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知識(shí)點(diǎn)一橢圓的定義1.定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于
(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡.2.焦點(diǎn):兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2.3.焦距:兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|.4.幾何表示:|MF1|+|MF2|=
(常數(shù))且2a
|F1F2|.常數(shù)2a>知識(shí)點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程__________________________________圖形
焦點(diǎn)坐標(biāo)________________________________________a,b,c的關(guān)系__________F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c)b2=a2-c2A.(5,0),(-5,0) B.(0,5),(0,-5)C.(0,12),(0,-12) D.(12,0),(-12,0)√解析c2=169-25=144.c=12,故選C.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)在y軸上,且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0);解因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(0,2)和(1,0),解因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,由橢圓的定義知,又c=2,所以b2=a2-c2=6,解析由直線AB過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.8解析設(shè)Q(x,y),P(x0,y0),由點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)知x0=2x,y0=2y,如圖所示,已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A(-3,0),并且在定圓B:(x-3)2+y2=64的內(nèi)部與其內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.解設(shè)動(dòng)圓P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M,動(dòng)圓圓心P到兩定點(diǎn)A(-3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以動(dòng)圓圓心P的軌跡是以A,B為左、右焦點(diǎn)的橢圓,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,解析最短弦是過焦點(diǎn)F(c,0)且與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直的弦.√直線y=x+1與橢圓x2+
=1的位置關(guān)系是A.相離 B.相切C.相交 D.無法確定√因?yàn)棣ぃ?2+12=16>0,所以直線與橢圓相交.√
橢圓
+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn)為P,則|PF2|=_____.√解析由題意知,A(-a,0),B(0,b),F(xiàn)(c,0),∴c2-a2+ac=0,即e2+e-1=0,解析由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,(1)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn);(1)試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C;解設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),(2)設(shè)直線l:y=kx+1與(1)中曲線C交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)|MN|=
時(shí),求直線l的方程.x-y+1=0或x+y-1=0.A.9x-y-4=0 B.9x+y-5=0C.4x+2y-3=0 D.4x-2y-1=0√6.已知以F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x+
y+4=0有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),則橢圓的長軸長為_____.12345678910111213141516解析由已知可得直線方程為y=2x-2,|OF|=1,1234567891011121314151612345678910111213141516∴直線AB的斜率為1,可得直線AB的方程為y=x+1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),12345678910111213141516整理得5x2+8mx+4m2-4=0.Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2).1234567891011121314151610.某海域有A,B兩個(gè)島嶼,B島在A島正東4海里處,經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn),某種魚群洄游的路線是曲線C,曾有漁船在距A島、B島距離和為8海里處發(fā)現(xiàn)過魚群.以A,B所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;解由題意知曲線C是以A,B為焦點(diǎn)且長軸長為8的橢圓,12345678910111213141516(2)某日,研究人員在A,B兩島同時(shí)用聲納探測儀發(fā)出不同頻率的探測信號(hào)(傳播速度相同),A,B兩島收到魚群在P處反射信號(hào)的時(shí)間比為5∶3,問你能否確定P處的位置(即點(diǎn)P的坐標(biāo))?12345678910111213141516解由于A,B兩島收到魚群發(fā)射信號(hào)的時(shí)間比為5∶3,∴設(shè)此時(shí)距A,B兩島的距離比為5∶3,即魚群分別距A,B兩島的距離為5海里和3海里.設(shè)P(x,y),B(2,0),由|PB|=3,∴x=2,y=±3,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)或(2,-3).12345678910111213141516√綜合運(yùn)用1234567891011121314151612.以F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)為焦點(diǎn)且與直線x-y+3=0有公共點(diǎn)的橢圓中,離心率最大的橢圓方程是√12345678910111213141516得(2b2+1)x2+6(b2+1)x+8b2+9-b4=0,由Δ≥0得b2≥4,所以b2的最小值為4,則b2=4時(shí),e取最大值,故選C.1234567891011121314151661234567891011121314151614.斜率為1的直線l與橢圓
+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最大值為________.12345678910111213141516解析方法一
設(shè)直線l的方程為y=x+t,整理得5x2+8tx+4(t2-1)=0.∵Δ=64t2-80(t2-1)>0,設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),12345678910111213141516方法二
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,當(dāng)直線斜率固定時(shí),直線過原點(diǎn)時(shí)截橢圓所得弦長最長,1234567891011121314151615.已知橢圓的左焦點(diǎn)為F1,有一質(zhì)點(diǎn)A從F1處以速度v開始沿直線運(yùn)動(dòng),經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射(無論經(jīng)過幾次反射速率始終保持不變),若質(zhì)點(diǎn)第一次回到F1時(shí),它所用的最長時(shí)間是最短時(shí)間的7倍,則橢圓的離心率e為12345678910111213141516拓廣探究√解析假設(shè)長軸在x軸,短軸在y軸,以下分為三種情況:(1)球從F1沿x軸向左直線運(yùn)動(dòng),碰到左頂點(diǎn)必然原路反彈,這時(shí)第一次回到F1路程是2(a-c);(2)球從F1沿x軸向右直線運(yùn)動(dòng),碰到右頂點(diǎn)必然原路反彈,這時(shí)第一次回到F1路程是2(a+c);(3)球從F1沿x軸斜向上(或向下)運(yùn)動(dòng),碰到橢圓上的點(diǎn)A,反彈后經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2,再彈到橢圓上一點(diǎn)B,反彈后經(jīng)過點(diǎn)F1,此時(shí)小球經(jīng)過的路程是4a.綜上所述,從點(diǎn)F1沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)F1時(shí),小球經(jīng)過的最大路程是4a,最小路程是2(a-c).1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求橢圓C的方程;解得a2=4,b2=3,c2=1,1234567891011121314151612345678910111213141516解顯然直線AB的斜率不為0,設(shè)AB的方程為
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