2023-2024學(xué)年重慶市南開中學(xué)高一（下）段考數(shù)學(xué)試卷（3）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年重慶市南開中學(xué)高一（下）段考數(shù)學(xué)試卷（3）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=3?2i，則z的實(shí)部與虛部的和為(

)A.?1 B.1 C.5 D.?52.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則“cos2A>cos2B”是“a<b”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知向量a，b滿足a?b=10，且b=(4,?3)，則a在bA.(8,?6) B.(?8,6) C.(?85,4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=|3+4i|7?i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.碧津塔是著名景點(diǎn)，某同學(xué)為了測(cè)量碧津塔ED的高，他在山下A處測(cè)得塔尖D的仰角為45°，再沿AC方向前進(jìn)24.4米到達(dá)山腳點(diǎn)B，測(cè)得塔尖點(diǎn)D的仰角為60°，塔底點(diǎn)E的仰角為30°，那么碧津塔高約為(3≈1.7,

A.37.54 B.38.23 C.39.53 D.40.526.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若ba+c+ca+b≥1，則角A.(0,π6] B.[π6,7.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的公式：eix=cosx+isinx，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位，該公式被稱為歐拉公式.根據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是(

)A.eπi=1

B.|eπ2i?eθi|(θ∈R)的最大值為2

C.復(fù)數(shù)eπ4i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

8.在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosBb+cosCc=23A.(32,3] B.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z1，z2，下列結(jié)論正確的有(

)A.z1+z2?=z1?+z210.對(duì)任意兩個(gè)非零向量a，b，定義新運(yùn)算：a?b=|a|sin?a,b?|b|.已知非零向量m，n滿足|A.2 B.114 C.3 D.11.在△ABC中，D，E為線段BC上的兩點(diǎn)，且BD=DE=EC=1，下列結(jié)論正確的是(

)A.AB?AC≥AD?AE

B.若AB2+AD2=AE2+AC2，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=8，b=6，c=4，則中線AD的長(zhǎng)為______．13.已知z是虛數(shù)z+4z是實(shí)數(shù)，z?是虛數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則(14.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足acosA+b+2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

計(jì)算：

(1)(4?i5)(6+2i7)+(7+16.(本小題15分)

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=π2，AC=3，BC=2，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)．

(1)若P是等腰直角三角形PBC的直角頂點(diǎn)，求PA的長(zhǎng)；

(2)若∠BPC=2π3，設(shè)∠PCB=θ，求△PBC的面積S(θ)17.(本小題15分)

如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)綠化某一座山體，以地面為基面，在基面上選取A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，使得AD=22BC，測(cè)得∠BAD=30°，∠BCD=45°，∠ADC=120°．

(1)若B，D選在兩個(gè)村莊，兩村莊之間有一直線型隧道，且BD=102km，CD=20km，求A，C兩點(diǎn)間距離；

18.(本小題17分)

在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)B，D在直線AC的兩側(cè)，AB=3，BC=5，四個(gè)內(nèi)角分別用A，B，C，D表示，cosB=?cosD=35．

(1)求∠BAC；

(2)求△ABD與△ACD19.(本小題17分)

在Rt△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cosAa=cosB+cosCb+c．

(1)求角A；

(2)已知c≠2b,a=23,P,Q是邊AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P,Q不重合)，記∠PBQ=θ．

①當(dāng)θ=π6時(shí)，設(shè)△PBQ的面積為S，求S的最小值；

②記∠BPQ=α，∠BQP=β.問：是否存在實(shí)常數(shù)θ和k，對(duì)于所有滿足題意的α，β參考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.B

6.C

7.B

8.B

9.AC

10.BC

11.BCD

12.1013.?6514.(0,3?215.解：(1)(4?i5)(6+2i7)+(7+i11)(4?3i)

16.解(1)∵P是等腰直角三角形PBC的直角頂點(diǎn)，且BC=2，

∴∠PCB=π4，PC=2，

又∵∠ACB=π2，

∴∠ACP=π4，

∵在△PAC中，由余弦定理得PA2=AC2+PC2?2AC?PCcosπ4=5，

∴PA=5．

(2)在△PBC中，∠BPC=2π3，∠PCB=θ，

∴∠PBC=π3?θ，由正弦定理得2sin2π3=PBsin17.解：(1)在△BCD中，由正弦定理得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD，

即20sin∠CBD=102sin45°，

解得sin∠CBD=1，

所以∠CBD=90°，

則△BCD為等腰直角三角形，

所以BC=102，

則AD=22BC=40，

在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2?2AD×CDcos∠ADC=1600+400?2×40×20×(?12)=2800，

故AC=207，

故A，C兩點(diǎn)間距離為207km；

(2)設(shè)∠BDC=θ，則由題意可知，∠ADB=120°?θ，18.解：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2?2AB?BC?cos∠ABC，

∵AB=3，BC=5，cosB=35，

∴AC2=32+52?2×3×5×35=16，即AC=4，

∴BC2=AC2+AB2，

∴∠BAC=π2；

(2)設(shè)∠ABD=θ，θ∈(0,B)，

∵cosB=?cosD=35，∴B+D=π，

∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且BC為該圓的直徑，

∴∠BDC=∠BAC=π2，∠ACD=∠ABD=θ，

∴S△ABD=12BA?BD?sinθ=32BD?sinθ，S19.解：(1)因?yàn)閏osAa=cosB+cosCb+c，由正弦定理可得：cosAsinA=cosB+cosCsinB+sinC，

即sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC，

整理可得：sinAcosB?cosAsinB=cosAsinC?sinAcosC，即sin(A?B)=sin(C?A)，

因?yàn)?<A,B≤π2，則A?B∈[?π2,π2],C?A∈[?π2,π2]，

故A?B=C?A，即2A=B+C，又A+B+C=π，

所以A=π3；

(2)①因?yàn)閏≠2b，所以B=π2，又A=π3,a=23，所以c