第09講 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示10種常見考法歸類解析版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第09講空間向量及其運算的坐標(biāo)表示10種常見考法歸類理解和掌握空間向量的坐標(biāo)表示及意義，會用向量的坐標(biāo)表達(dá)空間向量的相關(guān)運算.會求空間向量的夾角、長度以及有關(guān)平行、垂直的證明.知識點1空間直角坐標(biāo)系1．空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以O(shè)為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(2)相關(guān)概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．注意點：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j(luò)·k＝0.(2)畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐標(biāo)系均為右手直角坐標(biāo)系．在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．2．空間一點的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)（1）空間點的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo)．注：空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)特點點的位置x軸上y軸上z軸上坐標(biāo)的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z)點的位置Oxy平面內(nèi)Oyz平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)坐標(biāo)的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)（2）空間點的對稱問題①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．②對稱點的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個結(jié)論．（3）空間向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，可簡記作a＝(x，y，z)．知識點2空間向量的坐標(biāo)運算1．空間向量的坐標(biāo)運算法則設(shè)向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量運算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa(λa1，λa2，λa3)數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3注意點：(1)空間向量運算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致．(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一個空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)．(3)運用公式可以簡化運算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(4)向量線性運算的結(jié)果仍是向量，用坐標(biāo)表示；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量．2．空間向量相關(guān)結(jié)論的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有(1)平行關(guān)系：當(dāng)b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；(2)垂直關(guān)系：a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(3)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).注意點：(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0)．(2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，則eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)＝eq\f(z1,z2)成立的條件是x2y2z2≠0.3．空間兩點間的距離公式在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．(1)eq\o(P1P2,\s\up7(――→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up7(――→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，則|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2＋z2).注：空間兩點間的距離公式推導(dǎo)過程如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，eq\o(P1P2,\s\up6(—→))＝eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP1,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，于是|eq\o(P1P2,\s\up6(—→))|＝eq\r(\o(P1P2,\s\up6(—→))·\o(P1P2,\s\up6(—→)))＝所以P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(—→))|＝，因此，空間中已知兩點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝.1．建立空間直角坐標(biāo)系時，要考慮如何建系才能使點的坐標(biāo)簡單、便于計算，一般是要使盡量多的點落在坐標(biāo)軸上．充分利用幾何圖形的對稱性．2.求某點M的坐標(biāo)的方法作MM′垂直于平面Oxy，垂足為M′，求M′的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，即點M的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，再求M點在z軸上射影的豎坐標(biāo)z，即為M點的豎坐標(biāo)z，于是得到M點的坐標(biāo)(x，y，z)．3.空間向量坐標(biāo)運算的規(guī)律及注意點(1)由點的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)：空間向量的坐標(biāo)可由其兩個端點的坐標(biāo)確定．已知空間點的坐標(biāo)、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向量eq\o(AB,\s\up7(―→))的坐標(biāo)等于終點坐標(biāo)減起點坐標(biāo)．即eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后代入公式計算．(3)由條件求向量或點的坐標(biāo)：把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，通過解方程(組)，求出其坐標(biāo)．4.解決空間向量垂直、平行問題的有關(guān)思路(1)若有關(guān)向量已知時，通常需要設(shè)出向量的坐標(biāo)．例如，設(shè)向量a＝(x，y，z)．(2)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件，在有關(guān)平行的問題中，通常需要引入?yún)?shù)．例如，已知a∥b，則引入?yún)?shù)λ，有a＝λb，再轉(zhuǎn)化為方程組求解；已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，列方程(組)求解．(3)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量平行、垂直的充要條件證明．5．利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求異面直線所成角的步驟(1)根據(jù)幾何圖形的特點建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)利用已知條件寫出有關(guān)點的坐標(biāo)，進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角．6．利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長度的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出線段端點的坐標(biāo)；(3)利用兩點間的距離公式求出線段的長．考點一：空間中點的坐標(biāo)表示例1．（2023秋·北京西城·高二北師大二附中校考期中）已知點，，點滿足，則點的坐標(biāo)是______．【答案】【分析】直接代入空間向量的坐標(biāo)公式列方程計算即可.【詳解】設(shè)，則，由題可得，解得即點的坐標(biāo)是.故答案為：.變式1．（2022·高二課時練習(xí)）若△頂點，且，，則點C坐標(biāo)是___________.【答案】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示有、，即可求C坐標(biāo).【詳解】由，，可得：，又，同理可得：.故答案為：變式2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）平行六面體中，，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空間向量的坐標(biāo)表示，即得.【詳解】設(shè)，∵，又，∴，解得，即.故選：B.變式3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點，，，則點的坐標(biāo)為______．【答案】/【分析】先求出向量的坐標(biāo)，設(shè)點，得出的坐標(biāo)，根據(jù)條件得出方程組可得答案.【詳解】點，，則設(shè)點，則由，則，即x=0y=所以點的坐標(biāo)為故答案為：變式4．（2023春·高二課時練習(xí)）若?，點C在線段AB上，且，則點C的坐標(biāo)是___________.【答案】【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，由題意可得，即可得到方程組，解得即可求得的坐標(biāo)．【詳解】解：點?，為線段上一點，且，所以，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，則，即，解得，即；故答案為：．變式5．（2023·高三課時練習(xí)）若ABCD為平行四邊形，且已知點、、，則頂點D的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】設(shè)，然后利用求解即可.【詳解】設(shè)，因為四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以，所以，即.故答案為：.考點二：空間點的對稱問題例2．（2023春·高二課時練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸對稱的點坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間直角坐標(biāo)系對稱點的特征即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸對稱的點坐標(biāo)為.故選：C.變式1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點，分別與點關(guān)于軸和軸對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在空間直角坐標(biāo)系中，求出點關(guān)于軸和軸對稱的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】依題意，點關(guān)于軸對稱點，關(guān)于軸對稱點，所以.故選：A變式2．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點關(guān)于平面的對稱點為，而點關(guān)于軸的對稱點為，則（

）A． B． C． D．8【答案】B【分析】由對稱性分別求出B、C，則有，即可求得【詳解】由題意，則，故，.故選：B變式3．（2023秋·河北石家莊·高二石家莊市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，P是坐標(biāo)平面xOy內(nèi)一動點，，，當(dāng)最小時P的坐標(biāo)為___________.【答案】【分析】先利用對稱找出的位置，再結(jié)合三角形相似以及空間向量的運算即可求解【詳解】過點作平面xOy垂線，垂足為，延長到，使得，過點作平面xOy垂線，垂足為，則，，，因為與關(guān)于平面xOy對稱，所以，所以當(dāng)最小時點P是連接與平面xOy的交點，連接，易知共面，且與相似，所以，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以P的坐標(biāo)為，故答案為：考點三：空間向量的坐標(biāo)表示例3．（2023春·高二課時練習(xí)）已知點，，則向量的坐標(biāo)為________．【答案】【分析】利用向量的坐標(biāo)運算求解.【詳解】．故答案為：變式1．（2023春·高二課時練習(xí)）已知是空間的一個單位正交基底，向量用坐標(biāo)形式可表示為________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的坐標(biāo)表示直接寫出作答.【詳解】因為是空間的一個單位正交基底，則有.所以向量用坐標(biāo)形式表示為.故答案為：變式2．（2022秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）如圖，正方體的棱長為2，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得.【詳解】依題意，，所以，所以.故選：D變式3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系中，點，，若，與同向，則向量的坐標(biāo)為______.【答案】【分析】求出坐標(biāo)，根據(jù)給條件表示出坐標(biāo)，利用向量模的坐標(biāo)表示計算作答.【詳解】因，，則，因與同向，則設(shè)，因此，，于是得，解得，則，所以向量的坐標(biāo)為.故答案為：變式4．【多選】（2022秋·黑龍江大慶·高二大慶二中?？茧A段練習(xí)）已知四邊形的頂點分別是，，，，那么以下說話中正確的是（

）A． B．C．的中點坐標(biāo)為 D．四邊形是一個梯形【答案】AD【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算判斷A，B，C，通過判斷，的關(guān)系，判斷四邊形的形狀，由此判斷D.【詳解】設(shè)點為坐標(biāo)原點，因為，，，，所以，，，，所以，A正確；所以，B錯誤；設(shè)的中點為點，則，所以點的坐標(biāo)為，C錯誤；因為，，所以，所以，，所以四邊形是一個梯形，D正確；故選：AD.考點四：空間向量的坐標(biāo)運算例4．（2022秋·北京豐臺·高二統(tǒng)考期末）已知，(2，1，1)，則________．【答案】【分析】以向量的代數(shù)運算律解之即可.【詳解】由，(2，1，1)可得故答案為：變式1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）向量，，，中，共面的三個向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量共面滿足的坐標(biāo)關(guān)系，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】A：若共面，則，即，即，顯然不存在滿足題意，故不共面；同理，B，C中的三個向量也不共面；D：若共面，則，即，即，故存在滿足題意，則共面.故選：D.變式2．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，，若向量，，共面，則實數(shù)的值為________．【答案】1【分析】依題意可得存在實數(shù)，使得，從得到方程組，解得即可.【詳解】解：因為向量，，共面，所以存在實數(shù)，使得，即，所以，解得．故答案為：變式3．（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┰诳臻g直角坐標(biāo)系中，已知三點，若點C在平面內(nèi)，則點C的坐標(biāo)可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的運算可得，，由，不共線，結(jié)合向量基本定理可得，求得C點坐標(biāo)為，代入驗算即可得解.【詳解】由，，顯然，不共線，根據(jù)向量基本定理可得，故C點坐標(biāo)為，經(jīng)驗算只有B選項符合條件，此時，故選：B變式4．【多選】（2023秋·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）已知在空間直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．若，則P，A，B，C四點共面【答案】BD【分析】由條件求，根據(jù)向量的模的個數(shù)，數(shù)量積運算公式，數(shù)量積的性質(zhì)，向量共面定理依次判斷各選項.【詳解】因為，所以，所以，A錯誤；，B正確；，所以不垂直，C錯誤；因為，所以，所以，所以，即，所以共面，所以P，A，B，C四點共面，D正確；故選：BD.變式5．（2023春·重慶·高一重慶一中校考期中）下列幾組空間向量中，不能作為空間向量基底的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項即可.【詳解】對于A，設(shè)，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故A錯誤；對于B，設(shè)，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故B錯誤；對于C，設(shè)，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故C錯誤；對于D，設(shè)，解得，所以共面，故不可以作為空間向量一個基底，故D正確.故選：D變式6．（2022·高二課時練習(xí)）在中，若，，則是（

）A．頂角為銳角的等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．頂角為鈍角的等腰三角形【答案】A【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運算計算的坐標(biāo)，由模長公式分別計算，，的值，可得，再計算可判斷為銳角，進(jìn)而可得正確答案.【詳解】，，，，所以，因為，，因為，所以為銳角，所以是頂角為銳角的等腰三角形，故選：A.考點五：空間向量的平行問題例5．（2022·高二課時練習(xí)）若，且與共線，求x，y的值．【答案】【分析】先判斷，然后根據(jù)題意可得到比例式，求得答案.【詳解】，且與共線，當(dāng)時，顯然不共線，故，則由題意得：，即.變式1．（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，，且，則實數(shù)k的值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量線性運算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量共線條件列式計算作答.【詳解】向量，，則，因為，則，解得，所以實數(shù)k的值為.故選：C變式2．【多選】（2023秋·湖南衡陽·高二衡陽市田家炳實驗中學(xué)校考期中）與向量共線的單位向量是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)單位向量的概念，求出與向量共線的單位向量即可【詳解】因為向量，所以，所以與向量共線的單位向量為，即和，故選：AC變式3．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知空間兩點，1，，，2，，下列選項中的與共線的是（

）A．，0， B．，1， C．，， D．，2，【答案】D【分析】由題得，1，，再利用空間向量共線定理判斷得解.【詳解】解：由點，1，，，2，，所以，1，，對于A，，0，，不滿足，所以與不共線；對于B，，1，，不滿足，所以與不共線；對于C，，，，不滿足，所以與不共線；對于D，，2，，滿足，所以與共線．故選：D變式4．（2022秋·廣東江門·高二江門市第二中學(xué)校考期中）已知空間直角坐標(biāo)系中，點，，若，且與反向共線，則_____．【答案】【分析】根據(jù)向量與反向共線，設(shè)，利用列方程求得，即得答案.【詳解】由，，可得，由于與反向共線，設(shè)，由可得，解得，（舍去），故，故答案為：變式5．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中學(xué)校考期末）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，，，，若四邊形為平行四邊形，則________.【答案】1【分析】由四邊形為平行四邊形，可得，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求解即可.【詳解】解：，，因為四邊形為平行四邊形，所以，所以，，則.故答案為：1.考點六：利用坐標(biāo)運算解決數(shù)量積問題例6．（2022·全國·高二專題練習(xí)）若，，，則（

）A．-11 B．3 C．4 D．15【答案】C【分析】先求出的坐標(biāo)表示，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算即可【詳解】由已知，，，∴.故選：C．變式1．（2022·高二單元測試）若向量，，則______．【答案】19【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算，求得的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得答案.【詳解】∵，，∴，∴,故答案為：19變式2．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算可得，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算即可求解.【詳解】由題意知，由，得，解得.故選：B.變式3．（2022秋·江蘇徐州·高二校考階段練習(xí)）在中，．(1)求頂點的坐標(biāo)；(2)求．【答案】(1),(2)【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求出的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得.【詳解】（1）設(shè),,,.設(shè),,,.（2），.考點七：空間向量的垂直問題例7．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知，單位向量滿足，則_________．【答案】或【分析】設(shè)向量，其中，由，得到方程組，進(jìn)而求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)向量，其中，因為且，可得，即，將代入，可得或，所以向量的坐標(biāo)為或.故答案為：或.變式1．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谥校┮阎蛄浚?，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中條件，求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又，所以，解得.故選：D.變式2．（2022秋·廣東陽江·高二陽江市陽東區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎蛄浚?，若與垂直，則＝_____.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量垂直關(guān)系求出x，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運算及模的運算計算作答.【詳解】向量與垂直，則有，解得，于是，所以.故答案為：變式3．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間有三點，，，若直線上存在一點M，滿足，則點M的坐標(biāo)為______.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示求得點的坐標(biāo)，再根據(jù)，可得數(shù)量積為0，從而可求出，即可得解.【詳解】解：設(shè)，由，得，故，則，因為，所以，解得，所以.故答案為：.變式4．（2022秋·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期中）已知空間中三點，，，設(shè)，.(1)求向量與向量的坐標(biāo)；(2)若與互相垂直，求實數(shù)的值.【答案】(1)，；(2)或.【分析】（1）根據(jù)空間向量坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），；（2）∵，，且與互相垂直，∴解得或.變式5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，若三點，，滿足，則實數(shù)a的值為（

）．A． B．1 C． D．【答案】C【分析】先求出的坐標(biāo)，再由，得，解方程可求出實數(shù)a的值【詳解】因為，，，所以，，，所以，因為，所以，所以，解得，故選：C變式6．（2023秋·河南南陽·高二南陽中學(xué)校考階段練習(xí)）已知長方體中，，，，，若則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，，，，，，，所以，因為，所以，解得.故選：C.考點八：利用坐標(biāo)運算解決夾角問題例8．（2023·全國·高三對口高考）已知向量，若，則_________．【答案】【分析】設(shè)，依題意可得，再根據(jù)向量夾角公式即可求解.【詳解】設(shè)向量，，，設(shè)與的夾角為，，，.故答案為：.變式1．（2023春·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的平行、垂直關(guān)系求，再根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算求夾角.【詳解】∵，∴，解得，即.又∵，注意到，則，使得，∴，解得，故.∴，∴，又，∴.故選：B.變式2．（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（

）A． B． C．或 D．2【答案】A【分析】利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因為，所以，，又與夾角的余弦值為，，所以，解得，注意到，即，所以.故選：A.例9．（2023春·高二課時練習(xí)）若，若與的夾角是銳角，則的值的取值范圍為__________.【答案】【分析】根據(jù)空間向量與的夾角是銳角可得且與不同向共線，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算即可求解.【詳解】因為與的夾角是銳角，所以，即，解得，若與的夾角為，則存在，使，即，所以，解得.故t的取值范圍是.故答案為：.變式1．（2023秋·福建泉州·高二福建省泉州第一中學(xué)校考期中）點，，，若，的夾角為銳角，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意可求出和，因為，的夾角為銳角，可得，且不能是同向共線，列出不等式求解即可.【詳解】根據(jù)題意有，，若，則，解得若，則，即同向∵，的夾角為銳角，則，且不能同向即，解得，且，則的取值范圍為.故答案為：.變式2．（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍______.【答案】【分析】根據(jù)已知條件及向量的線性運算的坐標(biāo)表示，再利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算及向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因為，所以，，因為向量與的夾角為銳角，所以，解得，而當(dāng)時，，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：變式3．（2023春·高二課時練習(xí)）已知空間中的三點，，.(1)求的面積；(2)當(dāng)與的夾角為鈍角時，求k的范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）應(yīng)用向量坐標(biāo)表示有，，由向量夾角的坐標(biāo)運算可得，再求其正弦值，應(yīng)用三角形面積公式求面積；（2）向量坐標(biāo)表示得，，它們的夾角為鈍角，即，即可求參數(shù)范圍，注意排除向量反向共線的情況.【詳解】（1）由題設(shè)，，則，所以，故在中，故的面積為.（2）由（1）知：，，且它們夾角為鈍角，所以，即，所以，可得，當(dāng)它們反向共線，即且時，有，無解，綜上，.變式4．（2023秋·高二單元測試）已知，則的面積為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，求得，的坐標(biāo)及其夾角的余弦值和正弦值，利用三角形面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為，故可得，不妨設(shè)，的夾角為，故可得，因為，所以，則.故答案為：.變式5．（2023春·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）長方體，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，，設(shè)異面直線與所成角為，則.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.變式6．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接與交于點，連接，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得向量和的坐標(biāo)，結(jié)合向量的夾角公式，即可得解.【詳解】連接與交于點，連接，由題意得，，且平面，以點為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)四棱錐各棱長均為2，則，，可得，則，設(shè)異面直線與所成角為，則．故選：A．考點九：利用坐標(biāo)運算解決距離問題例10．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽實驗高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點，則______【答案】【分析】寫出對應(yīng)的向量，利用向量模求解.【詳解】由題意，可得，故.故答案為：.變式1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）若，，則（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【分析】先求出,再利用向量的模長計算公式即可【詳解】因為所以故選:A變式2．（2022秋·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校┰O(shè)正四面體ABCD的棱長為1，點M、N滿足，，則______.【答案】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運算求兩點間的距離.【詳解】如圖,將正四面體ABCD放在正方體中,則正方體的邊長為,因為，,所以,所以,所以.故答案為：.變式3．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，則的最小值是________.【答案】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示，以及向量模的計算公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，向量，，可得，所以，所以當(dāng)時，取得最小值.故答案為：.變式4．（2022·高二單元測試）若A，B，當(dāng)取最小值時，x的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的坐標(biāo)公式求得的坐標(biāo)，再利用向量模的坐標(biāo)公式求解.【詳解】因為A，B，所以，則，，當(dāng)時，取最小值，故選：C變式5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，點分別在軸，軸上，且，那么的最小值是______.【答案】【解析】設(shè)，0，，，，，則，，由，知．所以，由此能求出其最小值．【詳解】設(shè)，0，，，，，，0，，，1，-，，，，，即．，．（當(dāng)時取最小值）故答案為：【點睛】方法點睛：求最值常用的方法有：（1）函數(shù)法；（2）數(shù)形結(jié)合法；（3）導(dǎo)數(shù)法；（4）基本不等式法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.變式6．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知、是空間互相垂直的單位向量，且，，則的最小值是______.【答案】4【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量線性運算，不等式思想即可求解．【詳解】是空間相互垂直的單位向量，設(shè)，，設(shè)，又，，又，，，其中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，的最小值是4．故答案為：4．考點十：利用坐標(biāo)運算求投影或投影向量例11．（2023春·高二課時練習(xí)）已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)投影向量的定義即可得出正確的答案.【詳解】根據(jù)空間中點的坐標(biāo)確定方法知，空間中點在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)，橫坐標(biāo)為0，縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)不變．所以空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是：故選：B.變式1．（2023春·湖北孝感·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，則向量在向量上的投影向量（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用投影向量的定義求解作答.【詳解】向量，，，所以向量在向量上的投影向量.故選：B變式2．（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量的計算公式求解即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選:C.變式3．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶市鳳鳴山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點，則在上的投影向量的長度為________.【答案】【分析】計算，，根據(jù)投影公式得到答案.【詳解】由已知得，∴，又，所以在上的投影向量的長度為.故答案為：.1．已知向量，則下列向量中與成的是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：對于A選項中的向量，，則；對于B選項中的向量，，則；對于C選項中的向量，，則；對于D選項中的向量，此時，兩向量的夾角為.故選B.【考點定位】本題考查空間向量數(shù)量積與空間向量的坐標(biāo)運算，屬于中等題.2．已知向量，且，則____________．【答案】3【分析】利用向量的坐標(biāo)運算求得求出，根據(jù)空間向量模的公式列方程求解即可.【詳解】因為，所以，可得，因為，解得，故答案為3.3．若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)滿足條件，則x＝________．【答案】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運算和數(shù)量積表示求解.【詳解】解：，解得故答案為：4．記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記．當(dāng)為鈍角時，求的取值范圍．【答案】【詳解】建構(gòu)如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則相關(guān)點的坐標(biāo)分別為：???，則.由，得，而；又.由，化簡得，解得.5．如圖，在正四棱柱中，，點是的中點，點在上，設(shè)二面角的大小為．（1）當(dāng)時，求的長；（2）當(dāng)時，求的長．【答案】（1）（2）【分析】以D為原點，DA為x軸正半軸，DC為y軸正半軸，DD1為z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，計算出平面的法向量．（1）計算出平面的法向量，將二面角為直二面角轉(zhuǎn)化為，求出的值，再利用空間中兩點間的距離公式求出；（2）由已知條件得出，計算的值，則利用空間兩點見的距離公式可得出的值．【詳解】以D為原點，DA為x軸正半軸，DC為y軸正半軸，DD1為z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0))，設(shè)M(0，1,z),面MDN的法向量，設(shè)面A1DN的法向量為，則，即，取，則，，則．（1）由題意：，則，取，；（2）由題意：，即，取，則，，，.【點睛】本題考查平面與平面垂直、空間中兩點間的距離以及二面角的求法，對于二面角的求解，關(guān)鍵是要找到合適的位置建立空間直角坐標(biāo)系，并求出相應(yīng)的法向量，考查空間想象能力與運算能力，屬于中等題．一、單選題1．（2023春·江蘇淮安·高二校考階段練習(xí)）已知點，，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運算法則進(jìn)行計算.【詳解】.故選：A2．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）三個頂點的坐標(biāo)分別為，則的形狀為（

）A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．正三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】利用空間向量模長的坐標(biāo)表示求出的邊長即可求解.【詳解】由題得，則，，，因為，所以為直角三角形，故選：D3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，令，用表示出點E，F(xiàn)坐標(biāo)，再由兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，設(shè)，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，，，若，則點B的坐標(biāo)為（

）．A．（－1，3，－3） B．（9，1，1）C．（1，－3，3） D．（－9，－1，－1）【答案】B【分析】由，設(shè)結(jié)合空間向量的坐標(biāo)，得(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，即可求B的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，由得：(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，∴,可得，所以點B的坐標(biāo)為（9，1，1）.故選：B5．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知的三個頂點分別為，，，則BC邊上的高等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量運算以及向量的夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意，，，可得，，，即角B為銳角，所以，所以邊上的高.故選：B6．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知，，，若，，三向量共面，則實數(shù)等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)，列出方程組即可得到結(jié)果.【詳解】因為，，，且，，三向量共面，設(shè)，則，即，解得.故選：D7．（2023春·江蘇常州·高二常州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各組空間向量不能構(gòu)成空間的一組基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項即可.【詳解】對于A，設(shè)，無解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故A錯誤；對于B，設(shè)，所以三個向量共面，故不可以作為空間向量一個基底，故B正確.對于C，設(shè)，無解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故C錯誤；對于D，設(shè)，無解,即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故D錯誤.故選：B.8．（2023春·安徽合肥·高二合肥市第五中學(xué)?？计谀┮阎?，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算即可.【詳解】.故選：B.9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知向量，，則（

）A． B．40 C．6 D．36【答案】C【分析】利用向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運算求，再利用向量模長的坐標(biāo)公式求模長.【詳解】由題意，∵，，∴，∴.故選：C.10．（2023春·寧夏固原·高二校考階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算可得.【詳解】因為，，所以.故選：B11．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令與共線，求出的值，依題意且與不反向共線，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到不等式組求解即可.【詳解】因為，，令與共線，則，即，即，解得，此時，，即，與反向，又與的夾角為鈍角，所以且與不反向共線，即且，解得且，故選：C12．（2023春·寧夏中衛(wèi)·高二中衛(wèi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，若，則的值為（

）A． B．2 C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)題中條件，求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，，所以，又，所以，解得.故選：A.二、多選題13．（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．記與的夾角為，則 D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量線性坐標(biāo)運算、數(shù)量積的坐標(biāo)運算以及垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因為，，，所以，選項A：，正確；選項B：，正確；選項C：，錯誤；選項D：因為，，所以，由得，所以，所以，正確；故選：ABD14．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中學(xué)校考階段練習(xí)）已知空間向量，則（

）A． B．是共面向量C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)進(jìn)行運算，求向量的模長，判斷關(guān)系.【詳解】，A項正確；設(shè)，即，解得，，即，所以，，共面，B項正確；，所以，C項正確；，D項錯誤.故選：ABC.15．（2023春·安徽合肥·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知向量，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)空間向量的模長、數(shù)量積的坐標(biāo)運算，以及平行、垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】對于A,，，故A錯誤；對于B，，則，故B錯誤；對于C,，則，則，故C正確；對于D，，故D正確.故選:CD.16．（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知，，則（

）A． B．C． D．∥【答案】AD【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)模長公式、線性運算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、共線向量定理逐項判斷即可.【詳解】對A，因為，所以，故A正確；對B，，故B不正確；對C，，所以不垂直，故C不正確；對D，，所以∥，故D正確.故選：AD.17．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為2 D．的最大值為4【答案】ABC【分析】根據(jù)空間向量共線定理即可判斷A；根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可判斷B；根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷CD.【詳解】對于A，若，且，，則存在唯一實數(shù)使得，即，則，解得，故A正確；對于B，若，則，即，解得，故B正確；，故當(dāng)時，取得最小值，無最大值，故C正確，D錯誤.故選：ABC.18．（2023春·廣東東莞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量的長度為【答案】BD【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算，驗證向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的長度即可解決.【詳解】對于A，由題得，而，故A不正確；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，故C不正確；對于D，因為在上的投影向量的長度為，故D正確；故選：BD.三、填空題19．（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？茧A段練習(xí)），若，則_____________．【答案】-4【分析】由空間向量共線定理求解.【詳解】解：因為，且，所以，解得，故答案為：-420．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)空間向量，，若，則＝______．【答案】3【分析】根據(jù)空間向量共線得，再利用空間向量的坐標(biāo)運算和向量模的定義即可得到答案.【詳解】，則顯然，，解得，則，，故答案為：3.21．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，O為坐標(biāo)原點，直線AB上有一點M，且，則點M的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】運用空間向量求解.【詳解】設(shè)，，，，則，，又，即，解得，故M點的坐標(biāo)為；故答案為：.22．（2023春·四川雅安·高二雅安中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，且與互