實(shí)變函數(shù)試題庫(kù)

實(shí)變函數(shù)試題庫(kù)

一、填空題

1.設(shè)Aa=/,2］,〃=1,2,,則limAH=.

n

2.（“力）（-，+8）,因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)集合之間的一一映射為-----.

3.設(shè)E是R?中函數(shù)的圖形上的點(diǎn)所組成的集合，則

0,x=0

E'=E°=

9?

4.若集合EuR“滿(mǎn)足￡'u￡,則后為集.

5.若（見(jiàn)"）是直線(xiàn)上開(kāi)集G的一個(gè)構(gòu)成區(qū)間，貝?。荩?，刀）滿(mǎn)足:.

6.設(shè)E是閉區(qū)間［a,句中的全體無(wú)理數(shù)集，則mE=..

加E［力（％）/〃x）］=0｛力（％）｝￡上

8.設(shè)石uR〃，％。GR”,若,則稱(chēng)工。是E的聚點(diǎn).

9.設(shè)｛.%（“）｝是E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列，fix）是￡上幾乎處處有

限的可測(cè)函數(shù)，若Tb>°,有,則稱(chēng)｛力（“）｝在E上依測(cè)

度收斂于f（x）.

1。.設(shè)力⑶=則/力3｝的子列優(yōu)㈤｝,使得

13.（°」）到（氏+份的雙射是.

14.E的全體聚點(diǎn)所組成的集合包含于E的充要條件是

15.【°1］中無(wú)理數(shù)集的外測(cè)度為.

16.R"中所有開(kāi)集生成的a代數(shù)記為B,稱(chēng)B中的集合為.

17.若/"=°,則對(duì)任意的點(diǎn)集B,必有機(jī)（46）=.

18.當(dāng)E為閉區(qū)間時(shí)，m*E=.

19.設(shè)函數(shù)/（X）在可測(cè)集E上幾乎處處有限，若對(duì)任意給定的S〉°,存在E中

的一個(gè)閉集尸，使，"（￡"）＜%且/（X）在F上連續(xù)，則/（X）是可測(cè)集￡上的

20.是否存在開(kāi)集使其余集仍為開(kāi)集（是或不是選其一填寫(xiě)）.

21.如果,則稱(chēng)后是自密集，如果,則稱(chēng)￡是開(kāi)集,

如果,石'（=石則稱(chēng)/是.

00

G=C\G.

22.設(shè)G表示為一列開(kāi)集GJ之交集：I則G稱(chēng)為.

23.若F表示為一列閉集⑹｝之并集：I,則/稱(chēng)為.

24.V。，8€尺”＞。），/在E上可測(cè)，貝！|￡（/2。）一七（/之?=.

25.Cantor集的外測(cè)度為.

26.（Fatou引理）設(shè)"，-是可測(cè)集EuR“上一列非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則.

二、選擇題

1.設(shè)C為。1］中Cantor集，則下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是:（）

A.。是閉集.C.C=0.

B.。是完全集.D.。是可數(shù)集

2.設(shè)/（x）,￡.（同伙=1,2,）是上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，關(guān)于函數(shù)列

｛￡《）｝的各種收斂性之間的關(guān)系，正確的是（）

A.若十/（》），則

B.若人（x）f^/（x）,則人（x）+/（x）.

C.若加（￡）＜”，且則A（x）＞

D.若m（E）＜小，且￡（x）器-＞/（x），則￡（%）—^/（x）?

3.下列關(guān)于開(kāi)集和閉集的性質(zhì)中，錯(cuò)誤的是（）

A.0,R既是開(kāi)集，又是閉集.

B.R”中的開(kāi)集和閉集一樣多.

C.設(shè)｛7｝著是R"中的一個(gè)開(kāi)集列，則其并集'G.是開(kāi)集.

k=]

D.設(shè)｛鼻｝乙是R"中的一個(gè)閉集列，則其交集’&是閉集.

k=i

4.在下面命題中正確的是（）

A.若E為R"中的無(wú)界集，則〃2（E）=+oo.

B.若E為H”中的可測(cè)集，且E中至少有一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，則根（￡）＞0.

C.設(shè)E是[0』中的可測(cè)集,且加㈤=1,則〃?（E）=1.

D.若加（￡）=0,則E為R"中的可數(shù)集.

5.下列命題正確的是（）

A.若“X）在點(diǎn)集EuR"上可測(cè)，則|/（x）|在E上可測(cè)，反之亦然.

B.若〃x）在點(diǎn)集EuR"上可測(cè)，則,尸（另在E上可測(cè)，反之亦然.

C.若在點(diǎn)集上可測(cè)，則尸（%）在E上可測(cè)，反之亦然.

D.設(shè)點(diǎn)集EuR",則維（x）是R"上的可測(cè)函數(shù).

三、判斷題.正確的證明，錯(cuò)誤的舉反例.

1.若A,3可測(cè)，Au5且則加A＜加3.

2.設(shè)七為點(diǎn)集，P丈E,則P是七的外點(diǎn).

3.點(diǎn)集E=｛1,2,｝是閉集.

n

4.任意多個(gè)閉集的并集是閉集.

5.若EuR〃,滿(mǎn)足rnE=+8,則￡為無(wú)限集合.

6.若E與它的真子集對(duì)等，則E一定是有限集.

7.凡非負(fù)可測(cè)函數(shù)都是心可積的.

8.設(shè)A為“空間中一非空集，若則入Ka

9.設(shè)E為可測(cè)集，則存在G。?型集/，使得RuE,且皿石-尸)=0.

10.A")在[a,b]上心可積，貝/(x)在[a,b]R可積且⑷1“用

四、計(jì)算證明題

L證明:A-(5W)=(A叫(AC)

2.設(shè)M是W空間中以有理點(diǎn)(即坐標(biāo)都是有理數(shù))為中心，有理數(shù)為半徑的

球的全體，證明M為可數(shù)集.

3.設(shè)￡uR',￡u紇.，且瓦為可測(cè)集，/=1,2,?根據(jù)題意，若有

m*(B「E)-O,(ifco),證明舊是可測(cè)集.

4.設(shè)P是集，，求(L)「/(x)dx..

[x2,xe[0,l]-P°

5.設(shè)函數(shù)/(x)在Cantor集《中點(diǎn)x上取值為一,而在兄的余集中長(zhǎng)為

111

右的構(gòu)成區(qū)間上取值為=1,2,,求rff(x)dx..

36J。

[.xf1nX.31

lim(R)-----^-sinnxdx

6.求極限：〃-8i0\+nx-

7.開(kāi)集減閉集后的差集為開(kāi)集，閉集減開(kāi)集后的差集為閉集.

8.E"上全體有理數(shù)點(diǎn)集的外測(cè)度為零.

9.設(shè)函數(shù)列在E上依測(cè)度收斂了,且力，于E,貝！于E.

10.設(shè)A?在L-+司上可積，則圖“(X+。-/⑴向=°.

「rnx?

lim(L)-------T-y^mnvcdx

ILwJoi+/nx.

0000

limA,=A?

0

12、證明—n=ln1=n

13、設(shè)瑪=｛（乂，）盧/<1｝。求&在R2內(nèi)的匕E2f瓦。

14、若EUR",對(duì)V￡>0,存在開(kāi)集G,使得EuG且滿(mǎn)足m*（G-E）（巴

證明E是可測(cè)集。

15、試構(gòu)造一個(gè)閉的疏朗的集合Eu[O,l],“-2O

16、設(shè)在E上力（%）=/（x）,且力（X）（力+O幾乎處處成立，“=L2,3,…，則

有｛.力（X）1a.e.收斂于/（"）o

17、設(shè)Eu*,f（x）是E上ae有限的可測(cè)函數(shù)。證明存在定義于“上的一列

連續(xù)函數(shù)｛g,（x）｝,使得㈣且"（幻=/3于石。

rf|一（%）|/「

limI''dx=O

18、設(shè)初E<8，1｝為a.e有限可測(cè)函數(shù)列，證明：""'T+成（刈的

充要條件是工小）=°。

20、設(shè)，您<8,a.e.有限的可測(cè)函數(shù)列力J）和g,（x）,"=1,2,3,…,分別依

測(cè)度收斂于/（%）和g（%）,證明力⑴+8/幻=/⑴+8⑴。

----=(1-x)+(f-X)+,?,,0<x<1,

21、試從1+x求證

In2=1-----1---------1-

234

A(C,紇)=(A-B,,)

23.設(shè)A是一個(gè)集合，｛4』、｛紇｝是兩個(gè)集列，證明:

24.設(shè)｛工，）是出，加上一列幾乎處處有限的可測(cè)函