第24講 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)6種常見(jiàn)考法歸類原卷版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第24講拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)6種常見(jiàn)考法歸類1.了解拋物線的幾何圖形及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．2.通過(guò)拋物線方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)1拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)類型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖象性質(zhì)焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e＝1開(kāi)口方向向右向左向上向下注：1.范圍當(dāng)x>0時(shí)，拋物線y2＝2px(p＞0)在y軸的右側(cè)，開(kāi)口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)的橫坐標(biāo)滿足不等式x≥0；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|的值也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸．拋物線是無(wú)界曲線．2．對(duì)稱性觀察圖象，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y2＝2px(p＞0)關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對(duì)稱軸.3．頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)．4．離心率拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率．用e表示，e＝1.5、只有焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)是原點(diǎn)的拋物線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程．6、影響拋物線開(kāi)口大小的量是參數(shù)p，p值越大，拋物線的開(kāi)口越大，反之，開(kāi)口越小．7、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與對(duì)稱性、焦點(diǎn)位置的關(guān)系y2＝ax一次項(xiàng)為x項(xiàng)，x軸為對(duì)稱軸a>0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，開(kāi)口向右a<0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，開(kāi)口向左x2＝ay一次項(xiàng)為y項(xiàng)，y軸為對(duì)稱軸a>0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，開(kāi)口向上a<0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，開(kāi)口向下8、拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）（1）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（3）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則.知識(shí)點(diǎn)2直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線相離，沒(méi)有公共點(diǎn)．(2)若k＝0，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合．注：(1)直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件．(2)研究直線與拋物線的關(guān)系時(shí)要注意直線斜率不存在的情況．知識(shí)點(diǎn)3弦長(zhǎng)問(wèn)題過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，那么線段AB叫做焦點(diǎn)弦，如圖：設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.注：(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點(diǎn))．（5）求弦長(zhǎng)問(wèn)題的方法①一般弦長(zhǎng)：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.②焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.1、用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟注：求拋物線的方程時(shí)要注意拋物線的焦點(diǎn)位置，不同的焦點(diǎn)設(shè)出不同的方程．2、把握三個(gè)要點(diǎn)確定拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)開(kāi)口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開(kāi)口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)一次項(xiàng)是x還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù)．(2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸．(3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(又稱為通徑)長(zhǎng)為2p；離心率恒等于1.3、利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問(wèn)題(1)對(duì)稱性：解決拋物線的內(nèi)接三角形問(wèn)題．(2)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線：解決與拋物線的定義有關(guān)的問(wèn)題．(3)范圍：解決與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題．(4)焦點(diǎn)弦：解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題．4、拋物線焦點(diǎn)弦的相關(guān)結(jié)論(1)已知AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ為直線AB的傾斜角)；(3)S△ABO＝eq\f(p2,2sinθ)(θ為直線AB的傾斜角)；(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；(5)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．(2)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線的對(duì)稱軸垂直時(shí)，直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑，顯然通徑長(zhǎng)等于2p.5、直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，可通過(guò)直線與拋物線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)判別式Δ或者對(duì)向量數(shù)量積的限制條件，利用限制條件建立不等式或等式，利用根與系數(shù)的關(guān)系運(yùn)算求解．考點(diǎn)一：拋物線方程及其幾何性質(zhì)（一）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)．若，求拋物線的方程；變式1．（2023秋·云南大理·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線：與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，求拋物線C的方程；變式2．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求的方程.（二）拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用例2．（2024秋·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．變式1．（2023·天津?yàn)I海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？既＃c(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，A為雙曲線C：的左頂點(diǎn)，直線AF平行于雙曲線C的一條漸近線，則實(shí)數(shù)b的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16變式2．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．變式3．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)校考期末）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為1的直線交于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式4．（陜西省漢中市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題）過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學(xué)家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓的一條通徑與拋物線的通徑恰好構(gòu)成一個(gè)正方形的一組鄰邊，則（

）A． B．1 C．2 D．4考點(diǎn)二：焦點(diǎn)弦問(wèn)題例3．（2023春·安徽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，滿足的直線有且僅有一條，則．變式1．【多選】（2023春·廣東江門(mén)·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），則（

）A．B．弦AB的長(zhǎng)度最小值為lC．以AF為直徑的圓與y軸相切D．以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切變式2．【多選】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形變式3．【多選】（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)為拋物線：（）的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．直線的斜率為D．的面積為變式4．【多選】（2023春·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓錐曲線的弦與過(guò)弦端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如圖是拋物線的阿基米德三角形，弦AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，又BC，AD均垂直于準(zhǔn)線l，且C，D為垂足，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切于M點(diǎn)B．為定值4C．為定值D．有最小值變式5．【多選】（2023春·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為在上的射影，線段交軸于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（

）A．B．直線與拋物線相切C．點(diǎn)的軌跡方程為D．可以是直角變式6．（2023春·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．的最小值為2B．線段為直徑的圓與直線軸相切C．為定值D．若，則考點(diǎn)三：直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用例4．（2024·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知命題p：，命題q：直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則p是q的（??）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式1．（2023春·四川資陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A，B在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為等邊三角形，則的面積為（

）A． B． C． D．變式2．（2023春·上海奉賢·高二統(tǒng)考期末）已知拋物的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線PF交y軸于點(diǎn)Q，若，則P到準(zhǔn)線l的距離為.變式3．（2023秋·四川成都·高二成都七中?？计谀┮阎獟佄锞€，過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)、，分別過(guò)、作的切線交于點(diǎn).若，則（

）A． B． C．或 D．或變式4．（2023春·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線上的點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，．(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)F是E的焦點(diǎn)，直線AF與E的另一交點(diǎn)為B，，求的值．變式5．（2023春·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，且點(diǎn)到的距離為5，(1)求拋物線的方程；(2)若斜率為1的直線交拋物線于、兩點(diǎn)（位于對(duì)稱軸異側(cè)），且，求直線的方程.變式6．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)在上，以為圓心、為半徑的圓交軸于，，.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)作直線與拋物線交于，，求的值.變式7．（2023春·山西長(zhǎng)治·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C：（）上一點(diǎn)（）與焦點(diǎn)的距離為2.(1)求p和m；(2)若在拋物線C上存在點(diǎn)A，B，使得，設(shè)的中點(diǎn)為D，且D到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，求點(diǎn)D的坐標(biāo).（二）弦長(zhǎng)問(wèn)題例5．（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).(1)若直線過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過(guò)點(diǎn)，且弦恰被平分，求所在直線的方程.變式1．【多選】（2023秋·高二單元測(cè)試）設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．變式2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？级＃└鶕?jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點(diǎn)Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點(diǎn)，經(jīng)A點(diǎn)反射后交拋物線于B點(diǎn)，則.變式3．（2023春·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線過(guò)點(diǎn)（）．(1)求C的方程；(2)若斜率為的直線過(guò)C的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．變式4．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為.(1)求；(2)設(shè)圓，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩點(diǎn)，求的面積的最大值.變式5．（2023春·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)，，交E于A，C兩點(diǎn)，交E于B，D兩點(diǎn)．求四邊形ABCD的面積的最小值．（三）中點(diǎn)弦問(wèn)題例6．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥校┮阎獟佄锞€，直線交該拋物線于兩點(diǎn)．若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線斜率為（

）A． B． C． D．變式1．（2023春·河南洛陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若D為線段AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OD的斜率為（

）A． B． C． D．變式2．（2023·北京大興·校考三模）已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過(guò)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，則線段的長(zhǎng)為變式3．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程．變式4．【多選】（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃佄锞€為定值焦點(diǎn)為，與直線相交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn).過(guò)作軸的垂線，垂足為，過(guò)作的垂線，交軸于，則（

）A．B．的縱坐標(biāo)是定值C．為定值D．存在唯一的使得考點(diǎn)四：拋物線中的參數(shù)范圍及最值問(wèn)題例7．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）若A，B是拋物線上不同的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)，則的最大值為．變式1．（2023春·陜西商洛·高二統(tǒng)考期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．15 B．18 C．21 D．27變式2．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.(1)過(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線與曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，求線段的長(zhǎng)；(2)求曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離.變式3．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于點(diǎn)，分別在點(diǎn)處作的兩條切線，兩條切線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式4．（2023春·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？计谀┮阎菕佄锞€的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線與拋物線的另一交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，求的取值范圍．考點(diǎn)五：拋物線的定值、定點(diǎn)問(wèn)題例8．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與分別相切于兩點(diǎn)．(1)求的方程；(2)試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式1．（2023春·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的方程；(2)若關(guān)于軸對(duì)稱，焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且與軸不垂直的直線交于兩點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).變式2．（2023·四川成都·三模）已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．(1)求線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；(2)已知點(diǎn)，直線分別與拋物線相交于兩點(diǎn)（異于）．求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．變式3．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，且.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)是上一點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，若，證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).變式4．（2023春·四川資陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)作拋物線在第一象限部分的切線，切點(diǎn)為A，F(xiàn)為的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為1．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交于C，D兩點(diǎn)，交于P，Q兩點(diǎn)，且M，N分別為線段CD和PQ的中點(diǎn)．直線MN是否恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．例9．（2023春·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為為上一動(dòng)點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為.(1)求的方程；(2)直線交于兩點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，求證為定值.變式1．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，直線分別與軸相交于點(diǎn).(1)當(dāng)弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3時(shí)，求的一般方程;(2)設(shè)為原點(diǎn)，若，求證:為定值.變式2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知是拋物線上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)E），直線分別交直線于點(diǎn)M，N．(1)求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知O為原點(diǎn)，求證：為定值．變式3．（2023·上海黃浦·上海市大同中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)為其左頂點(diǎn)．過(guò)A的直線交拋物線于B、C兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)．

(1)求橢圓的方程；(2)求證：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是定值，并求出該定值；(3)若直線m過(guò)C點(diǎn)，其傾斜角和直線l的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求p的值，使得的面積最大．考點(diǎn)六：拋物線的實(shí)際應(yīng)用例10．（2023秋·高二校考課時(shí)練習(xí)）某橋的橋洞呈拋物線形，橋下水面寬，當(dāng)水面上漲時(shí)，水面寬變?yōu)?，求此時(shí)橋洞頂部距水面的高度．變式1．（2023春·廣東東莞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）一種衛(wèi)星接收天線（如圖1），其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分（如圖2），已知該衛(wèi)星接收天線的口徑米，深度米，信號(hào)處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的方程為（

）

A． B． C． D．變式2．【多選】（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）上甘嶺戰(zhàn)役是抗美援朝中中國(guó)人民志愿軍進(jìn)行的最著名的山地防御戰(zhàn)役.在這場(chǎng)戰(zhàn)役中，我軍使用了反斜面陣地防御戰(zhàn)術(shù).反斜面是山地攻防戰(zhàn)斗中背向敵方、面向我方的一側(cè)山坡.反斜面陣地的構(gòu)建，是為了規(guī)避敵方重火力輸出.某反斜面陣地如圖所示，山腳，兩點(diǎn)和敵方陣地點(diǎn)在同一條直線上，某炮彈的彈道是拋物線的一部分，其中在直線上，拋物線的頂點(diǎn)到直線的距離為100米，長(zhǎng)為400米，，，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系使得拋物線的方程為，則（

）

A． B．的準(zhǔn)線方程為C．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D．彈道上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為1．拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．42．過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（

）A． B． C． D．3．如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，，，其中點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上，則與的面積之比是A． B． C． D．4．【多選】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C．D．5．已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．6．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．一、單選題1．（2023春·湖北荊門(mén)·高二統(tǒng)考期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作斜率為直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．2．（2023春·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知斜率為的直線過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F且與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，若與的面積之比為3，則k的值為（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖北咸寧·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線上三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若，兩點(diǎn)均在軸上方，則的斜率的最小值為（

）A．1 B． C． D．4．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期末）過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分為，，若，，則直線的方程為（

）A． B．C． D．5．（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，的面積為，則（

）A．2 B．8 C． D．46．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)，，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．7．（2023春·江蘇南通·高二海安高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為是與軸的交點(diǎn)，.過(guò)此拋物線上一點(diǎn)作直線的垂線，垂足記為點(diǎn)與相交于點(diǎn)，若，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C． D．8．（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則的面積為（

）A．4 B． C． D．二、多選題9．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．的取值范圍是D．時(shí)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)10．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，線段AB的中點(diǎn)為C，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則（

）A．PA與拋物線相切 B．軸C． D．11．（2023春·湖南岳陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，，為上兩個(gè)相異的動(dòng)點(diǎn)，分別在點(diǎn)，處作拋物線的切線，，與交于點(diǎn)，則（

）A．若直線過(guò)焦點(diǎn)，則點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上B．若點(diǎn)在直線上，則直線過(guò)定點(diǎn)C．若直線過(guò)焦點(diǎn)，則面積的最小值為D．若，則面積的最大值為12．（2023春·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)A，B都在拋物線C上，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．設(shè)點(diǎn)R是線段AF的中點(diǎn)，則點(diǎn)R的軌跡方程為D．若，則弦AB的中點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的最小值為3三、填空