高中數(shù)學(xué)-圓錐曲線的綜合問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

圓錐曲線的綜合問(wèn)題

備考方向

考什么

能解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系等問(wèn)題.

怎么考

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題、中點(diǎn)弦、最值

范圍、定點(diǎn)定值的探索與證明是命題的熱點(diǎn).

2.題型以解答題為主，注重?cái)?shù)學(xué)思想與方法的考查.難度

較大

教材知識(shí)

一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，通常是將直線方程與曲線方程聯(lián)立，消去變量y（或x）

得變量x（或y）的方程：ax2+bx+c=0（或ay2+》y+c=0）.

若“WO,可考慮一元二次方程的判別式4,有：

/>00直線與圓錐曲線；

4=0臺(tái)直線與圓錐曲線;

4<0臺(tái)直線與圓錐曲線.

若。=0,則直線與圓錐曲線相交，且有一個(gè)交點(diǎn).

二、圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題

設(shè)直線1與圓錐曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，A（xl,yl）,

B（x2,y2）,則弦長(zhǎng)|AB|=或

三.圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題

中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”。

練習(xí)習(xí)題奠基

辨析感情1.對(duì)直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的理解

1)直線y=h+l與橢圓；+甘=1恒有兩個(gè)公共點(diǎn):”)

2)經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)有且只有一條直線與拋物線有一個(gè)公3

熊(X)

3)過(guò)拋物線內(nèi)一點(diǎn)只有一條直線與拋物線有且只有一個(gè)公5

2.對(duì)圓錐曲線中有關(guān)弦的問(wèn)題的理解

(4)已知為(一1,0),巳(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)匕且再

卜*軸的直線交。于45兩點(diǎn)，且［45|=3,則。的方程為1

=12)

(5)已知點(diǎn)(2,1)是直線/被橢圓￡+?=1所截得線段的中點(diǎn),

的方程為x+4y-6=0.(*)

⑹(2014?濰坊一模改編)直線4Ax—4y—A=0與拋物線y2=x

LA,B兩點(diǎn)，若|AB|=4,則弦AB的中點(diǎn)到直線x+1=0

考點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

I精析考題I

［例1］(2012—水格故)已知圓G(x+#)2+/=16,點(diǎn)A他,0),。是

圓上一動(dòng)點(diǎn)，AQ的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E.

⑴求軌跡E的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)P(l,0)的直線/交軌跡E于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,是坐標(biāo)

原點(diǎn))的面積S=：求直線48的方程.

［巧練模擬］-----------(課堂突破保分題，分分必保！)

1.(20imw*13mum*)過(guò)雙曲線5一齊=is>o,°>o)的左焦點(diǎn)

F(—c,0)(c>0)作圓』+/=點(diǎn)的切線，切點(diǎn)為E,延長(zhǎng)/「E交雙曲線右

支于點(diǎn)尸，若礪=；(而+而)，則雙曲線的離心率為()

A.等B.嚕

c.VibD也

0^91最值范圍問(wèn)題

?精析考?

[例2](2011**?)已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)尸(1,0)的距離與點(diǎn)

產(chǎn)到)，軸的距離的差等于1.

(1)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線小設(shè)人與軌跡C

相交于點(diǎn)A,B,與軌跡C相交于點(diǎn)。，E,求而?麗的最小值.

>>>搖身一變

本例(2)條件變?yōu)椤斑^(guò)F點(diǎn)且斜率為1的直線交P點(diǎn)的軌跡

于4,B兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)。在曲線》2=一標(biāo)320)上”求△Q45

面積的最小值.

[巧練模擬1----------------------（課堂突破保分題，分分必保?。?/p>

*2V2

2.（2012?制州橫粼）設(shè)雙曲線/一方=1（。＞0,。＞0）的一條漸近線與拋

物繳=』+1有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是

A.[f,+~）B.[5,+~）

C.諄，+~）D.訴+8）

3.（20121陽(yáng)橫秋慶+]=1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)尸、Q,￡（3,0）,EPJ.EQ,

則麗?迎的最小值為（）

A.6B.3-/

C.9D.12-6^

在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮:

⑴利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

⑵利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心

是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；

⑶利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取

值范圍；

(4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；

⑸利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.

-----課堂小結(jié)-----

1.涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)

而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系往往也是利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)

而不求簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題，可考慮利用圓錐曲線

的定義求解.

2.圓錐曲線綜合問(wèn)題要注重通性通法，熟悉解決問(wèn)題的技巧

提高解決綜合問(wèn)題的能力。

圓錐曲線的綜合問(wèn)題

一、選擇題(每小題5分，共25分)

1.已知?jiǎng)訄A圓心在拋物線V=4x上，且動(dòng)圓恒與直線x=-1相切，則此動(dòng)圓

必過(guò)定點(diǎn)

().

A.(2,0)B.(1,0)

C.(0,1)D.(0,-1)

72

2.設(shè)A8是過(guò)橢圓5+方=l(a＞Q0)中心的弦，橢圓的左焦點(diǎn)為乃(一c,0),則

/\F\AB的面積最大為

().

A.beB.abC.acD.b2

12

3.已知雙曲線，一方=l(a＞0,。＞0)的右焦點(diǎn)為R若過(guò)點(diǎn)尸且傾斜角為60。

的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是

().

A.(1,2)B.(-1,2)

C.(2,4-o0)D.[2,+°°)

?2

4.若AB是過(guò)橢圓，+$=1(。＞。＞0)中心的一條弦，M是橢圓上任意一點(diǎn)，且

AM.8M與兩坐標(biāo)軸均不平行，碗”、LB”分別表示直線AM、8M的斜率，則

lnAM-kliM=

().

2222

Ac/?_ca

A-一耳B-一宗c-一/D-一中

5.已知過(guò)拋物線y=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為60。的直線I與拋物線在第

一、四象限分別交于A、8兩點(diǎn)，則提的值為

A.5B.4C.3D.2

二、填空題(每小題5分，共15分)

6.點(diǎn)尸在拋物線/=4y的圖象上，口為其焦點(diǎn)，點(diǎn)A(—1,3),若使伊川+|%|最

小，則相應(yīng)P的坐標(biāo)為.

7.若雙曲線a一方=1(。＞0,40)的離心率是2,則丁的最小值為.

22

8.已知Fi(—c.O),正2(&0)為橢圓，+方=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且

2

PFiPF2=C,則此橢圓離心率的取值范圍是.

三'解答題

9.(10分)設(shè)橢圓C：5+*=1(。＞心0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線：f=4業(yè)的焦

點(diǎn)重合，B、放分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率e=竽，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)仍

的直線/與橢圓。交于M、N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在直線/,使得南?礪=-1,若存在，求出直線/的方程；若不存

在，說(shuō)明理由.

參考答案

1.B[因?yàn)閯?dòng)圓的圓心在拋物線V=4x上，且》=-1是拋物線尸=4x的準(zhǔn)線,

所以由拋物線的定義知，動(dòng)圓一定過(guò)拋物線的焦點(diǎn)(1,0),所以選B.]

2.A[如圖，由橢圓對(duì)稱性知。為A8的中點(diǎn)，則△BOB的面積為面

積的一半.又OFi=c,△ROB邊OFi上的高為"，而”的最大值為。.所以

△FiOB的面積最大值為舁所以△RA8的面積最大值為cb.]

/7h

3.D[由題意知，雙曲線的漸近線丁=宗的斜率需大于或等于小，即：24.二

/c?C

”23,了24,.?嗎》？，即后21

4.B[(特殊值法)因?yàn)樗膫€(gè)選項(xiàng)為確定值，取A(a,0),僅一a,0),M(0,b),可得

kAM-hBM——〃2」

5.C[由題意設(shè)直線/的方程為y=小(x—即》=擊十多代入拋物線方程

y2=2px中，整理得小產(chǎn)一2/?丫一小p』。,設(shè)A(XA,州)，B(XB,")，則％=

6__近斫I'/AFI班e1

73p,yB-—3P，所以EF]_yif一③」

6.解析由拋物線定義可知PR的長(zhǎng)等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離，所以過(guò)點(diǎn)A

作拋物線準(zhǔn)線的垂線，與拋物線的交點(diǎn)(一1,J即為所求點(diǎn)P的坐標(biāo)，此時(shí)

|P用十|9|最小.

答案J，0

7.解析由離心率e=2得，(=2,從而8=S。＞0,所以空*■=之索=。+=

=

^2y[a^=2A/|^3，當(dāng)且僅當(dāng)。==，即”=9時(shí)，"="成立.

答案邛

8.解析設(shè)尸(x,y),貝I

-2222

PF\PF2=(—C—X9—y)?(c—x,,y)=x—c+y=c,①

序(3t*2一層)〃？

將y2：〃一清2代入①式解得＜=---1-----，又fe[0,4],所以2c2W/W3，,

所以離心率d坐,闿

宏案W閨

口3，2

9.解(1)橢圓的頂點(diǎn)為(0,也,即匕二啦.

e=\=11_*=坐，解得a=小，

??.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+5=L

(2)由題可知，直線/與橢圓必相交.

①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意.

②設(shè)存在直線/為y=Mx—1),且M(xi,yi),Ngyi),

+=b

|h|f2得(2+3層)1—6僅尤+3層—6=0

.y=k(x—1)

6彥3k2—6

XI+x2=2+3卜2,XIM=2+3僅'

OMON=xiX2+yiy2=xix2+后[xiX2-(xi+x2)+1]

3k2—6、(3鏟_6_6但_廬—6

=2+3廿+%+3層―2+3俗+1J=2+3廬=

所以k=±yn,故直線/的方程為丁=啦。-1)或丁=一啦(》一1).

本節(jié)是圓錐曲線的綜合應(yīng)用，主要是曲線方程的運(yùn)用、變量范圍的計(jì)算、最值的確定等，

解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)解析幾何本身的特點(diǎn)，尋找一個(gè)突破口，那么如何找到解決問(wèn)題

的突破門呢？

(1)結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系.(2)建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)

的最值問(wèn)題.(3)利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行

巧妙的構(gòu)思.(4)結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性.直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們

的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式.因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于：①通過(guò)參數(shù)。簡(jiǎn)明地表示曲

線上點(diǎn)的坐標(biāo)；②利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來(lái)幫助求解諸如最值、范圍等問(wèn)題.

（5）構(gòu)造一個(gè)二次方程，利用判別式△》（）.

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生已基本掌握?qǐng)A錐曲線問(wèn)題的通性通法，但在有些知識(shí)的運(yùn)用

及計(jì)算上部分同學(xué)還不夠熟練。因此，在今后的教學(xué)中繼續(xù)強(qiáng)化基礎(chǔ)，加強(qiáng)運(yùn)算。

1.本部分主要以解答題形式考查，往往

是試卷的壓軸題之一，一般以橢圓或

拋物線為背景，考查弦長(zhǎng)、定點(diǎn)、定