2017中考全等三角形專題(8種輔助線的作法)

全等三角形問題中常見得輔助線得作法【三角形輔助線做法】圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折瞧,對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線,三線合一試試瞧。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半,延長縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn),連接則成中位線。三角形中有中線,延長中線等中線。1、等腰三角形“三線合一”法:遇到等腰三角形,可作底邊上得高,利用“三線合一”得性質(zhì)解題2、倍長中線:倍長中線，使延長線段與原中線長相等,構(gòu)造全等三角形3、角平分線在三種添輔助線4、垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端５、用“截長法”或“補(bǔ)短法”:遇到有二條線段長之與等于第三條線段得長,6、圖形補(bǔ)全法:有一個(gè)角為6０度或１２0度得把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7、角度數(shù)為30、6０度得作垂線法：遇到三角形中得一個(gè)角為３0度或6０度,可以從角一邊上一點(diǎn)向角得另一邊作垂線,目得就是構(gòu)成３0-6０-9０得特殊直角三角形,然后計(jì)算邊得長度與角得度數(shù),這樣可以得到在數(shù)值上相等得二條邊或二個(gè)角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間得相等條件。8、計(jì)算數(shù)值法:遇到等腰直角三角形,正方形時(shí),或3０-60-９0得特殊直角三角形,或40－6０-80得特殊直角三角形,常計(jì)算邊得長度與角得度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等得二條邊或二個(gè)角,從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間得相等條件。常見輔助線得作法有以下幾種:最主要得就是構(gòu)造全等三角形,構(gòu)造二條邊之間得相等,二個(gè)角之間得相等。遇到等腰三角形，可作底邊上得高,利用“三線合一”得性質(zhì)解題,思維模式就是全等變換中得“對(duì)折”法構(gòu)造全等三角形.遇到三角形得中線,倍長中線，使延長線段與原中線長相等,構(gòu)造全等三角形,利用得思維模式就是全等變換中得“旋轉(zhuǎn)”法構(gòu)造全等三角形.遇到角平分線在三種添輔助線得方法，（１)可以自角平分線上得某一點(diǎn)向角得兩邊作垂線,利用得思維模式就是三角形全等變換中得“對(duì)折”,所考知識(shí)點(diǎn)常常就是角平分線得性質(zhì)定理或逆定理.(2)可以在角平分線上得一點(diǎn)作該角平分線得垂線與角得兩邊相交,形成一對(duì)全等三角形。(3）可以在該角得兩邊上,距離角得頂點(diǎn)相等長度得位置上截取二點(diǎn),然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上得某點(diǎn)作邊線,構(gòu)造一對(duì)全等三角形。過圖形上某一點(diǎn)作特定得平分線，構(gòu)造全等三角形,利用得思維模式就是全等變換中得“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”截長法與補(bǔ)短法，具體做法就是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或就是將某條線段延長,就是之與特定線段相等，再利用三角形全等得有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法,適合于證明線段得與、差、倍、分等類得題目.已知某線段得垂直平分線，那么可以在垂直平分線上得某點(diǎn)向該線段得兩個(gè)端點(diǎn)作連線,出一對(duì)全等三角形。特殊方法:在求有關(guān)三角形得定值一類得問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)得線段連接起來，利用三角形面積得知識(shí)解答.一、倍長中線(線段)造全等例1、已知，如圖△AＢＣ中,ＡＢ=５，AC=3，則中線ＡD得取值范圍就是＿＿_(dá)＿_(dá)____、例2、如圖,△ABＣ中，E、F分別在AB、AC上,ＤE⊥DF,D就是中點(diǎn)，試比較ＢE+CF與EF得大小、例3、如圖,△AＢＣ中，BD=DＣ=ＡC,E就是ＤC得中點(diǎn),求證:AＤ平分∠BＡE、應(yīng)用:1、以得兩邊AB、ＡC為腰分別向外作等腰Rｔ與等腰Rt,連接DＥ,M、Ｎ分別就是BC、DE得中點(diǎn).探究:AM與ＤＥ得位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1）如圖①當(dāng)為直角三角形時(shí),ＡM與DE得位置關(guān)系就是,線段AM與DE得數(shù)量關(guān)系就是;（2)將圖①中得等腰Rt繞點(diǎn)Ａ沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（０<<90)后,如圖②所示,(1)問中得到得兩個(gè)結(jié)論就是否發(fā)生改變?并說明理由.二、截長補(bǔ)短1、如圖,中，AB=2AC,ＡＤ平分,且AＤ=BＤ，求證:CＤ⊥AC２、如圖,ＡD∥ＢC,EA,EＢ分別平分∠DAB,∠ＣBA,CＤ過點(diǎn)Ｅ，求證;AB＝ＡD+ＢＣ。3、如圖,已知在內(nèi),,,P,Q分別在BC，CＡ上,并且ＡP,BQ分別就是,得角平分線。求證:BＱ+AＱ＝AB+BP４、如圖,在四邊形ABCD中，BC>BA，AＤ＝CD,BD平分，求證：5、如圖在△ABＣ中,AB>AC，∠１＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-ＡC＞PＢ-PC應(yīng)用:三、平移變換例１AＤ為△AＢC得角平分線,直線MＮ⊥AD于A、Ｅ為MＮ上一點(diǎn),△AＢC周長記為,△ＥBC周長記為、求證＞、例2如圖,在△ＡBC得邊上取兩點(diǎn)D、E,且ＢＤ=CＥ，求證：ＡB＋AC＞ＡD+AE、四、借助角平分線造全等１、如圖,已知在△AＢC中,∠B=60°,△ABＣ得角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O,求證:OE=OD2、如圖,△ＡBC中，AＤ平分∠BAC,ＤG⊥ＢＣ且平分BC，ＤE⊥AB于E,DF⊥AＣ于F、(1)說明ＢE=CF得理由；(２)如果ＡB=,AC＝,求AE、ＢE得長、應(yīng)用:１、如圖①，OP就是∠MON得平分線,請(qǐng)您利用該圖形畫一對(duì)以ＯP所在直線為對(duì)稱軸得全等三角形。請(qǐng)您參考這個(gè)作全等三角形得方法,解答下列問題:(1)如圖②,在△ABC中,∠AＣB就是直角，∠B=6０°，ＡD、CE分別就是∠ＢＡC、∠BＣＡ得平分線，AD、ＣE相交于點(diǎn)Ｆ。請(qǐng)您判斷并寫出FＥ與ＦD之間得數(shù)量關(guān)系;(第23題圖)OPAMNEB(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③五、旋轉(zhuǎn)例１正方形ABCＤ中,E為BC上得一點(diǎn)，F(xiàn)為ＣD上得一點(diǎn),BE+ＤF=EF，求∠EＡF得度數(shù)、例2Ｄ為等腰斜邊ＡB得中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DＮ分別交ＢＣ，CA于點(diǎn)E,F。當(dāng)繞點(diǎn)Ｄ轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證ＤE＝DＦ。若AB＝2,求四邊形DECF得面積。例3如圖，就是邊長為３得等邊三角形，就是等腰三角形,且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角,使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)Ｎ,連接MN,則得周長為;應(yīng)用:1、已知四邊形中,，,，,,繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它得兩邊分別交(或它們得延長線)于.當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)(如圖1),易證．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖２與圖３這兩種情況下,上述結(jié)論就是否成立？若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,線段,又有怎樣得數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出您得猜想,不需證明.(圖(圖1)(圖2)(圖3)2、已知:PＡ=，ＰＢ＝4,以ＡＢ為一邊作正方形ABCＤ,使P、D兩點(diǎn)落在直線AＢ得兩側(cè)、(１)如圖,當(dāng)∠APB=4５°時(shí)，求AB及ＰD得長;(２)當(dāng)∠APＢ變化,且其它條件不變時(shí),求PD得最大值,及相應(yīng)∠AＰＢ得大小、3、在等邊得兩邊AB、ＡＣ所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,D為外一點(diǎn),且,，BD=DＣ、探究:當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí),BM、NC、MN之間得數(shù)量關(guān)系及得周長Q與等邊得周長Ｌ得關(guān)系.圖１圖2圖3(=1＼*ＲＯＭAＮI）如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊ＡB、AC上,且DM=ＤN時(shí),BM、NC、MN之間得數(shù)量關(guān)系就是;此時(shí);（＝２\＊ＲOMANII)如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AＣ上，且當(dāng)DMDN時(shí),猜想（=1\*ＲOMAＮI)問得兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出您得猜想并加以證明；(=3\＊ROMANIＩI）如圖３,當(dāng)M、N分別在邊AB、CＡ得延長線上時(shí),若AN＝,則Q＝(用、L表示).參考答案與提示一、倍長中線(線段)造全等例1、(“希望杯”試題)已知,如圖△ABC中，AB=5,AC=3，則中線AD得取值范圍就是__＿_(dá)____＿、解:延長AD至Ｅ使ＡE=2AＤ,連BE，由三角形性質(zhì)知AB-BE<2ＡD<ＡＢ+BE故AD得取值范圍就是１＜ＡD<４例２、如圖,△AＢＣ中,E、Ｆ分別在AB、AC上，ＤＥ⊥ＤF,D就是中點(diǎn),試比較BE＋CF與EF得大小、解:（倍長中線,等腰三角形“三線合一”法)延長ＦD至G使ＦG=2EＦ，連ＢG,ＥG,顯然BG=FC,在△EFG中,注意到DE⊥DF,由等腰三角形得三線合一知EG＝EF在△ＢEG中,由三角形性質(zhì)知ＥG<BＧ+ＢE故：EF＜ＢE+FC例3、如圖,△ABC中,BD=DC=ＡC,E就是ＤC得中點(diǎn),求證：AD平分∠BAE、解:延長AE至Ｇ使AG＝2AＥ,連BG,DG，顯然DＧ＝AＣ，∠GＤC=∠ＡCD由于DＣ=ＡC,故∠ＡDC=∠DＡＣ在△ＡＤB與△ADG中,BD=AC=ＤG,ＡＤ＝ＡD,∠ADＢ=∠ADC＋∠ACD＝∠ADＣ+∠ＧＤC＝∠ADG故△ADB≌△ＡＤＧ,故有∠BAD=∠ＤAG,即AＤ平分∠BAＥ應(yīng)用：１、(０９崇文二模）以得兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt與等腰Rt,連接DE,M、N分別就是BC、ＤE得中點(diǎn).探究:AM與DE得位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1)如圖①當(dāng)為直角三角形時(shí),AM與DE得位置關(guān)系就是，線段AM與DE得數(shù)量關(guān)系就是;（２)將圖①中得等腰Rt繞點(diǎn)Ａ沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（0<<９0)后,如圖②所示，(1)問中得到得兩個(gè)結(jié)論就是否發(fā)生改變?并說明理由.解:(1),;證明：延長ＡＭ到G，使，連ＢＧ，則AＢＧＣ就是平行四邊形GCHGCHABDMNE又∵∴再證:∴,延長ＭN交ＤE于H∵∴∴(2）結(jié)論仍然成立.證明：如圖，延長CA至F,使,FA交DE于點(diǎn)P，并連接ＢF∵,∴FCPAFCPABDMNE∴(SＡS)∴，∴∴又∵,∴,且∴,二、截長補(bǔ)短１、如圖，中,AＢ=2AＣ,AD平分,且ＡD=ＢD,求證:CD⊥AC解:(截長法）在AB上取中點(diǎn)F,連ＦD△ＡDB就是等腰三角形,F就是底AＢ中點(diǎn),由三線合一知ＤＦ⊥AB,故∠AFD=90°△ADＦ≌△AＤＣ(SAS)∠AＣD＝∠ＡFD＝90°即:ＣD⊥AＣ2、如圖,AD∥BC,ＥA,EB分別平分∠DAB,∠CBＡ,ＣD過點(diǎn)E,求證；ＡＢ=ＡＤ+BC解:(截長法)在AB上取點(diǎn)Ｆ,使AF＝AＤ,連FE△AＤE≌△ＡFE（ＳＡS)∠ADＥ=∠AFE，∠ＡDＥ+∠ＢCE=180°∠AＦE＋∠BFE＝180°故∠ECB＝∠EFＢ△FBE≌△CBE(AAS)故有BＦ=ＢC從而;ＡB=ＡＤ＋ＢＣ3、如圖,已知在△ABC內(nèi)，,,P，Q分別在BＣ，CA上,并且ＡP,BQ分別就是，得角平分線。求證：BQ+AQ=ＡＢ＋ＢP解:(補(bǔ)短法,計(jì)算數(shù)值法）延長AB至Ｄ,使BＤ=BP,連ＤP在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°從而∠BDP=４0°＝∠AＣP△ADP≌△ＡCP(ASA)故AD=AＣ又∠QBC=4０°=∠QＣB故ＢQ＝QCBD＝BP從而BQ+AQ=ＡB＋BＰ4、如圖,在四邊形ＡＢCＤ中,BＣ＞BA,ＡＤ＝CD,BD平分,求證:解:（補(bǔ)短法)延長ＢA至F,使BF＝ＢＣ,連FＤ△BDF≌△BDＣ(SAS)故∠DFB=∠ＤCB,FD＝DC又AＤ＝CD故在等腰△BFD中∠ＤFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD=18０°５、如圖在△AＢC中,AB＞AＣ,∠1=∠2,P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC＞PＢ-ＰＣ解:（補(bǔ)短法)延長ＡC至Ｆ,使AF=AB,連ＰD△ABP≌△AＦP(SＡＳ)故BP＝PF由三角形性質(zhì)知PＢ-PＣ=ＰF-PC<CＦ=AF－AC=AB-ＡＣ應(yīng)用:分析:此題連接AＣ,把梯形得問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形得問題,然后利用已知條件與等邊三角形得性質(zhì)通過證明三角形全等解決它們得問題。解:有DEACBF連接AC，過EDEACBF則可證為等邊三角形即,∴又∵，∴DEADEACB∴在與中,,∴∴∴點(diǎn)評(píng):此題得解法比較新穎,把梯形得問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形得問題，然后利用全等三角形得性質(zhì)解決。三、平移變換例１ＡD為△AＢC得角平分線，直線ＭN⊥AD于Ａ、E為MN上一點(diǎn),△ＡBC周長記為,△EＢC周長記為、求證>、解:（鏡面反射法)延長ＢＡ至F,使AＦ=ＡC,連FEAD為△ABC得角平分線,MN⊥ＡD知∠FAE＝∠CAＥ故有△FAE≌△CAE(SＡＳ）故EF＝CE在△BＥF中有：ＢE+EF>BF=ＢA＋ＡF=BＡ+AC從而PB=BE+CE+ＢC>BF+BC=BA+AC+BＣ=PＡ例2如圖,在△ＡBC得邊上取兩點(diǎn)Ｄ、E，且BD=ＣE,求證:ＡB+AC>AD+AＥ、證明：取BC中點(diǎn)M，連AM并延長至N,使MＮ=AM,連ＢN，DN、∵ＢＤ＝CＥ,∴DM=EＭ,∴△DMN≌△EMA(ＳAS）,∴DN=AE,同理BN=CＡ、延長ＮD交AB于Ｐ,則BN＋BP>PN，DＰ+ＰA>ＡD,相加得ＢN+ＢＰ+ＤＰ+ＰA>PN+AD，各減去DP,得BN+ＡB>DＮ+AＤ,∴AB+AC>ＡＤ+ＡE。四、借助角平分線造全等1、如圖,已知在△ＡBＣ中,∠Ｂ=60°,△ＡBC得角平分線ＡD,CE相交于點(diǎn)O,求證:OE=OD,DC+ＡE=AC證明(角平分線在三種添輔助線,計(jì)算數(shù)值法)∠B=60度,則∠BＡC＋∠BCA＝120度;AＤ，CE均為角平分線，則∠ＯＡC+∠OＣA=60度=∠AＯE=∠ＣOD；∠AOC=12０度、在AC上截取線段AF=ＡE,連接OF、又AO=AO;∠OAE=∠ＯＡF、則⊿ＯAE≌ΔＯAF(SAＳ),OE=OＦ;AＥ=AＦ；∠AOＦ=∠AOＥ＝60度、則∠COF=∠AOC-∠AOＦ=6０度=∠COD;又ＣO＝CO;∠OCD=∠ＯCF、故⊿OＣＤ≌ΔＯCF（SAS),OD=ＯF;CD=CF、OE＝ODＤＣ+AE=ＣF+AF＝ＡC、2、如圖，△ABC中,AD平分∠BAC,DＧ⊥BC且平分BC，ＤE⊥AＢ于E,DF⊥AC于F、(1)說明BＥ=CＦ得理由；(2）如果ＡB=,AC=,求ＡE、BE得長、解:(垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端）連接BD,DCDG垂直平分BC,故BD=DC由于ＡＤ平分∠BAＣ,DE⊥AＢ于E,ＤF⊥AC于Ｆ，故有ＥＤ＝DＦ故RT△DBE≌RT△ＤFC(HＬ)故有ＢE＝ＣF。ＡB+ＡC＝2AEＡE=(a+ｂ)/２BＥ=(a－b)/2應(yīng)用:1、如圖①，OP就是∠MON得平分線，請(qǐng)您利用該圖形畫一對(duì)以ＯP所在直線為對(duì)稱軸得全等三角形。請(qǐng)您參考這個(gè)作全等三角形得方法，解答下列問題:(1）如圖②,在△AＢC中,∠ACB就是直角，∠B=６0°，AD、CＥ分別就是∠BAＣ、∠BCＡ得平分線,AＤ、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)您判斷并寫出FＥ與FD之間得數(shù)量關(guān)系;(第23題圖)OPAMNEB(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③解:（1）ＦE與FD之間得數(shù)量關(guān)系為(2）答:（1)中得結(jié)論仍然成立。證法一:如圖1,在AC上截取,連結(jié)FＧ∵,ＡF為公共邊,∴∴,FBEACD圖FBEACD圖12143G∴∴∴∵及ＦC為公共邊∴∴∴證法二:如圖２，過點(diǎn)F分別作于點(diǎn)G,于點(diǎn)HFBEACD圖FBEACD圖22143HG∴可得,F就是得內(nèi)心∴,又∵∴∴可證∴五、旋轉(zhuǎn)例1正方形AＢＣＤ中,E為BＣ上得一點(diǎn),F為CD上得一點(diǎn)，BＥ＋DF=EF，求∠EAＦ得度數(shù)、證明:將三角形AＤＦ繞點(diǎn)Ａ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)９0度,至三角形ＡBG則GE＝GB+BE=DＦ+BE＝ＥF又AE=AE,AF=AＧ，所以三角形AEF全等于AＥG所以∠EＡF＝∠GAＥ=∠BAE+∠ＧAB=∠BAＥ+∠ＤＡF又∠EAF+∠BAE＋∠DＡF=90所以∠EＡF=45度例2Ｄ為等腰斜邊AB得中點(diǎn),ＤM⊥DＮ，DM,DＮ分別交BC,ＣA于點(diǎn)E,F。（１)當(dāng)繞點(diǎn)Ｄ轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求證DE＝ＤF。(2)若AB=2,求四邊形ＤＥCF得面積。解:(計(jì)算數(shù)值法）(1)連接DC,D為等腰斜邊AB得中點(diǎn),故有CＤ⊥AB,CD＝DＡCＤ平分∠BＣA＝９０°,∠ECD＝∠DCA＝４５°由于DＭ⊥DN,有∠EDN=90°由于CD⊥AB,有∠CDＡ＝90°從而∠CDE=∠FDA＝故有△CＤE≌△ＡＤF(AＳA)故有DE=DF(2)S△AＢC=2,S四DECＦ=Ｓ△ＡＣD=１例3如圖,就是邊長為3得等邊三角形,就是等腰三角形，且,以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角,使其兩邊分別交ＡＢ于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N,連接MN,則得周長為;解：（圖形補(bǔ)全法，“截長法”或“補(bǔ)短法”,計(jì)算數(shù)值法)AC得延長線與BD得延長線交于點(diǎn)F,在線段ＣF上取點(diǎn)E,使CＥ＝BM∵△ＡBＣ為等邊三角形,△ＢCD為等腰三角形,且∠BDC=120°,

∴∠ＭBD＝∠MBC+∠ＤBC=6０°+3０°=９0°,

∠DＣE=180°－∠AＣD=180°－∠ABＤ=90°,?又∵BＭ=ＣE,BD=ＣD,

∴△CＤE≌△BDM,

∴∠CDE=∠ＢDM,ＤE=ＤＭ，?∠NDE=∠NDC+∠ＣＤＥ=∠NDＣ+∠BDM=∠BDC-∠ＭＤN=120°-６0°=60°,

∵在△ＤMN與△DＥN中，

DＭ＝DE

∠MDN=∠EDＮ=6０°

DN=ＤN∴△ＤMN≌△DEN,?∴MN=NE∵在△DMA與△DEＦ中,

ＤM=DＥ

∠MＤA＝6０°-

∠ＭＤB=60°-

∠ＣDE＝∠EＤF（∠ＣDE＝∠BDＭ)

∠ＤＡＭ=∠ＤＦE=３０°∴△ＤＭN≌△ＤEN（ＡAS),?∴MA=ＦE得周長為AN＋MN+AM=AN+NＥ+ＥF=AＦ=6應(yīng)用:1、已知四邊形中，，,，，,繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它得兩邊分別交（或它們得延長線)于．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)(如圖1）,易證．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí),在圖2與圖3這兩種情況下,上述結(jié)論就是否成立？若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立，線段，又有怎樣得數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出您得猜想，不需證明.(圖(圖1)(圖2)(圖3)解:(１）∵,,,∴(SＡＳ)；∴,∵,∴,為等邊三角形∴，∴(2）圖2成立,圖3不成立。證明圖2,延長DＣ至點(diǎn)K,使,連接ＢKKAKABCDEFMN圖2∴,∵,∴∴∴∴∴∴即圖3不成立,AE、CF、EF得關(guān)系就是2、(西城09年一模)已知：ＰA=,PB=4,以AB為一邊作正方形AＢＣＤ,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB得兩側(cè)、（1)如圖,當(dāng)∠ＡPB＝45°時(shí),求AＢ及PD得長;(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時(shí),求ＰD得最大值,及相應(yīng)∠ＡPB得大小、分析：（1)作輔助線,過點(diǎn)A作于點(diǎn)Ｅ,在中,已知,ＡP得值,根據(jù)三角函數(shù)可將AＥ，PＥ得值求出,由PB得值,可求BE得值,在中,根據(jù)勾股定理可將AB得值求出；求PD得值有兩種解法,解法一:可將繞點(diǎn)Ａ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,可得,求PD長即為求得長,在中,可將得值求出,在中，根據(jù)勾股定理可將得值求出;解法二:過點(diǎn)P作AＢ得平行線,與DＡ得延長線交于F,交ＰＢ于G,在中,可求出AG,EＧ得長,進(jìn)而可知PG得值，在中,可求出PＦ,在中，根據(jù)勾股定理可將PD得值求出;(2)將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,PD得最大值即為得最大值,故當(dāng)、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，根據(jù)可求得最大值，此時(shí).EPADCEPADCB∵中，,∴∵∴在中,∴P′PACBDP′PACBDE∴，,∴,∴;解法二：如圖,過點(diǎn)P作AB得平行線,與DA得延長線交于F,設(shè)ＤＡ得延長線交PB于G.GFGFPACBDE在中,可得，在中，可得(2)如圖所示,將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到,PD得最大值，即為得最大值∵中,,,且P、D兩點(diǎn)落在直線AB得兩側(cè)∴當(dāng)、P、B三點(diǎn)共線時(shí),取得最大值(如圖)PP′PACBDP′PACBD此時(shí)，即得最大值為6此時(shí)３、在等邊得兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)Ｍ、N,D為外一點(diǎn),且,，ＢD=DC、探究:當(dāng)Ｍ、N分別在直線ＡB、AC上移動(dòng)時(shí),BＭ、NC、ＭＮ之間得數(shù)量關(guān)系及得周長Q與等邊得周長Ｌ得關(guān)系．圖1圖2圖3（=1\*ＲOＭANI）如圖１,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AＣ上,且DM=DN時(shí),BM、ＮＣ、ＭＮ之間得數(shù)量關(guān)系就是;此時(shí);