備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學一輪復習2.1不等式的性質(zhì)及一元二次不等式(精講)(原卷版+解析)

2.1不等式的性質(zhì)及一元二次不等式（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一不等式的性質(zhì)【例1-1】（2022·浙江）已知，是正實數(shù)，則下列式子中能使恒成立的是（

）A． B． C． D．【例1-2】（2016·浙江）設(shè)實數(shù)，，滿足，，則下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022·福建·三模）若，則“”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）若實數(shù)，，滿足，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇蘇州·高三期末）已知則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．考點二不等式恒成立【例2-1】（2022·海南·嘉積中學）對任意的，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例2-2】（2022·重慶·高三階段練習）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）不等式對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）若不等式的解集為R，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2022·浙江·高三專題練習）若不等式對一切恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習）若不等式對任意的恒成立，則（

）A．， B．，C．， D．，考點三一元二次方程（不等式）根的分布【例3-1】（2022·全國·高三專題練習）關(guān)于的一元二次方程：有兩個實數(shù)根、，則=（

）A． B． C．4 D．-4【例3-2】（2022·浙江·高三專題練習）若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則實數(shù)的取值范圍是___________.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）若和分別是一元二次方程的兩根，則的是______.2．（2022·全國·高三專題練習）若關(guān)于的不等式的解集中恰有個正整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為______3．（2021·全國·專題練習）已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩個實數(shù)根都大于2，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2021·上海·華師大二附中高一期中）已知實數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)a、b、、從小到大的排列是(

)A． B．C． D．考點四比較大小【例4-1】（2022·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【例4-2】．（2022·廣東茂名·高三階段練習）（多選）已知，，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2021·全國·高三專題練習（文））已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·山東·模擬預測）已知非零實數(shù)m，n滿足，則下列關(guān)系式一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（2022·廣東廣州·一模）若正實數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．考點五解含參的一元二次不等式【例5】（2022·全國·高三專題練習）解關(guān)于的不等式．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）已知關(guān)于的不等式：，當時解不等式．2．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）解關(guān)于的不等式：.3．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若（1），，求的最小值．2.1不等式的性質(zhì)及一元二次不等式（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一不等式的性質(zhì)【例1-1】（2022·浙江）已知，是正實數(shù)，則下列式子中能使恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，取，該不等式成立，但不滿足；對于C，該不等式等價于，取，，該不等式成立，但不滿足；對于D，該不等式等價于，取，，該不等式成立，但不滿足；下面證明B法一：不等式等價于，而.函數(shù)在上單增，故.法二：若，則，故，矛盾.故選：B【例1-2】（2016·浙江）設(shè)實數(shù)，，滿足，，則下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】選項A，要證，只需證即可.由題意可知，則成立，則成立.要證，只需證由題意可知，則，又因為，所以，則，即成立故選項A成立，不符合題意.選項B，要證，只需證即可.由題意可知，則，成立.所以成立，即.要證，只需證，只需證由題意可知，則，，，.所以成立，即成立.故選項B成立，不符合題意.選項C，要證，只需證即可.由題意可知則.又因為，所以.所以成立，即.要證，只需證即可由題意可知則.又因為，所以.所以成立，即成立.故選項C成立，不符合題意.選項D，令，，則即，所以不成立，符合題意.故選：D【一隅三反】1．（2022·福建·三模）若，則“”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，對于A，當，取，明顯可見，不成立，故必要性不成立，A錯誤；對于B，當，，得，必要性成立；當，取，，明顯可見，，則不成立，充分性不成立；則B正確對于C，當，取，明顯可見，，則不成立，故必要性不成立，則C錯誤；對于D，當成立，則，明顯可見，成立；當，兩邊平方，同樣有，充分性也成立，D錯誤；故選：B2．（2022·全國·高三專題練習）若實數(shù)，，滿足，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】實數(shù)，，滿足，所以對于：當，，時，不成立，故錯誤；對于：當，，時，，故錯誤；對于：由于，所以，故，故正確；對于：當，，時，無意義，故錯誤．故選：．3．（2022·江蘇蘇州·高三期末）已知則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】取，則，故A選項錯誤；取，，，則B選項錯誤；取，，則，，即，故D選項錯誤；關(guān)于C選項，先證明一個不等式：，令，，于是時，遞增；時，遞減；所以時，有極小值，也是最小值，于是，當且僅當取得等號，由，當時，同時取對數(shù)可得，，再用替換，得到，當且僅當取得等號，由于，得到，，，即，C選項正確.故選：C.考點二不等式恒成立【例2-1】（2022·海南·嘉積中學）對任意的，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，由得：，（當且僅當，即時取等號），，解得：，即的取值范圍為.選：D.【例2-2】（2022·重慶·高三階段練習）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則.（1）當時，則，令，.故.（2）當時，則，令①當時，，則②當時，，則故（3）當時，則在上恒成立，故.綜上所述：故選：A.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）不等式對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，對一切均大于0恒成立，所以，或，或，解得或，，或，綜上，實數(shù)的取值范圍是，或.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習）若不等式的解集為R，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵不等式的解集為R，當a-2＝0，即a＝2時，不等式為3>0恒成立，故a＝2符合題意；當a﹣2≠0，即a≠2時，不等式的解集為R，則，解得，綜合①②可得，實數(shù)a的取值范圍是．故選：B．3．（2022·浙江·高三專題練習）若不等式對一切恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若不等式對一切恒成立，則，即，在單調(diào)遞增，，所以.故選：C4．（2022·全國·高三專題練習）若不等式對任意的恒成立，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由選項可知，故原不等式等價于，當時，顯然不滿足題意，故，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，此時必有，即，故選：B考點三一元二次方程（不等式）根的分布【例3-1】（2022·全國·高三專題練習）關(guān)于的一元二次方程：有兩個實數(shù)根、，則=（

）A． B． C．4 D．-4【答案】D【解析】由有兩個實數(shù)根，可得，所以．故選：D．【例3-2】（2022·浙江·高三專題練習）若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】因為，所以，解得，所以原不等式的解集為，又解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，所以解得：，即，故答案為：．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）若和分別是一元二次方程的兩根，則的是______.【答案】【解析】由韋達定理：，，故答案為：.2．（2022·全國·高三專題練習）若關(guān)于的不等式的解集中恰有個正整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為______【答案】【解析】解：因為不等式的解集中恰有個正整數(shù)，即不等式的解集中恰有個正整數(shù)，所以，所以不等式的解集為，所以這三個正整數(shù)為，所以，故答案為：.3．（2021·全國·專題練習）已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩個實數(shù)根都大于2，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令由題可知：則，即故選：C4．（2021·上?！とA師大二附中高一期中）已知實數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)a、b、、從小到大的排列是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可得：，.由，，設(shè)，則.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故選：A.考點四比較大小【例4-1】（2022·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，構(gòu)造函數(shù)，，令，則，∴在上單減，∴，故，所以在上單減，∴，同理可得，故，故選：C.【例4-2】．（2022·廣東茂名·高三階段練習）（多選）已知，，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】令，，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，，又，所以，所以；故選：AD【一隅三反】1．（2021·全國·高三專題練習（文））已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以，又因為，因為，所以，又因為，所以且，所以，所以，故選：B.2．（2022·山東·模擬預測）已知非零實數(shù)m，n滿足，則下列關(guān)系式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以.取，，得，故A選項不正確；取，，得，所以，故B選項不正確；取，，得，故C選項不正確；當時，則，所以，所以，當時，則，，所以，當時，，所以，綜上得D選項正確，故選：D.3．（2022·廣東廣州·一模）若正實數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當時，，此時；，故；，；當時，，此時，，故；，；故ABC均錯誤；D選項，，兩邊取自然對數(shù)，，因為不管，還是，均有，所以，故只需證即可，設(shè)（且），則，令（且），則，當時，，當時，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調(diào)遞減，因為，所以，結(jié)論得證，D正確故選：D考點五解含參的一元二次不等式【例5】（2022·全國·高三專題練習）解關(guān)于的不等式．【答案】答案見解析【解析】若，原不等式等價于－x＋1<0，解得x>1．若，原不等式等價于，解得或x>1．若，原不等式等價于．①當時，，無解；②當時，，解，得；③當時，，解，得；綜上所述，當時，解集為或；

當時，解集為{x|x>1}；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）已知關(guān)于的不等式：，當時解不等式．【答案】答案不唯一，具體見解析【解析】原不等式可變形為：，當時，，所以，即原不等式的解集為；當時，，所以，即原不等式的解集為；當時，，令，所以，若時，，所以原不等式的解集為，若時，，所以原不等式的解集為，若時，，所以原不等式的解集為，綜上可知：時，原不等式的解集為；時，原不等式的解集為；時，原不等式的解集為；時，原不等式的解集為．2．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）解關(guān)于的不等式：.【答案】答案見解析【解析】當時，不等式化為，解得；當時，不等式化為，解得，或；當時，，不等式化為，解得；當時，不等式化為，此時無解；當時，，不等式化為，解得；