備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第七章立體幾何與空間向量第1講基本立體圖形簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

第1講基本立體圖形、簡(jiǎn)潔幾何體的表面積與體積課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)料1.相識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)潔物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問題.3.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)潔空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)潔組合）的直觀圖.基本立體圖形2024新高考卷ⅠT12；2024全國(guó)卷甲T15；2024全國(guó)卷甲T16；2024新高考卷ⅠT3；2024新高考卷ⅠT16；2024全國(guó)卷ⅠT3；2024全國(guó)卷ⅡT16該講每年必考，命題重點(diǎn)為空間幾何體的結(jié)構(gòu)，難度可大可??；空間幾何體的表面積和體積的計(jì)算，難度中等；體積的最值問題，常用函數(shù)思想和基本不等式求解，難度中等偏大；與球有關(guān)的切、接問題，對(duì)直觀想象核心素養(yǎng)要求較高，難度中等偏大.題型以選擇題和填空題為主.預(yù)料2025年高考命題穩(wěn)定.空間幾何體的表面積（側(cè)面積）2024新高考卷ⅡT9；2024新高考卷ⅡT7；2024新高考卷ⅡT4；2024全國(guó)卷甲T14；2024全國(guó)卷ⅠT10；2024全國(guó)卷ⅡT10；2024天津T5空間幾何體的體積2024新高考卷ⅠT14；2024新高考卷ⅡT9；2024新高考卷ⅡT14；2024全國(guó)卷乙T8；2024天津T8；2024新高考卷ⅠT4；2024新高考卷ⅠT8；2024新高考卷ⅡT11；2024全國(guó)卷乙T9；2024全國(guó)卷甲T9；2024天津T8；2024新高考卷ⅠT12；2024新高考卷ⅡT5；2024全國(guó)卷甲T11；2024新高考卷ⅡT13；2024全國(guó)卷ⅢT15；2024全國(guó)卷ⅠT12；2024全國(guó)卷ⅢT161.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面相互①平行且全等多邊形相互平行且②相像側(cè)棱平行且相等相交于③一點(diǎn)，但不愿定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但不愿定相等側(cè)面形態(tài)④平行四邊形三角形⑤梯形規(guī)律總結(jié)1.幾種特別棱柱的結(jié)構(gòu)特征及之間的關(guān)系2.正棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱錐正棱錐正三棱錐正四面體（2）旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形旋轉(zhuǎn)圖形矩形⑥直角三角形⑦直角梯形半圓形母線相互平行且相等，⑧垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面全等的⑨矩形全等的⑩等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面綻開圖?矩形?扇形扇環(huán)2.立體圖形的直觀圖（1）畫法：常用斜二測(cè)畫法.（2）規(guī)則a.原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，∠x'O'y'＝?45°或135°（O'為x'軸與y'軸的交點(diǎn)），z'軸與x'軸和y'軸所在平面?垂直.b.原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍?平行于坐標(biāo)軸.c.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度?不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的?一半.（3）用斜二測(cè)畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積與原圖形面積的關(guān)系：S直觀圖＝?24S原圖形3.簡(jiǎn)潔幾何體的表面積與體積（1）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面綻開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面綻開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝?2πrlS圓錐側(cè)＝?πrlS圓臺(tái)側(cè)＝?π（r＋r'）l說明圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式間的關(guān)系：S圓柱側(cè)＝2πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π（r＋r'）lS圓錐側(cè)＝πrl.（2）簡(jiǎn)潔幾何體的表面積與體積表面積體積柱體（棱柱和圓柱）S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝?S底h錐體（棱錐和圓錐）S表面積＝S側(cè)＋S底V＝?13S底h臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝13（S上＋S下＋S上球S＝?4πR2V＝?43πR31.[易錯(cuò)題]如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D'被平面EFGH截去幾何體B'C'HEFG，其中EH∥A'D'，則剩下的幾何體是（C）A.棱臺(tái) B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱2.[多選/教材改編]給出下列命題，其中錯(cuò)誤的是（ABD）A.有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體確定是棱柱B.三棱錐的四個(gè)面最多有三個(gè)直角三角形C.在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱D.以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐3.[易錯(cuò)題]圓柱的側(cè)面綻開圖是邊長(zhǎng)為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為24π2＋18π或24π2＋8π.4.用一個(gè)半徑為10cm的半圓紙片卷成一個(gè)最大的無(wú)底圓錐，放在水平桌面上，被一陣風(fēng)吹倒，如圖所示，則被吹倒后該無(wú)底圓錐的最高點(diǎn)到桌面的距離為53cm.解析畫出示意圖，如圖所示，設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l.依據(jù)題意知l＝10cm，且2πr＝πl(wèi)，故r＝5cm.所以圓錐的軸截面為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為10cm.故被吹倒后該無(wú)底圓錐的最高點(diǎn)原委面的距離即邊長(zhǎng)為10cm的等邊三角形的高，此高為53cm.5.如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則四棱錐A1－BB1D1D的體積為13解法一（干脆法）連接A1C1交B1D1于點(diǎn)E，則A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，又B1D1∩BB1＝B1，則A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E為四棱錐A1－BB1D1D的高，且A1E＝22，矩形BB1D1D的長(zhǎng)和寬分別為2，1，故V四棱錐A1－BB1D1D解法二（割補(bǔ)法）連接BD1，則四棱錐A1－BB1D1D被分成兩個(gè)三棱錐B－A1DD1與B－A1B1D1，則V四棱錐A1－BB1D1D＝V三棱錐B－A1DD1＋V三棱錐B－A1研透高考明確方向命題點(diǎn)1基本立體圖形角度1結(jié)構(gòu)特征例1[多選/2024新高考卷Ⅰ]下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽視不計(jì)）內(nèi)的有（ABD）A.直徑為0.99m的球體B.全部棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體解析由于棱長(zhǎng)為1m的正方體的內(nèi)切球的直徑為1m＞0.99m，所以選項(xiàng)A正確；由于棱長(zhǎng)為1m的正方體中可放入棱長(zhǎng)為2m的正四面體，且2＞1.4，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1m，體對(duì)角線長(zhǎng)為3m，3＜1.8，所以高為1.8m的圓柱體不行能整體放入該正方體容器中，所以選項(xiàng)C不正確；由于正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為3m，而底面直徑為1.2m的圓柱體，其高0.01m可忽視不計(jì)，故只需把圓柱的底面與正方體的體對(duì)角線平行放置，即可以整體放入正方體容器中，所以選項(xiàng)D正確.綜上，選ABD.角度2直觀圖例2如圖，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O'A'＝6cm，O'C'＝2cm，C'D'＝2cm，則原圖形的形態(tài)是菱形，其面積為242cm2.解析如圖，在原圖形OABC中，OA＝O'A'＝6cm，OD＝2O'D'＝2×22＝42（cm），CD＝C'D'＝2cm，所以O(shè)C＝OD2＋CD2＝（42）2＋22＝6（cm），所以O(shè)A＝OC＝BC＝AB，故四邊形OABC是菱形，S菱形OABC＝OA×角度3綻開圖例3長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝AA1＝2，E為棱AA1上的動(dòng)點(diǎn)，平面BED1交棱CC1于點(diǎn)F，則四邊形BED1F的周長(zhǎng)的最小值為（B）A.43 B.213 C.2（2＋5） D.2＋42解析作出長(zhǎng)方體如圖1，將其側(cè)面綻開，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E為BD1與AA1的交點(diǎn)，點(diǎn)F為BD'1與CC1的交點(diǎn)時(shí)，截面四邊形BED1F的周長(zhǎng)最小，最小值為2BD1＝222＋（1+2）2方法技巧求解空間幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短距離問題或折線段長(zhǎng)度和的最小值問題，常利用幾何體的側(cè)面綻開圖，轉(zhuǎn)化為求平面兩點(diǎn)間的最短距離問題.訓(xùn)練1（1）[2024全國(guó)卷甲]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，C1D1的中點(diǎn).以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有12個(gè)公共點(diǎn).解析如圖，線段EF過正方體的中心，所以以EF為直徑的球的球心即正方體的中心，球的半徑為EF2，而正方體的中心到每一條棱的距離均為EF2，所以以EF為直徑的球與每一條棱均相切，所以共有12個(gè)公共點(diǎn)（2）已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以AB所在直線為x軸，用斜二測(cè)畫法畫出水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖A'B'C'D'，則四邊形A'B'C'D'的面積為22解析取AB的垂直平分線EO為y軸，則等腰梯形ABCD和其直觀圖分別如圖1和圖2所示.過點(diǎn)E'作E'F⊥A'B'于點(diǎn)F.因?yàn)镺E＝（2）2－1＝1，由斜二測(cè)畫法可知O'E'＝12，E'F＝24，D'C'＝1，A'B'＝3，則四邊形A'B'C'D'的面積S'＝D'C（3）已知圓臺(tái)上底面半徑為13，下底面半徑為23，母線長(zhǎng)為2，AB為圓臺(tái)母線，一只螞蟻從點(diǎn)A動(dòng)身繞圓臺(tái)側(cè)面一圈到點(diǎn)B，則螞蟻經(jīng)過的最短路徑的長(zhǎng)度為23解析設(shè)圓臺(tái)對(duì)應(yīng)圓錐的頂點(diǎn)為O，將圓錐沿AB所在直線綻開如圖所示，設(shè)點(diǎn)A在綻開圖中的點(diǎn)為A'，依題意得，螞蟻經(jīng)過的最短路徑為A'B.因?yàn)閳A臺(tái)上底面半徑為13，下底面半徑為23，所以O(shè)B＝AB＝2.設(shè)綻開圖的圓心角為θ，則θ＝2π×234＝π3，所以△OAA'為等邊三角形，又B為OA的中點(diǎn)，所以A'B＝命題點(diǎn)2空間幾何體的表面積（側(cè)面積）例4（1）[2024新高考卷Ⅱ]已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為33和43，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（A）A.100π B.128π C.144π D.192π解析由題意，得正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的半徑分別為23×32×33＝3，23×32×43＝4.設(shè)該棱臺(tái)上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，連接O1O2，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上.設(shè)球O的半徑為R，當(dāng)球心O在線段O1O2上時(shí)，R2＝32＋OO12＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；當(dāng)球心O不在線段O1O2上時(shí)，R2＝42＋OO22＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2（2）[2024全國(guó)卷甲]已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為39π.解析設(shè)該圓錐的高為h，則由已知條件可得13×π×62×h＝30π，解得h＝52，則圓錐的母線長(zhǎng)為h2＋62＝254+36＝13方法技巧求空間幾何體的表面積的常見類型及解題思路求多面體的表面積即求各個(gè)面的面積之和，通常會(huì)利用特別的四邊形及三角形的面積公式.求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其綻開后求表面積，但要搞清旋轉(zhuǎn)體的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面綻開圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系.留意組合體的表面積要留意對(duì)連接部分的處理.訓(xùn)練2《九章算術(shù)》中有一種幾何體叫做芻甍（méng）（底面為矩形的屋脊?fàn)钚w），如圖是一個(gè)芻甍，四邊形EFBA為等腰梯形，EF∥AB，F(xiàn)B＝FC＝3，AB＝2EF＝2BC＝4，則此芻甍的表面積為8＋82.解析如圖所示，過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，F(xiàn)H⊥BC于H.因?yàn)镕B＝FC＝3，BC＝2，所以H為BC的中點(diǎn)，易得FH＝2，所以S△FBC＝S△EAD＝2.因?yàn)樗倪呅蜤FBA為等腰梯形，且AB＝2EF＝4，所以易得FG＝2，所以S梯形EFBA＝S梯形EFCD＝12×（2＋4）×2＝32，所以此芻甍的表面積S＝2×4＋2×2＋2×32＝8＋82命題點(diǎn)3空間幾何體的體積角度1求空間幾何體的體積例5（1）[2024全國(guó)卷乙]已知圓錐PO的底面半徑為3，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝2π3，若△PAB的面積等于934，則該圓錐的體積為（A.π B.6π C.3π D.36π解析在△AOB中，AO＝BO＝3，∠AOB＝2π3，由余弦定理得AB＝3+3－2×3×3×（－12）＝3，設(shè)等腰三角形PAB底邊AB上的高為h，則S△PAB＝12×3h＝934，解得h＝332，由勾股定理得母線PA＝（3（2）[2024天津高考]在三棱錐P－ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿意PM＝13PC，線段PB上的點(diǎn)N滿意PN＝23PB，則三棱錐P－AMN和三棱錐P－ABC的體積之比為（BA.19 B.29 C.13 解析如圖，因?yàn)镻M＝13PC，PN＝23PB，所以S△PMNS△PBC＝12PM·PN·sin∠BPC12PC·PB·sin∠BPC＝PM·PNPC·PB＝13×23＝2方法技巧求空間幾何體體積的常用方法干脆法對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式干脆計(jì)算.割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算.等體積法通過轉(zhuǎn)換底面和高來(lái)求幾何體的體積，即通過將原來(lái)不簡(jiǎn)潔求面積的底面轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)潔求面積的底面，或?qū)⒃瓉?lái)不簡(jiǎn)潔看出的高轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)潔看出并簡(jiǎn)潔求解的高進(jìn)行求解.常用于求三棱錐的體積.正四面體的體積是212a3（a是正四面體的棱長(zhǎng)）.訓(xùn)練3（1）十字歇山頂是中國(guó)古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，圖1中的故宮角樓的頂部即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱柱交疊而成的幾何體（圖2）.這兩個(gè)直三棱柱有一個(gè)公共側(cè)面ABCD.在底面BCE中，若BE＝CE＝3，∠BEC＝120°，則該幾何體的體積為（C） 圖1 圖2A.272 B.2732 C.27 解析如圖所示，該幾何體可視為由直三棱柱BCE－ADF與兩個(gè)三棱錐G－MAB，G－NCD拼接而成.記直三棱柱BCE－ADF的高為h，底面BCE的面積為S，所求幾何體的體積為V，則S＝12BE×CE×sin120°＝12×3×3×32＝934，h＝CD＝BC＝33.所以V＝V三棱柱BCE－ADF＋V三棱錐V三棱錐G－NCD＝Sh＋13S×12h＋13S×12h＝43（2）[2024新高考卷Ⅰ]在正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，則該棱臺(tái)的體積為766解析如圖所示，設(shè)點(diǎn)O1，O分別為正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1上、下底面的中心，連接B1D1，BD，則點(diǎn)O1，O分別為B1D1，BD的中點(diǎn)，連接O1O，則O1O即正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的高，過點(diǎn)B1作B1E⊥BD，垂足為E，則B1E＝O1O.因?yàn)锳B＝2，A1B1＝1，所以O(shè)B＝2，O1B1＝22，所