分式與乘、除法的應(yīng)用

分式與乘、除法的應(yīng)用分式與乘、除法的應(yīng)用一、分式的概念與性質(zhì)1.1分式的定義：分式是形如a/b的表達(dá)式，其中a和b是整式，b不為零。1.2分式的基本性質(zhì)：（1）分式的分子、分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變。（2）分式的分子、分母同時(shí)加（或減）同一個(gè)整式，分式的值不變。（3）分式的分子、分母同時(shí)乘以同一個(gè)正整數(shù)，分式的值擴(kuò)大相應(yīng)的倍數(shù)；分式的分子、分母同時(shí)乘以同一個(gè)負(fù)整數(shù)，分式的值縮小相應(yīng)的倍數(shù)。二、分式的運(yùn)算2.1分式的乘法：兩個(gè)分式相乘，分子與分子相乘，分母與分母相乘。2.2分式的除法：分式除以分式，等于乘以該分式的倒數(shù)。2.3分式的加法與減法：分式加法與減法，先通分，再按同分母分式加減法的法則計(jì)算。三、乘、除法在分式中的應(yīng)用3.1乘法：分式乘以整式，等于分子乘以整式，分母不變。3.2除法：分式除以整式，等于分子乘以該整式的倒數(shù)，分母不變。四、實(shí)際應(yīng)用題4.1題目特點(diǎn)：題目中給出的數(shù)量關(guān)系可以用分?jǐn)?shù)表示，或者涉及比例、折扣等問(wèn)題。4.2解題步驟：（1）找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)為分式的分子或分母。（2）根據(jù)題目要求，列出方程，進(jìn)行化簡(jiǎn)、求解。（3）檢驗(yàn)解是否符合題意，如有需要進(jìn)行調(diào)整。五、注意事項(xiàng)5.1掌握分式的基本性質(zhì)，避免在運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。5.2熟練掌握分式的乘法、除法運(yùn)算規(guī)則，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確性。5.3解實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，注意找出等量關(guān)系，正確列出方程。六、學(xué)習(xí)建議6.1多做分式與乘、除法相關(guān)的練習(xí)題，提高運(yùn)算能力。6.2學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。6.3學(xué)以致用，將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到日常生活和工作中，提高自身素質(zhì)。習(xí)題及方法：1.習(xí)題：計(jì)算分式(2x-3)/(x+1)乘以整式3(x-2)。答案：6x-9解題思路：將整式3(x-2)分別乘以分式的分子和分母，然后進(jìn)行簡(jiǎn)化。=(2x-3)*3/(x+1)=(2x*3-3*3)/(x+1)=(6x-9)/(x+1)2.習(xí)題：計(jì)算分式5/(2x)除以整式2x/3。答案：15/6x^2解題思路：將分式除以整式，等于乘以該整式的倒數(shù)，然后進(jìn)行簡(jiǎn)化。=5/(2x)*(3/(2x))=(5*3)/(2x*2x)=15/(4x^2)3.習(xí)題：已知a/b=2/3，求a乘以3除以b的值。解題思路：根據(jù)分式的性質(zhì)，分子乘以整數(shù)，分母不變，然后進(jìn)行簡(jiǎn)化。=(2/3)*3/b4.習(xí)題：計(jì)算分式(3x+5)/(x-2)乘以分式(2x-3)/(x+1)。答案：(6x^2+x-15)/(x^2-x-2)解題思路：分別將兩個(gè)分式的分子相乘，分母相乘，然后進(jìn)行簡(jiǎn)化。=(3x+5)*(2x-3)/(x-2)*(x+1)=(6x^2+x-15)/(x^2-x-2)5.習(xí)題：已知(2x+1)/(x-1)等于某個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)。解題思路：將分式等于某個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程求解。(2x+1)/(x-1)=2=>2x+1=2(x-1)=>2x+1=2x-2=>1=-2=>x=-1/2=>(2x+1)/(x-1)=26.習(xí)題：計(jì)算分式(4x-1)/(x+2)除以整式2(x-1)。答案：2x-5/(x+2)解題思路：將分式除以整式，等于乘以該整式的倒數(shù)，然后進(jìn)行簡(jiǎn)化。=(4x-1)/(x+2)*(1/(2(x-1)))=(4x-1)/(2(x^2-x+2))=(2x-1/2)/(x^2-x+2)=(2x-5/2)/(x^2-x+2)=2x-5/(x+2)7.習(xí)題：已知a/b=3/4，求(3a+2b)/(2a-b)的值。解題思路：根據(jù)已知比例，將要求的分式進(jìn)行變形，然后代入求解。=(3a+2b)/(2a-b)=(3*(3/4)a+2b)/(2a-b)=(9/4)a+2b)/(2a-b)=(9a+8b)/(8a-4b)8.習(xí)題：已知(3x+4)/(x-2)等于某個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)。解題思路：將分式等于某個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程求解其他相關(guān)知識(shí)及習(xí)題：一、分式的混合運(yùn)算1.1混合運(yùn)算包括加減乘除以及它們的組合。1.2分式混合運(yùn)算的順序與整數(shù)混合運(yùn)算的順序相同，先算乘除后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的。習(xí)題1：計(jì)算分式(2x-3)/(x+1)加上分式3/(x-2)。解題思路：找出分母的最小公倍數(shù)，將分式通分后相加。=[(2x-3)(x-2)]/[(x+1)(x-2)]+[3(x+1)]/[(x-2)(x+1)]=[2x^2-7x+6]/[x^2-x-2]+[3x+3]/[x^2-x-2]=(2x^2-7x+6+3x+3)/[x^2-x-2]=(2x^2-4x+9)/[x^2-x-2]習(xí)題2：計(jì)算分式(3a+2b)/(a-b)減去分式4/(a+b)。解題思路：找出分母的最小公倍數(shù)，將分式通分后相減。=[(3a+2b)(a+b)]/[(a-b)(a+b)]-[4(a-b)]/[(a-b)(a+b)]=[3a^2+5ab+2b^2-4a+4b]/[a^2-b^2]二、分式方程2.1分式方程是含有未知數(shù)的分式等式。2.2解分式方程時(shí)，先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后求解。習(xí)題3：解分式方程(2x-1)/(x+1)=3/(x-1)。答案：x=1解題思路：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。=(2x-1)(x-1)=3(x+1)=2x^2-x-2=3x+3=2x^2-4x-5=0(2x+1)(x-5)=0x=-1/2或x=5檢驗(yàn)：將x=5代入原方程左右兩邊相等，故x=5是分式方程的解。習(xí)題4：解分式方程(x+2)/(x-1)-(x-2)/(x+1)=1。答案：x=0解題思路：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。=[(x+2)(x+1)-(x-2)(x-1)]/[(x-1)(x+1)]=1=(x^2+3x+2-x^2+3x-2)/(x^2-1)=1=(6x)/(x^2-1)=1=6x=x^2-1=x^2-6x-1=0(x-3)^2-10=0x=3±√10檢驗(yàn)：將x=3±√10代入原方程左右兩邊相等，故x=3±√10是分式方程的解。三、分式的應(yīng)用3.1