高中數(shù)學(xué)試題分類匯編(易錯(cuò)易混易忘)

高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯編

“會(huì)而不對，對而不全”一直以來成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的

痛，如何解決這個(gè)問題對決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。木文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)

驗(yàn)精心挑選學(xué)生在考試中常見的66個(gè)易錯(cuò)、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點(diǎn)和重

點(diǎn)，做到力避偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這

樣的問題在高考中確實(shí)存在，另一方面通過作針對性練習(xí)幫你識破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)到授

人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實(shí)現(xiàn)自一的理想報(bào)負(fù)。

【易錯(cuò)點(diǎn)1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。

例1、設(shè)4={田尤2-8》+15=0},6={xlax—1=0},若4門6=6,求實(shí)數(shù)a組成的集合的子

集有多少個(gè)？

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題由條件AC8=8易知8CA，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極

易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。

解析：集合A化簡得A={3,5},

由4口6=8知8=A，

故(I)當(dāng)8=。時(shí)，即方程ax-1=0無解，此時(shí)a=0符合已知條件

(11)當(dāng)時(shí)，即方程ax—1=0的解為3或5,代入得或(。

綜上滿足條件的a組成的集合為lo,g,,故其子集共有23=8個(gè)。

I【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】(1)在應(yīng)用條件人口1?=13=八("^=八=人￡B時(shí)，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)；

思想，將集合A是空集中的情況優(yōu)先進(jìn)行討論.

(2)在解答集合問題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對集合元素

的限制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合

:語言(數(shù)學(xué)語言)和自然語言之間的轉(zhuǎn)化如：A={(x,y)lx2+/=4},

:B={(x,y)l(x-3『+(y-4)2=/},其中r>0,若=0求r的取值范圍。將集合所表達(dá)的：

數(shù)學(xué)語言向自然語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合A表示以原點(diǎn)為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以(3,4)|

為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)兩圓無公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，求半徑r的取值范圍。思維馬上就|

：可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外如不等式的解集等也要注意集合語言的應(yīng)用。

【練1】已知集合4={》1/+4工=0}、fi={xlx2+2(a+l)x+a2-l=0},若BqA,則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是。答案：。=1或?！匆?。

【易錯(cuò)點(diǎn)2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。

2

例2、已知(X+2)2+"=1,求+y2的取值范圍

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的函數(shù)最值求解，但極易忽

略X、y滿足(x+2/+?=1這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。

解析：由于(x+2y+?=l,得(X+2)2=1-?W1,

從而x'+yJ-3x"T6x-12二+——，

3

因此當(dāng)x=T時(shí).x2+y2有最小值1,

QOR

當(dāng)時(shí)，x?+y2有最大值上。

33

故x，y2的取值范圍是[1,—]

3

2【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上我們可以從解析幾何的角度來理解條件(x+2)2+工=1對x、y的限制，

24W

ii

;顯然方程表示以(-2,0)為中心的橢圓，則易知-3WxW-L-2<y<2o此外本題還可通過三角換:

|元轉(zhuǎn)化為三角最值求壁____________\

【練2】(05重慶卷)若動(dòng)點(diǎn)(x,y)在曲線巧+￡=1僅>0)上變化，則爐+2)，的最大值為()

b234、[b1、

---F4(0</?<4)---F4(0</?<2)b?

(A)《4')(B)<4')(C)—+4(D)2b

4

答案：A

.T-]

例3、f(x)=—a—i■是R上的奇函數(shù),

V'1+2'

（1）求a的值（2）求的反函數(shù)/T（X）

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。

解析：(1)利用/(x)+/(—x)=0(或/⑼=0),求得a=L

(2)由a=l,即

設(shè)y=/(x),則2"(1-y)=1+y,

]+—

1-v

由于yWl,故2"=——,x=log2,

i-y

2'—12

而=-----=1-----------6(-1,1),

“)21+12'+1V7

1+X

|_Jt

所以f~'(x)=log2(-l<x<1)

:【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在

：反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義域?yàn)镽可省略）。

I

i（2）應(yīng)用f\b）=a=/（a）=匕可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和

:函數(shù)值要互換。

【練3】（2004全國理）函數(shù)〃x）=J=+l（x?l）的反函數(shù)是（）

A、y=x2-2x+2(x<1)B、y=x2-2x+2(x>1)

C、y=x2-2x(x<1)D、y=x2-2x(x>1)

答案：B

［【易錯(cuò)點(diǎn)4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯(cuò)位

1-?r

例4、已知函數(shù)〃x)=-----,函數(shù)y=g(x)的圖像與y=/T(x-l)的圖象關(guān)于直線y=x對

1+x

稱，則y=g(x)的解析式為。

,3-2x2—x八/\1-xh/\3

A、g(x)=:——B、g(x)=C、g(x)=二D、g。)—

X1+x

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】解答本題時(shí)易由了=8(》)與丁=廣|(彳一1)互為反函數(shù)，而認(rèn)為y=/T(X—1)的

3-2r

反函數(shù)是,=/(x-l)貝Uy=g(x)=/(x_l)==--7------=而錯(cuò)選A0

1+(x-l)X

解析：由■得/T(x)=2±，從而y=/T(x_i)=；J；

1+x2+x2+(-1)1+x

再求y=/T(X—1)的反函數(shù)得8(k)=公。正確答案：B

【知識點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)y=/T(X—1)與函數(shù)y=/(無—1)并不互為反函數(shù),他只是我示廣|(X)中:

I

X用X-1替代后的反函數(shù)值。這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過程來看：設(shè)y=/(x—l)則/T(y)=x—1,:

x=/T(y)+l再將x、y互換即得y=/(x-l)的反函數(shù)為y=/T(x)+l,故y=/(x—l)的反j

函數(shù)不是丁=/''(x-1),因此在今后求解此題問題時(shí)一定要謹(jǐn)慎。

【練4X2004高考福建卷)已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f'(x),則函數(shù)y=f'(1-x)的圖象是()

￡【易錯(cuò)點(diǎn)5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱。3

1g。-X?)

例5、判斷函數(shù)/(幻的奇偶性。

|x-2|-2

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解:H/(x)從

而得出函數(shù)/(，為非奇非偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。

l-x2>0

解析：由函數(shù)的解析式知x滿足(,

卜-2卜±2

即函數(shù)的定義域?yàn)?-1,0)U(0,1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

1g(1-%2)

在定義域下〃-----^易證=即函數(shù)為奇函數(shù)。

一x

\【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在;

I判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。j

;(2)函數(shù)/(x)具有奇偶性，則/(x)=/(-x)或"x)=-/(—x)是對定義域內(nèi)x的恒等式。常常;

ii

(_利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值。I

【練5】判斷下列函數(shù)的奇偶性:

1+sinx+cosx

①/(x)=A/4-X2+Vx2-4②小)=(-)/③/(x)=

1+sinx-cosx

答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)

【易錯(cuò)點(diǎn)6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過程繁鎖。

例6、函數(shù)“X）=log2五石［x<—g或X>R的反函數(shù)為/T（x）,證明/T（x）是奇函數(shù)且在其定

義域上是增函數(shù)。

【思維分析】可求/T（X）的表達(dá)式，再證明。若注意到了T（X）與/（X）具有相同的單調(diào)性和奇偶性,

只需研究原函數(shù)/（X）的單調(diào)性和奇偶性即可。

-2xT2x+l2--1

2A+l2x-12A+,

解析：f（-x）=log2_=log2=-log2=-/（x）,

故/（x）為奇函數(shù)從而/T（尤）為奇函數(shù)。

又令’=在卜°'一￡|和6'+8）上均為增函數(shù)且，T°g；為增函數(shù)'

故/（x）在1―8,-；）和（；，+8）上分別為增函數(shù)。

故/T（X）分別在（0，+8）和（-8,0）上分別為增函數(shù)。

；【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對于反函數(shù)知識有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。（2）奇：

函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。（3）定義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不存I

,在反函數(shù)。（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。I

\即/T（b）=aof（a）=b。

【練6】(1)(99全國高考題)已知/(x)=——，則如下結(jié)論正確的是()

A、/(x)是奇函數(shù)且為增函數(shù)B、/(x)是奇函數(shù)且為減函數(shù)

C、/(x)是偶函數(shù)且為增函數(shù)D、“X)是偶函數(shù)且為減函數(shù)

答案：A

(2)(2005天津卷)設(shè)/i(x)是函數(shù)=(a>1)的反函數(shù)，則使廣(x)>1成立的x的

/72_12_12_i

取值范圍為()A、(-----,4-00)B、(—8,-a----)C、(-a----,a)D、(a,+oo)

2a2a2a

答案：A(a>l時(shí)，〃x)單調(diào)增函數(shù)，所以廣(x)>i=〃廣(x))>〃l)ox>〃l)=啜.)

【易錯(cuò)點(diǎn)7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。

例7、試判斷函數(shù)/(x)=ax+2(〃>0,b>0)的單調(diào)性并給出證明。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義

XleD,x2eD/'(xj>/(x2)(/(xj</(々))中的花,馬的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)

定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識。

解析：由于/(-x)=-/(x)即函數(shù)“X)為奇函數(shù)，

因此只需判斷函數(shù)/(X)在(0,+8)上的單調(diào)性即可。

設(shè)玉>工2>0，/(』)-/(%2)=($一/嚴(yán),b

x2

由于玉一9>0,

故當(dāng)斗,％2e(\R+8時(shí)/(斗)一/(工2)>。，此時(shí)函數(shù)/(x)在(、月+8]上為增函數(shù),

同理可證函數(shù)“X)在上為減函數(shù)。

又由于函數(shù)為奇函數(shù)，

故函數(shù)在(-J],0為減函數(shù)，在—、

為增函數(shù)。

7

,【知識歸類點(diǎn)拔】(1)函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，

I應(yīng)引起足夠重視。

；(2)單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式：/(x)在［a,句上是增函數(shù)Q(乜)〉0,/(x)在

［a,"上是減函數(shù)=/(“)一/(々)<0,這表明增減性的幾何意義：增(減)函數(shù)的圖象上任意兩

玉~X2

點(diǎn)(西,/(芭)),(》2，/(々))連線的斜率都大于(小于)零。

(3)/(x)=ax+2(a>0,b>0)是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中

X

不能說/(x)在-8,

\述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號“U”和“或”，

1—X

【練7】(1)(濰坊市統(tǒng)考題)/(x)=ax+——(a>0)(1)用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)”X)在(0,+8)

ax

上的單調(diào)性。

(2)設(shè)/(x)在0<x《l的最小值為g(a),求y=g(a)的解析式。

答案：(1)函數(shù)在值,一1為增函數(shù)在(0」］為減函數(shù)。(2)y=g⑷=，-

\aJya)/八

(2)(2001天津)設(shè)。>0且〃x)=J+巴為R上的偶函數(shù)。

aex

(1)求a的值(2)試判斷函數(shù)在(0,+8)上的單調(diào)性并給出證明。

答案：(1)a=l(2)函數(shù)在(0,+8)上為增函數(shù)(證明略)

【易錯(cuò)點(diǎn)8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致

錯(cuò)誤結(jié)論。

例8、(2004全國高考卷)已知函數(shù)”工)=以3+3》2—x+1上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】/'(x)＜0(xe(。⑼)是/(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程

中易誤作是充要條件，如/(》)=一/在R上遞減，但/(工)=一3爐＜0。

解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/(x)=3af+6x-l

(1)當(dāng)廣(x)＜0時(shí)，/(光)是減函數(shù)，貝|」/'(')=3。/+6X一1＜0(1€/?),故＜解得。＜一3。

(1A3Q

(2)當(dāng)〃二一3時(shí)，/(x)=-3x3+3x2-x+1=-3x——+—易知此時(shí)函數(shù)也在R上是減函數(shù)。

、3J9

(3)當(dāng)。＞一3時(shí)，在R上存在一個(gè)區(qū)間在其上有廣(x)＞0,

所以當(dāng)。＞—3時(shí)，函數(shù)“X)不是減函數(shù)，

綜上，所求a的取值范圍是(-巴—3］。

：【知識歸類點(diǎn)拔】若函數(shù)/(x)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明：

:①/'(x)>0與/(x)為增函數(shù)的關(guān)系：/(x)>0能推出/(x)為增函數(shù)，但反之不一定。

:j

如函數(shù)/(X)=/在(一8,+8)上單調(diào)遞增，但/'(X)>0,

.../'(X)>0是/(X)為增函數(shù)的充分不必要條件。

:②/'(x)HO時(shí)，/'(x)>0與/(x)為增函數(shù)的關(guān)系：

若將/'(x)=0的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定/'(x)HO,即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)/(x)為增函數(shù)，:

：就一定有了'(X)>0。

，當(dāng)廣(x)H0時(shí)，/'*)>0是/(x)為增函數(shù)的充分必要條件。

:i

:③/(無)20與/(x)為增函數(shù)的關(guān)系：/(x)為增函數(shù)，一定可以推出廣(x)20,但反之不一定，

因?yàn)閺V(x)20,即為廣(x)>0或/(x)=0。

當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有/'(x)=0,則/(x)為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。

/'(x)20是/(x)為增函數(shù)的必要不充分條件。

,函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)?條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，|

i用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間,?

避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題,要謹(jǐn)慎處理。

因此本題在第一步后再對a=-3和。>-3進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充|

分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程

中注意思維的嚴(yán)密性。

【練8】（1）（2003新課程）函數(shù)>=/+/^+。（》€(wěn)（0,+8））是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）

A、b>QB、b<0C、b>0D、b<0

答案：A

2i

（2）是否存在這樣的K值，使函數(shù)/（x）=女2/一心;2+2x+g在（1,2）上遞減，在（2,+8）上

遞增？

答案：k=g。（提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知/'（2）=0,但/'（2）=0是函數(shù)在（1,2）上遞減，

在（2,+8）上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由/'（2）=0求出K值后要檢驗(yàn)。）

【易錯(cuò)點(diǎn)9】應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時(shí)的

［變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。

例9、已知：a>0,b>0,a+b=l,求（a+'）2+（b+—>的最小值。

ab

錯(cuò)解:(a+—)2+(b+—)2=a2+b2+上+與+422ab+—+424

+4=8

aba，b~ab

.?.(a+1)2+(b+L)2的最小值是8

ab

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b222ab,第一次等號成立的條件是a=b=l,

2

第二次等號成立的條件ab=」-,顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。

ab

解析：原式二a2+b2++4=(a2+b2)+(+-\r)+4=[(a+b)2-2ab]+[(—+—)2--]+4

a2b2a2h2abab

=(l-2ab)(l+-^-)+4

a2b2

由abW("2)2=,得：i-2ab》l-L=L，且/v216,1+」^217

2422a2b°a2b2

???原式2上1X17+4=巴25(當(dāng)且僅當(dāng)"b二1上時(shí)，等號成立)

222

1]25

???(a+-)2+(b+上)2的最小值是—o

ab2

I【知識歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即“一正、二定、I

VY

［三相等”，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)。j

【練9】（97全國卷文22理22）甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過

ckm/h，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v

（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。

（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

答案為：⑴y=-^bv2+6（）（0<v<c）

（2）使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)怖<c時(shí)，行駛速度丫=機(jī)；當(dāng)聆>c時(shí)，行駛速度丫氣。

【易錯(cuò)點(diǎn)10］在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)、沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識和易忽略

I

對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。

例10、是否存在實(shí)數(shù)2使函數(shù)”工）=108尸7在［2,4］上是增函數(shù)？若存在求出a的值，若不存在,

說明理山。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過程中易忽略

對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴(kuò)大。

解析：函數(shù)/（無）是由0（x）="2-X和y=log/⑴復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法

（1）當(dāng)a>l時(shí)，若使/（力=小尸-*在［2,4］上是增函數(shù)，

［±<2

則。（力=辦2-x在［2,4］上是增函數(shù)且大于零。故有｛2。一,解得a>l。

［。⑵=44-2>0

（3）當(dāng)a<l時(shí)若使〃尤）=log嚴(yán)-，在［2,4］上是增函數(shù)，

［±>4

則。（》）=辦2-工在［2,4］上是減函數(shù)且大于零。故有｛2&,不等式組無解。

0（4）=16a-4>0

綜上所述存在實(shí)數(shù)2>1使得函數(shù)/（司=108/2-，在［2,4］上是增函數(shù)

:【知識歸類點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號，j

二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號及對稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其

底數(shù)的范圍（大于1還是小于1）,特別在解決涉及指、對復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)要樹立分類討論

的數(shù)學(xué)思想(對數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制)。

【練10](1)(黃崗三月考變式題)設(shè)。>0,且試求函數(shù)y=log“4+3x-%2的的單調(diào)區(qū)間。

答案：當(dāng)0<。<1,函數(shù)在上單調(diào)遞減在|,4)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>l函數(shù)在1―1,1上單調(diào)遞增在4)上單調(diào)遞減。

(2)(2005高考天津)若函數(shù)〃x)=log“(x3-回(。>0,。川在區(qū)間(一；,0)內(nèi)單調(diào)遞增，貝股的

1399

取值范圍是()A>[-,1)B、[[[)C、(-,+-)D、(1,-)

答案：B.(ifig(x)=x*123-ax,則g'(x)=3f_a

當(dāng)a>l時(shí)，要使得〃x)是增函數(shù)，則需有g(shù)'(x)>0恒成立，所以=1.矛盾.排除C、D

當(dāng)0<〃<1時(shí)，要使〃x)是函數(shù)，則需有g(shù)'(x)<0恒成立，所以。排除A)

【易錯(cuò)點(diǎn)11】用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性.

1)

例11、已知sinx+siny=§求siny-cos-x的最大值

[易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過條件sinx+siny=；將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的函數(shù)，進(jìn)而利用換

元的思想令f=sinx將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造

成錯(cuò)解，

解析：由已知條件有siny=§-sinx且siny=§-sinxw[-1,1]

2

(結(jié)合sinxw<sinx<1,

-r—.21?2?2?2

而siny-cosx-——sinx-cosx-=sin-x-sinx—

33

令f=sin<r<1],則原式二/—'—g工，"1:

224

根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)/二一一,即sinx=-一時(shí)，原式取得最大值一。

339

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是

提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式

子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)

鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去

研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量

代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論

;里系型來二或者里力熟啰的一形史..把"雜網(wǎng)計(jì)算刊超證簡生。

【練11](1)(高考變式題)設(shè)a>0,000求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a2的最大值和最

小值。

叵、

1-(0<a<-)

答案：￡6）的最小值為一222—2行2—5,最大值為＜

-2a2+2>f2a--(a2——■)

122

（2）不等式?。綼x+3的解集是（4,b）,則2=,b=。

2

答案：。="力=36（提示令換元五=f原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為（2,、歷卜

【易錯(cuò)點(diǎn)12］已知S“求a”時(shí)，易忽略n=1的情況.

例12、（2005高考北京卷）數(shù)列｛a“｝前n項(xiàng)和s“且q=1,a“+i=gs“。（1）求的9，4的值及數(shù)列｛4“｝

的通項(xiàng)公式。

［易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用,與an的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為an=sn-5?_,對于任意n值都成立，忽略了對n=l

的情況的驗(yàn)證。易得出數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。

解析：易求得電='，%='，。4=3。

3927

由％=1，%+I=,得%=；邑1(〃？2)

1114

故=gs,=-??(?>2),得?！?|=§?！?〃22)

l(n=1)

故該數(shù)列從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列故='1n-2

I(〃？2)

S[(n=1)

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對于數(shù)列?！芭c，之間有如下關(guān)系：%='\、利用兩者之間的關(guān)系

G—-(鹿？2)

可以已知s“求4o但注意只有在當(dāng)4適合4=s,22)時(shí)兩者才可以合并否則要寫分段函

數(shù)的形式。

【練12](2004全國理)已知數(shù)列｛%｝滿足％=l,a“=q+24+3%+…+(〃-1)?！癬1(〃12)則

數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)為

1(/7=1)

答案：(將條件右端視為數(shù)列｛〃?！埃那皀-1項(xiàng)和利用公式法解答即可)a,,

*2)

【易錯(cuò)點(diǎn)13】利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集

尊多于集(叢1開始)

例13、等差數(shù)列｛6,｝的首項(xiàng)外>0,前n項(xiàng)和s“，當(dāng)/Wm時(shí)，5,“=*問n為何值時(shí)最大？

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的

最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。

解析：由題意知s“=/(〃)=〃％+〃(7)真二#+[一?)〃，此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù),

因?yàn)閝>0,當(dāng)/工加時(shí)，故dvO,即此二次函數(shù)開口向下，

故由/(/)=/(M得，當(dāng)》=等時(shí)“X)取得最大值，

但由于〃eN+,故若/+機(jī)為偶數(shù)，當(dāng)“=時(shí)，s“最大?

若/+機(jī)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)“二，十'；一]時(shí)S”最大。

:【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集(從1開始):

上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識解決問題。特別的等差數(shù)列的前n

:項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如s“=。〃2+而所對應(yīng)的數(shù)列也必然是等

:差數(shù)列的前n項(xiàng)和。此時(shí)由皂=知數(shù)列中的點(diǎn)（〃,紅］是同一直線上，這也是一個(gè)很重要的結(jié)

nynJ

I論。此外形如前n項(xiàng)和％=ca"—c所對應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。

【練13］（2001全國高考題）設(shè)｛4,｝是等差數(shù)列，S“是前n項(xiàng)和，且$5<$6,$6=$7>$8,則下列

結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A、d<0B、%=°c>59>55D、$6和$7均為S"的最大值。

答案：C（提示：利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合單調(diào)性

解答）

「；mm%薪薪嬴晟mm贏嬴忘而藤嬴贏薪飛贏熹贏￡］

3

例14、已知關(guān)于的方程f—3x+a=0和x2—3x+b=O的四個(gè)根組成首項(xiàng)為二的等差數(shù)列，求

4

a+b的值。

【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)

是如何排列的。

3

解析：不妨設(shè)二是方程f-3x+a=0的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方

4

程Y-3x+a=0的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng),而方程f-3x+b=0的兩根是等差數(shù)列的中間

3579773531

兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為：1,±乙,=故。=二力=3從而。+/?=乙。

44,4416168

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列：

的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對于箜差數(shù)列｛%｝,若“+加=p+q,則an+am=ap+aq；

對于等比數(shù)列｛??｝,若〃+m=〃+v，則an-am=au-av；若數(shù)列｛“”｝是等比數(shù)列，S”是其前n項(xiàng)

的和，kwN",那么4,S2k-Sk,S3A-S線成等比數(shù)列；若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S,,是其前n項(xiàng)

的和，kwN*,那么臬，S2k-Sk,S3.-$2“成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用。

【練14］（2003全國理天津理）已知方程/-2了+加=0和/-2犬+〃=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)

為的等差數(shù)列，

L則帆一司二（)

4

33

A、1B、-C.11)、

428

答案：c

【易錯(cuò)點(diǎn)15］用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比q=1的情況

例15、數(shù)列｛%｝中，?,=1,%=2,數(shù)列｛%二,川｝是公比為q（4>0）的等比數(shù)列。

（I）求使%?！?|+?！?|*+2>。”+2?！?3成立的q的取值范圍；

（II）求數(shù)列求“｝的前2〃項(xiàng)的和S2”.

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和易忽略公比q=l的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤。再者學(xué)生沒

有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列｛%-a,l+l｝是公比為q（q>0）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成

等比數(shù)列而找不到解題突破口。使思維受阻。

解：（I）?.?數(shù)列｛%?a“+J是公比為q的等比數(shù)列，

.2

??〃什1%+2=anan+\Cl9〃”+2%+3=%?！?1夕，

aa

由?n+y+。“+囚“+2>?！?2%+3，得%%+】+%%+闖>%%+國2n1+q>/，

即q2_q_］<（）（q〉O）,解得

（II）由數(shù)列｛%?%+』是公比為q的等比數(shù)列，得七+必"+2=q=S=q,

這表明數(shù)列｛%｝的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是q,

又Q]=l,。2=2,

?二當(dāng)qW1時(shí)，S9n=Q[++。3+。4+…+。2〃-1+。2〃

=(6Z|++〃3+…?+4“)+(。2+。4+〃6+??,+)

_%(1—Q%(./)_3(1—Q

-I-，

\-q\-q\-q

當(dāng)4=1時(shí)，$2〃=。[+〃2+。3+。4-----a2n-\+。2〃

=(6Z|++Q3+,??+)+(〃2+〃4+〃6+???+。2n)

=(1+1+1+—+1)+(2+2+2+..?+2)=3〃.

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中吐=q是解題的關(guān)鍵，這種給出

an

數(shù)列的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個(gè)數(shù)列成

等比數(shù)列，解題時(shí)要慎重，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論.對等比數(shù)列的求和一定要注

意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生產(chǎn)生對現(xiàn)而不全的錯(cuò)誤。

【練15］（2005高考全國卷一第一問）設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為q,前n項(xiàng)和sa>0（1）求q的取

值范圍。答案：（—i,o）U（o,+8）

【易錯(cuò)點(diǎn)16】在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和不會(huì)采用錯(cuò)項(xiàng)

相減法或解答結(jié)果不到位。

例16、.（2003北京理）已知數(shù)列｛。“｝是等差數(shù)列，且q=2,4+%+%=12

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式，（2）令"=%x"（xeR）求數(shù)列也｝前項(xiàng)和的公式。

【思維分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式再由數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列也｝是

一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求和。

解析：（1）易求得a“二2〃

（2）由（1）得b”=2nxn令,=2x+4x2+6x3+...+2nxn（I）

則xs〃=2/+4/+...+2（〃-1）+2nxH+,（II）

用（I）減去（11）（注意錯(cuò)過一位再相減）得（1一1）$“=21+2/+213+3+2/-2加山

2x(l-xn)

當(dāng)xwl=———-----1--nx^

1—x1—X

當(dāng)x=l時(shí)s“=2+4+6+…+2”=〃(〃+l)

2「x(l-x")

綜上可得：當(dāng)X。1s“=———-------nx"+',

1—X1-X

當(dāng)x=1時(shí)s“=2+4+6+…+2〃=〃(〃+1)

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】一般情況下對于數(shù)列｛%｝有％=。也其中數(shù)列｛?｝和也｝分別為等差數(shù)列和

等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和可通過在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯(cuò)過一項(xiàng)相減的

方法來求解，實(shí)際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例。

【練161(2005全國卷一理)已知“"=a"+a"~'b+a""2b2+...+ab"~l+b"N+,a>0,匕>0)當(dāng)

a=b時(shí)，求數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和sn

(n+l]an+2~(n+2]an+'-a2+2a〃(〃+