2024年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市中考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGE12024年赤峰市初中畢業(yè)、升學(xué)統(tǒng)一考試試卷數(shù)學(xué)溫馨提示：1．本試卷卷面分值150分，共8頁(yè)，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必將姓名、座位號(hào)、考生號(hào)填寫在答題卡的相應(yīng)位置上，并仔細(xì)閱讀答題卡上的“注意事項(xiàng)”．3．答題時(shí)，請(qǐng)將答案填涂在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（每小題給出的選項(xiàng)中只有一個(gè)符合題意，請(qǐng)將符合題意的選項(xiàng)序號(hào)，在答題卡的對(duì)應(yīng)位置上按要求涂黑．每小題3分，共42分）1.在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．【詳解】A．是軸對(duì)稱圖形，故A符合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，故B不符合題意；C．不是軸對(duì)稱圖形，故C不符合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，故D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱圖形的知識(shí)點(diǎn)．確定軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2.央視新聞年月日?qǐng)?bào)道，世界最大清潔能源走廊今年一季度累計(jì)發(fā)電超度，為我國(guó)經(jīng)濟(jì)社會(huì)綠色發(fā)展提供了強(qiáng)勁動(dòng)能．將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法：（，為正整數(shù)），先確定的值，再根據(jù)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的數(shù)位確定的值即可解答，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法確定和的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選：．3.將一副三角尺如圖擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角板中角度計(jì)算問(wèn)題，由題意得，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖所示：由題意得：∴故選：B．4.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了同底數(shù)冪的除法，完全平方公式，合并同類項(xiàng)，冪的乘方．根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，完全平方公式，合并同類項(xiàng)，冪的乘方的運(yùn)算法則，可得答案．【詳解】解：A、與不是同類項(xiàng)，不能合并，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．5.在數(shù)據(jù)收集、整理、描述的過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.為了解1000只燈泡的使用壽命，從中抽取50只進(jìn)行檢測(cè)，此次抽樣的樣本容量是50B.了解某校一個(gè)班級(jí)學(xué)生的身高情況，適合全面調(diào)查C.了解商場(chǎng)的平均日營(yíng)業(yè)額，選在周末進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查不具有代表性D.甲、乙二人10次測(cè)試的平均分都是96分，且方差，，則發(fā)揮穩(wěn)定的是甲【答案】D【解析】【分析】本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、判斷事件發(fā)生的可能性、根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性，根據(jù)全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的定義、方差的意義逐項(xiàng)判斷即可得出答案．【詳解】解：A、為了解1000只燈泡的使用壽命，從中抽取50只進(jìn)行檢測(cè)，此次抽樣的樣本容量是50，說(shuō)法正確，本選項(xiàng)不符合題意；B、了解某校一個(gè)班級(jí)學(xué)生的身高情況，適合全面調(diào)查，說(shuō)法正確，本選項(xiàng)不符合題意；C、了解商場(chǎng)的平均日營(yíng)業(yè)額，選在周末進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查不具有代表性，說(shuō)法正確，本選項(xiàng)不符合題意；D、甲、乙二人10次測(cè)試的平均分都是96分，且方差，，則發(fā)揮穩(wěn)定的是乙，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．6.解不等式組時(shí)，不等式①和不等式②的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，先求出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出不等式組的解集即可．【詳解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，所以，不等式組的解集為：，在數(shù)軸上表示為：故選：C．7.如圖，是正邊形紙片的一部分，其中是正邊形兩條邊的一部分，若所在的直線相交形成的銳角為，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了正多邊形，求出正多邊形的每個(gè)外角度數(shù)，再用外角和除以外角度數(shù)即可求解，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，直線相交于點(diǎn)，則，∵正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，∴正多邊形的每個(gè)外角也相等，∴，∴，故選：．8.某市為了解初中學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽取200名初中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，整理樣本數(shù)據(jù)如下表．根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該市16000名初中學(xué)生中，視力不低于4.8的人數(shù)是（）視力4.7以下4.74.84.94.9以上人數(shù)3941334047A.120 B.200 C.6960 D.9600【答案】D【解析】【分析】本題考查的是統(tǒng)計(jì)表，用樣本估計(jì)總體，求出不低于4.8的人數(shù)所占的百分比是解決此題的關(guān)鍵．求出不低于4.8的人數(shù)所占的百分比再乘16000即可求出結(jié)論．【詳解】解：，∴視力不低于4.8的人數(shù)是9600，故選：D．9.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A.或 B.或 C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長(zhǎng)，由方程可得，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為，進(jìn)而即可求出三角形的周長(zhǎng)，掌握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由方程得，，，∵，∴等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為，∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為，故選：．10.如圖，是的直徑，是的弦，半徑，連接，交于點(diǎn)E，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì)．先根據(jù)垂徑定理，求得，利用圓周角定理求得，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵半徑，∴，∴，，∵，∴，∴，故選：B．11.用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問(wèn)恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用．根據(jù)題意設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，再利用現(xiàn)需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板分別得出方程組即可．【詳解】解：設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，由題意得：，故選：C．12.如圖，中，，．將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)恰好落在BC邊上，下列結(jié)論：①點(diǎn)B在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（）A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②④【答案】A【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得各角的度數(shù)，再逐一判斷各項(xiàng)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，，∴，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∴，①點(diǎn)B在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是；①說(shuō)法正確；②∵，∴；②說(shuō)法正確；③∵，∴，∴；③說(shuō)法正確；④∵，，∴，∴．④說(shuō)法正確；綜上，①②③④都是正確的，故選：A．13.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，M，B分別表示數(shù)，若，則下列運(yùn)算結(jié)果一定是正數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了列代數(shù)式、數(shù)軸、正數(shù)和負(fù)數(shù)、絕對(duì)值等知識(shí)點(diǎn)，得到，且是解題的關(guān)鍵．?dāng)?shù)軸上點(diǎn)A，M，B分別表示數(shù)，則、，由可得原點(diǎn)在A、M之間，由它們的位置可得，，且，再根據(jù)整式的加減乘法運(yùn)算的計(jì)算法則逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：數(shù)軸上點(diǎn)A，M，B分別表示數(shù),∴、，∵，∴原點(diǎn)在A，M之間，由它們的位置可得，且，∴，，，故運(yùn)算結(jié)果一定是正數(shù)的是．故選：A．14.如圖，正方形的頂點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上．若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為（），下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．依據(jù)題意，連接、交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明．可得，．點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，可得，．，，，設(shè)，則，，，，，．再由，進(jìn)而可以求解判斷即可．【詳解】解：如圖，連接、交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形是正方形，、互相平分，，，，，．，，．，．點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，，．，，，設(shè)，則，，，，，．又，，，．．．．點(diǎn)、在軸的同側(cè)，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，．．故選：B．二、填空題（請(qǐng)把答案填寫在答題卡對(duì)應(yīng)的橫線上．每小題3分，共12分）15.請(qǐng)寫出一個(gè)比小的整數(shù)_____________【答案】1（或2）【解析】【詳解】試題分析：先估算出在哪兩個(gè)整數(shù)之間，即可得到結(jié)果．，滿足條件的數(shù)為小于或等于2的整數(shù)均可.考點(diǎn)：本題考查的是無(wú)理數(shù)的估算點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟知用“夾逼法”估算無(wú)理數(shù)是常用的估算無(wú)理數(shù)的方法．16.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了綜合利用提公因式法和公式法分解因式，正確掌握因式分解方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）是解題的關(guān)鍵．17.綜合實(shí)踐課上，航模小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量古樹的高度．如圖，點(diǎn)C處與古樹底部A處在同一水平面上，且米，無(wú)人機(jī)從C處豎直上升到達(dá)D處，測(cè)得古樹頂部B的俯角為，古樹底部A的俯角為，則古樹AB的高度約為________米（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．過(guò)點(diǎn)D作，由題意知：米，，，推出是等腰直角三角形，在中，利用正切函數(shù)求出的值，根據(jù)計(jì)算求解可得的值．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∴四邊形是矩形，∴米，∵，，，∴是等腰直角三角形，∴米，在中，（米），∴（米），∴古樹的高度約為米．故答案為：．18.編號(hào)為A，B，C，D，E五臺(tái)收割機(jī)，若同時(shí)啟動(dòng)其中兩臺(tái)收割機(jī)，收割面積相同的田地所需時(shí)間如下表：收割機(jī)編號(hào)A，BB，CC，DD，EA，E所需時(shí)間（小時(shí)）2319202218則收割最快的一臺(tái)收割機(jī)編號(hào)是________．【答案】C【解析】【分析】本題考查推理能力．利用同時(shí)啟動(dòng)其中的兩臺(tái)收割機(jī)，收割面積相同的田地所需時(shí)間分析對(duì)比，能求出結(jié)果．【詳解】解：同時(shí)啟動(dòng)A，B兩臺(tái)收割機(jī)，所需的時(shí)間為23小時(shí)，同時(shí)啟動(dòng)B，C兩臺(tái)收割機(jī)，所需的時(shí)間為19小時(shí)，得到C比A快；同時(shí)啟動(dòng)B，C兩臺(tái)收割機(jī)，所需的時(shí)間為19小時(shí)，同時(shí)啟動(dòng)C，D兩臺(tái)收割機(jī)，所需時(shí)間為20小時(shí)，得到B比D快；同時(shí)啟動(dòng)A、B兩臺(tái)收割機(jī)，所需的時(shí)間為23小時(shí)，同時(shí)啟動(dòng)A，E兩臺(tái)收割機(jī)，所需的時(shí)間為18小時(shí)，得到E比B快；同時(shí)啟動(dòng)C，D兩臺(tái)收割機(jī)，所需的時(shí)間為20小時(shí)，同時(shí)啟動(dòng)D，E兩臺(tái)收割機(jī)，所需的時(shí)間為22小時(shí)，得到C比E快．綜上，收割最快的一臺(tái)收割機(jī)編號(hào)是C．故答案為：C．三、解答題（在答題卡上解答，答在本試卷上無(wú)效，解答時(shí)要寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．共8題，滿分96分）19（）計(jì)算：；（）已知，求代數(shù)式的值．【答案】（）；（）．【解析】【分析】（）利用算術(shù)平方根、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)分別運(yùn)算，再合并即可求解；（）由得，化簡(jiǎn)代數(shù)式可得，代入計(jì)算即可求解；本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，代數(shù)式化簡(jiǎn)求值，掌握實(shí)數(shù)和整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）原式，；（）∵，∴，∴，，，，．20.如圖，在中，D是中點(diǎn)．（1）求作：的垂直平分線l（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若l交于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接．補(bǔ)全圖形，并證明四邊形是平行四邊形．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定．（1）利用尺規(guī)作圖作出線段的垂直平分線l即可；（2）由D，E分別為，的中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)，得到，，結(jié)合，得到，即可證明結(jié)論成立．【小問(wèn)1詳解】解：直線l如圖所示，；【小問(wèn)2詳解】證明：補(bǔ)全圖形，如圖，由（1）作圖知，E為的中點(diǎn)，∵D，E分別為，的中點(diǎn)，∴，，∵，即：，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．21.某校田徑隊(duì)為了調(diào)動(dòng)隊(duì)員體育訓(xùn)練的積極性，計(jì)劃根據(jù)成績(jī)情況對(duì)隊(duì)員進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)．為確定一個(gè)適當(dāng)?shù)某煽?jī)目標(biāo)，進(jìn)行了體育成績(jī)測(cè)試，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)隊(duì)員的成績(jī)，數(shù)據(jù)如下：收集數(shù)據(jù)777876728475918578798278767991917674758575918077757587857677整理、描述數(shù)據(jù)成績(jī)/分72747576777879808284858791人數(shù)/人11a433b111314分析數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下表：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)80c78解決問(wèn)題（1）表格中的______；______；______；（2）分析平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個(gè)數(shù)據(jù)，如果想讓一半左右的隊(duì)員都能達(dá)到成績(jī)目標(biāo)，你認(rèn)為成績(jī)目標(biāo)應(yīng)定為______分，如果想確定一個(gè)較高的成績(jī)目標(biāo)，這個(gè)成績(jī)目標(biāo)應(yīng)定為______分；（3）學(xué)校要從91分的A，B，C，D四名隊(duì)員中，隨機(jī)抽取兩名隊(duì)員去市里參加系統(tǒng)培訓(xùn)．請(qǐng)利用畫樹狀圖法或列表法，求A，B兩名隊(duì)員恰好同時(shí)被選中的概率．【答案】（1）5；2；75（2）78；80（3）A，B兩名隊(duì)員恰好同時(shí)被選中的概率為．【解析】【分析】本題主要考查畫樹狀圖或列表法求隨機(jī)事件的概率，統(tǒng)計(jì)表，眾數(shù)和中位數(shù)的意義．（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表直接寫出a和b的值，根據(jù)眾數(shù)的意義可求解c的值；（2）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的意義即可求解；（3）畫樹狀圖或列表法把所有等可能結(jié)果表示出來(lái)，再運(yùn)用概率公式即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)知；；出現(xiàn)最多的是75分，有5人，眾數(shù)為75分，則；故答案為：5；2；75；【小問(wèn)2詳解】解：∵由統(tǒng)計(jì)圖可知中位數(shù)為78分，∴如果想讓一半左右的隊(duì)員都能達(dá)到成績(jī)目標(biāo)，成績(jī)目標(biāo)應(yīng)定為78分，如果想確定一個(gè)較高的目標(biāo)，成績(jī)目標(biāo)應(yīng)定為80分，因?yàn)樵跇颖镜谋姅?shù)，中位數(shù)和平均數(shù)中，平均數(shù)最大，可以估計(jì)，如果成績(jī)目標(biāo)定為80分，努力一下都能達(dá)到成績(jī)目標(biāo)．故答案為：78；80；【小問(wèn)3詳解】解：畫樹狀圖表示所有等可能結(jié)果如圖所示，共有種等可能結(jié)果，A，B兩名隊(duì)員恰好同時(shí)被選中的情況有種，∴A，B兩名隊(duì)員恰好同時(shí)被選中的概率為，答：A，B兩名隊(duì)員恰好同時(shí)被選中的概率為．22.一段高速公路需要修復(fù)，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，已知乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路比甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路多3千米，且甲隊(duì)單獨(dú)修復(fù)60千米公路所需要的時(shí)間與乙隊(duì)單獨(dú)修復(fù)90千米公路所需要的時(shí)間相等．（1）求甲、乙兩隊(duì)平均每天修復(fù)公路分別是多少千米；（2）為了保證交通安全，兩隊(duì)不能同時(shí)施工，要求甲隊(duì)的工作時(shí)間不少于乙隊(duì)工作時(shí)間的2倍，那么15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路多少千米？【答案】（1）甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路6千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路9千米；（2）15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路千米．【解析】【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用．（1）設(shè)甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，根據(jù)“甲隊(duì)單獨(dú)修復(fù)60千米公路所需要的時(shí)間與乙隊(duì)單獨(dú)修復(fù)90千米公路所需要的時(shí)間相等”列分式方程求解即可；（2）設(shè)甲隊(duì)的工作時(shí)間為天，則乙隊(duì)的工作時(shí)間為天，15天的工期，兩隊(duì)能修復(fù)公路千米，求得關(guān)于的一次函數(shù)，再利用“甲隊(duì)的工作時(shí)間不少于乙隊(duì)工作時(shí)間的2倍”求得的范圍，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，由題意得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，，答：甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路6千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路9千米；小問(wèn)2詳解】解：設(shè)甲隊(duì)的工作時(shí)間為天，則乙隊(duì)的工作時(shí)間為天，15天的工期，兩隊(duì)能修復(fù)公路千米，由題意得，，解得，∵，∴隨的增加而減少，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，答：15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路千米．23.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，給出如下定義：當(dāng)點(diǎn)，滿足時(shí)，稱點(diǎn)是點(diǎn)的等和點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)，在，，中，是點(diǎn)等和點(diǎn)的有_____；（2）若點(diǎn)的等和點(diǎn)在直線上，求的值；（3）已知，雙曲線和直線，滿足的取值范圍是或．若點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)的等和點(diǎn)在直線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）和；（2）；（3）或．【解析】【分析】（）根據(jù)等和點(diǎn)的定義判斷即可求解；（）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)等和點(diǎn)的定義得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求解；（）由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設(shè)直線與雙曲線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，如圖，由時(shí)的取值范圍是或，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即得，得到反比例函數(shù)解析式為，設(shè)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)等和點(diǎn)的定義得，代入得，解方程得，，據(jù)此即可求解；本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)新定義運(yùn)算，一次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，理解等和點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】解：由，得，，∴點(diǎn)是點(diǎn)的等和點(diǎn)；由，得，，，∵，∴不是點(diǎn)的等和點(diǎn)；由，得，，∴是點(diǎn)的等和點(diǎn)；故答案為：和；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∵點(diǎn)是點(diǎn)的等和點(diǎn)，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在直線上，∴，∴；【小問(wèn)3詳解】解：由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設(shè)直線與雙曲線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，如圖，由時(shí)的取值范圍是或，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，把代入得，，∴，把代入得，，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，設(shè)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∵點(diǎn)是點(diǎn)的等和點(diǎn)，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴，∵點(diǎn)在直線上，∴，整理得，，去分母得，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．24.如圖，中，，，經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，與斜邊交于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出，得，，由可得，從而可證明是的切線；（2）由得，即，證明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根據(jù)求出，進(jìn)一步求出【小問(wèn)1詳解】證明：連接，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接如圖，∵∴是等腰直角三角形，∴∵是的直徑，∴∴∴∴∵∴即∵是的半徑，∴是的切線；【小問(wèn)2詳解】解：∵，，∴，∵∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在等腰直角三角形中，,∴，解得，，∴，∴在中，∴，又，∴∴∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造圓周角是解答本題的關(guān)鍵．25.如圖，是某公園的一種水上娛樂(lè)項(xiàng)目．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對(duì)該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點(diǎn)A處沿水滑道下滑至點(diǎn)B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過(guò)騰空點(diǎn)B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過(guò)的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測(cè)量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解決．（1）如圖1，點(diǎn)B與地面的距離為2米，水滑道最低點(diǎn)C與地面的距離為米，點(diǎn)C到點(diǎn)B的水平距離為3米，則水滑道所在拋物線的解析式為______；（2）如圖1，騰空點(diǎn)B與對(duì)面水池邊緣的水平距離米，人騰空后的落點(diǎn)D與水池邊緣的安全距離不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱．①請(qǐng)直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線的解析式；②此人騰空飛出后的落點(diǎn)D是否在安全范圍內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計(jì)）；（3）為消除安全隱患，公園計(jì)劃對(duì)水滑道進(jìn)行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點(diǎn)M處豎直支撐的鋼架，另一條是點(diǎn)M與點(diǎn)B之間連接支撐的鋼架．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與平行，且與水滑道有唯一公共點(diǎn)，一端固定在鋼架上，另一端固定在地面上．請(qǐng)你計(jì)算出這條鋼架的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】（1）（2）①此人騰空后的最大高度是米，解析式為；②此人騰空飛出后的落點(diǎn)D在安全范圍內(nèi)，理由見解析（3）這條鋼架的長(zhǎng)度為米【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到水滑道所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)水滑道所在拋物線的解析式為，將代入，計(jì)算求出a的值即可；（2）①根據(jù)題意可設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，由拋物線的頂點(diǎn)為，即可得出結(jié)果；②由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，令，求出的值，即點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，令中，求出符合實(shí)際的x值，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出所在直線的解析式為，設(shè)這條鋼架為，與交于點(diǎn)G，與地面交于H，根據(jù)這條鋼架與平行，設(shè)該鋼架所在直線的解析式為，由該鋼架與水滑道有唯一公共點(diǎn)，聯(lián)立，根據(jù)方程組有唯一解，求出，即該鋼架所在直線的解析式為，點(diǎn)H與點(diǎn)O重合，根據(jù)，，，利用勾股定理即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意得到水滑道所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)水滑道所在拋物線的解析式為，將代入，得：，即，，水滑道所在拋物線的解析式為；【小問(wèn)2詳解】解：①人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱，則設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，，人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即，∴此人騰空后的最大高度是米，人騰空后的路徑形成的