2023-2024學(xué)年重慶市九龍坡區(qū)楊家坪中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年重慶市九龍坡區(qū)楊家坪中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z滿足2z+3z?=5?2i，則|z|=A.3 B.2 C.5 2.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,3)，則cos2α的值為A.?12 B.?32 3.在△ABC中，AB=a，AC=b，若BD=13BC，A.13a+16b B.14.已知平面向量a=(?1,2)，b=(3,4)，則a在b上的投影向量為(

)A.(?35,?45) B.(5.在△ABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是(

)A.a=4，b=5，c=6 B.a=3，b=2，A=45°

C.a=10，A=45°，B=70° D.a=3，b=26.在△ABC中，A=120°，b=5，且△ABC的面積為1543，則△ABC的周長(zhǎng)為A.15 B.12 C.16 D.207.折扇是我國(guó)傳統(tǒng)文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫(huà)的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征(如圖1).圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖(扇形的一部分)，若兩個(gè)圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且∠ABC=120°，則該圓臺(tái)的體積為(

)

A.5023π B.9π C.8.如圖，在函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的部分圖象中，若TA=AB，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為A.2?22

B.3?12二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=1+i，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.z的共軛復(fù)數(shù)是1?i

B.z的虛部是i

C.z?z=i

D.若復(fù)數(shù)z0滿足|10.已知向量a=(cosθ,sinθ)，b=(?3,4)，則(

)A.若a//b，則tanθ=?43

B.若a⊥b，則sinθ=35

C.|11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1棱長(zhǎng)為2，A.BP的最小值為6

B.PA+PC的最小值為22?2

C.三棱錐B1?ACD1的體積為83

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若復(fù)數(shù)z是方程x2?2x+2=0的一個(gè)根，則i?13.某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)相同的四面體得到的(如圖)，若被截正方體的棱長(zhǎng)是6dm，那么該幾何體的表面積是______dm2．

14.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．已知HE=2EB，M為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)P為中間小正方形EFGH內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界).若MP=λME?MB，則λ

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(1,1),|b|=22．

(1)若a//b，求b的坐標(biāo)；

(2)若(516.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=Asin(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)將函數(shù)f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移π6個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，當(dāng)x∈[?π6,π]17.(本小題15分)

古語(yǔ)云：“積善之家，必有余興”，扇是扇風(fēng)的，有“風(fēng)生水起”走好運(yùn)之意，“扇”與“善”字諧音，佩戴扇形玉佩，有行善積德之意，一支考古隊(duì)在對(duì)某古墓進(jìn)行科考的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)一枚扇形玉佩，但因?yàn)榈刭|(zhì)原因，此扇形玉佩已經(jīng)碎成若干塊，其中一塊玉佩碎片如圖1所示，通過(guò)測(cè)量得到數(shù)據(jù)AC=2?1，BC=3，AB=2(圖1中破碎邊緣呈鋸齒形狀)．

(1)求這個(gè)扇形玉佩的半徑；

(2)現(xiàn)又找到一塊比較規(guī)則的三角形碎片，如圖2所示，其三邊長(zhǎng)分別為37，57，1，且該三角形碎片有兩邊是原扇形邊界的一部分，請(qǐng)復(fù)原該扇形玉佩的具體參數(shù)18.(本小題17分)

在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且2sinBsinC+cos2C=1+cos2A?cos2B．

(1)求證：B+C=2A；

(2)求c?ba的取值范圍．19.(本小題17分)

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)f(x)=asinx+bcosx，稱向量OM=(a,b)為函數(shù)f(x)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)f(x)為向量OM的相伴函數(shù)．

(1)記向量ON=(1,3)的相伴函數(shù)為f(x)，求當(dāng)f(x)=85且x∈(?π3,π6)時(shí)，sinx的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=3cos(x+π6)+cos(π3?x)，試求g(x)的相伴特征向量OM，并求出與參考答案1C

2A

3A

4B

5B

6A

7D

8B

9AD

10ACD

11ACD

121

1336(3+14(2,4)

15解：(1)由題意，設(shè)b=λa=(λ,λ)，

因?yàn)閨b|=22，所以λ2+λ2=22，所以λ=±2，

所以b=(2,2)或b=(?2,?2)．

(2)因?yàn)?5a?2b)⊥(a+b)，

所以(5a?2b)?(a16解：(1)由圖象可知，A=2，

周期T=43[5π12?(?π3)]=π，

∴2π|ω|=π，ω>0，則ω=2，

從而f(x)=2sin(2x+φ)，

代入點(diǎn)(5π12,2)，得sin(5π6+φ)=1，

則5π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=?π3+2kπ，k∈Z，

又|φ|<π2，

則φ=?π3，

∴f(x)=2sin(2x?π3)；

(2)∵f(x)=2sin(2x?π317解：(1)由余弦定理得cos∠BAC=22+(2?1)2?322×2×(2?1)=22，

記扇形的中心為O，設(shè)OC=x，由題意可知OB=x+2?1，

由余弦定理得(x+2?1)2+22?2×2×(x+18(1)證明：(1)因?yàn)?sinBsinC+cos2C=1+cos2A?cos2B，

所以2sinBsinC+1?2sin2C=1+1?2sin2A?1+2sin2B，

則sinBsinC?sin2C=?sin2A+sin2B，

由正弦定理可得bc?c2=?a2+b2，即bc=b2+c2?a2，

由余弦定理可得2bccosA=b2+c2?a2，

可得cosA=12，又A∈(0,π2)，故A=π3，

由A+B+C=π，

19解：(1)由已知可得：f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)=85，

所以sin(x+π3)=45，

又x∈(?π3,π6)，所以x+π3∈(0,π2)，

所以cos(x+π3)=35，

所以sinx=sin[(x+π3)?π3]

=si