四川省成都市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page28高2022級(jí)高二上學(xué)期半期考試數(shù)學(xué)試題一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.空間向量，若，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C.0 D.2【答案】D【解析】【分析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)公式列式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，解?故選：D.2.已知直線的方程為，則該直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得，進(jìn)一步得，從而可求出傾斜角的取值范圍.【詳解】因?yàn)橹本€的方程為，直線的傾斜角為，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，故選：D3.已知圓的方程為，圓的方程為，若圓與圓外切，則的值為（）A.1 B.9 C.10 D.16【答案】B【解析】【分析】求出兩圓的圓心和半徑，再由兩圓外切列方程可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以圓心，半徑，由，得，所以圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓外切，所以，即，所以，得，故選：B4.在斜三棱柱的底面中，，且，，則線段的長(zhǎng)度是（）A. B.3 C. D.4【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)幾何圖形，利用基底向量表示，再根據(jù)數(shù)量積公式，求模長(zhǎng).【詳解】，,,所以.故選：A5.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得最大時(shí)的位置，進(jìn)而求得到平面的距離，進(jìn)而可求直線與平面所成角的正弦值【詳解】設(shè)，則由知最大時(shí)最大又當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等此時(shí)是的中點(diǎn)，設(shè)到平面的距離為由得，即，解得設(shè)直線與平面所成角為：故選：A.6.已知圓，圓，分別是圓的動(dòng)點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.10 C.13 D.16【答案】B【解析】【分析】求出兩圓的圓心和半徑，數(shù)形結(jié)合得到的最小值為的最小值，求出關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到的最小值，進(jìn)而得到的最小值.【詳解】的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，如圖所示，的最小值為的最小值，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，故，連接，則即為的最小值，故的最小值為，故的最小值為.故選：B7.在中，為的中點(diǎn).將沿進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到三棱錐，當(dāng)二面角為時(shí)，的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得該三棱錐的面，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，平面，將三棱錐補(bǔ)形成正三棱柱，三棱錐的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，求出其半徑可得解.【詳解】由題意，，二面角的平面角是，，.將沿進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到三棱錐，所以，由余弦定理可得：，因?yàn)?，，，平面，平面，將三棱錐補(bǔ)形成正三棱柱，三棱錐的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，取外接圓的圓心，外接圓的圓心，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知正三棱柱的外接球球心是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)是外心，，在中，，即，三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.8.已知正方體的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，矩形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)滿足，記直線與平面所成線面角為.當(dāng)最大時(shí)，過(guò)直線做平面平行于直線，則此時(shí)平面截正方體所形成圖形的周長(zhǎng)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】作出圖形，分析可知，點(diǎn)在矩形內(nèi)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在矩形內(nèi)的圓弧，當(dāng)與圓弧相切于點(diǎn)時(shí)，最大，即取最大值，然后作出截面，計(jì)算出各邊邊長(zhǎng)，相加可得出截面的周長(zhǎng).【詳解】如下圖所示：因?yàn)榫匦蝺?nèi)（包括邊界）的點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在矩形內(nèi)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在矩形內(nèi)的圓弧，設(shè)直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，則平面，所以，與平面所成的角為，由圖可知，當(dāng)與圓弧相切于點(diǎn)時(shí)，最大，即取最大值，連接，則，易知，則，所以，是等腰直角三角形，則，在矩形中，，則，又因?yàn)?，所以，是等腰直角三角形，則，所以，，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，則，設(shè)平面分別交棱、于點(diǎn)、，連接,因?yàn)?，平面，平面，則，故，設(shè)截面分別交直線、于點(diǎn)、，因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，則，設(shè)，，則，同理可得，故為等腰直角三角形，易知，而，則，則為的中點(diǎn)，所以，，則，故，因?yàn)?，且，則為等腰直角三角形，所以，，則，因?yàn)槠矫?，、平面，則，，則，所以，，同理可得，故截面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為，故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.若兩條不重合的直線的傾斜角相等，則這兩條直線一定平行B.若直線與直線垂直，則C.若直線與直線平行，則D.若直線的一個(gè)方向向量是，則直線的傾斜角是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)兩直線的傾斜角相等且不重合可對(duì)A項(xiàng)判斷；由直線和直線垂直，從而求出或，即可對(duì)B項(xiàng)判斷；直線和直線平行，利用兩直線平行知識(shí)可對(duì)C項(xiàng)判斷；知道直線的方向向量，從而可求解出傾斜角，即可對(duì)D項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：兩直線的傾斜角相等且不重合，可得兩直線平行，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)：由直線和直線垂直，得：，解得：或，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：直線和直線平行，當(dāng)時(shí)，得直線：與直線不平行，當(dāng)時(shí)，得：，解得：或，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)兩直線重合不符題意，故，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)：知直線的方向向量為，得：，所以得直線的斜率為，傾斜角為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.10.如圖，在四棱錐中，是矩形，側(cè)棱底面，且，分別為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.四面體每個(gè)面都是直角三角形B.C.當(dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時(shí)，平面D.直線和平面所成角的正切值為【答案】BC【解析】【分析】因?yàn)閯t當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，與不垂直，則選項(xiàng)A可以判斷；由圖形可知，可以建立以點(diǎn)D為原點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系，則找到與的向量進(jìn)行垂直判斷，即可得到選項(xiàng)B；因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則可證明平面判斷C選項(xiàng)；利用直線的方向向量和平面的法向量，代入夾角公式即可計(jì)算出夾角的正弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)值得求解，即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，，在中，為中點(diǎn)，由于只有在等腰三角形中底面上的高才能垂直底面，由于不是等腰，則與不垂直，則在四面體有的面不是直角三角形，故A不正確；分別為的中點(diǎn)，則在中，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?C正確以點(diǎn)D為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，則可判斷.B正確；，則方向向量為.平面的法向量設(shè)直線和平面所成角為，則，則，D錯(cuò)誤.故選：BC11.點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下面正確的有（）A.圓的半徑為3B.既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值C.的范圍是D.的最大值為72【答案】BC【解析】【分析】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤.設(shè)，則轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點(diǎn)，可算得既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值，選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C和D，可用三角換元化簡(jiǎn)，再結(jié)合輔助角公式即可判斷.【詳解】圓轉(zhuǎn)化為，則圓的圓心為，半徑為2，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.設(shè)，則直線與圓有交點(diǎn)，即，整理得，解得或.既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值，選項(xiàng)B正確.設(shè)，，則，其中.則的取值范圍為，選項(xiàng)C正確.又，則，因此其中.則的最大值為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC12.已知圓，點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線為切點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得線段的長(zhǎng)度為整數(shù)B.若是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為C.當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)，使得的面積為1D.當(dāng)且時(shí)，若在圓上總是存在點(diǎn)，使得，則此時(shí)【答案】ACD【解析】【分析】求出點(diǎn)軌跡，利用幾何面積轉(zhuǎn)換從而可得到的取值范圍，即可對(duì)A項(xiàng)判斷；求出圓心的軌跡方程為，然后即可求出的最小值，即可對(duì)B項(xiàng)判斷；畫(huà)出圓及切線，利用幾何條件，從而可對(duì)C、D項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，圓：，圓心，半徑，由點(diǎn)得的軌跡方程為：，如下圖：由，所以當(dāng)最小時(shí)，最小，的最小值為圓心到的距離，此時(shí)：，又因?yàn)椋?，故，所以?dāng)時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得線段的長(zhǎng)度為整數(shù)，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)：圓心得圓心的軌跡方程為，所以到直線的距離為，所以是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為：，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：當(dāng)，圓：，由A項(xiàng)知的軌跡方程為：，如下圖：由：，故最小時(shí)，最小，的最小值為圓心到直線的距離為，設(shè)，由A項(xiàng)知，進(jìn)而可得中邊上的高為，所以，因?yàn)椋?，所以得：，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)：因?yàn)榕c圓相切，所以，，最長(zhǎng)時(shí)，，此時(shí)，所以：，解得：，又因?yàn)?，所以：，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線與圓，則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，再結(jié)合勾股定理可求弦長(zhǎng).【詳解】圓C的圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑為，圓心到直線的距離為：，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為：，故答案為：.14.在三棱錐中，在線段上，滿足是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算、四點(diǎn)共面等知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，，則，由于四點(diǎn)共面，所以.故答案為：15.在空間直角坐標(biāo)系中，若一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以向量為方向向量，則這條直線可以用方程來(lái)表示，已知直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且為一個(gè)方向向量，易得，應(yīng)用點(diǎn)線距離的向量求法求點(diǎn)到直線的距離.【詳解】由題設(shè)，直線為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且為一個(gè)方向向量，所以，故到直線的距離為.故答案為：216.如圖，在中，，過(guò)中點(diǎn)的動(dòng)直線與線段交于點(diǎn)，將沿直線向上翻折至，使得點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在線段上，則斜線與平面所成角的正弦值的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)正余弦定理求解三角形，再以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，并求出點(diǎn)的軌跡方程，并利用，求得點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍，相結(jié)合后，即可求解線面角正弦值的取值范圍.【詳解】，得，即，中，根據(jù)余弦定理，，根據(jù)正弦定理，，得如圖，以底面點(diǎn)為空間原點(diǎn)建系，根據(jù)底面幾何關(guān)系，得點(diǎn),,設(shè)點(diǎn)，翻折后點(diǎn)的投影在軸上，所以的縱坐標(biāo)為0，即，，由，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，，整理為如右圖，在翻折過(guò)程中，作于點(diǎn)，則，并且，平面，所以平面，平面,所以，即，其中，又動(dòng)點(diǎn)在線段上動(dòng)，設(shè)，故，且，由，得，，又因?yàn)?，?duì)應(yīng)的的取值為，即,.則斜線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間向量解決角的問(wèn)題，關(guān)鍵1，求點(diǎn)的軌跡，關(guān)鍵2，根據(jù)幾何關(guān)系可得，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.四?解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17已知點(diǎn).（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）求以為鄰邊的平行四邊形的面積.【答案】（1）或（2）3【解析】【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式可解；（2）首先利用數(shù)量積公式求，則可解，結(jié)合面積公式可得答案.【小問(wèn)1詳解】，，或，或；【小問(wèn)2詳解】由題意得所以，，，.18.已知直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，.（1）求直線和直線的一般式方程；（2）已知直線經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的倍，求直線的一般式方程.【答案】18.；19.或【解析】【分析】（1）根據(jù)直線過(guò)兩點(diǎn)從而可求解其一般式方程，由，可求出的一般方程；（2）求出直線和的交點(diǎn)，再結(jié)合在坐標(biāo)軸上截距，從而可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，直線的斜率為,所以得其方程為，整理化簡(jiǎn)得其一般式方程為：，因?yàn)?，所以：可設(shè)的方程為：，又因?yàn)椋裕?，得一般式方程為，綜上：.【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立，得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)是，由題意知，（i）當(dāng)直線在軸上的截距是在軸上的截距的倍且為時(shí)，即，此時(shí)的方程為；（ii）當(dāng)直線在軸上的截距是在軸上的截距的倍且不為時(shí)，此時(shí)可設(shè)直線的方程為，因?yàn)?，所以：，得：，滿足條件，此時(shí)的方程為，綜上，的方程為或.19.如圖所示，有一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地（包含邊界和內(nèi)部，為坐標(biāo)原點(diǎn)），長(zhǎng)為8米，在邊上距離點(diǎn)4米的處放置一個(gè)行走儀，在距離點(diǎn)2米的處放置一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為，行走儀行走速度為，若行走儀和機(jī)器人在場(chǎng)地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場(chǎng)地內(nèi)某點(diǎn)，那么行走儀將被機(jī)器人捕獲，稱(chēng)點(diǎn)叫捕獲點(diǎn).（1）求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)捕獲點(diǎn)的軌跡方程；（2）若為矩形場(chǎng)地邊上的一點(diǎn)，若行走儀在線段上都能逃脫，問(wèn)：點(diǎn)的位置應(yīng)在何處？【答案】（1）（2）的橫坐標(biāo)范圍為【解析】【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)求出軌跡方程，注意；（2）作出第一問(wèn)中求出的點(diǎn)的軌跡，數(shù)形結(jié)合得線段與（1）中圓弧相離時(shí)，則行走儀在線段上能逃脫，設(shè)出直線方程，從而利用點(diǎn)到直線距離公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)捕獲點(diǎn)，可得，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)辄c(diǎn)需在矩形場(chǎng)地內(nèi)，所以，且在第一象限，解得，故所求軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】畫(huà)出點(diǎn)的軌跡，如圖所示，當(dāng)線段與（1）中圓弧相離時(shí)，則行走儀在線段上能逃脫，其中，設(shè)線段的方程為，則到直線的距離為，結(jié)合，解得，中，令得，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是.20.如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，，平面平面.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的平面角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理證明即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，分別求出面和面，由二面角的向量公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】連接交于點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)易知，又平面平面是交線，平面，平面，又平面，，又平面，平面；【小問(wèn)2詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，若，則易知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量則，即，令，則，所以二面角的平面角為銳角，二面角的平面角的余弦值為，二面角的平面角的正弦值為二面角的平面角的正切值為.21.如圖，菱形的邊長(zhǎng)為為的中點(diǎn).將沿折起，使到達(dá)，連接，得到四棱錐.（1）證明：；（2）當(dāng)二面角的平面角在內(nèi)變化時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明線面垂直，進(jìn)而可得線線垂直，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解線面角，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【小問(wèn)1詳解】由題意證明如下，在菱形中，為的中點(diǎn)，，是等邊三角形，，在翻折過(guò)程中，恒有，又平面，平面，平面，；【小問(wèn)2詳解】