2025屆新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.2用空間向量研究距離夾角問題第1課時距離問題課件新人教A屆選擇性必修第一冊

1．4空間向量的應(yīng)用1．4.2用空間向量研究距離、夾角問題第1課時距離問題素養(yǎng)目標(biāo)?定方向

1．能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面間的距離問題．(重點(diǎn))2．能描述解決距離問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))

空間中點(diǎn)、線、面距離的相互轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).必備知識?探新知

點(diǎn)P到直線l的距離知識點(diǎn)1思考1：點(diǎn)到直線的距離與兩條平行直線之間的距離有什么關(guān)系？提示：在兩條平行直線中的一條上取一定點(diǎn)，該點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩條平行直線的距離．做一做：如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點(diǎn)F，G分別為AB，CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到直線GF的距離為______.點(diǎn)P到平面α的距離知識點(diǎn)2設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為____________(如圖)．思考2：怎樣利用向量方法求直線到直線的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離？提示：兩條直線平行，其中一條直線到另一條直線間的距離是其中一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離；一條直線和一個平面平行，直線到平面的距離就是這條直線上任一點(diǎn)到這個平面的距離；兩個平面平行，平面到平面的距離就是一個平面上任一點(diǎn)到這個平面的距離．做一做：已知四面體ABCD的頂點(diǎn)分別為A(2,3,1)，B(1,0,2)，C(4,3，－1)，D(0,3，－3)，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為________.關(guān)鍵能力?攻重難1．(1)已知三棱錐O－ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，則點(diǎn)A到直線BC的距離為(

)題型探究題型一利用空間向量求點(diǎn)線距(2)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，則點(diǎn)B到直線A1C1的距離為______.B(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，[規(guī)律方法]

用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求直線的單位方向向量u；(3)計算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量a；

四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點(diǎn)，則P到直線EF的距離為(

)對點(diǎn)訓(xùn)練?D題型二利用空間向量求點(diǎn)面距、線面距2．如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離．[解析]

(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，對點(diǎn)訓(xùn)練?[解析]

取AC的中點(diǎn)O，連接OS，OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC.又BO?平面ABC，∴SO⊥BO.又∵△ABC為正三角形，O為AC的中點(diǎn)，∴AO⊥BO.如圖所示，分別以O(shè)A，OB，OS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，題型三利用空間向量求面面距3.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在棱BB1上，EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，B1C1，A1C1的中點(diǎn)，EF與B1D相交于點(diǎn)H.(1)求證：B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF與平面ABD的距離．[分析]

根據(jù)兩個平行平面間距離的定義，可將平面與平面間的距離轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)一點(diǎn)到另一個平面的距離，即點(diǎn)面距．[規(guī)律方法]

求兩個平行平面的距離，先在其中一個平面上找到一點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到另一個平面的距離求解．注意：這個點(diǎn)要選取適當(dāng)，以方便求解為主．

如圖，已知棱長為4的正方體ABCD－A1B1C1D1，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，則平面AMN與平面EFBD的距離為______.對點(diǎn)訓(xùn)練?課堂檢測?固雙基1．已知直線l過定點(diǎn)A(2,0,1)，且方向向量為m＝(－2,1，－1)，則點(diǎn)P(1,1,1)到直線l的距離為(

)D2．如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，Q為線段AP的中點(diǎn)，AB＝3，BC＝4，PA＝2，則點(diǎn)P到平面BQD的距離為(

)B[解析]

如圖，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，Q(0,0,1)，3．兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1,0,1)，則兩平面間的距離是(

)B4．棱長為1的正方體ABCD－A1