點，且，則tanα=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的定義先解得，再求正切值即可.【詳解】由三角函數(shù)定義可知：，又α是第二象限角，故，所以.故選：B50．（2023高三專題訓(xùn)練）已知角的終邊經(jīng)過點，且，求的值.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義列式求解即可.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，且，所以由三角函數(shù)的定義可得，即，解得，所以，，，所以，51．（北京市八一學(xué)校2023屆高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知角終邊經(jīng)過點，且，則的值為_________．【答案】/【分析】根據(jù)終邊所過點和任意角三角函數(shù)定義直接求解即可.【詳解】，，.故答案為：.52．（2023高三專題訓(xùn)練）已知角的終邊過點，若，則實數(shù)m的值為（

）A． B．4 C．或3 D．或4【答案】D【分析】先根據(jù)二倍角公式求出，再利用三角函數(shù)的定義可求答案.【詳解】因為，所以，所以，解得．