高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)1

導(dǎo)數(shù)(Derivative)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量

與自變量的增量之商的極限。在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，稱這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微分?？蓪?dǎo)的

函數(shù)一定連續(xù)。不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)求極限的過程，導(dǎo)數(shù)的四

則運(yùn)算法則來源于極限的四則運(yùn)算法則。

導(dǎo)數(shù)(derivativefunction)

亦名紀(jì)數(shù)、微直(微分中的概念)，由速度變化問題和曲線的切線問題而抽象出

來的數(shù)學(xué)概念?又稱變化率。

如一輛汽車在10小時(shí)內(nèi)走了600千米，它的平均速度是60千米/小時(shí).

但在實(shí)際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60千米/小時(shí)。

為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時(shí)間間隔，

設(shè)汽車所在位置s與時(shí)間t的關(guān)系為

s=f(t)

那么汽車在山時(shí)刻to變到t1這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是

[f(t1)-f(tO)]/[t1-tO]

當(dāng)t1與to很接近時(shí)、汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反

映汽車在to到t1這段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動變化情況.

自然就把極限[f(t1)-f(tO)]/[t1-tO]作為汽車在時(shí)刻to的瞬時(shí)速度，這就是通常所

說的速度。

一般地，假設(shè)一元函數(shù)y=f(x)在xO點(diǎn)的附近(xO-a,xO+a)內(nèi)有定義；

當(dāng)自變量的增量Ax=x—x0-?0時(shí)函數(shù)增量Ay=f(x)—f(xO)與自變量增

量之比的極限存在且有限，就說函數(shù)f在xO點(diǎn)可導(dǎo)，稱之為f在xO點(diǎn)的(或變化率卜

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

若函數(shù)f在區(qū)間?的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，便得到一個(gè)以?為定義域的新函數(shù)，記作f(xy或

y'，稱之為f的導(dǎo)函數(shù)，簡稱為導(dǎo)數(shù)。

函數(shù)y=f(x)在xO點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f'(xO)的幾何意義：表示函數(shù)曲線在POLxO,f

(xO)］點(diǎn)的切線斜率

一般地，我們得出用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的增減性的法則：設(shè)y=f(x)在(a,

b)內(nèi)可導(dǎo)。如果在(a,b)內(nèi)，f'(x)>0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間是單調(diào)增加的。。如

果在(a,b)內(nèi)，f(x)<0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間是單調(diào)減小的。所以，當(dāng)f'(x)=0

時(shí)，y=f(x)有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小

值。

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。

導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要概念。

導(dǎo)數(shù)另一個(gè)定義：當(dāng)x=xO時(shí)，f(xO)是一個(gè)確定的數(shù)。這樣，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)

便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱他為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(derivativefunction)(簡稱導(dǎo)數(shù))。

/(x+A^)-/(x)

T=/'(*)=lim

zx-?oAx

y=f(x)的導(dǎo)數(shù)有時(shí)也記作即(如右圖)：

物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來表示。如，導(dǎo)

數(shù)可以表示運(yùn)動物體的瞬時(shí)速度和加速度、可以表示曲線在一點(diǎn)的斜生、還可以表示

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際和彈拄。

以上說的經(jīng)典導(dǎo)數(shù)定義可以認(rèn)為是反映局部歐氏空間的函數(shù)變化。為了研究更

一般的流形上的向量叢截面(比如切向量場)的變化，導(dǎo)數(shù)的概念被推廣為所謂的“疑

維”。有了聯(lián)絡(luò)，人們就可以研究大范圍的幾何問題，這是微分兒何與物理中最重要

的基礎(chǔ)概念之一。

注意：1f(x)<0是f(x)為減函數(shù)的充分不必要條件，不是充要條件。

2.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。當(dāng)函數(shù)為常值函數(shù)，沒有增減性，即沒有極值

點(diǎn)。但導(dǎo)數(shù)為零。(導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱之為駐點(diǎn)，如果駐點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的符號相反，則

該點(diǎn)為極值點(diǎn)，否則為一般的駐點(diǎn)，如y=x"中f'(0)=0,x=0的左右導(dǎo)數(shù)符號為正，

該點(diǎn)為一般駐點(diǎn)。)

編輯本段

求導(dǎo)數(shù)的方法

(1)求函數(shù)y=f(x)在xO處導(dǎo)數(shù)的步驟：

①求函數(shù)的增量△y=f(xO+Ax)-f(xO)

②求平均變化率

③取極限，得導(dǎo)數(shù)。

(2)幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:

①C'=O(C為常數(shù)函數(shù))；

②僅人(1)'=nxA(n-1)(neQ)；

③(sinx)'=cosx；

(cosx)'=-sinx；

(tanx)*=1/(cosx)A2=(secx)A2

(cotx)'=-1/(sinx)A2=-(cscx)A2

(secx)'=tanxsecx

(cscx)*="cotxcscx

(arcsinx)*=1/(1-xA2)A1/2

(arccosx)'=-1/(1-xA2)A1/2

(arctanx)'=1/(1+xA2)

(arccotx)'=-1/(1+xA2)

④(shx)*=chx

(chx)'=shx

(thx)=1/(chx)A2

(coth)'=-1/(shx)A2

⑤(e△x)'=eAx；

(aAx)*=aAxlna(In為自然對數(shù))

(Inx)*=1/x(In為自然對數(shù))

(logax)'=(xlna)A(-1),(a>0且a不等于1)(xA1/2)'=[2(xA1/2)]A(-1)

(1/x)'=xA(-2)

補(bǔ)充一下。上面的公式是不可以代常數(shù)進(jìn)去的，只能代函數(shù)，新學(xué)導(dǎo)數(shù)的人往往

忽略這一點(diǎn)，造成歧義，要多加注意。

(3)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(和、差、積、商)：

①(U士v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv，

③(u/v)'=(iTv-uv?vA2

(4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自

變量的導(dǎo)數(shù)一稱為鏈?zhǔn)椒▌t。

導(dǎo)數(shù)是微積分的一個(gè)重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了卓越的貢獻(xiàn)!

編輯本段

導(dǎo)數(shù)公式及證明

這里將列舉幾個(gè)基本的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及它們的推導(dǎo)過程:

1.y=c(c為常數(shù))y,=0

2.y=xAn,y'=nxA(n-1)

3.(1)y=aAx,y,=aAxlna；(2)y=eAxy*=eAx

4.(1)y=logaX,y'=1/xlna(a>0且a不等于1,x>0)；(2)y=lnx,y'=1/x

5.y=sinxy*=cosx

6.y=cosxy'=-sinx

7.y=tanxy*=1/(cosx)A2

8.y=cotxy'=-1/(sinx)A2

9.y=arcsinxY'=1/A/1-XA2

10.y=arccosxy,=-lNl-xA2

11.y=arctanxy'=1/(1+xA2)

12.y=arccotxy'=-1/(1+xA2)

在推導(dǎo)的過程中有這幾個(gè)常見的公式需要用到：

1.y=f[g(x)],y'=f[g(x)]?g，(x)/flg(x)p1ig(x)看作整個(gè)變量,而g'(x)中把x看作變

量』

2.y=u/v,y-(u'v-uv')/vA2

3.y=f(x)的反函數(shù)是x=g(y),則有y*=1/x'

證：1.顯而易見，y=c是一條平行于x軸的直線，所以處處的切線都是平行于x

的，故斜率為0。用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的：y=c,Ay=c-c=0,limAx^0Ay/Ax=0o

2.這個(gè)的推導(dǎo)暫且不證，因?yàn)槿绻鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的定義來推導(dǎo)的話就不能推廣到n為

任意實(shí)數(shù)的一般情況。在得到y(tǒng)=eAxy,=eAxy=lnxy'=1/x這兩個(gè)結(jié)果后能用復(fù)合

函數(shù)的求導(dǎo)給予證明。

3.y=aAx,

△y=aA(x+Ax)-aAx=aAx(aAAx-1)

△y/Ax=aAx(aAAx-1)/Ax

如果直接令A(yù)XTO,是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的，必須設(shè)一個(gè)輔助的函數(shù)(3=aMx-1通

過換元進(jìn)行計(jì)算。由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：△x=loga(1+p)o

^ftt(aAAx-1)/Ax=p/loga(1+p)=1/loga(1+p)A1/p

顯然，當(dāng)Ax-0時(shí)，P也是趨向于。的。而limB-O(1+B)7/B=e，所以

limP->01/loga(1+3)A1/p=1/logae=lnao

把這個(gè)結(jié)果代入limAx—>0Ay/Ax=limAx^0aAx(aAAx-1)/Ax后得到

A

limAx—>0Ay/Ax=axlnao

可以知道，當(dāng)a=e時(shí)有y=eAxy*=eAX0

4.y=logax

△y=loga(x+Ax)-logax=loga(x+Ax)/x=loga[(1+Ax/x)Ax]/x

△y/Ax=loga[(1+Ax/x)A(x/Ax)]/x

因?yàn)楫?dāng)Ax-0時(shí)，Ax/x趨向于0而x/Ax趨向于0°,所以

limAx—0loga(1+Ax/x)A(x/Ax)=logae,所以有

limAx—OAy/Ax=logae/Xo

也可以進(jìn)一步用換底公式

limAx—>0Ay/Ax=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)A(-1)

可以知道，當(dāng)a=e時(shí)有y=lnxy-1/Xo

這時(shí)可以進(jìn)行y=xAny'=nxA(n-1)的推導(dǎo)了。因?yàn)閥=xAn,所以y=eAln(xAn)=eAnlnx,

A,=AA

所以y'=enlnx*(nlnx)xnTi/x=nx(n-1)o

5.y=sinx

△y=sin(x+Ax)-sinx=2cos(x+Ax/2)sin(Ax/2)

△y/Ax=2cos(x+Ax/2)sin(Ax/2)/Ax=cos(x+Ax/2)sin(Ax/2)/(Ax/2)

所以limAx—>0Ay/Ax=limAx—>0cos(x+Ax/2)dimAx-^0sin(Ax/2)/(Ax/2)=cosx

6.類似地，可以導(dǎo)出y=cosxy'=-sinxo

7.y=tanx=sinx/cosx

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx),]/cosA2x=(cosA2x+sinA2x)/cosA2x=1/cosA2x

8.y=cotx=cosx/sinx

y,=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sinA2x=-1/sinA2x

9.y=arcsinx

x=siny

x,=cosy

y'=1/x*=1/cosy=1/"Ji-sinA2y=1N1-xA2

10.y=arccosx

x=cosy

x'=-siny

y'=1/x--1/siny=-1/A/1-cosA2y=-1Nl-xA2

11.y=arctanx

x=tany

x'=1/cosA2y

y'=1/x,=cosA2y=1/secA2y=1/1+tanA2x=1/1+xA2

12.y=arccotx

x=coty

x--1/sinA2y

y'=1/x,=-sinA2y=-1/cscA2y=-1/1+cotA2y=-1/1+xA2

另外在對雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù)arshx,archx,arthx等和其他較

復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)通過查閱昱數(shù)表和運(yùn)用開頭的公式與

4.y=u±v,y'=uf±v*

5.y=uv,y=u'v+uv'

均能較快捷地求得結(jié)果。

y=xAny'=nxA(n-1),y=aAxy'=aAxlna有更直接的求導(dǎo)方法。

y=xAn

由指數(shù)函數(shù)定義可知，y>0

等式兩邊取自然對數(shù)

Iny=n*lnx

等式兩邊對x求導(dǎo)，注意y是y對x的復(fù)合函數(shù)

y'*(1/y)=n*(1/x)

y'=n*y/x=n*xAn/x=n*xA(n-1)

毒函數(shù)同理可證

導(dǎo)數(shù)說白了它其實(shí)就是斜率

上面說的分母趨于零，這是當(dāng)然的了，但不要忘了分子也是可能趨于零的,所以兩

者的比就有可能是某一個(gè)數(shù)，如果分子趨于某一個(gè)數(shù),而不是零的話，那么比值會很大,

可以認(rèn)為是無窮大也就是我們所說的導(dǎo)數(shù)不存在.

x/x,若這里讓X趨于零的話，分母是趨于零了，但它們的比值是1,所以極限為1.

建議先去搞懂什么是極限.極限是一個(gè)可望不可及的概念，可以很接近它,但永遠(yuǎn)

到不了那個(gè)岸.

并且要認(rèn)識到導(dǎo)數(shù)是一個(gè)比值.

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性

利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時(shí)的

一個(gè)應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

一般地，在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果尸(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單

調(diào)遞增；如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=O,則f(x)是常數(shù)函數(shù).

注意：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，f'(x)>0是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是

必要條件，如f(x)=x3在R內(nèi)是增函數(shù)，但x=0時(shí)f(x)=O。也就是說，如果已知f(x)

為增函數(shù)，解題時(shí)就必須寫f'(x)NO。

(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

①確定f(x)的定義域；

②求導(dǎo)數(shù)；

③由(或)解出相應(yīng)的x的范圍.當(dāng)f(x)>0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)

f'(x)V0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù).

2.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極值的判定

①如果在兩側(cè)符號相同，則不是f(x)的極值點(diǎn)；

②如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么，是極大值或極小值.

3.求函數(shù)極值的步驟

①確定函數(shù)的定義域；

②求導(dǎo)數(shù)；

③在定義域內(nèi)求出所有的駐點(diǎn)，即求方程及的所有實(shí)根；

④檢查在駐點(diǎn)左右的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如

果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.

4.函數(shù)的最值

(1)如果f(x)在［a,b］上的最大值(或最小值)是在(a,b)內(nèi)一點(diǎn)處取得的，顯然

這個(gè)最大值(或最小值)同時(shí)是個(gè)極大值(或極小值)，它是f(x)在(a,b)內(nèi)所有的極

大值(或極小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在［a,b］的端點(diǎn)a或b

處取得，極值與最值是兩個(gè)不同的概念.

(2)求f(x)在［a,b］上的最大值與最小值的步驟

①求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；

②將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最

小值.

5.生活中的優(yōu)化問題

生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優(yōu)化問

題，優(yōu)化問題也稱為最值問題.解決這些問題具有非?，F(xiàn)實(shí)的意義.這些問題通常可

以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值問題.

6.實(shí)習(xí)作業(yè)

本節(jié)內(nèi)容概括總結(jié)了微積分建立的時(shí)代背景，并闡述了其歷史意義，包括以下六

部分：

(1)微積分的研究對象；

(2)歷史上對微積分產(chǎn)生和發(fā)展的評價(jià)；

(3)微積分產(chǎn)生的悠久歷史淵源；

(4)微積分產(chǎn)生的具體的時(shí)代背景；

(5)牛頓和萊布尼茨的工作；

(6)微積分的歷史意義.

7.注意事項(xiàng)

(1)函數(shù)圖像看增減，導(dǎo)數(shù)圖像看正負(fù)。

(2)極大值不一定比極小值大。

(3)極值是局部的性質(zhì)，最值是整體的性質(zhì)

編輯本段

高階導(dǎo)數(shù)

高階導(dǎo)數(shù)的求法

1.直接法：由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).

一般用來尋找解題方法。

2.高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：

.(Pd",dn

dz71'7dxndxn

d"kdn

?—(Cli)=C—u

drrn'/dxn

cPndn-fcdk

■高…)=￡c*—U—rV(萊布尼茲公式)

高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

r注意：必須在各自的導(dǎo)數(shù)存在時(shí)應(yīng)用(和差點(diǎn)導(dǎo)數(shù))』

3.間接法：利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式，

通過四則運(yùn)算，

變量代換等方法，『注意：代換后函數(shù)要便于求，盡量靠攏已知公式』

求出階導(dǎo)數(shù).

常見高階導(dǎo)數(shù)的公式:

上

ax=ax-\nna{a>Q)

歌

￥e=e

n7r\

￥sin(kx+bi)=knsin(kx+b+

TJ

717T\

%cos[kx+b)=kncos+b+~T)

吁1An

%xa=xa-nJJ(a-￡)(a2%若a<n且0wN*M-—=0)

fc=od/

(n-1)!

￥Inx=(-l)n-1

xn

1nI

需(Hk

X

需112—713—n

arcsinrr=2n_1x1-n——r一；工9

J5

而2,222

7T—2nXy/ir112—n3—n

5,1；/2

竺arccosx=------22

2xn22

翁2—n3—n

arctanx=2n~[xx~n弓,1J；；f2

兩22

arccota:=-2"_%1一門63另1,1；;一工2

價(jià)

兩(-l)nn!1n+1n+231\

arccscx=

/+i

常見高階導(dǎo)數(shù)公式

第十講導(dǎo)數(shù)

【考點(diǎn)透視】

1.了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌

握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念.

2.熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則.了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

3.理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和

充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號）；會求一些實(shí)際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最

小值.

【例題解析】

考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念

對概念的要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，掌握導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)處的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理

解導(dǎo)函數(shù)的概念.

例1.廣(外是/。)=；1+2工+1的導(dǎo)函數(shù)，則廣(—1)的值是_.

［考查目的］本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和計(jì)算等基礎(chǔ)知識和能力.

［解答過程］/'(X)=/+2,.-./z(-l)=(-1)2+2=3.

故填3.

例2.設(shè)函數(shù)〃x)==，集合M={x"*)<0},P={x"(x)>0},若M圭P,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.(-8,1)B.(o,1)C.(1,+8)D.［1,+8)

［考查目的］本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.

［解答過程］由上￡<o,.?.當(dāng)a>1時(shí),1<X<a;當(dāng)a<1時(shí),a<X<1.

x-l

xa

..v--.J-(x-a\_x-\-(x-a)_a-\

綜上可得M^P時(shí)，.?.a>l.

考點(diǎn)2曲線的切線

(1)關(guān)于曲線在某一點(diǎn)的切線

求曲線y=f(x)在某點(diǎn)P(x,y)的切線，即求出函數(shù)y=f(x)在P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)的

切線的斜率.

(2)關(guān)于兩曲線的公切線

若一直線同時(shí)與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.

典型例題

1,1,

例3.已知函數(shù)/")=§V+5-+hx在區(qū)間［_］,］),(］,3］內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).

(I)求二一4。的最大值；

(II)當(dāng)/一4。=8時(shí)，設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)4(1,/⑴)處的切線為/,若2在點(diǎn)A處穿過

函數(shù)y=/(x)的圖象(即動點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線y=/(x)運(yùn)動，經(jīng)過點(diǎn)4時(shí)，從/的一側(cè)

進(jìn)入另一側(cè))，求函數(shù)/(x)的表達(dá)式.

思路啟迪：用求導(dǎo)來求得切線斜率.

解答過程：(D因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=g+；a/+bx在區(qū)間[-1,1),(1,31內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn),

所以f\x^x2+ax+b=0在[一1,1),(1,3]內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，

設(shè)兩實(shí)根為X],x2(<x2),則-X[=Ja?-46,且0<々一玉W4.于是

0<\Ja2—4b4,0<a?—4力<16,且當(dāng)％=—1,々=3，即。=一2,/?=—3時(shí)等號

成立.故的最大值是16.

(II)解法一：由/'(1)=1+4+匕知/(幻在點(diǎn)(1,/(I))處的切線/的方程是

y-/(l)=/z(l)(x-l),即y=(l+a+b)x-g—；a,

因?yàn)榍芯€/在點(diǎn)A(l,/(x))處空過y=/(x)的圖象，

21

所以g(x)=/(x)-[(l+a+b)x-§-'a]在x=l兩邊附近的函數(shù)值異號，貝IJ

x=l不是g(x)的極值點(diǎn).

而g(x)=q丁++匕工一(1+a+b)x+§+，且

g'(x)=/+ax+b-(1+a+/?)=/+ax-a-1=(%-l)(x+1+a).

若1。一1一。，則x=l和x=-l—。都是g(x)的極值點(diǎn).

所以1=—1—。，即。=-2,又由〃2—4/?=8,得/?=—1,故/(元)=§元°—X?—x.

21

解法二：同解法一得g(x)=f^x)-[(l-^a+b)x----a]

=+(l+￡)x_(2+|'Q)]?

因?yàn)榍芯€/在點(diǎn)4(1,)⑴)處穿過y=/(x)的圖象，所以g(x)在x=l兩邊附近的函數(shù)值

異號，于是存在㈣，m2(叫<1<加2)?

當(dāng)〃時(shí)，g(x)<o,當(dāng)1<%<加2時(shí)，g(x)>o；

或當(dāng)叫<X<1時(shí)，g(x)>0,當(dāng)1<X<〃?2時(shí)，g(X)<0.

設(shè)h(x)=x24-f1+^-c3。、

2+—，則rtll

2J

當(dāng)叫<x<l時(shí)，h(x)>0,當(dāng)1<尤<加2時(shí)，人(x)>0;

或當(dāng)J叫<x<1時(shí)，h(x)<0,當(dāng)1<x<加?時(shí)，h(x)<0.

由〃⑴=0知x=1是h(x)的一個(gè)極值點(diǎn),則//(l)=2xl+l+—=0,

2

所以&=一2,又由。2-46=8,得b=-i,故/(幻=；/一f—x.

例4.若曲線),=/的一條切線/與直線x+4y-8=0垂直，則/的方程為()

A.4x—y-3=0B.x+4y-5=0

C.4x->1+3=0D.x+4y+3=0

［考查目的］本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.

［解答過程］與直線x+4y-8=0垂直的直線/為4x-y+,"=0,即y=x，在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4,

而)/=4/，所以y=x"在(1,1)處導(dǎo)數(shù)為4,此點(diǎn)的切線為4x-y-3=0.

故選A.

例5.過坐標(biāo)原點(diǎn)且與(+夕-4x+2y+2=0相切的直線的方程為()

2

A.y=-3x或尸J_xB.y=-3x或廣，xC.y=-3x或片-J_xD.y=3x或y=_Lx

3333

［考查目的］本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.

［解答過程］解法1:設(shè)切線的方程為y=kx,,\kx-y=0.

乂(x-21+(y+lY=g,.,.圓心為(2,-1).

...嚴(yán)+U=3及2+8k-3=0.r.&=Lk=-3.

7F7Tn3

y=%，或y=-3工

故選A.

解法2:由解法1知切點(diǎn)坐標(biāo)為由

［(公2尸+(),+1)［=(|［,

2a-2)+2(y+1)y：=0,

故選A.

例6.已知兩拋物線C1：y=x2+2x,C2：y=-x2+*“取何值時(shí)g，C?有且只有一條公切線，

求出此時(shí)公切線的方程.

思路啟迪：先對G:y=x?+2x,C2:y=-x?+a求導(dǎo)數(shù).

解答過程：函數(shù)y=/+2x的導(dǎo)數(shù)為y=2x+2,曲線加在點(diǎn)P(x“x「+2占)處的切線方程為

2

y-(xj+2X］)=2(X1+2)(x-X|)，即y=2(x,+\)x-x}①

2

曲線G在點(diǎn)Q(x2,—x2+a)的切線方程是y-(-x2+a)=-2x2(x-x2)即

2

y=—2X2X+X2+a②

若直線/是過點(diǎn)P點(diǎn)和Q點(diǎn)的公切線，則①式和②式都是/的方程，故得

221

X,+1=—x2—xy=x2+1消去叼得方程，2xJ+2*+l+a=0

若△=4-4x2(l+a)=0,即。=_，時(shí)，解得為=-1，此時(shí)點(diǎn)P、Q重合.

212

當(dāng)時(shí)。=_3，G和C2有且只有一條公切線，由①式得公切線方程為y=x_：.

考點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而

有力的工具，特別是對于函數(shù)的單調(diào)性，以“導(dǎo)數(shù)”為工具，能對其進(jìn)行全面的分析，為我

們解決求函數(shù)的極值、最值提供了?種簡明易行的方法，進(jìn)而與不等式的證明，討論方程解

的情況等問題結(jié)合起來，極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法.復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)高度重視以下問題：

1-求函數(shù)的解析式;2.求函數(shù)的值域;3.解決單調(diào)性問題;4.求函數(shù)的極值(最值)；

5.構(gòu)造函數(shù)證明不等式.

典型例題

例7.函數(shù)〃x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a力)，導(dǎo)函數(shù)r(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)

在開區(qū)間(0力)內(nèi)有極小值點(diǎn)()

A.1個(gè)

B.2個(gè)▲

>Ty=f'M

:二Wk

［考查目的］本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識X

的應(yīng)用能力.

[解答過程]由圖象可見,在區(qū)間(a,0)內(nèi)的圖象上有?個(gè)極小值點(diǎn).

故選A.

例8.設(shè)函數(shù)/")=2x3+3++3法+8c在x=1及x=2時(shí)取得極值.

(I)求a、b的值；

(H)若對于任意的xe[0,3J,都有/(幻<。2成立，求c的取值范圍.

思路啟迪：利用函數(shù)/(%)=2/+3奴2+3bx+8c在x=1及x=2時(shí)取得極值構(gòu)造方程組求a,

b的值.

解答過程：(I)f\x)^6x2+6ax+3b,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在x=l及x=2取得極值，則有/'⑴=0,/7(2)=0.

6+6。+38=0,

即4

24+12a+3/？=0.

解得a=—3,Z?=4.

(II)由(I)可知，/(X)=2X3-9X2+12X+8C,

/'(x)=6/-18x+12=6(x-l)(x-2).

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，f(x)>0；

當(dāng)xe(1,2)時(shí)，f(x)<0；

當(dāng)xe(2,3)時(shí)，fr(x)>0.

所以，當(dāng)x=l時(shí)，/(x)取得極大值/⑴=5+8c,又/(0)=8c,/(3)=9+8c.

則當(dāng)xe[0,3]時(shí),f(x)的最大值為/(3)=9+8c.

因?yàn)閷τ谌我獾膞e[0,3],有/(x)<恒成立，

所以9+8c<c2,

解得。<一1或。>9,

因此c的取值范圍為(―8,—l)U(9,+8).

例9.函數(shù)y=J2X+4-y/x+3的值域是.

思路啟迪：求函數(shù)的值域，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)

求解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值。此例的形式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，采用導(dǎo)數(shù)法

求解較為容易。

解答過程：由［2x+42°得，%>_2,即函數(shù)的定義域?yàn)椋垡?,+8).

［x+3>0

?112Jx+3—42x+4

'-5+42-77+3-2-V2x+4-Vx+3

XV7T3-V2774=.2x+&.

22jx+3+j2x+4

.?.當(dāng)x2-2時(shí)，y>o，

J.函數(shù)y=J2x+4-Jx+3在(-2,+8)上是增函數(shù),而f(_2)=-l，y=J2x+4-Jx+3

的值域是㈠,+oo).

例10.已知函數(shù)/'卜)=41-3x2cose+3cos9，其中xeR,。為參數(shù)，且0V”力.

(1)當(dāng)時(shí)cos9=0,判斷函數(shù)/(x)是否有極值；

(2)要使函數(shù)/*)的極小值大于零，求參數(shù)9的取值范圍；

(3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)出函數(shù)“X)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù),

求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

［考查目的］本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)

知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

［解答過程］(I)當(dāng)cos8=0時(shí),/(x)=4x\則/(x)在(-8,+8)內(nèi)是增函數(shù)，故無極值.

(II)f'(x)=l2x2-6xcos0>令廣")=0，得j=0,%=%2.

由(I),只需分下面兩種情況討論.

①當(dāng)cos6>0時(shí)，隨X的變化/”)的符號及/(x)的變化情況如下表：

cos。/COS。、

X(-°0,0)0(---,+°°)

22

f'W+0-0+

/(X)/極大值極小值/

因此，函數(shù)小)在》=等處取得極小值代竽)，且/(等)=?

要使/(C。；外>o,必有-；cose(cos2e-}>0,可得o<cose<V，

由于OVcos”日，故『杉或會”等，

當(dāng)時(shí)cose<0，隨X的變化，廣(X)的符號及f(x)的變化情況如下表:

X.cos。、cos。(胃.0)0(0,+8)

2

f,W+0-0+

fM極大值極小值

因此，函數(shù)/(X)祗=0處取得極小值/(0)，且/'(Ob3cosJ

16

若/(0)>0，則cos?>0.矛盾.所以當(dāng)cos?<0時(shí)，/(x)的極小值不會大于零.

綜上，要使函數(shù)〃x)在(-8,+8)內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)。的取值范圍為《95冬爭?

()解：由()知，函數(shù)/(x)在區(qū)間(-嗎+=o)與(￡*,+8)內(nèi)都是增函數(shù)。

2

由題設(shè)，函數(shù)/(x)在(2a-l,a)內(nèi)是增函數(shù)，則a須滿足不等式組

J「2ca-l1<a或Jr2a-1<ai

、|2a-l>—cos^

L2

由()，參數(shù)時(shí)Je(四，馬5紅，業(yè))時(shí)，0<cose<立?要使不等式2aT2、ose關(guān)于參數(shù),恒

622622

成立，必有2。_晚立，即士芭

-48

綜上，解得或土亞

8一

所以。的取值范圍是(_叫°)3幻史,i).

8

例11.設(shè)函數(shù)?x)=ax—(a+1)n(x+1)其中aN-1,求*x)的單調(diào)區(qū)間.

［考查目的］本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法，函數(shù)的極值的判定，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

分析問題解決問題的能力

［解答過程］由已知得函數(shù)“X)的定義域?yàn)?-1,+~)，且f(x)=竺二l(aN-l),

X+1

(1)當(dāng)-IWQWO時(shí)，/(x)<0,函數(shù)/(X)在(-l,+oo)上單調(diào)遞減,

(2)當(dāng)a>0時(shí)，由f(x)=0,解得X」.

a

f(x)、f(x)隨X的變化情況如下表

X(-1,-)(-,+oo)

aaa

f(x)—0+

fix)極小值

從上表可知

當(dāng)xe(-1,3時(shí)，f\x)<0,函數(shù)/(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.

aa

當(dāng)xe(L+?)時(shí)，/'。)>0,函數(shù)/*)在(±+8)上單調(diào)遞增.

綜上所述：當(dāng)-14aV0時(shí)，函數(shù)/(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞減.

當(dāng)°>0時(shí)，函數(shù)/*)在(-1」)上單調(diào)遞減，函數(shù)/(x)在(L+°°)上單調(diào)遞增.

aa

例12.已知函數(shù)/(幻=江+川+以在點(diǎn)七處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)〉=/")的圖

象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,())，如圖所示.求：

(I)兒的值；

(H)a,b,c的值.

［考查目的］本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值的判定，閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值，函數(shù)與

方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能

力

［解答過程］解法一：(I)由圖像可知,在(-00,1)上尸⑺>0,在(1,2)上〃")<0,在(2,+oo)

上/(力>0，

故/(x)在(-8,1),(2,+8)上遞增，在(1,2)上遞減,

因此/(*)在x=l處取得極大值，所以X(>=1

(II)f'(x)=3ajc2+2bx+c,

由/⑴=0,/(2)=0,/(I)=5,

/3〃+2。+c=0,

得，12a+4b+c=0,

a+b+c=5,

解得。=2/=-9,c=12.

解法二：(I)同解法-

(H)/(x)=in(x-l)(x-2)=nix2-3mx+2m,

又f(x)=3ax24-2bx+c,

所以a=4=_，”=2〃z

32

f(x)=yx3-^mx2'+2mx,

由/(I)=5,即竺-，+2m=5,得m=6,

32

所以a=2,b=-9,c=12

例13.設(shè)x=3是函數(shù)4)=3+0?+成R)的一個(gè)極值點(diǎn).

(I)求a與b的關(guān)系式(用a表示》)，并求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(H)設(shè)。>0,8苗=卜+籌，.若存在與,￡2€［(),4］使得|/(巧)-8(￡21<1成立，求a的取值范

國.

［考查目的］本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決

問題的能力.

［解答過程］(I)f'(x)=-［^+(a-2)x+b-a］e3-x,

由f,(3片0,得一［32+(a-2)3+b-a］e33=o,即得b=-3-2a,

則f'(x)=［x^+(a-2)x-3-2a-a］e3x

=-［^+(3-2)%-3-3a］e3'=-(x-3)(x+a+1)e3~x.

令f'(x)=0,得刈=3或X2=-a-1,由于x=3是極值點(diǎn)，

所以x+a+1￥0,那么ar—4.

當(dāng)a<一4時(shí),X2>3=Xi,則

在區(qū)間(一8,3)上，f'(x)<0,*x)為減函數(shù)；

在區(qū)間(3,-a-1)上，f'(x)>0,f㈤為增函數(shù)；

在區(qū)間(一a—1,+8)上，f'(x)<0,f兇為減函數(shù).

當(dāng)a>一4時(shí),X2<3=XI，則

在區(qū)間(-8,-a-1)上，f'(x)<0,f㈤為減函數(shù)；

在區(qū)間(一a—1,3)上，f'(x)>0,f仞為增函數(shù)；

在區(qū)間(3,+°°)上，f'(x)<0,f(x)為減函數(shù).

(II)由(I)知，當(dāng)a>0時(shí);f仞在區(qū)間(0,3)上的單調(diào)遞增，在區(qū)間(3,4)上單

調(diào)遞減，那么f仞在區(qū)間［0,4］上的值域是［加。斤創(chuàng)，f(4),f(3)］,

而〃0)=—(2a+3)e3<0,f《)=(2a+13)e1>0,f(3)^a+6,

那么f國在區(qū)間［0,4］上的值域是［一(2a+3)e3,a+6］.

又g(x)=("+竺)e*在區(qū)間［0,4］上是增函數(shù)，

4

且它在區(qū)間［0,4］上的值域是［1+竺，(4+竺)e4］,

44

2

由于(a2+竺)-(a+6)=/—a+_L=(a_l)＞0,所以只須僅須

442

(a2+竺)一(a+6)＜1且a＞0,解得0va＜3.

42

故a的取值范圍是(0,2).

2

例14已知函數(shù)/(》)=+/一"2+(2-?？?1

在X=M處取得極大值，在處取得極小值，且。＜陽＜1＜々＜2.

(1)證明。＞0；

(2)若z=a+2b,求z的取值范圍。

［解答過程］求函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=ax2-2bx+2-h.

(I)由函數(shù)/(X)在尤=X「處取得極大值，在》=工2處取得極小值，知不，*2是/'(X)=0

的兩個(gè)根.

所以f\x')=a(x-xi')(x-x2')

當(dāng)x＜玉時(shí)，/(x)為增函數(shù)，f\x)＞0,由x-X］＜0,x—x,<0得a>0.

770)>02-b>Q

(II)在題設(shè)下，0<芯<1<X2<2等價(jià)于(/'(1)<0

即<a-2b+2—匕<0.

八2)>04a-4Z?+2—b>0

2-b>0

化簡得<。-36+2<0.

4a—58+2>0

此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫妗?。匕上三條直線：2-b=Ga—38+2=0,4。-58+2=0.

所圍成的△ABC的內(nèi)部，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為：8(2,2),C(4,2).

z在這三點(diǎn)的值依次為3,6,8.

7

所以z的取值范圍為厚8).

小結(jié)：本題的新穎之處在把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與線性

規(guī)劃有機(jī)結(jié)合.

考點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

建立函數(shù)模型，利用

典型例題

例15.用長為18cm的鋼條圍成一個(gè)長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1,

問該長方體的長、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？

［考查目的］本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決

實(shí)際問題的能力.

［解答過程］設(shè)長方體的寬為x(m),則長為2x(m),高為

18—12xd/、(13］

h=——-——=4.5-3x(m)I(Xx<—I.

故長方體的體積為

V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3(m3)(0<x<!).

從而v\x)=18x-18x2(4.5-3x)=18x(1-x).

令V(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.

當(dāng)o<x<i時(shí)，\r(X)>o；當(dāng)i<x<上時(shí)，\r(X)<0,

3

故在x=1處1/(x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V(x)的最大值。

從而最大體積V=U'(x)=9X12-6X13(m3),此時(shí)長方體的長為2m,高為1.5m.

答：當(dāng)長方體的長為2m11寸，寬為1m,高為1.5m時(shí)，體積最大，