江西省萍鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前萍鄉(xiāng)市2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè).滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A.2 B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知，，為非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.把函數(shù)的圖象按向量平移后，得到新圖象的解析式為（）A. B.C. D.5.在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)，，則（）A. B. C. D.6.的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，則的面積為（）A. B. C.或 D.7.如圖所示是一個(gè)主體高為的螺旋形旋轉(zhuǎn)滑梯.某游客從該滑梯頂端出發(fā)一直滑到底部，把其運(yùn)動(dòng)軌跡投影到滑梯的軸截面上，得到的曲線對(duì)應(yīng)的方程為（，）（，的單位：），若該游客整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相位的變化量為，則的值為（）A. B. C. D.8.銳角的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是A.若向量，，滿足，，則B.240°化成弧度數(shù)為C.若向量，滿足，，，則D.在4:30時(shí)刻，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的銳角為，則10.已知復(fù)數(shù)，，則（）A. B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限C. D.為純虛數(shù)11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為B.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則的最小值為C.若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則平面與正方形的交線長(zhǎng)為D.若點(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界），且，則的軌跡長(zhǎng)度為第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷共2頁(yè)，須用0.5毫米的黑色墨水簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的高為_(kāi)_____.13.如圖，蓮花縣荷塘鄉(xiāng)重陽(yáng)木古樹(shù)已有800年左右的歷史，該古樹(shù)枝繁葉茂，以優(yōu)美的形狀挺立在文塘村，幾百年來(lái)歷經(jīng)風(fēng)霜守護(hù)村民繁衍生息.小明為了測(cè)量該古樹(shù)高度，在古樹(shù)旁水平地面上共線的三點(diǎn)，，處測(cè)得古樹(shù)頂點(diǎn)的仰角分別為45°，45°，30°，若米，則該古樹(shù)的高度為_(kāi)_____米.14.已知函數(shù)（，）的圖象如圖所示，則______；上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，則______.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）在平面四邊形中，，，，.（1）求的值；（2）若，求.16.（本小題滿分15分）如圖，在直三棱柱中，，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.17.（本小題滿分15分）已知函數(shù)（，）在區(qū)間上單調(diào)遞增，，且______.從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在題中的橫線上，再解答.①；②，在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.】18.（本小題滿分17分）如圖，某城市為升級(jí)沿河直線綠道的沿途風(fēng)景，計(jì)劃在以為直徑的半圓形空地內(nèi)部修建一塊矩形楓葉林（，在上，，在半圓上，為圓心），已知全長(zhǎng).（1）求楓葉林面積的最大值；（2）為方便游客休憩打卡，計(jì)劃在的另一側(cè)修建觀景木質(zhì)棧道，已知段每米的造價(jià)為元，段每米的造價(jià)是段的兩倍，，求修建觀景木質(zhì)棧道所需的費(fèi)用最多為多少元（結(jié)果用表示）.19.（本小題滿分17分）設(shè)有維向量，，稱為向量和的內(nèi)積.記為全體由和1構(gòu)成的維向量的集合.（1）若，存在，使得，寫(xiě)出所有滿足條件的；（2）令，若，證明：為偶數(shù)；（3）若表示能從中選出向量的個(gè)數(shù)的最大值，且滿足選出的向量互相之間的內(nèi)積均為0，猜測(cè)的值，并給出一個(gè)實(shí)例.

萍鄉(xiāng)市2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題（）ADBAD；CDC.【7解析】由旋轉(zhuǎn)滑梯高為知，投影到軸截面上后，游客對(duì)應(yīng)在橫軸上移動(dòng)的距離是，當(dāng)時(shí)，初相為，且游客一直滑到底部，則最后的相位為，故整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，相位的變化量為，解得.【8解析】由題知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；又因?yàn)槿切问卿J角三角形，所以，即，解得，即，又，設(shè)，，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以的取值范圍為.二、多項(xiàng)選擇題（）BD；ABC；ACD.三、填空題（）12.；13.28；14.3，.四、解答題（共77分）15.（1）在中，由正弦定理得，代入數(shù)值并解得，又因?yàn)?，所以，即為銳角，所以；（2）在中，由余弦定理得，，所以.16.（1）證明：連接交于點(diǎn)，則是中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，故平面；（2）由題知，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，所以平面，平面，故，即是二面角的平面角，在中，，，則，在中，，則，則，則，即二面角的余弦值為.17（1）【選條件①】由題知，的最大值為2，在上單調(diào)遞增，，，則，解得，，所以，又，所以，又，所以，所以；【選條件②】因?yàn)?，在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，所以，，所以，又，所以，又，所以，所以；（2）因?yàn)?，所以，則，令，則在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，令，，由基本不等式可知，在處取得最小值，任取，有，，，即，故在上單調(diào)遞減；同理可得在上單調(diào)遞增，則，故只需，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.（1）設(shè)，則，且，，所以，當(dāng)，即時(shí)，矩形楓樹(shù)林面積取得最大值，為；（2）因?yàn)?，所以，記，由正弦定理有，則，則，，其中，，且，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以修建觀景木質(zhì)棧道所需的費(fèi)用最多為元.19.（1）由定義，只需滿足，故所有滿足條件的有6個(gè)，為：，，，，，；（2）由題知，存在，與，，，使，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，.若有個(gè)，則有個(gè)，則，所以為