四川省成都市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試題

高中2022級(jí)數(shù)學(xué)試題第考試時(shí)間120分鐘，滿分150分注意事項(xiàng)： 1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”。2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無(wú)效；在草稿紙上、試卷上答題無(wú)效。3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓C:，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為A．3 B．4 C．6 D．92．若直線l的傾斜角為，則它的方向向量可以為A． B． C． D．3．某中學(xué)舉行數(shù)學(xué)解題比賽，其中5人的比賽成績(jī)分別為：70，85，90，75，95，則這5人成績(jī)的上四分位數(shù)是A．90 B．75 C．95 D．704．若方程表示一個(gè)圓，則m可取的值為A．0 B．1 C．2 D．35．有5個(gè)相同的球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中一次性取出2個(gè)球，則事件“2個(gè)球顏色不同”發(fā)生的概率為A． B． C． D．6．已知圓，圓，點(diǎn)為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．3 B． C． D．7．已知等腰直角三角形ABC，，點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，沿AD折起平面ABD使得，則異面直線AB與DC所成角的余弦值為A． B． C． D．8．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦長(zhǎng)的最小值為A． B．3 C．2 D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知甲、乙兩蔬菜店春節(jié)假期一周銷售蔬菜量統(tǒng)計(jì)如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是A．甲組數(shù)據(jù)的極差小于乙組數(shù)據(jù)的極差B．甲店在春節(jié)假期間每天的銷售量越來(lái)越大C．甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)D．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，則10．一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，擲一次骰子并觀察向上的點(diǎn)數(shù)．A表示事件“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于等于3”，B表示事件“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則A． B．C． D．11．已知曲線，直線，點(diǎn)A為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是A．直線l恒過(guò)定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為C．若直線l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的范圍為D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A到直線l距離的最小值為12．已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為F2，F(xiàn)1，上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，原點(diǎn)為O，直線與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，點(diǎn)，則A．四邊形面積的最大值為B．四邊形的周長(zhǎng)為12C．直線BD，BE的斜率之積為D．若動(dòng)點(diǎn)Q滿足，且點(diǎn)P為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，A，B是兩個(gè)獨(dú)立的開(kāi)關(guān)，設(shè)它們閉合的概率分別為，，則該線路是通路的概率為_(kāi)_____．14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，若，則______．15．正方體的棱長(zhǎng)為2，BC棱上一點(diǎn)P滿足，則直線PA與平面AB1C所成角的正弦值為_(kāi)_____．16．已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，若在線段AB上有且僅有一個(gè)點(diǎn)P使，則橢圓離心率的取值范圍為四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）已知直線，．（1）若直線，求m的值；（2）若直線，求l1與l2的距離．18．（12分）已知圓，圓，若動(dòng)圓M與圓F1外切，與圓F2內(nèi)切．（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；（2）直線l與（1）中軌跡C相交于A，B兩點(diǎn)，若Q為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．19．（12分）傳唱紅色歌曲能夠彌補(bǔ)青少年面對(duì)社會(huì)多元化的彷徨，有助于在紅歌中受到啟迪，樹(shù)立積極的生活態(tài)度和健康的價(jià)值觀．某重點(diǎn)高中在紀(jì)念“一二·九”活動(dòng)中，舉辦了“唱青春之序曲，展時(shí)代之芳華”紅色經(jīng)典歌曲合唱比賽，由專業(yè)教師和學(xué)生會(huì)共50人組成評(píng)委團(tuán)，評(píng)委所打分?jǐn)?shù)的平均分最高的節(jié)目參加區(qū)合唱比賽．評(píng)委對(duì)各節(jié)目的給分相互獨(dú)立，互不影響．現(xiàn)有兩個(gè)特等獎(jiǎng)節(jié)目：《在太行山上》得分的頻率分布直方圖和《四渡赤水出奇兵》得分的頻率分布表，如下所示：分?jǐn)?shù)區(qū)間[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95]頻數(shù)141022112頻率0.020.080.200.440.220.04分?jǐn)?shù)區(qū)間[35,55)[55,75)[75,95]印象值8910（1）從兩個(gè)節(jié)目各自的平均分來(lái)看，應(yīng)該推選哪個(gè)節(jié)目參加區(qū)合唱比賽（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）根據(jù)印象值表對(duì)兩個(gè)節(jié)目的所有評(píng)分進(jìn)行賦值，從兩個(gè)節(jié)目的“印象值”分?jǐn)?shù)中各隨機(jī)抽取一個(gè)分?jǐn)?shù)，試估計(jì)《在太行山上》“印象值”比《四渡赤水出奇兵》“印象值”高的概率．20．（12分）圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心C在直線上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求直線AB的方程及原點(diǎn)O到直線AB距離最大時(shí)m的值．21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，是等腰直角三角形，且，平面平面，點(diǎn)E是線段PC（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）設(shè)平面ADE交PB于點(diǎn)F，求證：EF平面PAD；（2）當(dāng)點(diǎn)E到平面PAD的距離為時(shí)，求平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值．22．（12分）已知橢圓C的方程為，稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為的圓為橢圓C的“蒙日?qǐng)A”，橢圓C的焦距為2，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與其“蒙日?qǐng)A”交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．2023～2024學(xué)年度上期高中2022級(jí)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。12345678CBADCBBA二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9101112ACACDBCABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13． 14． 15． 16．三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）解：（1），，m的值為6； …………4分（2），，解得：或， …………7分驗(yàn)證，，兩直線重合，舍去，時(shí)，，，． ………10分18．（12分）解：（1）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，動(dòng)圓M與圓F1外切，與圓F2內(nèi)切，，且， …………2分于是， …………3分動(dòng)圓圓心M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，，， …………5分當(dāng)M點(diǎn)為橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，不合題意，舍去動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程為； …………6分（2）設(shè)，由題意，顯然，則有，， …………7分兩式作差可得，所以有， …………9分又，所以直線l的斜率， …………10分直線l的方程為，整理可得. …………12分19．（12分）解：（1）由頻率分布直方圖可知，《在太行山上》的平均得分約為：，由頻率分布表可知《四渡赤水出奇兵》的平均得分約為：， ………5分，故應(yīng)該推選《在太行山上》參加區(qū)合唱比賽； …………6分（2）設(shè)“對(duì)《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”為事件M，設(shè)A9表示事件“對(duì)《在太行山上》印象值為9”，設(shè)A10表示事件“對(duì)《在太行山上》印象值為10”，設(shè)B8表示事件“對(duì)《四渡赤水出奇兵》印象值為8”，設(shè)B9表示事件“對(duì)《四渡赤水出奇兵》印象值為9”， …………7分則， …………8分，，…………9分，， ………10分事件Ai與Bj相互獨(dú)立，其中，，，估計(jì)對(duì)《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”的概率為0.284． …………12分20．（12分）解：（1）線段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段EF的垂直平分線方程為，聯(lián)立，得C，又圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為； …………5分（2）線段PC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，以線段PC為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，即，圓C方程化為：，兩式相減得：，即為直線AB的方程， …………10分即由，直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)O到直線AB的距離最大，，，解得． ……12分21．（12分）解：（1）證明：四邊形ABCD為菱形，，平面PBC，平面PBC，平面PBC， …………2分平面ADE，平面平面，， …………3分平面PAD，平面PAD，平面PAD； …………4分（2）在AB上取中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示， …………5分則，，，，， …………6分，，，設(shè)，則， …………7分設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，則，可得， …………8分由點(diǎn)E到平面PAD的距離為得，解得， …………9分故點(diǎn)E為CP中點(diǎn)，，，又，設(shè)是平面ADE的一個(gè)法向量，則，可得， …………10分又，故是平面ABCD的一個(gè)法向量，得， …………11分平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值為． …………12分22．（12分）解：（1）由得，，， …………2分橢圓C的方程為：； …………3分（2）由題意，蒙日?qǐng)A方程為，圓心為O，半徑， …………4分①當(dāng)軸時(shí)，設(shè)直線CD:，，解得：，代入橢圓C的方程可得：，，， …………5分②當(dāng)CD不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線CD：，即，圓心O到直線CD的距離為，得，………6分聯(lián)立消去y得：， …………7分，解得，設(shè)，，則，， …………8分，， …………9分， …………10分令，則，，代入上式，，令，則，，當(dāng)時(shí)，取得最大值， …………11分又，綜上所述，面積的最大值為． …………12分部分解析：11．解：直線，，，直線過(guò)定點(diǎn)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線，半圓與直線相交，圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)為，B正確；若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為2，，解得（舍）或，所以m的范圍為，C正確；當(dāng)時(shí)，直線，當(dāng)A為原點(diǎn)時(shí)距離最小，且最小值為，D錯(cuò)誤，故選：BC．12．解：，因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn)，所以四邊形為