高中數(shù)學(xué)-平均變化率教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

平均變化率一一課標(biāo)分析

本節(jié)課是人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章第一節(jié)《變化率與導(dǎo)數(shù)》的起始課程，新課標(biāo)

的要求是：通過大量實例的分析，經(jīng)歷從平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解平均變

化率概念的實際背景、幾何意義，通過實例，讓學(xué)生明白變化率在實際生活中的需要，探究

和體驗平均變化率的實際意義和數(shù)學(xué)意義；掌握平均變化率的概念及其計算步驟，體會逼近

的思想和用逼近的思想思考問題的方法；掌握求函數(shù)在指定區(qū)間上的平均變化率，能利用平

均變化率解析生活中的實際問題；通過分析實例，初步探究由平均變化率過渡到瞬時變化率

的過程，讓學(xué)生體會用己知探究未知的思考方法。

《平均變化率》教材分析

本節(jié)課內(nèi)容是人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章《變化率與導(dǎo)數(shù)》第一節(jié)，為了描述現(xiàn)

實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù).隨著對函數(shù)的深入研究，產(chǎn)生

了微積分.導(dǎo)數(shù)概念是微積分的基本概念之一，導(dǎo)數(shù)是對事物變化快慢的一種描述，是研究

客觀事物變化率和優(yōu)化問題的有力工具。理解和掌握導(dǎo)數(shù)的思想和本質(zhì)顯得非常重要，正如

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）解讀》中所說的，以前是，“先講極限概念，把導(dǎo)數(shù)作為一種特殊

極限來講，于是，形式化的極限概念就成了學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙，嚴(yán)重影響了對導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)

的認(rèn)識和理解”；“這樣造成的結(jié)果是：因為存在著夾生飯現(xiàn)象，大學(xué)不歡迎；中學(xué)感受不到

學(xué)導(dǎo)數(shù)的好處，反而加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，因此也不歡迎?！惫蕿榱俗寣W(xué)生充分認(rèn)識導(dǎo)數(shù)的思

想和本質(zhì)，先要理解和掌握平均變化率的概念。在設(shè)計這節(jié)課時，我把重點放在（1）通過

大量實例，讓學(xué)生明白變化率在實際生活中的需要，探究和體驗平均變化率的實際意義和數(shù)

學(xué)意義；（2）掌握平均變化率的概念，體會逼近的思想和用逼近的思想思考問題的方法。

《平均變化率》學(xué)情分析

本課時面對的學(xué)生是高二年級的學(xué)生,數(shù)學(xué)表達能力和邏輯推理能力正處于高度發(fā)展的

時期，學(xué)生對探索未知世界有主動意識，對新知識充滿探求的渴望。我們學(xué)校是我市的重點

學(xué)校，本班學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好，自主學(xué)習(xí)的能力較強，對于函數(shù)的知識掌握的比較扎實，并

且在學(xué)習(xí)中嘗試使用了“自主探究、小組合作”學(xué)習(xí)法，學(xué)生能夠做到動腦、動手，積極參

與課堂。課前要求學(xué)生進行預(yù)習(xí)，認(rèn)真思考課本中的“思考、探究”等欄目，琢磨一下出題

人的設(shè)計意圖，真正從本質(zhì)上理解知識。

《平均變化率》教學(xué)設(shè)計

課題：1.1.1平均變化率

教學(xué)目標(biāo)：

1、知識目標(biāo)：通過生活實例使學(xué)生理解函數(shù)增量、函數(shù)的平均變化率的概念；

掌握求簡單函數(shù)平均變化率的方法，會求函數(shù)的平均變化率；

理解函數(shù)的平均變化率的含義，引出函數(shù)的瞬時變化率概念，簡單應(yīng)用

為下一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

2、能力目標(biāo)：使學(xué)生在研究過程中熟悉數(shù)學(xué)研究的途徑：背景——數(shù)學(xué)表示一一應(yīng)用，

培養(yǎng)學(xué)生獨立思考，解決問題的能力和在生活中建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)理

論解釋生活問題、應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

3、情感目標(biāo)：使學(xué)生通過學(xué)習(xí)，了解簡單的情景蘊涵建立模型解決問題的一般思想方法，

鼓勵學(xué)生主動探究、不懼困難，勇于挑戰(zhàn)自我的思想品質(zhì)。并養(yǎng)成學(xué)生探究

—總結(jié)型的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

教學(xué)重點：函數(shù)自變量的增量、函數(shù)值的增量的理解

函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率的理解和簡單應(yīng)用。

教學(xué)難點：函數(shù)平均變化率轉(zhuǎn)化為瞬時變化率的理解。

教學(xué)方法：例舉分析——歸納總結(jié)——實際應(yīng)用

教學(xué)過程：

一、引入：

1、情境設(shè)置：(圖片)巍峨的珠穆朗瑪峰、攀登珠峰的隊員兩幅陡峭程度不同的圖片

2、問題：當(dāng)陡峭程度不同時，登山隊員的感受是不一樣的，如何用數(shù)學(xué)來反映山勢的

陡峭程度，給我們的登山運動員一些有益的技術(shù)參考呢？

3、引入：讓我們用函數(shù)變化的觀點來研討這個問題。

二、例舉分析：

(-)登山問題

例：如圖，是一座山的剖面示意圖:A是登山者的出發(fā)點,H是山頂，登山路線用y=f(x)表

示

問題：當(dāng)自變量X表示登山者的水平位置,函數(shù)值y表示登山者所在高度時，陡峭程度應(yīng)怎

樣表示？

分析：1、選取平直山路AB放大研究

若4%,%）,B（xl,y1）

自變量x的改變量：Ax=%,-x（

函數(shù)值y的改變量：Ay=J,-y

直線AB的斜率：______

%!-x0Ax

說明：當(dāng)?shù)巧秸咭苿拥乃骄嚯x變化量一定（Av為定值）時,

垂直距離變化量（Ay）越大，則這段山路越陡峭;

2、選取彎曲山路CD放大研究

方法：可將其分成若干小段進行分析：如CD,的陡峭程度可用直線C?的斜率表示。（圖略）

結(jié)論：函數(shù)值變化量（Ay）與自變量變化量（Ax）的比值電反映了山坡的陡峭程度。

各段的”不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在這段山路上的平均變

Ax

化量不同。當(dāng)包越大，說明山坡高度的平均變化量越大，所以山坡就越陡；當(dāng)包

AxAr

越小，說明山坡高度的平均變化量小，所以山坡就越緩。

所以，絲=一一高度的平均變化成為度量山的陡峭程度的量，叫

M-一4

做函數(shù)f（x）的平均變化率。

三、函數(shù)的平均變化率與應(yīng)用。

（一）定義：已知函數(shù)y=/（x）在點x=x（）及其附近有定義,

令A(yù)r=x—*0；

xx

'一No=/(x)-f(o)=f(o+Ax)-/(x0)o

則當(dāng)?,0時，比值出“2二”

AxAx

叫做函數(shù)y=/(x)在X。到X。+Ar之間的平均變化率。

例2.某市2004年4月20日最高氣溫為33.4℃,而此前的兩天，4月19日和4月18日

最高氣溫分別為24.4℃和18.6C,短短兩天時間，氣溫“陡增”14.8℃,悶熱中的

人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是，如果我們將該市2004年3月18日最高氣

溫3.5℃與4月18日最高氣溫18.6℃進行比較，我們發(fā)現(xiàn)兩者溫差為15.PC,甚至

超過了14.8℃,而人們卻不會發(fā)出上述感嘆。這是什么原因呢？原來前者變化得“太

問題：當(dāng)自變量t表示由3月18日開始計算的天數(shù)，T表示氣溫，記函數(shù)T=g(f)表示溫

度隨時間變化的函數(shù)，那么氣溫變化的快慢情況應(yīng)當(dāng)怎樣表示？

分析：如圖：1、選擇該市2004年3月18日最高氣溫3.5℃與4月18日最高氣溫18.6C進

行比較，4=30,AT=18.6—3.5=15.1°。，由此可知竺x0.5033；

2、選擇該市2004年4月18日最高氣溫18.6°C與4月20日33.4°C進行比較，

△t=2,AT=33.4-18.6=14.8℃,由此可知竺a7.4

△t

結(jié)論：函數(shù)值的平均變化率里反映了溫度變化的劇烈程度。

各段的竺不同反映了溫度變化的劇烈程度不同，也就是氣溫在這段時間內(nèi)的平均變

△t

化量不同。當(dāng)竺越大，說明氣溫的平均變化量越大，所以升溫就越快；當(dāng)A工越小，

AzAr

說明氣溫的平均變化量小，所以升溫就越緩。

(三)課堂練習(xí)：

甲乙二人跑步路程與時間關(guān)系以及百米賽跑路程和時間的關(guān)系分別如圖

(1)(2)所示，試問：(1)甲乙二人哪一個跑得快？

(2)甲乙二人百米賽跑，快到終點時，誰跑得比較快

四、瞬時變化率以及應(yīng)用:

平均變化率包

變化區(qū)間自變量改變量Ax

Ax

(1,1.1)0.12.1

(1,1.01)0.012.01

(1,1.001)0.0012.001

例3：(1,1.0001)0.00012.0001已知函數(shù)

/(x)=/?????????計算函數(shù)在

下列區(qū)間上的平均變化率。

解：函數(shù)/(X)=X2的平均變化率計算公式為：

+Ar)-/(/)=(/+Ax)2-焉

-2"O12x結(jié)論：當(dāng)時間間隔越來越小(At趨于0)時,

平均變化率趨于常數(shù)2

例4：一個小球自由下落，它在下落3秒時的速度是多少？

解：自由落體的運動公式是s=；g產(chǎn)(其中g(shù)是重力加速度).

當(dāng)時間增量A很小時，從3秒到(3+Af)秒這段時間內(nèi)，小球下落的快慢變化不大.

因此，可以用這段時間內(nèi)的平均速度近似地反映小球在下落3秒時的速度.

從3秒到(3+Ar)秒這段時間內(nèi)位移的增量：

△s=5(3+加)-5(3)=4.9(3+Ar)2-4.9x32=29.4Ar+4.9(Af)2

一一Av

從而，V=—=29.4+4.9Ar.

Ar

結(jié)論：4越小，生越接近29.4米/秒

當(dāng)加無限趨近于0時，生無限趨近于29.4米/秒.

（一）定義:

設(shè)函數(shù)y=/（x）在與附近有定義，當(dāng)自變量在x=/附近改變Ax時,

函數(shù)值相應(yīng)地改變M=/（x0+Ax）-/（x0）

如果當(dāng)時，平均變化率-&+以）—/（勺）趨近于一個常數(shù)/,

Ax

則數(shù)稱為函數(shù)/（X）在點X。處的瞬時變化率。

（二）函數(shù)瞬時變化率的應(yīng)用：

例：設(shè)一個物體的運動方程是：S（f）=iv+gaf2,其中V。是初速度，時間單位為s,

求：t=2s時的瞬時速度（函數(shù)s（t）的瞬時變化率）。

角星.△$—s（'o+△＞）——$（，））

△t△,

,1,717

Fv0（z0+△，）+—+Az）~]—+萬at%]

__乙乙

△t

=%+at0+—a\t

.」=2s時，瞬時速度是%+2a

五、課堂小結(jié)：

函

函

數(shù)

數(shù)

的

的

瞬

平Ax趨近于0

時

均

變

變

化

化

率

率

/(/+Ar)-"/)

Ax

六、布置作業(yè)：課本:預(yù)習(xí):

《平均變化率》評測練習(xí)

一、填空題

1.函數(shù)關(guān)系力（力）=-4.9^+6.5f+10,從￡=0至ij力=0.5變化過程中，自變量的增量

是.

2.在x=l附近，取Ax—0.3,在四個函數(shù)①尸x；②尸③y=x;④尸/P，平

均變化率最大的是（填序號）.

3.已知曲線尸;V和這條曲線上的一點/＞（1,9，0是曲線上點尸附近的一點，則點0

的坐標(biāo)為.

4.函數(shù)y=f{x）的平均變化率的幾何意義是指函數(shù)尸f（x）圖象上兩點，A（為，『（幻），

月（%,『（X2））連線的.

5.已知函數(shù)尸2f+1,當(dāng)x=2時，-^=.

6.已知函數(shù)f（x）=2f-4的圖象上一點（1,-2）及鄰近一點（1+Ax,-2+Ay）,則

7.已知f（x）=f+2,則f（x）在區(qū)間［1,1.1］上的平均變化率為.

8.一棵樹2009年1月1日高度為4.5米，2010年1月1日高度為4.98米，則這棵樹

2009年高度的月平均變化率是.

9.函數(shù)尸系在荀=1,△戶/寸平均變化率的值是..

二、解答題

10.求y=f—2x+l在;r=-2附近的平均變化率.

11.一條水管中流過的水量y（單位：m‘）是時間x（單位：s）的函數(shù)y=F（x）=3x,計算

xC［2,2+Ax］內(nèi)y的平均變化率.

12.已知自由下落物體的運動的方程為S=%/（S單位：m,t單位：s）.求:

（1）自由下落物體在友到力。+△力這段時間內(nèi)的平均速度/；

(2)自由下落物體在t=10s到i=10.1s這段時間內(nèi)的平均速度.

答案解析

1解析：自變量增量是0.5—0=0.5.

答案：0.5

2解析：先求出各個函數(shù)在△*=().3時的平均變化率，再比較大小.

答案：③

3解析：曲線上在點。(1,附近的0的橫坐標(biāo)為1+Ax,則其縱坐標(biāo)為1+△尸］(1

+△爐.

答案:(1+Ax,1(Ax+l)2)

4解析：由平均變化率定義及直線斜率定義可得.

答案：斜率

5解析:△尸=2(2+△x)'+1-(2X23+1)

=2(A%)3+12(A^)2+24A^,

..*=2(溫中2-4.

答案：2(4爐+124葉24

6解析：由于Ay=f(l+△x)—f(l)=2(1+△X”一4一(2—4)=2(1+AX)'—2=4Ax

+2(Ax):

.by44x+2bx

=4+2Ax

答案：4+2△x

莊……、…犬LI-f11.l2+2-l2+2八

7解析：由定義知-----―;-------=-------n-------=2.1.

1.1—10.1

答案：2.1

4Q?—45

8解析：月平均變化率為-I=0.04(米/月).

答案：0.04米/月

3

&方正fXo+AX-fAbAb+△X--21c,2、“

9解析：--------;-----------=-------;--------=3/+3用△x+△/,??當(dāng)施=1,

△X卜X

△時，平均變化率的值為3X12+3X1X1+(1)2=y.

19

答案：T

10解：當(dāng)自變量從一2變化到一2+時，函數(shù)的平均變化率為彳’

△X

-2+Ax2-2-2+Ax+1—［-22+4+1］

△x

=Ax-6.

11解：當(dāng)X從2變到2+Ax時，函數(shù)值從3X2變到3(2+Ax),函數(shù)值y關(guān)于x的

平均變化率為

f2+—，232+Ax—3X23Ax

2+△x—2△x△x

=3(m3/s).

即［2,2+Ax］時水管中流過的水量p的平均變化率為3m7s.

12解：(1)當(dāng)［由友取得一個改變量△,時，S取得相應(yīng)改變量為A5=1^(to+Af)2

-1^to=^o(At)+^(At)\因此，在勿到fb+At這段時間內(nèi)，自由下落物體的平均速

l

^

g△z△

△s-

度

為r

-△%-△

,1、

=g(z￡o+]At).

,—1

(2)當(dāng)/°=10s,At=0.1s時，由(1)得平均速度為r=g(10+]X0.1)=10.05g(m/s).

《平均變化率》效果分析

本節(jié)課采用“創(chuàng)設(shè)情境一一提出問題一一探索嘗試一一啟發(fā)引導(dǎo)---解決問題”的過

程來實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。有利于知識產(chǎn)生、發(fā)展、解決這一認(rèn)知過程的完整體現(xiàn)。

1、生活實例引入，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的功能，又調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，特別是部分男生,

能積極參與課堂；

2、2個題目的設(shè)置，由低到高，由易到難，通過例題的講解，變式的強化訓(xùn)練，加深

了學(xué)生對概念的印象，及靈活應(yīng)用公式解題的能力；

3、練習(xí)及例2采用學(xué)生板演的方式，檢驗學(xué)生的掌握情況以及“知識的考查、方法的

選擇、步驟的書寫”三部曲解題法的落實情況，4名同學(xué)均能寫出較為規(guī)范的步驟,

但是一名同學(xué)步驟安排的不夠合理；

4、在教學(xué)手段上使用多媒體技術(shù)，使重點得到突出，抽象變得直觀，有效增加課堂容

量，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效率；

5、面對不同程度的教學(xué)對象，作業(yè)分層布置，突出了學(xué)生學(xué)習(xí)的個體差異現(xiàn)實，使不

同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展。

從學(xué)生課堂的反應(yīng)和對題目的掌握情況來看，整體的課堂教學(xué)效果顯著，學(xué)生在“自

主探究、合作學(xué)習(xí)”中獲取了知識，掌握了方法，提升了能力，增強了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，基本完成

了事先制定的三維學(xué)習(xí)目標(biāo)，受到了學(xué)生和聽課老師的好評。

教師觀評記錄

本人自評：

本課是《變化率與導(dǎo)數(shù)》的起始課，主要任務(wù)是推導(dǎo)出平均變化率的公式，然后應(yīng)用公

式進行計算，為下一節(jié)瞬時變化率的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。在推導(dǎo)過程中，由生活實例出發(fā)提出問

題，然后引導(dǎo)學(xué)生通過“小組合作”去探究公式的生成過程，得出公式之后，緊接著安排了

2個題目，由具體到一般，層層深入，最后設(shè)置了一組限時訓(xùn)練，檢查一下學(xué)生對本節(jié)課的

掌握情況。最后學(xué)生自主總結(jié)，而布置作業(yè)（采用分層作業(yè)）環(huán)節(jié)。

教師觀評：

王倩主任：

優(yōu)點：

1、本節(jié)課從舊知識引出新知識，體現(xiàn)了知識的生成過程；

2、公式的推導(dǎo)采用“遞進式”，層層推導(dǎo)，逐步得出結(jié)論，符合學(xué)生的思維習(xí)慣；

3、練習(xí)充分，讓學(xué)生獨立思考，限時訓(xùn)練，檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，符合新課程改革理念。

不足：

1、講完題目之后，應(yīng)該嘗試讓學(xué)生自己總結(jié)一下，努力構(gòu)建自己的知識、方法體系；

2、對于較難的問題，應(yīng)該給學(xué)生更多的時間思考和更多地引導(dǎo)，讓學(xué)生在潛移默化的引導(dǎo)

中發(fā)現(xiàn)解題的方法。

畢國強老師：

1、