蘇教版八年級數(shù)學(xué)暑假第12講實(shí)數(shù)有關(guān)概念及性質(zhì)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第12講實(shí)數(shù)有關(guān)概念及性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的過程，知道什么是無理數(shù)。2、會(huì)區(qū)分有理數(shù)和無理數(shù)。3、了解數(shù)的范圍,從整數(shù)→有理數(shù)→實(shí)數(shù)的擴(kuò)展過程，知道實(shí)數(shù)的意義及分類【基礎(chǔ)知識(shí)】一．無理數(shù)（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．說明：無理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，13＝0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2＝1.414213562．②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．（3）學(xué)習(xí)要求：會(huì)判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分?jǐn)?shù)π2是無理數(shù)，因?yàn)棣惺菬o理數(shù)．無理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如等．（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）．（3）含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．注意：判斷一個(gè)數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果．如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．二．實(shí)數(shù)（1）實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)．（2）實(shí)數(shù)的分類：實(shí)數(shù)：或?qū)崝?shù)：三．實(shí)數(shù)的性質(zhì)（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣．實(shí)數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．（2）實(shí)數(shù)的絕對值：正實(shí)數(shù)a的絕對值是它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．（3）實(shí)數(shù)a的絕對值可表示為|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是說實(shí)數(shù)a的絕對值一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），則x＝±a．實(shí)數(shù)的倒數(shù)乘積為1的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab＝1；反之，若ab＝1，則a與b互為倒數(shù)，這里應(yīng)特別注意的是0沒有倒數(shù)．四．實(shí)數(shù)與數(shù)軸（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)關(guān)系．任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．?dāng)?shù)軸上的任一點(diǎn)表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在原點(diǎn)的兩旁，并且兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，實(shí)數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點(diǎn)左側(cè)，絕對值大的反而?。究键c(diǎn)剖析】一．無理數(shù)（共3小題）1．（真題?鎮(zhèn)江期末）下列各數(shù)：，，0，，3.14，其中無理數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（真題?鼓樓區(qū)校級期末）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是A．11 B． C． D．03．（真題?玄武區(qū)校級月考）下列各數(shù)中：12，，，，（每兩個(gè)1之間的0依次加，其中，無理數(shù)有個(gè)．二．實(shí)數(shù)（共2小題）4．（真題?東臺(tái)市月考）將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合中：，0，，，3.01，，，，有理數(shù)集合：；無理數(shù)集合：；整數(shù)集合：；分?jǐn)?shù)集合：．5．（真題?吳江區(qū)月考）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的大括號(hào)中．，，0，，，，，，，，，．（1）正數(shù)集合：；（2）負(fù)數(shù)集合：；（3）負(fù)整數(shù)集合：；（4）非負(fù)分?jǐn)?shù)集合：；（5）無理數(shù)集合：．三．實(shí)數(shù)的性質(zhì)（共4小題）6．（2022春?江津區(qū)期中）下列各組數(shù)中相等的是A．與 B．與 C．與 D．與7．（2021?匯川區(qū)三模）．8．（真題?射陽縣校級期末）已知實(shí)數(shù)、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值為，求代數(shù)式的值．9．（2022春?如皋市校級月考）已知，是11的平方根，且，求的值．四．實(shí)數(shù)與數(shù)軸（共3小題）10．（2022春?海安市校級月考）實(shí)數(shù)，，，在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，其中互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)是A．和 B．和 C．和 D．和11．（真題?江陰市期末）實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡的值是．12．（真題?泰興市期中）（1）求出下列各數(shù)：①的立方根；②5的平方根；③4的算術(shù)平方根．（2）將（1）中求出的每一個(gè)數(shù)準(zhǔn)確地表示在數(shù)軸上（可通過構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形準(zhǔn)確地找到無理數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)），并用連接大?。具^關(guān)檢測】一．選擇題（共9小題）1．（真題?安寧市校級期末）在實(shí)數(shù)，0，，，，，中無理數(shù)有A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2．（真題?梁溪區(qū)期末）在0、、（每兩個(gè)0之間的1依次增加）、、中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3．（真題?姑蘇區(qū)校級期末）在實(shí)數(shù)，，0，，0.12，中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（真題?江陰市期末）的相反數(shù)是A． B． C． D．5．（真題?廣安區(qū)校級期末）若，則與的關(guān)系是A． B．與相等 C．與互為相反數(shù) D．6．（2022春?海門市校級月考）下列說法：①實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③負(fù)數(shù)沒有立方根；④16的平方根是，用式子表示是；⑤某數(shù)的絕對值，相反數(shù)，算術(shù)平方根都是它本身，則這個(gè)數(shù)是0，其中錯(cuò)誤的是A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)7．（真題?泰興市月考）下列說法正確的有①自然數(shù)就是正整數(shù)；②幾個(gè)有理數(shù)相乘時(shí)，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；③一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，一個(gè)分?jǐn)?shù)不是正分?jǐn)?shù)就是負(fù)分?jǐn)?shù)；④分?jǐn)?shù)中既有有理數(shù)也有無理數(shù)；⑤有理數(shù)分為正有理數(shù)、零和負(fù)有理數(shù)，無理數(shù)可分為正無理數(shù)、零和負(fù)無理數(shù)．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)8．（2022?巴彥縣二模）的倒數(shù)是A． B． C． D．9．（2022?江都區(qū)一模）如圖，數(shù)軸上、、、四個(gè)點(diǎn)中可能表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)是A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)二．填空題（共7小題）10．（真題?阜寧縣期末）在，，，四個(gè)數(shù)中，無理數(shù)有個(gè)．11．（2022?朝陽區(qū)一模）寫出一個(gè)比4大且比5小的無理數(shù)：．12．（2020春?鼓樓區(qū)校級月考）在，，，，這五個(gè)數(shù)中，有理數(shù)有個(gè)．13．（真題?亭湖區(qū)校級月考）六個(gè)數(shù)：0.123，，3.1416，，，0.1020020002（相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加，若其中無理數(shù)的個(gè)數(shù)為，整數(shù)的個(gè)數(shù)為，非負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為，則14．（真題?玄武區(qū)校級月考）在9.3，，0，，，141421356，，（每相鄰兩個(gè)3之間依次多一個(gè)，中屬于整數(shù)集合的有，屬于負(fù)分?jǐn)?shù)集合的有，屬于無理數(shù)集合的有．15．（2020春?吳忠期末）的相反數(shù)是．16．（真題?泗陽縣期末）無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是．三．解答題（共4小題）17．（真題?六合區(qū)期中）在數(shù)軸上畫出表示、的點(diǎn)，并標(biāo)上必要的數(shù)據(jù)．18．（2021?鹽城）如圖，點(diǎn)是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)．（1）用直尺和圓規(guī)在數(shù)軸上作出表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）利用數(shù)軸比較和的大小，并說明理由．19．（真題?射陽縣月考）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合中：，，2018，，，0，，，．（1）非正整數(shù)集合：；（2）負(fù)分?jǐn)?shù)集合：；（3）無理數(shù)集合：．20．（真題?淮安期末）我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)可以表示一個(gè)有理數(shù)或無理數(shù)，任意一個(gè)有理數(shù)或無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示．這樣形就可以用數(shù)來精準(zhǔn)描述，而數(shù)也可以用形去直觀體現(xiàn)，這就是我們常說的“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想常?？梢詭臀覀冎庇^地去分析問題并解決問題．問題：（1）已知數(shù)對應(yīng)數(shù)軸上點(diǎn)，且點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，，則；點(diǎn)是該數(shù)軸上另外一點(diǎn)．若，則點(diǎn)表示的數(shù)是；（2）若數(shù)軸上點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是4，點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒2個(gè)長度單位、3個(gè)長度單位的速度同時(shí)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①用含的代數(shù)式分別表示點(diǎn)、對應(yīng)的數(shù)；②當(dāng)時(shí)，求的值；③當(dāng)為何值時(shí)，、、中其中一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)距離相等？第12講實(shí)數(shù)有關(guān)概念及性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的過程，知道什么是無理數(shù)。2、會(huì)區(qū)分有理數(shù)和無理數(shù)。3、了解數(shù)的范圍,從整數(shù)→有理數(shù)→實(shí)數(shù)的擴(kuò)展過程，知道實(shí)數(shù)的意義及分類【基礎(chǔ)知識(shí)】一．無理數(shù)（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．說明：無理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，13＝0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2＝1.414213562．②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．（3）學(xué)習(xí)要求：會(huì)判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分?jǐn)?shù)π2是無理數(shù)，因?yàn)棣惺菬o理數(shù)．無理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如等．（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）．（3）含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．注意：判斷一個(gè)數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果．如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．二．實(shí)數(shù)（1）實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)．（2）實(shí)數(shù)的分類：實(shí)數(shù)：或?qū)崝?shù)：三．實(shí)數(shù)的性質(zhì)（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣．實(shí)數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．（2）實(shí)數(shù)的絕對值：正實(shí)數(shù)a的絕對值是它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．（3）實(shí)數(shù)a的絕對值可表示為|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是說實(shí)數(shù)a的絕對值一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），則x＝±a．實(shí)數(shù)的倒數(shù)乘積為1的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab＝1；反之，若ab＝1，則a與b互為倒數(shù)，這里應(yīng)特別注意的是0沒有倒數(shù)．四．實(shí)數(shù)與數(shù)軸（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)關(guān)系．任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．?dāng)?shù)軸上的任一點(diǎn)表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在原點(diǎn)的兩旁，并且兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，實(shí)數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點(diǎn)左側(cè)，絕對值大的反而?。究键c(diǎn)剖析】一．無理數(shù)（共3小題）1．（真題?鎮(zhèn)江期末）下列各數(shù)：，，0，，3.14，其中無理數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【解答】解：，0是整數(shù)，屬于有理數(shù)；是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；3.14是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，無理數(shù)有，共1個(gè)．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了無理數(shù)．解題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像，等有這樣規(guī)律的數(shù)．2．（真題?鼓樓區(qū)校級期末）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是A．11 B． C． D．0【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【解答】解：．11是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；．是無理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；．是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；．0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像（兩個(gè)1之間依次多一個(gè)，等有這樣規(guī)律的數(shù)．3．（真題?玄武區(qū)校級月考）下列各數(shù)中：12，，，，（每兩個(gè)1之間的0依次加，其中，無理數(shù)有2個(gè)．【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義（無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)）判斷即可．【解答】解：無理數(shù)有，（每兩個(gè)1之間的0依次加，共有2個(gè)，故答案為：2．【點(diǎn)評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像（每兩個(gè)1之間的0依次加，等有這樣規(guī)律的數(shù)．二．實(shí)數(shù)（共2小題）4．（真題?東臺(tái)市月考）將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合中：，0，，，3.01，，，，有理數(shù)集合：，0，，，3.01，，；無理數(shù)集合：；整數(shù)集合：；分?jǐn)?shù)集合：．【分析】找出給定數(shù)列中有理數(shù)、無理數(shù)、整數(shù)以及分?jǐn)?shù)，此題得解．【解答】解：在，0，，，3.01，，，，中，有理數(shù)有：，0，，，3.01，，；無理數(shù)有：，；整數(shù)有：，0，；分?jǐn)?shù)有：，，3.01，．故答案為：，0，，，3.01，，；，；，0，；，，3.01，．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)，牢記有理數(shù)、無理數(shù)、整數(shù)以及分?jǐn)?shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．（真題?吳江區(qū)月考）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的大括號(hào)中．，，0，，，，，，，，，．（1）正數(shù)集合：，，，，，，；（2）負(fù)數(shù)集合：；（3）負(fù)整數(shù)集合：；（4）非負(fù)分?jǐn)?shù)集合：；（5）無理數(shù)集合：．【分析】根據(jù)正數(shù)，負(fù)數(shù)，負(fù)整數(shù)，非負(fù)分?jǐn)?shù)，無理數(shù)的定義可得出答案．【解答】解：（1）正數(shù)集合：，，，，，，；（2）負(fù)數(shù)集合：，，，；（3）負(fù)整數(shù)集合：；（4）非負(fù)分?jǐn)?shù)集合：，，；（5）無理數(shù)集合：，．故答案為：，，，，，，；，，，；；，，；，．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)分類，關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)數(shù)的分類解答．三．實(shí)數(shù)的性質(zhì)（共4小題）6．（2022春?江津區(qū)期中）下列各組數(shù)中相等的是A．與 B．與 C．與 D．與【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而判斷得出答案．【解答】解：．與，不相等，故此選項(xiàng)不合題意；．與，不相等，故此選項(xiàng)不合題意；．與，相等，故此選項(xiàng)符合題意；．與不相等，故此選項(xiàng)不合題意；故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了絕對值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)等知識(shí)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．7．（2021?匯川區(qū)三模）．【分析】先依據(jù)各數(shù)的符號(hào)化去絕對值，再合并同類二次根式即可．【解答】解：．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，正實(shí)數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．8．（真題?射陽縣校級期末）已知實(shí)數(shù)、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值為，求代數(shù)式的值．【分析】根據(jù)題意可得，，，然后代入代數(shù)式求值即可．【解答】解：，、互為相反數(shù)，，、互為倒數(shù)，，的絕對值為．，當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式，所求代數(shù)式的值為6或．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算和求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是掌握相反數(shù)和為0，倒數(shù)積為1．9．（2022春?如皋市校級月考）已知，是11的平方根，且，求的值．【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及平方根的性質(zhì)分類討論得出答案．【解答】解：，，是11的平方根，，，當(dāng)，則，故，當(dāng)，則，故，綜上所述：的值為或．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，正確分類討論是解題關(guān)鍵．四．實(shí)數(shù)與數(shù)軸（共3小題）10．（2022春?海安市校級月考）實(shí)數(shù)，，，在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，其中互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)是A．和 B．和 C．和 D．和【分析】根據(jù)相反數(shù)位于原點(diǎn)的兩側(cè)且到原點(diǎn)的距離相等，可得答案．【解答】解：由相反數(shù)位于原點(diǎn)的兩側(cè)且到原點(diǎn)的距離相等，得與互為相反數(shù)，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，利用相反數(shù)位于原點(diǎn)的兩側(cè)且到原點(diǎn)的距離相等是解題關(guān)鍵．11．（真題?江陰市期末）實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡的值是．【分析】根據(jù)數(shù)軸上，的正負(fù)情況化簡．【解答】解：由圖可知，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)軸上點(diǎn)的意義及絕對值化簡，解題關(guān)鍵是注意絕對值的非負(fù)性．12．（2020秋?泰興市期中）（1）求出下列各數(shù)：①的立方根；②5的平方根；③4的算術(shù)平方根．（2）將（1）中求出的每一個(gè)數(shù)準(zhǔn)確地表示在數(shù)軸上（可通過構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形準(zhǔn)確地找到無理數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)），并用連接大?。痉治觥浚?）根據(jù)平方根，立方根的定義可求．（2）根據(jù)數(shù)的正負(fù)號(hào)及距離找到對應(yīng)點(diǎn)．【解答】（1）．5的平方根：．4的算術(shù)平方根：．故答案為：，，2．（2）如圖所示故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查立方根、平方根、算術(shù)平方根的計(jì)算，以及如何在數(shù)軸上描出表示無理數(shù)的點(diǎn)．可以根據(jù)勾股定理計(jì)算，然后在數(shù)軸上描出來．，所以在數(shù)軸上構(gòu)作邊長為1和2的直角三角形，斜邊長即為，同時(shí)主要平方根有兩個(gè)．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共9小題）1．（真題?安寧市校級期末）在實(shí)數(shù)，0，，，，，中無理數(shù)有A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義即可判斷選擇項(xiàng)．【解答】解：在實(shí)數(shù)，0，，，，，中，是整數(shù)，0是整數(shù)，是分?jǐn)?shù)，是小數(shù)這4個(gè)數(shù)是有理數(shù)，，，這3個(gè)數(shù)是無理數(shù)．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查無理數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，注意帶根號(hào)的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如，，（每兩個(gè)8之間依次多1個(gè)等形式．2．（真題?梁溪區(qū)期末）在0、、（每兩個(gè)0之間的1依次增加）、、中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【解答】解：0是整數(shù)屬于有理數(shù)；是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；無理數(shù)是、（每兩個(gè)0之間的1依次增加），共2個(gè)．故選：．【點(diǎn)評】此題考查了無理數(shù)的定義．解題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的定義，注意初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像（每兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)依次加，等有這樣規(guī)律的數(shù)．3．（真題?姑蘇區(qū)校級期末）在實(shí)數(shù)，，0，，0.12，中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義可得答案．【解答】解：在實(shí)數(shù)，，0，，0.12，中，有理數(shù)有，0，0.12，，有理數(shù)的個(gè)數(shù)有4個(gè)．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．4．（真題?江陰市期末）的相反數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義即可得出答案．【解答】解：的相反數(shù)是，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了整體思想，把看作整體，根據(jù)的相反數(shù)是是解題的關(guān)鍵．5．（真題?廣安區(qū)校級期末）若，則與的關(guān)系是A． B．與相等 C．與互為相反數(shù) D．【分析】根據(jù)立方根的意義和性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0．則．所以與互為相反數(shù)，由此解決問題．【解答】解：，，與的關(guān)系是互為相反數(shù)（或，或．故選：．【點(diǎn)評】此題考查了立方根．解題的關(guān)鍵是得到這一步．6．（2022春?海門市校級月考）下列說法：①實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③負(fù)數(shù)沒有立方根；④16的平方根是，用式子表示是；⑤某數(shù)的絕對值，相反數(shù)，算術(shù)平方根都是它本身，則這個(gè)數(shù)是0，其中錯(cuò)誤的是A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)，絕對值，平方根，立方根，平行公理等知識(shí)逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：①實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，正確；②應(yīng)該是“在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，故錯(cuò)誤；③負(fù)數(shù)沒有立方根，錯(cuò)誤；④16的平方根是，用式子表示是，故錯(cuò)誤；⑤某數(shù)的絕對值，相反數(shù)，算術(shù)平方根都是它本身，則這個(gè)數(shù)是0，正確；故錯(cuò)誤的有：②，③，④，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了實(shí)數(shù)，絕對值，平方根，立方根，熟練掌握它們的定義及平行公理等知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．7．（真題?泰興市月考）下列說法正確的有①自然數(shù)就是正整數(shù)；②幾個(gè)有理數(shù)相乘時(shí)，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；③一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，一個(gè)分?jǐn)?shù)不是正分?jǐn)?shù)就是負(fù)分?jǐn)?shù)；④分?jǐn)?shù)中既有有理數(shù)也有無理數(shù)；⑤有理數(shù)分為正有理數(shù)、零和負(fù)有理數(shù)，無理數(shù)可分為正無理數(shù)、零和負(fù)無理數(shù)．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】①根據(jù)自然數(shù)的概念判斷即可；②根據(jù)有有理數(shù)乘法法則判斷即可；③根據(jù)有理數(shù)的概念判斷即可；④根據(jù)分?jǐn)?shù)的概念判斷即可；⑤根據(jù)有理數(shù)、無理數(shù)的概念判斷即可．【解答】解：①自然數(shù)就是正整數(shù)，不正確，還有0；②幾個(gè)非零有理數(shù)相乘時(shí)，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；故原說法不正確；③一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，一個(gè)分?jǐn)?shù)不是正分?jǐn)?shù)就是負(fù)分?jǐn)?shù)，正確；④分?jǐn)?shù)是有理數(shù)，故原說法不正確；⑤有理數(shù)分為正有理數(shù)、零和負(fù)有理數(shù)，無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)，故原說法不正確．正確的有：③．故選：．【點(diǎn)評】此題考查的是實(shí)數(shù)、有理數(shù)的乘法，掌握實(shí)數(shù)的概念及乘法法則是解決此題的關(guān)鍵．8．（2022?巴彥縣二模）的倒數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義寫出即可．【解答】解：的倒數(shù)是，故選：．【點(diǎn)評】考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)及倒數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．9．（2022?江都區(qū)一模）如圖，數(shù)軸上、、、四個(gè)點(diǎn)中可能表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)是A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【分析】首先運(yùn)用夾逼法確定在哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間，然后根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)的關(guān)系即可得到表示的點(diǎn)在之間．【解答】解：，，在數(shù)軸上表示的點(diǎn)在之間，即點(diǎn)．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸：數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)．也考查了無理數(shù)的估算．二．填空題（共7小題）10．（真題?阜寧縣期末）在，，，四個(gè)數(shù)中，無理數(shù)有2個(gè)．【分析】理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．【解答】解：，是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；無理數(shù)有，，共2個(gè)．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查了無理數(shù)．解題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像，等有這樣規(guī)律的數(shù)．11．（2022?朝陽區(qū)一模）寫出一個(gè)比4大且比5小的無理數(shù)：．【分析】由于，，所以可寫出一個(gè)二次根式，此根式的被開方數(shù)大于16且小于25即可．【解答】解：比4大且比5小的無理數(shù)可以是．故答案為．【點(diǎn)評】本題考查了對估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，注意：無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，此題是一道開放型的題目，答案不唯一．12．（2020春?鼓樓區(qū)校級月考）在，，，，這五個(gè)數(shù)中，有理數(shù)有3個(gè)．【分析】直接利用有理數(shù)的定義分析得出答案．【解答】解：在，，，，這五個(gè)數(shù)中，有理數(shù)有：，，共3個(gè)．故答案為：3．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)，正確掌握有理數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．13．（真題?亭湖區(qū)校級月考）六個(gè)數(shù)：0.123，，3.1416，，，0.1020020002（相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加，若其中無理數(shù)的個(gè)數(shù)為，整數(shù)的個(gè)數(shù)為，非負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為，則6【分析】由于無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及，等有這樣規(guī)律的數(shù)，由此即可判定無理數(shù)的值，根據(jù)整數(shù)的定義非負(fù)數(shù)的定義即可判定、的值，然后即可求解．【解答】解：無理數(shù)有：，0.1020020002（相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加，則；沒有整數(shù)：則；非負(fù)數(shù)有：0.123，，3.1416，0.1020020002（相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加，共4個(gè)；則．則．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題主要考查實(shí)數(shù)的分類．無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)．有一定的綜合性．14．（真題?玄武區(qū)校級月考）在9.3，，0，，，141421356，，（每相鄰兩個(gè)3之間依次多一個(gè)，中屬于整數(shù)集合的有、0，屬于負(fù)分?jǐn)?shù)集合的有，屬于無理數(shù)集合的有．【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)解決此題．【解答】解：根據(jù)整數(shù)的定義，整數(shù)有、0；根據(jù)負(fù)分?jǐn)?shù)的定義，負(fù)分?jǐn)?shù)有；根據(jù)無理數(shù)的定義，無理數(shù)有、．故答案為：、0；；、．【點(diǎn)評】本題主要考查實(shí)數(shù)分類，熟練掌握實(shí)數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)是解決本題的關(guān)鍵．15．（2020春?吳忠期末）的相反數(shù)是．【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)解答．【解答】解：的相反數(shù)是．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．16．（真題?泗陽縣期末）無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是．【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，得到的長度，即可得到點(diǎn)表示的數(shù)．【解答】解：根據(jù)勾股定理得，，點(diǎn)表示的數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題）17．（真題?六合區(qū)期中）在數(shù)軸上畫出表示、的點(diǎn)