實變函數試題庫

實變函數試題庫

一、填空題

1.設Aa=/,2］,〃=1,2,,則limAH=.

n

2.（“力）（-，+8）,因為存在兩個集合之間的一一映射為-----.

3.設E是R?中函數的圖形上的點所組成的集合，則

0,x=0

E'=E°=

9?

4.若集合EuR“滿足￡'u￡,則后為集.

5.若（見"）是直線上開集G的一個構成區(qū)間，貝！］（,，刀）滿足:.

6.設E是閉區(qū)間［a,句中的全體無理數集，則mE=..

加E［力（％）/〃x）］=0｛力（％）｝￡上

8.設石uR〃，％。GR”,若,則稱工。是E的聚點.

9.設｛.%（“）｝是E上幾乎處處有限的可測函數列，fix）是￡上幾乎處處有

限的可測函數，若Tb>°,有,則稱｛力（“）｝在E上依測

度收斂于f（x）.

1。.設力⑶=則/力3｝的子列優(yōu)㈤｝,使得

13.（°」）到（氏+份的雙射是.

14.E的全體聚點所組成的集合包含于E的充要條件是

15.【°1］中無理數集的外測度為.

16.R"中所有開集生成的a代數記為B,稱B中的集合為.

17.若/"=°,則對任意的點集B,必有機（46）=.

18.當E為閉區(qū)間時，m*E=.

19.設函數/（X）在可測集E上幾乎處處有限，若對任意給定的S〉°,存在E中

的一個閉集尸，使，"（￡"）＜%且/（X）在F上連續(xù)，則/（X）是可測集￡上的

20.是否存在開集使其余集仍為開集（是或不是選其一填寫）.

21.如果,則稱后是自密集，如果,則稱￡是開集,

如果,石'（=石則稱/是.

00

G=C\G.

22.設G表示為一列開集GJ之交集：I則G稱為.

23.若F表示為一列閉集⑹｝之并集：I,則/稱為.

24.V。，8€尺”＞。），/在E上可測，貝！|￡（/2。）一七（/之?=.

25.Cantor集的外測度為.

26.（Fatou引理）設"，-是可測集EuR“上一列非負可測函數，則.

二、選擇題

1.設C為。1］中Cantor集，則下面說法錯誤的是:（）

A.。是閉集.C.C=0.

B.。是完全集.D.。是可數集

2.設/（x）,￡.（同伙=1,2,）是上幾乎處處有限的可測函數，關于函數列

｛￡《）｝的各種收斂性之間的關系，正確的是（）

A.若十/（》），則

B.若人（x）f^/（x）,則人（x）+/（x）.

C.若加（￡）＜”，且則A（x）＞

D.若m（E）＜小，且￡（x）器-＞/（x），則￡（%）—^/（x）?

3.下列關于開集和閉集的性質中，錯誤的是（）

A.0,R既是開集，又是閉集.

B.R”中的開集和閉集一樣多.

C.設｛7｝著是R"中的一個開集列，則其并集'G.是開集.

k=]

D.設｛鼻｝乙是R"中的一個閉集列，則其交集’&是閉集.

k=i

4.在下面命題中正確的是（）

A.若E為R"中的無界集，則〃2（E）=+oo.

B.若E為H”中的可測集，且E中至少有一個內點，則根（￡）＞0.

C.設E是[0』中的可測集,且加㈤=1,則〃?（E）=1.

D.若加（￡）=0,則E為R"中的可數集.

5.下列命題正確的是（）

A.若“X）在點集EuR"上可測，則|/（x）|在E上可測，反之亦然.

B.若〃x）在點集EuR"上可測，則,尸（另在E上可測，反之亦然.

C.若在點集上可測，則尸（%）在E上可測，反之亦然.

D.設點集EuR",則維（x）是R"上的可測函數.

三、判斷題.正確的證明，錯誤的舉反例.

1.若A,3可測，Au5且則加A＜加3.

2.設七為點集，P丈E,則P是七的外點.

3.點集E=｛1,2,｝是閉集.

n

4.任意多個閉集的并集是閉集.

5.若EuR〃,滿足rnE=+8,則￡為無限集合.

6.若E與它的真子集對等，則E一定是有限集.

7.凡非負可測函數都是心可積的.

8.設A為“空間中一非空集，若則入Ka

9.設E為可測集，則存在G。?型集/，使得RuE,且皿石-尸)=0.

10.A")在[a,b]上心可積，貝/(x)在[a,b]R可積且⑷1“用

四、計算證明題

L證明:A-(5W)=(A叫(AC)

2.設M是W空間中以有理點(即坐標都是有理數)為中心，有理數為半徑的

球的全體，證明M為可數集.

3.設￡uR',￡u紇.，且瓦為可測集，/=1,2,?根據題意，若有

m*(B「E)-O,(ifco),證明舊是可測集.

4.設P是集，，求(L)「/(x)dx..

[x2,xe[0,l]-P°

5.設函數/(x)在Cantor集《中點x上取值為一,而在兄的余集中長為

111

右的構成區(qū)間上取值為=1,2,,求rff(x)dx..

36J。

[.xf1nX.31

lim(R)-----^-sinnxdx

6.求極限：〃-8i0\+nx-

7.開集減閉集后的差集為開集，閉集減開集后的差集為閉集.

8.E"上全體有理數點集的外測度為零.

9.設函數列在E上依測度收斂了,且力，于E,貝！于E.

10.設A?在L-+司上可積，則圖“(X+。-/⑴向=°.

「rnx?

lim(L)-------T-y^mnvcdx

ILwJoi+/nx.

0000

limA,=A?

0

12、證明—n=ln1=n

13、設瑪=｛（乂，）盧/<1｝。求&在R2內的匕E2f瓦。

14、若EUR",對V￡>0,存在開集G,使得EuG且滿足m*（G-E）（巴

證明E是可測集。

15、試構造一個閉的疏朗的集合Eu[O,l],“-2O

16、設在E上力（%）=/（x）,且力（X）（力+O幾乎處處成立，“=L2,3,…，則

有｛.力（X）1a.e.收斂于/（"）o

17、設Eu*,f（x）是E上ae有限的可測函數。證明存在定義于“上的一列

連續(xù)函數｛g,（x）｝,使得㈣且"（幻=/3于石。

rf|一（%）|/「

limI''dx=O

18、設初E<8，1｝為a.e有限可測函數列，證明：""'T+成（刈的

充要條件是工?。?°。

20、設，您<8,a.e.有限的可測函數列力J）和g,（x）,"=1,2,3,…,分別依

測度收斂于/（%）和g（%）,證明力⑴+8/幻=/⑴+8⑴。

----=(1-x)+(f-X)+,?,,0<x<1,

21、試從1+x求證

In2=1-----1---------1-

234

A(C,紇)=(A-B,,)

23.設A是一個集合，｛4』、｛紇｝是兩個集列，證明:

24.設｛工，）是出，加上一列幾乎處處有限的可測函