高中數(shù)學(xué)：基本不等式（含答案）

高中數(shù)學(xué)：必修5

基本不等式

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1.重要不等式:a2+h2^2ab（a,R）

一般地，對于任意實(shí)數(shù)4,b,有。2+62,2出?，當(dāng)且僅當(dāng)_____________時(shí)，等號(hào)成立.

2.基本不等式

如果“>0,b>0,那么瘋<絲2,當(dāng)且僅當(dāng)______________時(shí)，等號(hào)成立.

2

其中，區(qū)?叫做正數(shù)”，6的算術(shù)平均數(shù)，J法叫做正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

因此基本不等式也可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

3.基本不等式的證明

（1）代數(shù)法：|方法一|因?yàn)?>0,h>0,所以我們可以用《，括分別代替重要不等式中的a,h,得

（6）2+（協(xié)）222々?揚(yáng)，當(dāng)且僅當(dāng)&=新時(shí)，等號(hào)成立.

即”2?而（“>（）,b>0）,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

2

方法二因?yàn)?(y/a)2+(y[b)2-2yfab=(4a-yjb)2>0，

所以a+b-2>/ah>0，即a+〃22ylab,所以4cib<.

方法三要證，只要證a+即證a+/?—即證（，^一揚(yáng)）？^。，顯然

20總是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)，等號(hào)成立.

（2）幾何法：如圖，A3是圓的直徑，C是A3上一點(diǎn)，AC=a,BC=h,過點(diǎn)C作垂直于43的弦OE,連

接40,BD.易證Rt/XACDsRtaocB,則?8，即O）=.這個(gè)圓的半徑為

—,顯然它大于或等于CQ,即"2NJ茄，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即時(shí)，等號(hào)成立.

22

的幾何意義：半徑不小于半弦.

2

4.重要不等式和均值不等式的常用變形公式及推廣公式

,、ba、八ba’人

(1)—I—>2(a,b同號(hào))；—I—<—2(?,b異號(hào)).

abab

(2)ci-\—22(〃>0)；ciH—K—23V0).

aa

(3)—I—N------(a>0,匕>0)；—二N2a—/?>0).

abb

a+b

(4)ah<ab<{■)2,4ab^a2+b2+lab,2(a2+b2)(a+b)2(6f,beR).

2

(5),+%+——>Jw，??q(4，①,???,a”GR,?>2,nGN).

n~

1112

(6)(6+Wd----1■%)(—h-----H???+—)2九~(?！薄?,…，a〃為正實(shí)數(shù)，且〃22,neN).

q。2an

5.均值不等式鏈

若。>0,b>0,則不一―2—，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

---1---

ab

其中1一r和分別叫做b的調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù).

一+工V2

ab

6.最值定理

已知x>0,y>0,貝lj

若x+y為定值s,則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，積到有最大值匚（簡記：和定積最大）;

若孫為定值f,則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2?（簡記：積定和最?。?

參考答案：

1.a—b2.a—b3.y[ab

重難易錯(cuò)點(diǎn):

重點(diǎn)重要不等式，基本不等式的公式、證明、幾何解釋、變形及推廣

難點(diǎn)均值不等式鏈的應(yīng)用、利用基本不等式求最值、不等式的證明

易錯(cuò)忽略等號(hào)成立的條件、等號(hào)成立的一致性導(dǎo)致錯(cuò)誤

2

一、利用基本不等式判斷不等式是否成立

要判斷不等式是否成立，關(guān)鍵是把握其運(yùn)用基本不等式時(shí)能否嚴(yán)格遵循“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件.

例1.(1)設(shè)_/(x)=lnx,0<a<b,若茄)，q—/(—y-)?r=g(/(a)+/(S)),則下列關(guān)系式中正確的是

A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q

(2)給出下列不等式：①xd—22；②—|>2；③x~4—>x(^x>0)；④sinxd----->2；⑤若0<a

xx4sinx

<\<h,貝Ilog/+log?7<-2.其中正確的是.

【答案】(1)B；(2)②⑤.

【點(diǎn)析】基本不等式常用于有條件的不等關(guān)系的判斷、比較代數(shù)式的大小等.一般地，結(jié)合所給代數(shù)式的特征，

將所給條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換(利用基本不等式可將整式和根式相互轉(zhuǎn)化)，使其中的不等關(guān)系明晰即可解決問題.

二、利用基本不等式證明不等式

利用基本不等式證明不等式的一般思路：先觀察題中要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，若不能直接使用基本不等式

證明，則考慮對代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等，使之達(dá)到能使用基本不等式的形式；若題目中還有其他條件，

則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”時(shí)，要注意“1”的代換.另外，解題時(shí)

要時(shí)刻注意等號(hào)能否取到.

a2b1c2

例2.(1)已知a>0,b>0,c>0,求證：—+—+—>a+b+c；

bca

(2)己知〃>%,ah—2,求證：“*”24.

a-b

【解析】(1)因?yàn)閍>0,b>0,c>0,

a2b2c2

所以利用基本不等式可得幺+622a,—+c>2b,—+a>2c,

bca

及c1crb2c2

所以1----1---Fa+Z?+c22(a+Z?+c),即----1----1>a+b+c)

bcabca

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

(2)因?yàn)閍>b,所以a-b>0,又ab=2,所以

a1+b2a2+b2-lab+lab(a-b)2+2ab,lab,4.[/4一.

==L=a-b+=a-b+----->2(a-b)-----=4

a-b--------a-b------------a-b------------a-ba-bva-b

即任“當(dāng)且僅當(dāng)j=士’即。=鳳一=百-泗取等號(hào)。

a-b

【點(diǎn)析】對于(1),合理地構(gòu)造并正確選用基本不等式或其變形式，是證明輪換對稱結(jié)構(gòu)的不等式(用人換”,

。換c,c換，后，代數(shù)式不變的式子叫輪換對稱式，其特征是“，b,c的地位一樣)的常用思路；對于(2),

3

觀察a—b,浮+按，可聯(lián)想到通過加減2"的方法配湊出(“一，)2,從而化為可使用基本不等式的形式，結(jié)合外

=2可使問題得到解決.

三'利用基本不等式求最值

(1)|直接應(yīng)用類卜此類問題較為基礎(chǔ)，注意“一正、二定、三相等”即可.

例3.(1)已知危)=X+L+2(X<0),則危)有

X

A.最大值為4B.最小值為4C.最小值為0D.最大值為0

(2)已知0<xV4,則x(4—x)取得最大值時(shí)x的值為

A.0B.2C.4D.16

(3)已知函數(shù)式x)=2,，(》>0)，若份=16,則人“力的最大值為；

(4)已知a,R,且ab=8,則|a+2可的最小值是.

【答案】(1)D；(2)C；(3)16；(4)8.

【點(diǎn)析】利用基本不等式求最值要牢記三個(gè)關(guān)鍵詞：一正、二定、三相等，即①一正：各項(xiàng)必須為正；②二定：

各項(xiàng)之和或各項(xiàng)之積為定值；③三相等：必須驗(yàn)證取等號(hào)時(shí)條件是否具備.

(2)|配湊定值類卜此類問題一般不能直接使用基本不等式，要從整體上把握進(jìn)而運(yùn)用基本不等式，對不滿足

使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)、湊項(xiàng)、湊系數(shù)等.

x~+3x+1

例4.(1)已知x>0,則函數(shù)y=二十、七的最小值為；

x

(2)若x>l,則函數(shù)一的最小值為:

x-l

12

(3)若0<工<］，則函數(shù)y=x(12—5x)的最大值為.

aA

【答案】(1)5；(2)3；(3)y.

【點(diǎn)析】不論條件怎么變形，都需要根據(jù)條件：湊和為定值時(shí)求積最大、湊積為定值求和最小.

(3)|條件最值類卜在求解含有兩個(gè)變量的代數(shù)式的最值問題時(shí)，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，

或構(gòu)造不等式求解.

例5.(1)已知a>0,b>0,a+b=l,則—I—的最小值為；

ab

(2)已知。>0,b>0,—+—=2,則。+〃的最小值為_______________；

ab

(3)若正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y+3=xy,則孫的最小值是；

4

(4)已知x>0,y>0,x+y+孫=3,則x+y的最小值是.

【答案】(1)4；(2)2；(3)9；(4)2.

【點(diǎn)析】在構(gòu)造不等式求最值時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用.例如，當(dāng)a>0,h>0時(shí)，*

+加？2加逆用就是而J茄逆用就是HW(空等.還要注意“添項(xiàng)、拆項(xiàng)、湊系數(shù)”

222

的技巧和等號(hào)成立的條件等.

四、基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用

利用基本不等式解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是構(gòu)建模型，一般來說，都是從具體的幾何圖形，通過相關(guān)的關(guān)系建立關(guān)

系式.在解題過程中盡量向模型拓(a>0,b>0,x>0)上靠攏.

x

例6.如圖，要規(guī)劃一個(gè)矩形休閑廣場，該休閑廣場含有大小相等的左右兩個(gè)矩形草坪(如圖中陰影部分所示)，

且草坪所占面積為18000m2,四周道路的寬度為10m,兩個(gè)草坪之間的道路的寬度為5m.試問，怎樣確定該

矩形休閑廣場的長與寬的尺寸(單位：m),能使矩形休閑廣場所占面積最小？

【答案】當(dāng)矩形休閑廣場的長為140m,寬為175m時(shí)，可使休閑廣場的面積最小.

【點(diǎn)析】本題容易出現(xiàn)的思維誤區(qū)：①未能理清草坪邊長與休閑廣場邊長之間的關(guān)系；②求出目標(biāo)函數(shù)后不會(huì)

運(yùn)用基本不等式求最值，缺乏必要的配湊、轉(zhuǎn)化變形能力，從而無法利用基本不等式求最值，或者不會(huì)利用基

本不等式等號(hào)成立的條件求變量的取值.

五、忽略等號(hào)成立的條件導(dǎo)致錯(cuò)誤

X?+3

例7、函數(shù)/(%)=-7==的最小值為_______________

\lx2+2

x2+3

【錯(cuò)解】f(x)>2,所以函數(shù)/(x)的最小值為2.

VX2+2\Jx2+2>/X2+2

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中使用基本不等式時(shí),等號(hào)成立的條件為2即爐+2=1,顯然爐之一1,

即等號(hào)無法取到，函數(shù)/(x)的最小值為2是不正確的.

［正解］.______'令⑸易知函數(shù)g樂H在總+8)上

/(x)=&+2

Jf+2tt

5

單調(diào)遞增，所以3?.故函數(shù)f（x）的最小值為3行.

g("nin=g(3)=后+上

F~T

【點(diǎn)析】（1）利用基本不等式求最值時(shí)，必修保證等號(hào)能取到才能求出最值，若題設(shè)條件中的限制條件或函數(shù)

的定義域不能使等號(hào)成立，則要轉(zhuǎn)換到另-一種形式解答，如借助函數(shù)單調(diào)性等；（2）對于模型以+222J茄,

X

當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號(hào)成立；（3）求函數(shù)y=av+^（a>0,8>0）在區(qū)間（0,c］上的最值時(shí)，由函數(shù)圖象易得:

Vax

若c》也,則當(dāng)X=J2時(shí)，y取得最小值2，茄；若c<也,則當(dāng)x=c時(shí)，y取得最小值ac+2.

VaVaVac

六'忽略等號(hào)成立的一致性導(dǎo)致錯(cuò)誤

11

例8、若x>0,y>0,且x+2y=l,則一+一的最小值為_______________.

xy

【錯(cuò)解】因?yàn)閤>0,y>0,所以l=x+2y22/己，即8xyWl,即孫故口28.

11IT11LL11L

因?yàn)橐?―22］一,所以一+—22唬=4后.故一+一的最小值為4近.

xy\xyxyxy

【錯(cuò)因分析】在求解過程中使用了兩次基本不等式：x+2y22j語，/+［>2心，但這兩次取“=”需

滿足工=2〉與》=必互相矛盾，所以“=”不能同時(shí)取到，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

【正解】3+2行

【點(diǎn)析】連續(xù)應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要注意各不等式取等號(hào)時(shí)的條件是否一致，若不能同時(shí)取等號(hào)，則連

續(xù)用基本不等式是求不出最值的，此時(shí)要對原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱只蚝喜?，直到取等?hào)的條件成立.

6

基本不等式：基礎(chǔ)習(xí)題強(qiáng)化

1.已知0cx<1,則x(l-x)取最大值時(shí)X的值為

1112

A.-B.-C.-D.一

3243

2.若實(shí)數(shù)a,8滿足3a+?=3,則8"+4”的最小值是

A.2&B.4C.472D.80

21

3.若x>0,y>0,且2x+y=2,則一+一的最小值是

%y

39

A.3B.—C.3+\/2D.一

2"2

4.若a>l,則a，a卡1的最小值是

a-\

A.2B.4C.1D.3

5.已知加=a+」一(。>2),〃=22-”(6工0),則相，〃之間的大小關(guān)系是

a-2

A.tn>nB.tn<nC.m=nD.不能確定

6.己知。力均為正實(shí)數(shù)，且直線方+辦-6=0與直線(Z7-3)x—2y+5=0互相垂直，則2a+3Z?的最小值為

A.12B.13C.24D.25

1112

7.已知。>0,/?>(),a+b=—h—,則—的最小值為

abab

A.4B.2V2C.8D.16

8.若正數(shù)。，匕滿足H=a+Z?+3,則Q。的取值范圍為.

9.已知且a+Z?+c=3,則—1--4■—的最小值是.

abc

10.若實(shí)數(shù)〃，人滿足?=則。。的最小值為.

ab

3

11.設(shè)0<x<—,則函數(shù)y=4x(3—2x)的最大值為_______________.

2

12.已知。>0,b>0,ab=8f則當(dāng)〃的值為時(shí)，log?。/Og2(2。)取得最大值.

7

能力提升

13.已知a,〃都是正實(shí)數(shù)，且滿足2a+6=a〃，則2a+8的最小值為

A.12B.1()C.8D.6

14.已知/>1,且」?+7^--=1,則。+46的最小值為

a-\b-\

A.13B.14C.15D.16

15.已知不等式（》+力（工+且）29對任意正實(shí)數(shù)》，丫恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為

xy

A.8B.6C.4D.2

16.若正實(shí)數(shù)a力滿足a+h=l,則

A.!有最大值4

B.。。有最小值;

ab4

D./+〃有最小值立

C.夜+指有最大值后

2

31

17.已知a>0力>0,若不等式一—一--—40恒成立，則，"的最大值為

3a+bab

A.4B.16C.9D.3

-2x+y<10

18.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足〈x+2y414,則孫的最大值為

x+y>6

2549-

A.—B.—C.12D.14

22

19.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=l,則L+'的最小值為.

abc

20.在4*匚］+9乂口=60的兩個(gè)口中，分別填入一個(gè)自然數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，則口中應(yīng)分別填入

____________和____________

21.若a,b,c>0且(a+c)(a+6)=4-2G，則2a+h+c的最小值為

CZ-?

22.己知正實(shí)數(shù)a,b滿足：a+h=\,則一7+—行的最大值是

a+ba+lr

23.某校要建一個(gè)面積為450平方米的矩形球場，要求球場的一面利用舊墻,其他

各面用鋼筋網(wǎng)圍成，且在矩形一邊的鋼筋網(wǎng)的正中間要留一個(gè)3米的進(jìn)出口

（如圖所示）.設(shè)矩形的長為x米，鋼筋網(wǎng)的總長度為y米.

（1）列出y與*的函數(shù)關(guān)系式，并寫出其定義域；

（2）問矩形的長與寬各為多少米時(shí)，所用的鋼筋網(wǎng)的總長度最??？

8

2

24.(1)求函數(shù)y=Y*+7x4-101)的最小值;

x+1

ab，

（2）已知正數(shù)mb和正數(shù)x,y,右a+b=10,—+—=1,且x+y的最小值是18,求mb的值.

1y

25.已知函數(shù)/（x）=Y-2ax-l+a,QGR.

（1）若a=2,試求函數(shù)y=」史（x>0）的最小值；

X

（2）對于任意的xe[0,2],不等式〈。成立，試求〃的取值范圍.

虞<

26.（天津文理）已知a,beR,且a—3b+6=0,則2"+/的最小值為

27.（江蘇）在△ABC中，角A，8,。所對的邊分別為a,b，c,ZABC=120°.NABC的平分線交AC

于點(diǎn)。，且5。=1，則4a+c的最小值為

28.（山東理）若a〉〃>0,且，出=1,則下列不等式成立的是

1bb

A.a+-<一<log2(?+Z>)B.log2(?+/?)<?+—

bTT

1