2022年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線第三定義知識(shí)點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)含答案

第3講圓錐曲線第三定義一．選擇題（共7小題）1．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是，，那么直線斜率的取值范圍是A． B． C． D．2．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是，，那么直線斜率的取值范圍是A．， B．， C．， D．，3．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，且直線的斜率為，則直線斜率為A． B．3 C． D．4．設(shè)橢圓長軸的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為橢圓上不同于、的任一點(diǎn)，若將的三個(gè)內(nèi)角記作、、，且滿足，則橢圓的離心率為A． B． C． D．5．已知，，為雙曲線上不同三點(diǎn)，且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線，的斜率記為，，則的最小值為A．8 B．4 C．2 D．16．已知，，是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且，連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線，的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．7．已知，，是雙曲線上的不同的三點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，且，是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率是A．2 B． C． D．二．填空題（共4小題）8．已知、、為雙曲線上不同三點(diǎn)，且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線、的斜率記為，，則的最小值為9．已知，是橢圓和雙曲線的公共頂點(diǎn)，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，都異于，，且，其中，設(shè)直線，，，的斜率分別為，，，，若，則．10．已知，橢圓和雙曲線的左右頂點(diǎn)，，分別為雙曲線和橢圓上不同于，的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè)直線、、、的斜率分別為、、、，則．11．已知、、是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若直線，的斜率乘積，則該雙曲線的離心率．三．解答題（共4小題）12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接，并延長交橢圓于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為（1）若直線平分線段，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離；（3）對(duì)任意，求證：．13．已知橢圓的左焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知兩點(diǎn)，及橢圓，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，試問當(dāng)為何值時(shí)，直線過橢圓的頂點(diǎn)？（Ⅲ）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接并延長交橢圓于，求證：．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率為．（1）若直線平分線段，求的值；（2）求，面積的最大值，并指出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）對(duì)任意的，過點(diǎn)作的垂線交橢圓于，求證：，，三點(diǎn)共線．15．橢圓，過原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連，并延長交橢圓于，若，求橢圓的離心率．第3講圓錐曲線第三定義參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是，，那么直線斜率的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，，，由，，，，由，，，則，直線斜率的取值范圍，，故選：．2．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是，，那么直線斜率的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：由橢圓可知其左頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)．設(shè)，，則得．記直線的斜率為，直線的斜率為，則直線斜率的取值范圍是，，直線斜率的取值范圍是，故選：．3．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，且直線的斜率為，則直線斜率為A． B．3 C． D．【解答】解：橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線的斜率為，直線的方程為：，代入橢圓方程可得：，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，，故直線斜率，故選：．4．設(shè)橢圓長軸的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為橢圓上不同于、的任一點(diǎn)，若將的三個(gè)內(nèi)角記作、、，且滿足，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)榭傻?，即，而在三角形中，，所以上式可得而，所以可得，即，由題意可得，，設(shè)，，可得，由雙曲線的對(duì)稱性設(shè)在第一象限，如圖所示：在中，，在中，，所以，所以可得，所以離心率故選：．5．已知，，為雙曲線上不同三點(diǎn)，且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線，的斜率記為，，則的最小值為A．8 B．4 C．2 D．1【解答】解：滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)），，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，，，，，，則，，直線，的斜率記為，，滿足，則，即的最小值為4．故選：．6．已知，，是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且，連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線，的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：由題意，設(shè)，，，，則，，，，，兩式相減可得，，，，則．故選：．7．已知，，是雙曲線上的不同的三點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，且，是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率是A．2 B． C． D．【解答】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，因?yàn)椋渣c(diǎn)的坐標(biāo)為，，因?yàn)?，所以，即，又，在雙曲線上，所以，，兩式相減得，即，又因?yàn)?，所以，所以，所以，，故選：．二．填空題（共4小題）8．已知、、為雙曲線上不同三點(diǎn)，且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線、的斜率記為，，則的最小值為【解答】解：由為坐標(biāo)原點(diǎn)），得為的中點(diǎn)，設(shè)，，，，則，，，，故，①又由、、為雙曲線上的點(diǎn)，，，代入①，可得．．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式“”成立．的最小值為．故答案為：．9．已知，是橢圓和雙曲線的公共頂點(diǎn)，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，都異于，，且，其中，設(shè)直線，，，的斜率分別為，，，，若，則．【解答】解：根據(jù)題意可得，，設(shè)，，，，因?yàn)槠渲?，所以，，，，，所以，因?yàn)?，都異于，，所以，，，由，①因?yàn)?，②由①②得，，，又因?yàn)?，所以．故答案為：?0．已知，橢圓和雙曲線的左右頂點(diǎn)，，分別為雙曲線和橢圓上不同于，的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè)直線、、、的斜率分別為、、、，則0．【解答】解：、為橢圓和雙曲線的公共頂點(diǎn)，、分別為雙曲線和橢圓上不同于、的動(dòng)點(diǎn)，由，，即，可得，則點(diǎn)，，三點(diǎn)共線．設(shè)，，，，則，同理，得：，，，，，．故答案為：0．11．已知、、是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若直線，的斜率乘積，則該雙曲線的離心率．【解答】解：由題意，設(shè)，，，，則，，，兩式相減可得，，，故答案為：三．解答題（共4小題）12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接，并延長交橢圓于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為（1）若直線平分線段，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離；（3）對(duì)任意，求證：．【解答】解：（1）由題設(shè)知，，，故，，所以線段中點(diǎn)坐標(biāo)為．由于直線平分線段，故直線過線段的中點(diǎn)，又直線過原點(diǎn)，所以．（2）直線的方程為，代入橢圓方程得，解得，因此，，，于是，，直線的斜率為1，故直線的方程為．因此，．（3）設(shè)，，，，則，，，，，，，，，，．設(shè)直線，的斜率分別為，．因?yàn)樵谥本€上，所以，從而．因此，所以．13．已知橢圓的左焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知兩點(diǎn)，及橢圓，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，試問當(dāng)為何值時(shí)，直線過橢圓的頂點(diǎn)？（Ⅲ）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接并延長交橢圓于，求證：．【解答】（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）連接，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為右焦點(diǎn)），由題意知：橢圓的右焦點(diǎn)為因?yàn)槭恰鞯闹形痪€，且，所以，所以，故．（2分）在中，即，又，解得，，所求橢圓的方程為．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓設(shè)直線的方程為并代入整理得：由△得：，（5分）設(shè)，，，，，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：（6分）①當(dāng)時(shí)，有，直線顯然過橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，．（7分）②當(dāng)時(shí)，則，直線的方程為此時(shí)直線顯然不能過橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，；若直線過橢圓的頂點(diǎn)，則，即，所以，解得：（舍去），（8分）若直線過橢圓的頂點(diǎn)，則，即，所以，解得：（舍去）．（9分）綜上，當(dāng)或或時(shí)，直線過橢圓的頂點(diǎn)．（10分）（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得橢圓的方程為，（11分）根據(jù)題意可設(shè)，則，則直線的方程為，①過點(diǎn)且與垂直的直線方程為，②①②并整理得：，又在橢圓上，所以，所以，即①、②兩直線的交點(diǎn)在橢圓上，所以．（14分）法二：由（Ⅰ）得橢圓的方程為根據(jù)題意可設(shè)，則，，，，所以直線，化簡(jiǎn)得，所以，因?yàn)?，所以，則．（12分）所以，則，故．（14分）14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率為．（1）若直線平分線段，求的值；（2）求，面積的最大值，并指出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）對(duì)任意的，過點(diǎn)作的垂線交橢圓于，求證：，，三點(diǎn)共線．【解答】（1）解：由題設(shè)知，，，故，，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為．由于直線平分線段，故直線過線段的中點(diǎn)，又直線過原點(diǎn)，；（2）解：，，，設(shè)與平行的直線方程為，聯(lián)立，得．