2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬（三）數(shù)學(xué)（理）試題

2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題理數(shù)(三)第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,,則=（）A．B．C．D．2.復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位,)滿足是純虛數(shù),則=（）A．B．C．D．3.已知.若“”是真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．(1,3)D．4.已知雙曲線的離心率為,其中一條漸近線的傾斜角的取值范圍是,其斜率為,則的取值范圍是（）A．B．C.D．5.電路從到上共連接著6個(gè)燈泡(如圖),每個(gè)燈泡斷路的概率是,整個(gè)電路的連通與否取決于燈泡是否斷路,則從到連通的概率是（）A．B．C.D．6.已知點(diǎn),若實(shí)數(shù)滿足,則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是（）A．B．C.D．7.已知,則的大小關(guān)系是（）A．B．C.D．8.某錐體的三視圖如圖所示,用平行于錐體底面的平面把錐體截成體積相等的兩部分,則截面面積為（）A．2B．C.D．9.意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)以及求和由如圖所示的框圖給出.則最后輸出的結(jié)果等于（）A．B．C.D．10.將函數(shù)的圖象按以下次序變換:①縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，②向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象(如圖所示，其中點(diǎn),點(diǎn),則函數(shù)在區(qū)間上對(duì)稱的中心為（）A．B．C.D．11.已知給出以下三個(gè)命題:①分別過(guò)點(diǎn)作的不同于軸的切線,兩切線相交于點(diǎn),則點(diǎn)M的軌跡為橢圓的一部分;②若相切于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡恒在定圓上;③若相離,且,則與都外切的圓的圓心在定橢圓上.則以上命題正確的是（）A．①②B．①③C.②③D．①②③12.已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C.2D．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.某學(xué)校男女比例為2:3,從全體學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取一個(gè)樣本容量為的樣本,若女生比男生多10人,則=．14.如圖所示,已知在中,交于點(diǎn),,則=．15.某港口停泊兩艘船,大船船速40海里/小時(shí),小船船速20海里/小時(shí),某時(shí),大船從港口出發(fā),沿東偏北60°方向行駛2.5小時(shí)后,小船開(kāi)始向正東方向行駛,小船出發(fā)1.5小時(shí)后,大船接到命令,需要把一箱貨物轉(zhuǎn)到小船上,便折向駛向小船，期間，小船行進(jìn)方向不變，從大船折向開(kāi)始，到與小船相遇,最少需要的時(shí)間是______小時(shí)．16.母線長(zhǎng)為,底面半徑為的圓錐內(nèi)有一球,與圓錐的側(cè)面、底面都相切,現(xiàn)放入一些小球,小球與圓錐底面、側(cè)面、球都相切,這樣的小球最多可放入____個(gè).三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知數(shù)列滿足,且.(1)設(shè)證明:數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.如圖,在中,,沿將翻折到的位置,使平面⊥平面.(1)求證:⊥平面;(2)若在線段上有一點(diǎn)滿足,且二面角的大小為60°,求的值.19.我國(guó)華南沿海地區(qū)是臺(tái)風(fēng)登陸頻繁的地區(qū)，為統(tǒng)計(jì)地形地貌對(duì)臺(tái)風(fēng)的不同影響,把華南沿海分成東西兩區(qū)，對(duì)臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)度按風(fēng)速劃分為:風(fēng)速不小于30米/秒的稱為強(qiáng)臺(tái)風(fēng),風(fēng)速小于30米/秒的稱為風(fēng)暴,下表是2014年對(duì)登陸華南地區(qū)的15次臺(tái)風(fēng)在東西兩部的強(qiáng)度統(tǒng)計(jì):強(qiáng)臺(tái)風(fēng)風(fēng)暴東部沿海96西部沿海312(1)根據(jù)上表,計(jì)算有沒(méi)有99%以上的把握認(rèn)為臺(tái)風(fēng)強(qiáng)度與東西地域有關(guān);(2)2017年8月23日，“天鴿”在深圳登陸,造成深圳特大風(fēng)暴,如圖所示的莖葉圖統(tǒng)計(jì)了深圳15塊區(qū)域的風(fēng)速.(十位數(shù)為莖,個(gè)位數(shù)為葉)①任取2個(gè)區(qū)域進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，求取到2個(gè)區(qū)域風(fēng)速不都小于25的概率;②任取3個(gè)區(qū)域進(jìn)行統(tǒng)計(jì),表示“風(fēng)速達(dá)到強(qiáng)臺(tái)風(fēng)級(jí)別的區(qū)域個(gè)數(shù)”，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,直線與雙曲線交于,直線交直線于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程;(2)若點(diǎn)的軌跡與矩形的四條邊都相切,探究矩形對(duì)角線長(zhǎng)是否為定值，若是,求出此值;若不是,說(shuō)明理出.21.已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若當(dāng)時(shí),的最大值為.(1)求函數(shù)的解析式;(2)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求的最大值.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸,取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.(1)求圓的直角坐標(biāo)方程,并寫(xiě)出圓心和半徑;(2)若直線與圓交于兩點(diǎn),求的最大值和最小值.23.選修45：不等式選講已知函數(shù).(1)若不等式對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若不等式的解集為],求實(shí)數(shù)的值. 2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題理數(shù)(三)一、選擇題15:ADCB610:DCCDD11、12：AD二、填空題13.50【解析】由題意得14.【解析】設(shè),即,由三點(diǎn)共線,得,解得，又,所以,所以.【解析】設(shè)港口為,小船行駛1.5小時(shí)到達(dá),此時(shí)大船行駛到,大船折向按方向行駛,大船與小船同時(shí)到達(dá)點(diǎn)時(shí),用時(shí)最少.設(shè)從到,大船行駛時(shí)間為,則.由余弦定理得,,即最少需要3.5小時(shí).16.10【解析】由題意可知圓錐軸截面為正三角形，高為3,如圖1.設(shè)球半徑為,由,可得,故,所以,故得.設(shè)小球半徑為,同理可得r,故,所以小球半徑,且.這時(shí)到直線的距離為.這些小球相鄰相切，排在一起,則球心在一個(gè)半徑為的圓上(圖2),為相鄰兩球切點(diǎn),分別為相鄰兩球球心，設(shè),則，由三角函數(shù)性質(zhì),可知，因?yàn)?，故可得能入入小球個(gè)數(shù)最多為10三、解答題17.解:(1)把,代入到，得，兩邊同除以，得,∴為等差數(shù)列,首項(xiàng),公差為1,∴.(2)由，∴兩式相減,得18.解:(1)中,由余弦定理,可得.∴,∴.作于點(diǎn),∵平面⊥平面,平面平面∴⊥平面.∵平面.∴.又∵,∴⊥平面.又∵平面,∴.又∵,∴⊥平面.(2)由(1)知兩兩垂直,以為原點(diǎn),以方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則.設(shè),則由.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則由取.平面的一個(gè)法向量可取,∴=∵∴19.解:(l)列聯(lián)表如下:強(qiáng)臺(tái)風(fēng)風(fēng)暴合計(jì)東部沿海9615西部沿海31215合計(jì)121830由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，可得的觀測(cè)值所以沒(méi)有99%以上的把握認(rèn)為臺(tái)風(fēng)強(qiáng)度與東西地域有關(guān).(2)①風(fēng)速小于25的區(qū)域有7塊，2塊區(qū)域風(fēng)速都小于25的概率為故取到2個(gè)區(qū)域風(fēng)速不都小于25的概率為②達(dá)到強(qiáng)臺(tái)風(fēng)級(jí)別的區(qū)域有5塊，故.,,,,故隨機(jī)變量的分布列為012320.解:(1)設(shè)點(diǎn)，其中由題意,得.由，①,②兩式相乘得,∵，∴，代入上式得,由①與,得,①÷②，得.故點(diǎn)的軌跡方程為.(2)設(shè)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線，則切線的斜率存在且不為0,設(shè)斜率為,則切線方程為,代入到橢圓方程整理，得即.這個(gè)關(guān)于的一元二次方程的兩根即為與,由,得.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),故可知,同理,得,即點(diǎn)為矩形外接圓的圓心,其中為直徑,大小為，故矩形對(duì)角線長(zhǎng)為定值21.解:(1)由題意，得當(dāng),即時(shí),在時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為.當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減，所以的最大值為.當(dāng),即時(shí),在時(shí)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以的最大值為.綜上得(2)令.①當(dāng)時(shí),,由,得,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故最小值為.故當(dāng)且時(shí),恒成立.②當(dāng),且時(shí),.因?yàn)?所以單調(diào)遞增，故.令,則,故當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以,又,所以當(dāng)時(shí),,即恒成立.③當(dāng),且時(shí)，,因?yàn)?所以單調(diào)遞減，故.令,則,所以當(dāng)時(shí),為增函數(shù)，所以,所以,即.綜上可得當(dāng)時(shí),“”是“g(a)成立”的充要條件.此時(shí).令,則,令,得故當(dāng)