高一數(shù)學(xué)教材同步知識點專題詳解(蘇教版必修第一冊)第6章《冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)》中的值域問題(原卷版+解析)

第6章《冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)》中的值域問題TOC\o"1-4"\h\z\u一、典型題型 1題型1求與冪函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域 5題型2根據(jù)冪函數(shù)值域求參數(shù)或范圍 10題型3求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域 14題型4根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域求參數(shù)或范圍 5題型5求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域 10題型6根據(jù)對數(shù)函數(shù)值域求參數(shù)或范圍 14一．典型例題題型1求與冪函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域反思領(lǐng)悟：例1函數(shù)，其中，則其值域為___________.例2已知函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若對任意，，不等式恒成立，求的取值范圍．題型2根據(jù)冪函數(shù)值域求參數(shù)或范圍反思領(lǐng)悟：例1已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________．例2已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)．(1)求實數(shù)m的值；(2)當(dāng)時，設(shè)的值域分別為A，B，若，求實數(shù)k的取值范圍．題型3求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域反思領(lǐng)悟：例1設(shè)不等式對于任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______．例2已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)求函數(shù)的值域；(3)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．題型4根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域求參數(shù)或范圍反思領(lǐng)悟：例1若函數(shù)的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)的取值范圍是______．例2對于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在實數(shù)滿足，則稱為“準(zhǔn)奇函數(shù)”.(1)已知函數(shù)，試問是否為“準(zhǔn)奇函數(shù)”？說明理由；(2)若為定義在上的“準(zhǔn)奇函數(shù)”，試求實數(shù)的取值范圍；題型5求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域反思領(lǐng)悟：例1已知函數(shù)，對于任意的都能找到，使得，則實數(shù)的取值范圍是___________.例2設(shè)，且.(1)求的值及的定義域；(2)求在區(qū)間上的最大值.題型6根據(jù)對數(shù)函數(shù)值域求參數(shù)或范圍反思領(lǐng)悟：例1已知．若的值域為，則實數(shù)的取值范圍是______．例2已知函數(shù)．(1)若的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若在內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍．二．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為（

）A． B． C． D．2．函數(shù)，的值域是(

)A． B． C． D．3．已知當(dāng)時，函數(shù)的值總大于1，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，值域為的是（

）A． B． C． D．5．若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)值域為（

）A． B． C． D．6．若函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．二、多選題7．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點.則（）A．的定義域為 B．的值域為C．是偶函數(shù) D．的單調(diào)增區(qū)間為8．已知函數(shù)，則（

）A．的值域為R B．是R上的增函數(shù)C．是R上的奇函數(shù) D．有最大值三、填空題9．函數(shù)，其中，則其值域為___________.10．若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為______．11．已知，，設(shè)函數(shù)，_____.12．已知函數(shù)在上恒正，則實數(shù)的取值范圍是__________．四、解答題13．已知函數(shù)（1）若a=1，x[0,1]，求f(x)的值域；（2）當(dāng)時，求f(x)的最小值h(a)；（3）是否存在實數(shù)m，n，同時滿足下列條件：①n>m>3；②當(dāng)h(a)的定義域為[m,n]時，其值域為[m2,n2].若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由.14．已知函數(shù)，．(1)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若，且的最小值為，求實數(shù)k的值．15．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式，并判定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性（無需證明）；(2)已知函數(shù)且，已知在的最大值為2，求的值.第6章《冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)》中的值域問題TOC\o"1-4"\h\z\u一、典型題型 1題型1求與冪函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域 3題型2根據(jù)冪函數(shù)值域求參數(shù)或范圍 5題型3求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域 7題型4根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域求參數(shù)或范圍 9題型5求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域 10題型6根據(jù)對數(shù)函數(shù)值域求參數(shù)或范圍 12一．典型例題題型1求與冪函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域反思領(lǐng)悟：例1函數(shù)，其中，則其值域為___________.【答案】##【分析】利用換元法將函數(shù)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則.因為，所以.當(dāng)時，.所以函數(shù)的值域為.故答案為：例2已知函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若對任意，，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，則，進(jìn)而根據(jù)換元法求解即可；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為對任意，不等式恒成立，再求解恒成立問題即可.（1）解：令，則，則，故．（2）解：由（1）可得．因為函數(shù)和函數(shù)均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．故．對任意，，不等式恒成立，即對任意，不等式恒成立，則解得或．故的取值范圍是．題型2根據(jù)冪函數(shù)值域求參數(shù)或范圍反思領(lǐng)悟：例1已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【分析】判斷單調(diào)遞增，討論或，根據(jù)分段函數(shù)的值域可得且，解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)單調(diào)遞增，①當(dāng)時，若，有，而，此時函數(shù)的值域不是；②當(dāng)時，若，有，而，若函數(shù)的值域為，必有，可得．則實數(shù)的取值范圍為．故答案為：例2已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)．(1)求實數(shù)m的值；(2)當(dāng)時，設(shè)的值域分別為A，B，若，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由冪函數(shù)特征得，再由單增確定值；（2）先求出值域，由為減函數(shù)求出值域，結(jié)合結(jié)合邊界值建立不等式，解不等式即可求解k的取值范圍．(1)∵為冪函數(shù)，∴，解得或，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，∴；(2)由（1）得，∴時，，∵為上的減函數(shù)，∴當(dāng)時，，∵，∴，∴解得，實數(shù)k的取值范圍是．題型3求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域反思領(lǐng)悟：例1設(shè)不等式對于任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【分析】參變分離可得，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得解.【詳解】解：由，得，即，

，，則，，則，即．故答案為：例2已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)求函數(shù)的值域；(3)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)求解即可．（2）利用指數(shù)函數(shù)的值域以及不等式的性質(zhì)求解即可．（3）利用函數(shù)恒成立，參變分離，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解最大值，推出結(jié)果即可．（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，當(dāng)時，，此時，所以時，是奇函數(shù).所以；（2）由（1）可得，因為，可得，所以，所以，所以，所以函數(shù)的值域為；（3）由可得，即，可得對于恒成立，令，則，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，所以，所以實數(shù)m的取值范圍為．【點睛】求不等式恒成立問題常用分離參數(shù)法若不等式（是實參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.題型4根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域求參數(shù)或范圍反思領(lǐng)悟：例1若函數(shù)的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】由題知，進(jìn)而討論得當(dāng)，時，的值域為，再分和兩種情況討論求解即可.【詳解】解：因為當(dāng)時，，所以，要使函數(shù)的定義域和值域的交集為空集，則，當(dāng)，時，值域中有元素，此時不滿足題意，所以，當(dāng)，時，的值域為，下面分兩種情況討論，當(dāng)時，函數(shù)的值域為，要使條件滿足，則，解得：當(dāng)時，函數(shù)的值域為，要使條件滿足，則，解得，綜上，正數(shù)的取值范圍是故答案為：例2對于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在實數(shù)滿足，則稱為“準(zhǔn)奇函數(shù)”.(1)已知函數(shù)，試問是否為“準(zhǔn)奇函數(shù)”？說明理由；(2)若為定義在上的“準(zhǔn)奇函數(shù)”，試求實數(shù)的取值范圍；【答案】(1)不是，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意分析是否有解即可；（2）根據(jù)題意可得在上有解，化簡可得在上有解，令，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分析值域即可.（1）假設(shè)為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，存在滿足，有解，化為，無解，不是“準(zhǔn)奇函數(shù)”；（2）為定義在的“準(zhǔn)奇函數(shù)”，在上有解，在上有解，令，在上有解，又對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時，；時，，，的值域為，，題型5求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域反思領(lǐng)悟：例1已知函數(shù)，對于任意的都能找到，使得，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】分別求出函數(shù)，的值域，然后由集合的包含關(guān)系得參數(shù)范圍．【詳解】時，，，時，，，于任意的都能找到，使得，則，所以，解得．故答案為：．例2設(shè)，且.(1)求的值及的定義域；(2)求在區(qū)間上的最大值.【答案】(1)2，；(2)2.【分析】（1）由代入可得的值，列出不等式組可得定義域；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷在區(qū)間的單調(diào)性即可得結(jié)果.（1）∵，∴，∴.由，解得，∴函數(shù)的定義域為.（2），∴當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)時，是減函數(shù)，函數(shù)在上的最大值是.題型6根據(jù)對數(shù)函數(shù)值域求參數(shù)或范圍反思領(lǐng)悟：例1已知．若的值域為，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)的值域為，可得有解，再利用根的判別式即可得解.【詳解】解：因為的值域為，所以有解，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例2已知函數(shù)．(1)若的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若在內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意能取內(nèi)的一切值，故轉(zhuǎn)化為函數(shù)的判別式大于等于0求解即可；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在內(nèi)單調(diào)遞減且恒正，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.（1）由的值域為R，可得能取內(nèi)的一切值，故函數(shù)的圖象與x軸有公共點，所以，解得或．故實數(shù)m的取值范圍為．（2）因為在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)單調(diào)遞減且恒正，所以，解得．故實數(shù)m的取值范圍為．二．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出各冪函數(shù)的定義域和值域，得到答案.【詳解】當(dāng)時，定義域和值域均為，符合題意；時，定義域為，值域為，故不合題意；時，定義域為，值域為，符合題意；時，定義域與值域均為R，符合題意；時，定義域為R，值域為，不符合題意；時，定義域與值域均為R，符合題意.故選：C2．函數(shù)，的值域是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】令，求出g(t)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求f(x)值域.【詳解】令，則，則，故選：A.3．已知當(dāng)時，函數(shù)的值總大于1，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，解得．故選：C．4．下列函數(shù)中，值域為的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】逐一判斷各選項的值域即可.【詳解】對于A，值域為，不符合題意；對于B，，值域為，不符合題意；對于C，值域為，符合題意；對于D，值域為，不符合題意.故選：C5．若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的單調(diào)性求得正確答案.【詳解】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在上遞增，，即.故選：A6．若函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先根據(jù)函數(shù)的定義域為，求出，再令即可求求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以，所以，解得：，所以的定義域為，故選：A.二、多選題7．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點.則（）A．的定義域為 B．的值域為C．是偶函數(shù) D．的單調(diào)增區(qū)間為【答案】ABD【解析】先求出冪函數(shù)的解析式，再根據(jù)解析式判斷各項的正誤.【詳解】因為為冪函數(shù)，故，所以，故，故，所以函數(shù)的定義域為，值域為，單調(diào)增區(qū)間為，且不是偶函數(shù)，故選：ABD.8．已知函數(shù)，則（

）A．的值域為R B．是R上的增函數(shù)C．是R上的奇函數(shù) D．有最大值【答案】ABC【分析】，而得到的值域為R，判斷A正確，D錯誤，根據(jù)增函數(shù)加增函數(shù)還是增函數(shù)進(jìn)行判斷B選項，根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷得到C選項.【詳解】，而，所以值域為R，A正確，D錯誤；因為是遞增函數(shù)，而是遞增函數(shù)，所以是遞增函數(shù)，B正確；因為定義域為R，且，所以是R上的奇函數(shù)，C正確；故選：ABC三、填空題9．函數(shù)，其中，則其值域為___________.【答案】##【分析】利用換元法將函數(shù)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則.因為，所以.當(dāng)時，.所以函數(shù)的值域為.故答案為：10．若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解【詳解】令，由題意得的值域為，又的值域為，所以解得所以的取值范圍為．故答案為：11．已知，，設(shè)函數(shù)，_____.【答案】##【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再求出的解析式，令，則，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】解：因為，，，由，，所以=，令，，則在上單調(diào)遞增，，，；故答案為：12．已知函數(shù)在上恒正，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【分析】①當(dāng)時，根據(jù)定義域可知不合題意；②當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸位置可確定單調(diào)性，由可求得的范圍，知不合題意；③當(dāng)時，分別在、和三種情況下，可得單調(diào)性，根據(jù)可解得的范圍；綜合三種情況可得結(jié)果.【詳解】①當(dāng)時，，此時定義域為，不合題意；②當(dāng)時，令，其對稱軸為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，，即，解得：（舍）；③當(dāng)時，令，其對稱軸為；⑴若，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，，即，解得：；⑵若，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，，即，解得：（舍）；⑶若，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，解得：（舍）；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題13．已知函數(shù)（1）若a=1，x[0,1]，求f(x)的值域；（2）當(dāng)時，求f(x)的最小值h(a)；（3）是否存在實數(shù)m，n，同時滿足下列條件：①n>m>3；②當(dāng)h(a)的定義域為[m,n]時，其值域為[m2,n2].若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由見解析.【解析】（1）由題意得，再由，可求得函數(shù)的值域；（2）令，則可化為，由于，所以分，，三種情況求解即可；（3）因為，為減函數(shù)，所以在上的值域為，又在上的值域為，所以，即從而可得的關(guān)系，再由進(jìn)行判斷即可【詳解】（1）當(dāng)時，由，得，因為，所以，，所以的值域為.（2）令，因為，故，函數(shù)可化為.①當(dāng)時，；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，，.綜上，（3）因為，為減函數(shù)，所以在上的值域為，又在上的值域為，所以，即兩式相減，得，因為，所以，而由可得，矛盾.所以，不存在滿足條件的實數(shù)【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查冪函數(shù)和二次函數(shù)的綜合運用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思