新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第二章測試題及答案

新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第二章測試題及答案

第二章測試（滿分150分）

一、單選題（共8小題，每題5分，共40分）

9

1.函數(shù)y=2x2—3x-\-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

8

A.OB.lC.2D.無法確定

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖⑴所示，則不等式ax2+bx+c^Q的解集為（）

A.{x0}B.0

C.{x|xWx。}D.R

4

3.代數(shù)式X?+-7取得最小值時(shí)對應(yīng)的X值為（）

A.2C.±2D.±/2

4.用一段長為/的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園（墻足夠長），菜園

的面積最大時(shí)（）

A.菜園為正方形

B.菜園為鄰邊為2倍關(guān)系的矩形，且靠墻的邊比鄰邊長

C.菜園為鄰邊為2倍關(guān)系的矩形，且靠墻的邊比鄰邊短

D.菜園為鄰邊為2倍關(guān)系的矩形，且靠墻的邊和鄰邊無法比較長短

5.Vx€R,2x2+5x+6>x2+3x+m,m的值可以為（）

A.7B.6C.5D.4

6.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

①若a>b>Q,則ac2>bc2②若a>b>Q,則a2>b2

③若o<b<0,則02>/m2④若a<b<0,則二〉二

ab

A.lB.2C.3D.4

7.不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|—2<x<5},對于函數(shù)y=W+bx+c有下列說法:

①圖象開口朝下；②零點(diǎn)確定；③o、b、c的值確定；④對稱軸確定

正確說法的個(gè)數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

8.已知非負(fù)實(shí)數(shù)°,6滿足a+b=l,則」一+二一的最小值（）

。+1b+2

A.1B.2C.3D.4

二、多選題（共4小題，每題5分，共20分）

9.已知則下列不等式中恒成立的是（）

A.已知〃，匕為正數(shù)，則a+b+—^h22/I

Jab

B.已知〃，beR,則〃2+62+222〃+2。

,）*）

C.已知。，6為正數(shù)，則1-22J前

Jab

2ab

D.已知〃，匕為正數(shù)，貝！J二—>ab

a+b

10.下列不等式中無解的是（）

A.x2+2x+4<0B.X2-8X+16^0

9

C.—x2—3x——>0D.2x2+ax—3a2^0

4

IL下列結(jié)論正確的是（）

A.若函數(shù)片ox2+bx+c（a#0）對應(yīng)的方程沒有根，則不等式ax2+bx+c>0的解集R；

B.不等式ax2+bx+c^0在R上恒成立的充要條件是a<0,且△=爐一4ocW0；

C.若關(guān)于％的不等式ox2+x—1W0的解集為R,則oW-----；

4

D.不等式的解集為{x|0vxvl}.

I

12已知Rt^ABC的斜邊長為2,則下列關(guān)于AABC的說法中，錯(cuò)誤的是（）

A,周長的最大值為2+2/1B.周長的最小值為2+2/5

C.面積的最大值為2D.面積的最小值為1

三、填空題（共4小題，每題5分，共20分）

13.已知集合A={x|?<4},B={x|x2-4x+3>0},則APIB=；

14.Vx€R,J——勿x+1有意義,。的取值構(gòu)成的集合為;

15.若正實(shí)數(shù)％,y滿足2x+y+6=xy.設(shè)t=2x+y,t的取值范圍構(gòu)成集合A.

3t￡A,tWm,則m的最小值等于.

16.中國南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：

設(shè)三角形的三條邊長分別為。，b,c,則三角形的面積S可由公式S=-6）S—c）求得,其

中p為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫一秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足a=6,b

+c=8,則此三角形面積的最大值為

四、解答題（共6題，17題10分，其余各題每題12分，共70分）

17.已知集合A={x|-^―^->0},集合B={x|ax>l}.若x￡A是的充分不必要條件，求a的取值范圍.

T-7

18.某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本.根據(jù)市場調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，

銷售量就可能相應(yīng)減少2000本.要確保銷售的總收入不低于20萬元，提價(jià)后的定價(jià)有什么限制？銷售

的總收入最高時(shí)，定價(jià)多少？

19.對于一元二次方程ox2+bx+c=0,寫出滿足下列條件的關(guān)于a、b、c的不等式組.

（1）有兩個(gè)不等正根；

（2）有兩個(gè)不等負(fù)根；

（3）兩根異號；

（4）兩根一個(gè)比1大，一個(gè)比1小.

20.⑴設(shè)a,b,cGR,a+b+c=l,證明:ab+bc+ac<—；

3

114

(2)已矢口o>b>c,求證：----+----2------.

a~bb-ca-c

21.⑴若不等式ax2+2x+l>0的解集為{x|bvx<l},求a,b的值;

⑵求關(guān)于x的不等式ox2+2x+l>—ax—l（a>0）的解集.

22.已知不等式x2—ax+o—2>0(a>2)的解集為｛x|x<xi,或x>xz).

⑴求xi+xzH---------的最小值M；

—

J/K/，

⑵若正數(shù)〃，b,。滿足a+b+c=一，求證：—+—+—>2

2abc

第二章測試解析（滿分150分）

一、單選題（共8小題，每題5分，共40分）

9

1.函數(shù)y=2x2—3x-\-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

8

A.OB.lC.2D.無法確定

【答案】B

9

解析：零點(diǎn)就是y=0時(shí)，方程2X2-3X+—=0的根.

8

9

0=（—3）2—4x2x—=0,方程兩根相同，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，故選B.

8

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖⑴所示，則不等式ax2+bx+c^0的解集為（）

A.{x0}B.0

C.{x|xWx。}D.R

【答案】A

解析：ax2+bx+c>0,即y>0.

根據(jù)圖像可知，只有在X-Xo時(shí)，片0.x取其它任何實(shí)數(shù)時(shí),y都是負(fù)值，故

選A.

4圖（1）

3.代數(shù)式x2+—取得最小值時(shí)對應(yīng)的x值為（）

A.2C.±2D.tn

【答案】D

解析：X2在分母的位置，則x2>0.

4

x2H—x'-7-=4,當(dāng)且僅當(dāng)x2==，即/=4,x2=2,x=±/^時(shí)，取等號，故選D,

x~x

4.用一段長為/的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園（墻足夠長），菜園的面積最大時(shí)（）

A.菜園為正方形

B.菜園為鄰邊為2倍關(guān)系的矩形，且靠墻的邊比鄰邊長

C.菜園為鄰邊為2倍關(guān)系的矩形，且靠墻的邊比鄰邊短

D.菜園為鄰邊為2倍關(guān)系的矩形，且靠墻的邊和鄰邊無法比較長短

【答案】B

解析：設(shè)菜園的相鄰兩邊長分別為x（靠墻的邊），y,則x+2y=/.

/,?

/

，X—

[x402V「1=2v2

菜園面積S=xy二一?x?2vV—（■—―）2=一,當(dāng)且僅當(dāng)V,即y時(shí)，取等號，故選B.

2.228x+2y=//

、V=—

X.4

5.Vx￡R,2x2+5x+6>x2+3x+m,m的值可以為（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

解析：VxGR,2x2+5x+6>x2+3x+m<=>x2+2x+6—m>0.

0=22—4(6-m)<0,m<5,故選D.

6.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()

①若a>b>0,則ac2>bc2②若a>b>Q,則a2>b2

③若o<b<0,則02>/m2④若a<b<0,則一>二

ab

A.lB.2C.3D.4

【答案】C

解析：對于①，c=0時(shí)，ac2=bc2,是假命題；

對于②，根據(jù)正數(shù)同向不等式可乘方的原則可知，是真命題；

22

對于③，a<0,a>ab;*/a<b,b<0,ab>bf根據(jù)不等式的傳遞性可知，此選項(xiàng)為真

命題；

^22116一。

對于④，——一一=2(-------)=2-------.

ababab

22b-a

Vo<b<Ob—a>0,ob>0----------=2------->0,—>一.此選項(xiàng)為真命題.

f9ababab

綜上，選項(xiàng)為C.

7.不等式ax2+bx+c>0的解集為{x—2<x<5},對于函數(shù)y=ax2+bx+c有下列說法:

①圖象開口朝下；②零點(diǎn)確定；③a、b、c的值確定；④對稱軸確定

正確說法的個(gè)數(shù)為（）

A.lB,2C.3D.4

【答案】C

解析：不等式大于0,取中間，可斷定a<0,函數(shù)圖像開口朝下，①正確;

-2,5是對應(yīng)方程的根，也是對應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，②正確;

b

-2+5=-----

b=-3a

根據(jù)韋達(dá)定理，Y即Y所以a、b、c的值不確定，對稱軸方程為x二一

Cc——10a

-2X5=—

y-=一一^-=y.所以③不正確，④正確.

綜上，選C.

8.已知非負(fù)實(shí)數(shù)a,6滿足a+b=l,則二一+」一的最小值（）

G+1H2

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

解析：a+b=l,（a+l）+（b+2）=4.

-7-)=7[(a+l)+(fa+2)](----H-4-)=Y(2+-^-^a+1、1

--------1=-*4(----)2_

a+1----i+24a+1b+24a+1b+24a+1i+24

(2+2/-)=1.

Va+1b+2

b+2a+1

a=1

當(dāng)且僅當(dāng)＜a門匕?2,即<時(shí)，取等號.

b=Q

a+5=1

綜上，」一+^的最小值為1,選A.

a+1b+2

二、多選題（共4小題，每題5分，共20分）

9.已知則下列不等式中恒成立的是（）

A.已知〃，匕為正數(shù)，貝!Ja+b+—^2^2

Jab

B.已知〃，/?ER,貝！J〃2+扶+2224+2匕

?入一

C.已知a,6為正數(shù)，則=-22J前

J而

lab

D.已知。，人為正數(shù)，則^>加

a+b

【答案】ABC

解析：對于A選項(xiàng)，a+b+>2^fab+>2$0-^==2幾正確;

對于B選項(xiàng),(區(qū)+爐+2)—(24+2b)=(a2—2a+l)+(b2—2b+l)=(a—l)2+(b-l)2z0,正確;

a+b'2ab「

對于C選項(xiàng)，一產(chǎn)以一^二2J^},正確;

Jab"ab

對于D選項(xiàng)，一■—<—產(chǎn)=J^b,不正確.

a+b2Jab

綜上，選項(xiàng)ABC.

10.下列不等式中無解的是（）

A.x2+2x+4<0B.x2-8x+16<0

D.2x2+ax—3a2^0

【答案】AC

解析：對于A選項(xiàng)，對應(yīng)二次函數(shù)開口朝上，0<0,y值恒正，此不等式無解；

對于B選項(xiàng)，對應(yīng)二次函數(shù)開口朝上，0=0,y值非負(fù)，此不等式有解（可以取等）；

對于C選項(xiàng)，對應(yīng)二次函數(shù)開口朝下，0=0,y值非正，此不等式無解；

對于D選項(xiàng)，對應(yīng)二次函數(shù)開口朝上，EI=25a2>0,y值不可能皆負(fù)，此不等式有解.

綜上，選AC.

11.下列結(jié)論正確的是（）

A.若函數(shù)y=ax2+bx+c（aW0）對應(yīng)的方程沒有根，則不等式ax2+bx+c>0的解集R；

B.不等式ax2+bx+cW0在R上恒成立的充要條件是a<0,且△=按一4acW0；

C.若關(guān)于1的不等式ox2+x—1W0的解集為此則QW一工；

4

D.不等式二>1的解集為{x[O<x<l}.

I

【答案】CD

解析：對于A選項(xiàng)，。<0時(shí)，對應(yīng)的方程沒有根，ax2+bx+c>0的解集為0,不正確；

對于B選項(xiàng)，“ax2+bx+cM0在R上恒成立”推不出“a<0,且△=按一4。<:40'',

反例：0x2+0x—140在R上恒成立，但。=0.此選項(xiàng)不正確；

對于C選項(xiàng)，分兩種情況考慮：

①當(dāng)。=0時(shí)，x—BO的解集不是R;

X-Xfl<01

②當(dāng)“0時(shí)，ax2+x—lS0的解集為R,所以1,即於-----.此選項(xiàng)正確；

l+4a〈04

.11l-x.

對v于D選項(xiàng)，一>1,——1>0,---->0,x（l—尤）>0,0<x<l.正確.

XXX

綜上，選CD.

12已知Rt△ABC的斜邊長為2,則下列關(guān)于△ABC的說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.周長的最大值為2+2幾B.周長的最小值為2+2/5

C.面積的最大值為2D.面積的最小值為1

【答案】BCD

解析：設(shè)斜邊為c,則c=2,a2+b2=4.

1]2j_L2a=b

先研究面積：S=-ab<--=1,當(dāng)且僅當(dāng)<,即時(shí)，取等號，所以面積

2221J+/=4

的最大值是1.C、D選項(xiàng)都是錯(cuò)誤的；

再研究周長：a2+Z?2=4.,（0+力2一2必=4,3+加2―2（，^）2s4,（a+b）2<8,a+b<ljl,當(dāng)且

a=b

僅當(dāng)《,即a=b=vQ時(shí)，取等號，所以的最大值為2/5,周長的最大值為2+2/^.

a+y=4

綜上，選BCD.

三、填空題（共4小題，每題5分，共20分）

13.已知集合A={x<4},B={x|x2—4x+3>0},則AC!B=；

【答案】{x|—2<x<l}.

解析：A={x|x"<4}={x|—2<x<2},B={x|x2—4x+3>0}={x|x<l或x>3}.

AnB={x|—2<x<l}.

14yxGR,JOT'-勿X+1有意義，a的取值構(gòu)成的集合為

【答案】{alOWaWl}

解析：VxeR,Jar'_2/ix+l有意義,即ax?—2ax+120的解集為R.

分情況討論：

當(dāng)0=0時(shí)，Ox?—2-0x+120的解集是R,符合題意；

a>0

當(dāng)。時(shí)，<,，即0<a<l.

W—aWO

綜上，a的取值構(gòu)成的集合為{a|0"W1}.

15.若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy.設(shè)t=2x+y,t的取值范圍構(gòu)成集合A.

3teA,tWm,則m的最小值等于.

【答案】12

12x+v

解析：2x+y+6=xy,2x+y+6=—?2x-y,(2x+y)+6<—(―~~—)2,(2x+y)2—8(2x+y)—48>8,(2x

??7

+y+4)(2x+y-12)>0,V2x+y+4>0,2x+y-12>0,2x+y>12.

7Y=v

當(dāng)且僅當(dāng)Jx=3

即《時(shí)，等號成立.

2x+y+6=xyy=6

綜上，2x+y的最小值是12,即t的最小值為12,m的最小值是12.

16.中國南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即己知三角形三邊長求三角形面積的公式：

設(shè)三角形的三條邊長分別為a,b,c,則三角形的面積S可由公式S=J正二礪二J求得，其

中p為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫一秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足a=6,b

+c=8,則此三角形面積的最大值為

【答案】3、/7

a+h+c

解析：P-=7,S=j7(7-(X7-6)(7-c)=/7(7-6X7-c).

2

o+b+c,a+cT…a+b+c,_皿

----------b=------->0,貝--------->b,b<7,7-b>0；同理7—c>0.

222

l-b=7-c

當(dāng)且僅當(dāng)4,即b=c=4時(shí)，取等號.

b+c=8

綜上，三角形面積的最大值為3J7.

四、解答題(共6題，17題10分，其余各題每題12分，共70分)

17.已知集合A={x-^―^->0},集合B={x|ax>l}.若xGA是xWB的充分不必要條件，求a的取值范圍.

x-2

.,,1-1f(1—X)(A—2)0

解析：A={x——>0}={x<}={xl<x<2}.

x-21x—240

根據(jù)題意，AB,所以Bw0,“0,且a值不可能為負(fù)值(若。<0,則B中元素都是負(fù)數(shù)，而A中元

素都是正值，A不可能真包含于B).

a>0

綜上，a>0,B={x|ax>l}=B={x|x>一},?]，即a>l.

a—<1

18.某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本.根據(jù)市場調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，

銷售量就可能相應(yīng)減少2000本.要確保銷售的總收入不低于20萬元，提價(jià)后的定價(jià)有什么限制？銷售

的總收入最高時(shí)，定價(jià)多少？

解析：設(shè)提價(jià)后的定價(jià)為每本x元.

v-25

(8--——X0.2)X>20,

0.1

[8-2(x-2.5)]x-20>0

(13-2x)x-20>0

13x-2x2-20>0

2x2-13x+20<0

2x2-13x+20=0的兩根分別為*、4,???不等式的解集為{x[：<x<4}.

7

綜上，要確保銷售的總收入不低于20萬元，提價(jià)后的定價(jià)即不低于2.5元，也不高于4元.

x-25

銷售的總收入y=(8—-——二二X0.2)x

0.1

=-2x2+13x

13

對稱軸方程為x=---.

4

所以定價(jià)為一元時(shí)，銷售的總收入最高.

4

19.對于一元二次方程ax2+bx+c=0,寫出滿足下列條件的關(guān)于a、b、c的不等式組.

（1）有兩個(gè)不等正根；

（2）有兩個(gè)不等負(fù)根；

（3）兩根異號；

（4）兩根一個(gè)比1大，一個(gè)比1小.

解析：設(shè)方程的兩部不等根分別為修、X2,

ZT—4ac>0發(fā)-4ac>0

△>0"△>0

—>0—>0

(D-X]X)〉0Va；（2）＜XjX.>0,Ya，

>0-1>oXy+X,<0

L1-I1---<0

Ia

-4ac>0"△>

△>00b"^4ac>0

，Yc；(4)-<

x,x,<0—<0(X]-1Xx,-1)<0Xjx,—(X,+x,)+1<0

I_I__

d2—4ac>0

cb

—F—F1<0

aa

20.⑴設(shè)a,b,cGR,a+b+c=l,證明：ab+bc+ac<—；

114

(2)已知o>b>c,求證：----+----2-----

a-bb-ca-c

(1)證明:a+b+c=l

(a+b+c)2=l

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=l

a-\-b".V+c*..

-----+------+------+2ab+2bc+2ac=l

222

lab2bc+lac

2ab+2bc+2ac<l

222

3ab+3bc+3ac<l

ob-\-bc~\~oc<—,命題